ĐỀ THI HỌC KỲ I Môn : TOÁN 12 NÂNG CAO Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ 1 Bài 1: ( 5 điểm) Cho hàm số y = x 3 +3x 2 +1. Câu a) ( 3 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Câu b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 2. Câu c) (1 điểm) Tìm m để đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+ 5 tại 3 điểm phân biệt. Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau: Câu a) (1 điểm) )1(log)(log 2 2 2 xxx −=− Câu b) (1 điểm) 25 x -2.5 x -15 > 0 Bài 3: ( 3 điểm) Cho hình nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy bằng 2 2a , độ dài đường sinh bằng a. Câu a) (2 điểm) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng. Câu b) (1 điểm) Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Tính diện tích thiết diện. ĐỀ THI HỌC KỲ I Môn : TOÁN 12 NÂNG CAO Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ 2 Bài 1: ( 5 điểm) Cho hàm số y = x 3 +3x 2 +1. Câu a) ( 3 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Câu b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -3. Câu c) (1 điểm) Tìm m để đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx - 2m+ 21 tại 3 điểm phân biệt. Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau: Câu a) (1 điểm) )1(log)(log 3 2 3 +=+ xxx Câu b) (1 điểm) 9 x +2.3 x -15 > 0 Bài 3: ( 3 điểm) Cho hình nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy và độ dài đường cao đều bằng 2 2a . Câu a) (2 điểm) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng. Câu b) (1 điểm) Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Tính diện tích thiết diện. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 NÂNG CAO NĂM HỌC 2008-2009 f(x)=x^3+3x^2+1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y O ĐỀ 1: Bài 1: 5 điểm Câu a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = x 3 +3x 2 +1 3 điểm TXĐ: D = R. −∞= −∞→ y x lim và +∞= +∞→ y x lim Ta có y’ = 3x 2 +6x y’= 03x 2 +6x = 0 x = 0 hoặc x = -2 y(0) = 1; y(-2) = 5 Bảng biến thiên: x - ∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 5 CT + ∞ - ∞ CĐ 1 Hàm số đồng biến trên (- ∞ ;-2) và (0; + ∞ ) Hàm số nghòch biến trên (-2;0) Hàm số đạt CĐ tại x = -2; y CĐ = 5, hàm số đạt CT tại x = 0; y CT = 1 y”= 6x+6. y”= 0 6x+6 = 0x = -1 Ta có y” đổi dấu khi x qua điểm x 0 = - 1 nên đồ thò hàm số nhận I(-1;3) làm điểm uốn. Một số điểm đồ thò đi qua: (-3;1); (1;5) Đồ thò: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1 Câu b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 2. 1 điểm Theo đề bài ta có x 0 = 2 ⇒ y 0 = 21; y’(2) = 24 Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 2: y = 24(x-2) + 21 y = 24x -27 0,5 0,5 Câu c) Tìm m để đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+5 tại 3 điểm phân biệt. 1 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và(d): x 3 +3x 2 +1= mx + 2m+5 (1) ⇔ x 3 +3x 2 - mx - 2m- 4 = 0 C I ⇔ (x+2) (x 2 +x –m-2) = 0 ⇔ =−−+ =+ 02 02 2 mxx x ⇔ =−−+ −= )2(02 2 2 mxx x Đặt f(x) = x 2 +x –m-2 Đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+5 tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -2. Điều này ⇔ ≠− >∆ 0)2( 0 f ⇔ ≠− >+ 0 094 m m ⇔ ≠ −> 0 4 9 m m . Vậy với ≠ −> 0 4 9 m m thì đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+5 tại 3 điểm phân biệt 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2: 2 điểm Câu a )1(log)(log 2 2 2 xxx −=− (1) 1 điểm Điều kiện ⇔ >− >− 01 0 2 x xx x < 0 (*) Vơi điều kiện (*) ta có (1) ⇔ x 2 - x = 1 - x ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1 Vậy tập nghiệm của (1) là: S = {-1} 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu b 25 x -2.5 x -15 > 0 (2) 1 điểm Ta có (2) ⇔ 5 2x - 2.5 x -15 > 0 Đặt t = 5 x đk t > 0 Ta có bpt trên trở thành: t 2 -2t-15>0 ⇔ t<-3 hoặc t > 5 So với đk ta lấy t >5 ⇔ 5 x > 5 ⇔ x > 1 Vậy tập nghiệm của (2) là: S = (1;+ ∞ ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: 3 điểm Câu a 2 điểm Gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón. S Ta có S xq = π rl = π a a . 2 2 = 2 2 2 a π (đvdt) S tp = S xq + S đáy = 2 2 2 a π + 2 2 a π = 2 )12( 2 + a π (đvdt) Xét tam giác SAO vuông tại O. Ta có h = SO = =− 22 OASA 2 2a A O B V k.n = π 3 1 r 2 h = 3 1 2 2 a π . 2 2a = 12 2 3 a π (đvtt). 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b 1 điểm Giả sử thiết diện là tam giác cân SBC tạo với đáy 1 góc 60 0 . Gọi I là trung điểm BC. Ta có OI ⊥ BC và SI ⊥ BC do đó góc giữa thiết diện với đáy là SIO = 60 0 Trong tam giác vuông SIO,ta có 3 6 60sin 0 aSO SI == ; OI= SO.cot60 0 = 6 6a Trong tam giác vuông BIO, ta có BI = 3 3 22 a OIOB =− Vậy diện tích thiết diện là: S SBC = SI.BI = 3 6a . 3 3a = 3 2 2 a (đvdt) 0,25 0,25 0,25 0,25 f(x)=x^3+3x^2+1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y O ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 NÂNG CAO NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ 2: Bài 1: 5 điểm Câu a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = x 3 +3x 2 +1 3 điểm TXĐ: D = R. −∞= −∞→ y x lim và +∞= +∞→ y x lim Ta có y’ = 3x 2 +6x y’= 03x 2 +6x = 0 x = 0 hoặc x = -2 y(0) = 1; y(-2) = 5 Bảng biến thiên: x - ∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 5 CT + ∞ - ∞ CĐ 1 Hàm số đồng biến trên (- ∞ ;-2) và (0; + ∞ ) Hàm số nghòch biến trên (-2;0) Hàm số đạt CĐ tại x = -2; y CĐ = 5, hàm số đạt CT tại x = 0; y CT = 1 y”= 6x+6. y”= 0 6x+6 = 0x = -1 Ta có y” đổi dấu khi x qua điểm x 0 = - 1 nên đồ thò hàm số nhận I(-1;3) làm điểm uốn. Một số điểm đồ thò đi qua: (-3;1); (1;5) Đồ thò: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1 Câu b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -3. 1 điểm Theo đề bài ta có x 0 = - 3 ⇒ y 0 = 1; y’(-3) = 9 Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -3: y = 9(x+3) + 1 y = 9x +28 0,5 0,5 Câu c) Tìm m để đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx - 2m+21 tại 3 điểm phân biệt. 1 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và(d): x 3 +3x 2 +1= mx - 2m+21 (1) C I ⇔ x 3 +3x 2 - mx + 2m- 20 = 0 ⇔ (x-2) (x 2 + 5x + 10 -m) = 0 ⇔ =−++ =− 0105 02 2 mxx x ⇔ =−++ = )2(0105 2 2 mxx x Đặt f(x) = x 2 +5x + 10 -m Đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx -2m+21 tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2. Điều này ⇔ ≠ >∆ 0)2( 0 f ⇔ ≠− >− 024 0154 m m ⇔ ≠ > 24 4 15 m m . Vậy với ≠ > 24 4 15 m m thì đồ thò (C) cắt đường thẳng (d): y = mx - 2m+ 21 tại 3 điểm phân biệt 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2: 2 điểm Câu a )1(log)(log 3 2 3 +=+ xxx (1) 1 điểm Điều kiện ⇔ >+ >+ 01 0 2 x xx x > 0 (*) Vơi điều kiện (*) ta có (1) ⇔ x 2 + x = x + 1 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1 Vậy tập nghiệm của (1) là: S = {1} 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu b 9 x +2.3 x -15 > 0 (2) 1 điểm Ta có (2) ⇔ 3 2x + 2.3 x -15 > 0 Đặt t = 3 x đk t > 0 Ta có bpt trên trở thành: t 2 +2t-15>0 ⇔ t<-5 hoặc t > 3 So với đk ta lấy t > 3 ⇔ 3 x > 3 ⇔ x > 1 Vậy tập nghiệm của (2) là: S = (1;+ ∞ ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: 3 điểm Câu a 2 điểm Gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón. S Xét tam giác SAO vuông tại O. Ta có l= SA = =+ 22 0 OAS a Ta có S xq = π rl = π . a a . 2 2 = 2 2 2 a π (đvdt) S tp = S xq + S đáy = 2 2 2 a π + 2 2 a π = 2 )12( 2 + a π (đvdt) A O B V k.n = π 3 1 r 2 h = 3 1 2 2 a π . 2 2a = 12 2 3 a π (đvtt). 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b 1 điểm Giả sử thiết diện là tam giác cân SBC tạo với đáy 1 góc 60 0 . Gọi I là trung điểm BC. Ta có OI ⊥ BC và SI ⊥ BC do đó góc giữa thiết diện với đáy là SIO = 60 0 Trong tam giác vuông SIO,ta có 3 6 60sin 0 aSO SI == ; OI= SO.cot60 0 = 6 6a Trong tam giác vuông BIO, ta có BI = 3 3 22 a OIOB =− Vậy diện tích thiết diện là: S SBC = SI.BI = 3 6a . 3 3a = 3 2 2 a (đvdt) 0,25 0,25 0,25 0,25 . Giả sử thi t diện là tam giác cân SBC tạo v i đáy 1 góc 60 0 . G i I là trung i m BC. Ta có OI ⊥ BC và SI ⊥ BC do đó góc giữa thi t diện v i đáy là SIO. 1 i m Giả sử thi t diện là tam giác cân SBC tạo v i đáy 1 góc 60 0 . G i I là trung i m BC. Ta có OI ⊥ BC và SI ⊥ BC do đó góc giữa thi t diện v i đáy