Một số vấn đề về đường tròn mixtilinear

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên, 10/2017 i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iii Mở đầu Chương Đường tròn Mixtilinear 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.2 Đường tròn Mixtilinear 1.2.1 Định nghĩa cách dựng 1.2.2 Một số tính chất đường tròn Mixtilinear 1.2.3 Ứng dụng đường tròn Mixtilinear 4 10 10 12 23 Chương Đường tròn Thebault 33 2.1 Định nghĩa cách dựng 33 2.2 Một số tính chất đường tròn Thebault 35 2.3 Ứng dụng đường tròn Thebault 41 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Danh mục ký hiệu (O) Đường tròn tâm O (O, a) Đường tròn tâm (O) bán kính a (O, AB) Đường tròn tâm (O) bán kính AB (ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ABCD) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD wa , wb , wc Đường tròn Mixtilinear ứng với góc A, B, C (ABCD) = −1 Tỉ số kép −1 I(ABCD) = −1 Chùm điều hòa V(O,k) Phép vị tự tâm O, tỉ số k PA/(O) Phương tích điểm A với đường tròn (O) rABC Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC SABC Diện tích tam giác ABC p(ABC) Nửa chu vi tam giác ABC iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 AP BQ tứ giác điều hòa Hai đường tròn (I, R) (I , R ) có O1 tâm vị tự ngoài, O2 tâm vị tự Các tâm vị tự A1 , A2 , A3 thẳng hàng Phương tích điểm P với đường tròn (O) P A · P B Tâm đẳng phương P đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) Định lý Menelaus Định lý Pascal Ba đường tròn Mixtilinear (OA ), (OB ), (OC ) tam giác ABC Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ hai Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ ba Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ tư I trung điểm Ab Ac XI qua điểm cung BAC Ab Ac , BC, XD, Ob Oc , Y Z đồng quy điểm AL song song với BC AEKF hình bình hành AF XE tứ giác điều hòa, (I1 ) (I2 ) tiếp xúc M N AI (XIN ) tiếp xúc với (O) AX, AP hai đường đẳng giác góc BAC XOb , XOc hai đường đẳng giác góc BXC Ba Ab Cb Bc Ac Ca lục giác ngoại tiếp đường tròn (I) RS tiếp tuyến wa U V tiếp tuyến chung (I) (Ia ) A4 D trục đẳng phương wb wc Z, Y, K, J thuộc đường tròn 6 8 10 11 11 12 12 13 13 14 15 15 16 18 19 19 20 21 21 22 24 iv 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 (QM N ) qua điểm J T E phân giác góc AT B E, I, F thẳng hàng K, T, I thẳng hàng, K, Q, R thẳng hàng, Ma Q vng góc BC IQ qua điểm X cố định P, I, D thẳng hàng M N P Q cắt (O) M, T, X thẳng hàng 25 25 26 27 28 29 30 31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 Đường tròn Thebault Cách dựng đường tròn Thebault I, E, F thẳng hàng I, O1 , O2 thẳng hàng (O1 ) tiếp xúc với (O2 ) Hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Đường tròn nội tiếp hai tam giác EDB EDC G, E, L, X thuộc đường tròn A J trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) (XY Z) tiếp xúc với (O) (XY Z) tiếp xúc với (O) ABCD hình vng M tâm ngoại tiếp tam giác BCN I trung điểm HE LK đường trung trực AI M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC 2EGF = DAB + DCB Đường tròn đường kính M N ln qua điểm J cố định R nằm đường tròn cố định Trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) SM T N cắt E thuộc (O) P I phân giác góc DP C O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy R nằm phân giác BAC M P BC 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 44 45 46 47 48 49 50 2.21 2.22 2.23 2.24 51 52 53 54 55 Mở đầu Các toán hình học phẳng nghiên cứu từ lâu đến ln có sức hấp dẫn, niềm đam mê nhiều nhà toán học giới, thu hút yêu thích thầy dạy tốn học sinh Chúng thường xun xuất tạp chí tốn học, blog toán học, đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic Trong kỳ thi học sinh giỏi, thường xuất tốn hình học có ứng dụng tính chất đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault (đường tròn Mixtilinear mở rộng) để giải Đường tròn Mixtilinear nội tiếp đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn Mixtilinear vấn đề hình học phẳng, bắt đầu nghiên cứu người Nhật Bản từ kỷ XVII, toán khắc đền cổ Từ định nghĩa đường tròn tạo nhiều điều thú vị ẩn chứa bên Đến năm 1983, Bankoff [7] người giới thiệu thuật ngữ đường tròn Mixtilinear thiết lập cơng thức để biểu diễn bán kính đường tròn Mixtilinear theo bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Từ đến có nhiều cơng trình nghiên cứu đường tròn Mixtilinear phát triển thêm thành đường tròn Mixtilinear ngoại tiếp, đường tròn Thebault Các tốn đường tròn đa dạng ln tốn nâng cao đòi hỏi tư logic, sáng tạo, kỹ chứng minh khéo léo kết hợp với kiến thức rộng khắp để áp dụng với kết khác hình học phẳng Nhắc đến đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault không nhắc đến định lý Thebault Đây định lý đẹp hình học phẳng Nguyên liệu chủ yếu chứng minh định lý Bổ đề Sawayama Vì vậy, chúng gộp chung thành tên gọi định lý Sawayama Thebault Định lý Sawayama Thebault coi bổ đề thơng dụng tốn Olympic khó, đơi việc dùng thơng dụng hiển nhiên tới mức khó nhận vai trò [3] Ở Việt Nam, tốn đường tròn Mixtilinear ứng dụng nhiều quan tâm, ý thầy cô, bạn học sinh yêu toán Chúng xuất rải rác tạp chí tốn học tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, tạp chí Epsilon, tạp chí Mathley Một số blog toán học tiếng blog thầy Trần Quang Hùng, Nguyễn Văn Linh dành nhiều chuyên đề đề tài Trong tài liệu ôn tập đề thi tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh, trường chun ln có tập liên quan đến đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault Với tầm quan trọng đường tròn Mixtilinear, đường tròn Thebault ứng dụng, mục đích tìm hiểu đường tròn Mixtilinear, chọn đề tài Một số vấn đề đường tròn Mixtilinear để nghiên cứu, trình bày làm luận văn cao học Luận văn tài liệu tổng hợp kiến thức liên quan đến đường tròn Mixtilinear định nghĩa, cách dựng, tính chất Luận văn tổng hợp toán ứng dụng liên quan nhằm cung cấp tài liệu tham khảo đầy đủ, trọn vẹn cho học thầy cô, em học sinh người u tốn Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Chương 1: Đường tròn Mixtilinear Chương trình bày số khái niệm, số định lý, kiến thức sở hình học phẳng mà chúng xuất chứng minh tính chất hay giải tốn liên đường tròn Mixtilinear Sau chúng tơi trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường tròn Mixtilinear số ứng dụng Chương 2: Đường tròn Thebault Chương trình bày khái niệm đường tròn Thebault, cách dựng, tính chất đường Thebault Dựa vào đó, chúng tơi trình bày số tốn khó mà thường xuất hình kì thi học sinh giỏi liên quan đến đường tròn Thebault Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS TS Trần Việt Cường, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết chân thành tới phòng Sau Đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Cuối xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hằng Chương Đường tròn Mixtilinear Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, số định lý, kết hình học phẳng mà chúng xuất chứng minh tính chất hay giải tốn liên đường tròn Mixtilinear Sau chúng tơi trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường tròn Mixtilinear số ứng dụng Các tài liệu tham khảo [4, 6, 10, 11] 1.1 Một số kiến thức liên quan Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Bốn điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa CA DA =− Ký hiệu (ABCD) = −1 CB DE Tính chất 1.1.2 ([1]) Bốn điểm gọi hàng điểm điều hòa hệ thức sau thỏa mãn: 1 = + (hệ thức Descarter) AB CA DA 2 IA = IC · ID (với I trung điểm AB) (hệ thức Newton) Gọi J trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin) Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Tứ giác ABCD nội tiếp thỏa mãn AB CB = AD CD gọi tứ giác điều hòa Ví dụ, cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường tròn M A M B tiếp tuyến vẽ từ M đến (O) Một cát tuyến qua M cắt (O) P Q Khi đó, AP BQ tứ giác điều hòa (Hình 1.1) 44 Hình 2.12: ABCD hình vng tiếp xúc với (ABCD) Áp dụng định lý Sawayama - Thebault suy Ia ∈ Ob Oc Do R(Oa ) = R(Ob ) = R(Oc ) = R(Od ) nên R(Ia ) = R(Ib ) = R(Ic ) = R(Id ) Từ hai tứ giác Ia Ib Ic Id ABCD có cạnh tương ứng song song Ta biết Ia Ib Ic Id hình chữ nhật, ABCD hình chữ nhật Mặt khác, áp dụng Tính chất 2.2.5 cho tam giác ABC hai đường tròn Thebault (Oa ) (Ob ) suy I tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc B với AC Mà I trung điểm AC nên tam giác ABC cân B Suy ABCD hình vng Bài tốn 2.3.5 (CGMO 2013) Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) tiếp xúc ngồi T Tức giác ABCD nội tiếp (O1 ) cho AD, BC tiếp xúc với (O2 ) E, F Phân giác ABF giao EF N, F T giao (O1 ) lần thứ hai M Chứng minh M tâm ngoại tiếp tam giác BCN Hình 2.13: M tâm ngoại tiếp tam giác BCN 45 Chứng minh Gọi B , C giao BT, CT với (O2 ) Do T tâm vị tự (O1 ) (O2 ) suy BC B C Từ F điểm cung B C Phép vị tự tâm T biến B → B, C → C, F → M nên M điểm cung BC Do (O2 ) đường tròn Thebault bàng tiếp tam giác ABC ứng với đường thẳng AD N giao phân giác ABC với EF nên theo Bổ đề Sawayama - Thebault, N tâm bàng tiếp góc B tam giác ABC Ta biết điểm cung BAC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy điều phải chứng minh Bài toán 2.3.6 ([3]) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H Đường tròn ω có tâm E tiếp xúc với đoạn thẳng HB, HC tiếp xúc với (O) Chứng minh trung điểm HE tâm đường tròn nội tiếp tam giác BHC Hình 2.14: I trung điểm HE Chứng minh Gọi D giao CH với (O) Suy D đối xứng với H qua AB Gọi F, G tiếp điểm ω với HB, HC; I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác BHC, BDC Theo Bổ đề Sawayama - Thebault suy J, F, G thẳng hàng Ta có BIJ = 180o − BIC = 90o − BHC = HF G = JF B o Suy tứ giác BJF I nội tiếp Ta có HF I = 180 − BF I = 180o − BJC = 1 90o − BDC = 90o − BHD = F HI Suy I trung điểm HE Ta có điều 2 phải chứng minh 46 Bài tốn 2.3.7 ([3]) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Một đường tròn ω tiếp xúc với cạnh AB, AC L, K tiếp xúc với (BOC) Chứng minh LK chia đơi AI với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hình 2.15: LK đường trung trực AI Chứng minh Gọi E giao điểm thứ hai AC với (BOC) Ta có BEA = 180o − BEC = 180o − BOC = 180o − BAC Do tam giác AEB cân E Suy OE trung trục đoạn thẳng AB OE giao CI điểm M cung AB Do ω đường tròn Thebault tam giác BEC ứng với đường thẳng BA M tâm đường tròn bàng tiếp góc C tam giác BEC nên M, L, K thẳng hàng Tương tự, gọi N điểm cung AC N.L, K thẳng hàng Do M N trung trực đoạn thẳng AI nên LK chia đơi AI Bài tốn 2.3.8 (Định lý Sawayama - Thebault mở rộng, [7]) Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc tia đối tia CB Đường tròn (K) tiếp xúc DA, DC M, N tiếp xúc (O) Chứng minh M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC Chứng minh Gọi phân giác đỉnh A cắt (O) E khác A AE cắt M N J (K) tiếp xúc (O) F Dễ thấy E, N, F thẳng hàng EB = EC = EN · EF 1 Ta lại có F M N = F KN = F OE = F BE = F AJ suy tứ giác AF M J 2 nội tiếp Suy EF J = 180o − N F J = 180o − EF M = 180o − JM A − M AJ = 47 Hình 2.16: M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC M JA Từ EF J ∼ EJN suy EJ = EN · EF = EC = EB Suy J tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC Ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.3.9 ([3]) Cho tứ giác ABCD Giả sử tia BA giao tia CD F , tia DA giao CB E Phân giác góc DF A, AEB cắt G Chứng minh 2EGF = DAB + DCB Chứng minh Xét tam giác ECD, ta có DEC + CDE + ECD = 180o Xét tam giác F BC, ta có CF B + F BC + BCF = 180o Từ DEC + CF B + F BC + CDE + 2BCD = 360o = DAB + BCD + ABC + CDA Hay AEB + DF A + BCD = DAB Mặt khác, ta có xGy + yCx + CxG + GyC = 360o (2.4) 48 Hình 2.17: 2EGF = DAB + DCB Mà 1 CxG = 180o − yCx − AEB, GyC = 180o − yCx − DF A, 2 nên AEB + DF A AEB + DF A = 360o − BCD − BCD + CxG + GyC = BCD + 360o − 2BCD − Suy xGy = 360o − (BCD + CxG + GyC) = 360o − 360o − BCD − AEB + DF A = BCD + AEB + DF A Hay 2xGy = 2BCD + AEB + DF A Thế (2.4) vào (2.5) ta 2xGy = DAB + BCD (2.5) 49 Bài toán 2.3.10 ([3]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC khơng chứa A (O) điểm D Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi (K) đường tròn nằm tam giác EBD, tiếp xúc với EB, ED tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi (L) tâm đường tròn nằm tam giác F CD, tiếp xúc với F C, F D tiếp xúc với đường tròn (O) a) Gọi M tiếp điểm (K) với BE N tiếp điểm (L) với CF Chứng minh đường tròn đường kính M N ln qua điểm cố định D di chuyển b) Đường thẳng qua M song song với CE cắt AC P , đường thẳng qua N song song với BF cắt AB Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P, AN Q tiếp xúc với đường tròn cố định D di chuyển Hình 2.18: Đường tròn đường kính M N ln qua điểm J cố định Chứng minh a) Gọi (K) tiếp xúc ED G (L) tiếp xúc F D H Theo Bài toán 2.3.8, M G, N H qua tâm bàng tiếp J ứng với đỉnh A Theo Bài tốn 2.3.9 góc tạo (EK, LF ) = (A + D) = 90o EK ⊥ LF Dễ thấy 50 M G ⊥ EK ⊥ LF ⊥ N H Suy ra, M G vng góc N H J nên đường tròn đường kính M N qua J cố định b) Dễ thấy tam giác EM G cân nên M J phân giác tam giác AM P nên J tâm bàng tiếp góc A tam giác AM P Giả sử đường tròn (R) tiếp xúc với CA, AB Y, Z tiếp xúc ngồi (O) tâm bàng tiếp J tam giác ABC trung điểm Y Z Do J tâm bàng tiếp AM P nên đường tròn (R) tiếp xúc AP, AM Y, Z tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P ln tiếp xúc (R) cố định Ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.3.11 ([3]) Cho tam giác ABC đường tròn (O) cố định qua B, C D điểm di chuyển (O) cho A, D khác phía BC Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi (K) đường tròn tiếp xúc EB, ED M, N tiếp xúc (O) Gọi (L) đường tròn tiếp xúc F C, F D P, Q tiếp xúc (O) Chứng minh giao điểm M N, P Q nằm đường tròn cố định D di chuyển Hình 2.19: R ln nằm đường tròn cố định Chứng minh Gọi AB, AC cắt (O) G, H khác B, C Áp dụng Bài toán 2.3.8 vào tam giác GBC, HBC, ta có M N qua tâm bàng tiếp S ứng với 51 đỉnh G tam giác BGC cố định P Q qua tâm bàng tiếp T ứng với đỉnh H tam giác HBC cố định Gọi M N cắt P Q R ý EK ⊥ M N, F L ⊥ P Q Theo Bài toán 2.3.9, ta có SRT = (EK, F L) = (BAC + CDB) (O) cố định nên CDB khơng đổi Từ R khơng đổi S, T cố định nên R thuộc đường tròn cố định qua S, T Bài toán 2.3.12 ([3]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC cắt BD E Đường tròn (K) tiếp xúc đoạn EA; ED tiếp xúc (O) Đường tròn (L) tiếp xúc đoạn EB; EC tiếp xúc (O) Chứng minh trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) Hình 2.20: Trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) Chứng minh Gọi (K) tiếp xúc AC, BD M, N (L) tiếp xúc AC, BD P, Q Theo Tính chất 2.2.1, M N qua tâm nội tiếp I tam giác DAB P Q qua tâm nội tiếp J tam giác CAB Gọi S, T trung điểm cung AB CD (O) Ta dễ chứng minh ST song song với phân giác AEB vng góc với phân giác BEC Dễ thấy tứ giác AIJB nội tiếp nên IJ cắt EA, EB tạo thành tam giác cân, suy IJ ⊥ ST Hơn DI, CJ qua S SI = SA = SB = SJ Từ tam giác SIJ cân ST ⊥ IJ nên ST chia đơi IJ Trong hình thang M N P Q có ST M N P Q ST chia đôi IJ nên ST đường trung bình nên ST qua trung điểm M P, N Q, ST trục đẳng phương (K) (L) Đó điều phải chứng minh 52 Bài toán 2.3.13 ([3]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I, J tâm nội tiếp tam giác BAD, CAD Gọi DI, AJ cắt (O) S, T khác D, A Đường thẳng IJ cắt AB, CD M, N a) Chứng minh SM T N cắt đường tròn (O) b) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt CD P khác N Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt AB Q khác M Chứng minh P Q qua tâm nội tiếp hai tam giác ABC DBC Hình 2.21: SM T N cắt E thuộc (O) Chứng minh a) Dễ thấy tam giác SAI T DJ cân có ASI = DT J nên hai tam giác đồng dạng Dễ thấy tứ giác AIJD nội tiếp nên M AI = IAD = DJN N DJ = JDA = AIM Từ hai tam giác M AI N JD đồng dạng Từ suy SM A T N J đồng dạng Vậy, ta có ASM = N T J Do SM T N cắt E đường tròn (O) b) Gọi AB cắt CD G GE cắt (O) F khác E Ta thấy GC · GD = GE · GF = GM · GQ Từ tứ giác M QEF nội tiếp nên QF E = AM E = M AS + M SA = M BS + AF E = SF A + ASE = EF S Từ S, Q, F thẳng hàng Tương tự, T, P, F thẳng hàng Từ chứng minh SM A T N J đồng dạng nên tam giác GM N cân suy GM = GN Lại có GM · GQ = GN · GP nên GP = GQ suy P Q M N ST Từ đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác F P Q tiếp xúc (O) Vậy theo định lý Poncelet, P Q cắt DB, AC U, V đường tròn ngoại tiếp tam giác F U V tiếp xúc (O) tiếp xúc 53 DB, AC Từ theo Bổ đề Sawayama P Q qua tâm nội tiếp hai tam giác ABC DBC Bài toán 2.3.14 ([3]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Hai đường chéo AC BD cắt E Đường tròn (K) tiếp xúc với đoạn EC, ED tiếp xúc (O) P Chứng minh phân giác CP D qua tâm nội tiếp tam giác ECD phân giác AP B qua tâm nội tiếp tam giác EAB Hình 2.22: P I phân giác góc DP C Chứng minh Gọi (K) tiếp xúc đoạn EC, ED M, N Gọi J, L tâm nội tiếp tam giác ACD BCD Theo Bổ đề Sawayama M N qua J, L Hơn tứ giác P CM L P DN J nội tiếp Gọi đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác cắt I khác P Ta có DIP = DN P = N M P = LCP Từ D, I, L thẳng hàng Tương tự, C, I, J thẳng hàng nên I tâm nội tiếp tam giác ECD Từ dễ có DP I = IN E = IM E = CP I nên P I phân giác CP D Xét tam giác EAB có đường tròn (O) qua A, B (K) tiếp xúc EA, EB tiếp xúc (O) P Theo phần vừa chứng minh phân giác AP B qua tâm nội tiếp tam giác EAB Bài toán 2.3.15 ([3]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm cạnh BC, AP cắt (O) Q khác A Gọi (O1 ) đường tròn tiếp xúc với (O) tiếp xúc với hai cạnh P A, P B (O2 ) đường tròn tiếp xúc 54 với (O) tiếp xúc P C, P A Gọi I1 , I2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác P BQ, P CQ Chứng minh O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy Hình 2.23: O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy Chứng minh Gọi (O1 ), (O2 ) tiếp xúc (O) T1 , T2 Theo chứng minh trước phân giác CT1 Q qua tâm I2 tâm nội tiếp tam giác P QC qua X2 điểm cung QC Tương tự, phân giác BT2 Q qua tâm I1 tâm nội tiếp tam giác P QB qua X1 điểm cung QB Từ áp dụng Pascal cho sáu điểm T1 , B, X1 ; C, T2 , X2 thu BC cắt T1 T2 S thuộc I1 I2 Mặt khác dễ thấy S thuộc I1 I2 , nên ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.3.16 ([3]) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (I) tiếp xúc với cung nhỏ AB tiếp xúc với đoạn AB Q Đường tròn (J) tiếp xúc với cung nhỏ AC tiếp xúc với đoạn AC N Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đoạn AQ, AN (I) (J) tiếp xúc (I), (J) M, P Chứng minh M N, P Q cắt phân giác BAC M P BC Chứng minh Gọi M P cắt (O) G, H AK đường cao tam giác AGH Gọi M N cắt P Q R Theo bổ đề Sawayama M N, P Q qua 55 Hình 2.24: R nằm phân giác BAC M P BC tâm nội tiếp tam giác AGH nên R tâm nội tiếp tam giác AGH Từ AR phân giác GAH phân giác OAK AO, AK đẳng giác GAH Từ AR phân giác BAC AO, AK đẳng giác BAC hay AK đường cao tam giác AB Từ R nằm phân giác BAC M P BC 56 Kết luận Trong luận văn trình bày vấn đề sau: • Trình bày lại khái niệm định lý sở hình học phẳng tứ giác điều hòa, phép vị tự, trục đẳng phương, định lý Poncelet, định lý Menelaus, định lý Pascal, định lý Thales • Trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường tròn Mixtilinear số tập ứng dụng liên quan thường xuất kì thi học sinh giỏi Các tính chất, tập làm chi tiết, vẽ hình đầy đủ • Trình bày khái niệm đường tròn Thebault, cách dựng, tính chất đường Thebault Ngồi ra, chúng tơi trình bày số tốn thường xuất kì thi học sinh giỏi liên quan đến đường tròn Thebault Các tính chất, tập làm chi tiết, vẽ hình đầy đủ 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2010), Hình học 10, NXB Giáo dục [2] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2016), Sách giáo khoa hình học 11 (Cơ bản) sách giáo viên hình học 11 (Cơ bản), NXB Giáo dục Việt Nam [3] Trần Quang Hùng, Dương Ánh Ngọc (2016), "Định lý Sawayama Thebault toán hình học thi Olympic", Tạp chí Epsilon, Vol 9, pp 93–116 [4] Nguyễn Văn Linh, Đường tròn Mixtilinear, Euclidean Geometry Blog, URL http://nguyenvanlinh.wordpress.com [5] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2010), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục [6] https://toanhocsocap.blogspot.com/2017/01/mot-so-bai-toan-ve -uong-tron-mixtilinear.html Tiếng Anh [7] L Bankoff (1983), "A Mixtilinear Adventure", Crux Mathematicorum with Mathematical, Vol 9, No 1, pp 2–7 [8] Fukagawa, Hidetoshi, and DanPedoe (1989), Japanese temple geometry problems, Winnipeg: CharlesBab-bage Research Centre [9] Jean Louis Ayme, A new Mixtilinear incircle adventure I, URL http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Mixtilinear1.pdf 58 [10] Khoa Lu Nguyen and Juan Carlos Salazar (2006), "On Mixtilinear Incircles and Excircles", Forum Geometricorum Vol 6, pp 1–16, URL http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200601.pdf [11] Cosmin Pohoata (2009), "Geometric Construction of Mixtilinear Incircles", Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, Vol 35, Issue 2, pp 103–107 [12] P Yiu (1999), "Mixtilinear Incircles", Amer Math Monthly, Vol 106, No 10, pp 952–955 ... đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault Với tầm quan trọng đường tròn Mixtilinear, đường tròn Thebault ứng dụng, mục đích tìm hiểu đường tròn Mixtilinear, chọn đề tài Một số vấn đề đường tròn. .. Chương Đường tròn Mixtilinear 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.2 Đường tròn Mixtilinear 1.2.1 Định nghĩa cách dựng 1.2.2 Một số tính chất đường tròn Mixtilinear. .. đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường tròn Mixtilinear ứng với góc A 1.2.2 Một số tính chất đường tròn Mixtilinear Tiếp theo, chúng tơi xin trình bày số tính chất liên quan đến đường tròn