Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
LÝ THUYẾT TRƯỜNG TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 NỘI DUNG THÔNG LƯỢNG, ĐỘ PHÂN KỲ CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 NỘI DUNG THÔNG LƯỢNG, ĐỘ PHÂN KỲ CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ HOÀN LƯU VÀ VÉC TƠ XOÁY CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 NỘI DUNG THÔNG LƯỢNG, ĐỘ PHÂN KỲ CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ HOÀN LƯU VÀ VÉC TƠ XOÁY CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ MỘT VÀI LOẠI TRƯỜNG ĐẶC BIỆT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 NỘI DUNG THÔNG LƯỢNG, ĐỘ PHÂN KỲ CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ HỒN LƯU VÀ VÉC TƠ XỐY CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ MỘT VÀI LOẠI TRƯỜNG ĐẶC BIỆT TRƯỜNG ĐIỀU HỊA, PHƯƠNG TRÌNH L APLACE, HÀM ĐIỀU HỊA TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 Thông lượng, độ phân kỳ trường véc tơ Trường véc tơ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Trường véc tơ miền Ω hàm véc tơ → − → − F (x, y, z) xác định Ω Trường véc tơ F viết dạng → − → − → − → − F (x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 Thông lượng, độ phân kỳ trường véc tơ Trường véc tơ ĐỊNH NGHĨA 1.2 → − Trường F gọi liên tục Ω → − hàm P, Q, R liên tục Ω Trường F gọi khả vi Ω hàm P, Q, R khả vi Ω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 Thông lượng, độ phân kỳ trường véc tơ Thông lượng trường véc tơ qua mặt cong → − Xét toán sau: Cho F trường tốc độ dòng chất lỏng Tính lượng chất lỏng chảy qua mặt S đơn vị thời gian Thông lượng trường tốc độ dòng chất lỏng qua mặt S tính theo cơng thức (P cos α + Q cos β + R cos γ)dS W= S → − → − → − → − → → − − F n dS với F = P i + Q j + R k , = S → − → − → − → − n = cos α i + cos β j + cos γ k TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 Thông lượng, độ phân kỳ trường véc tơ Dạng véc tơ công thức Gauss-Ostrogratski ĐỊNH NGHĨA 1.3 → − → − → − → − Với F = P i + Q j + R k , đại lượng → − ∂P ∂Q ∂R div F = + + gọi divergence ∂x ∂y ∂z → − (độ phân kỳ) trường F Cơng thức Gauss-Ostrogratski có dạng véc tơ sau: → − → − F n dS = → − div F dΩ Ω S với S mặt cong kín TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 Thông lượng, độ phân kỳ trường véc tơ Ý nghĩa vật lý độ phân kỳ, điểm nguồn, điểm rò − Với mặt cong kín S pháp véc tơ → n hướng ngồi thông lượng hiệu lượng chất lỏng từ với lượng chất lỏng từ ngồi vào Nếu thơng lượng W > có nghĩa lượng chất lỏng từ nhiều từ ngồi vào, điều chứng tỏ miền Ω (do S bao bọc) có điểm nguồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 / 26 Hoàn lưu véc tơ xoáy trường véc tơ Dạng véc tơ cơng thức Stokes Cơng thức Stokes có dạng véc tơ sau: → − → − Fdr = → − → − curl F n ds S Ý nghĩa vật lý véc tơ xốy: Hồn lưu đặc trưng cho tính xốy trường dọc theo tồn chu tuyến kín véc tơ xốy → − curl F (M) đặc trưng cho tính xốy điểm M TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 12 / 26 Hoàn lưu véc tơ xoáy trường véc tơ Toán tử Hamilton Toán tử Hamilton hàm f (x, y, z) xác định sau: ∇f = − ∂f → − ∂f → − ∂f → i + j + k ∂x ∂y ∂z Tích vơ hướng ∇ với véc tơ → − → − → − → − F = P i + Q j + R k → − ∂P ∂Q ∂R → − ∇F = + + = div F ∂x ∂y ∂z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 13 / 26 Hoàn lưu véc tơ xoáy trường véc tơ Toán tử Hamilton Tích có hướng ∇ với véc tơ → − → − → − → − F = P i + Q j + R k − → − → − → i j k → − → − ∂ ∂ ∂ = curl F ∇ × F = ∂x ∂y ∂z P Q R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 14 / 26 Hồn lưu véc tơ xốy trường véc tơ Tốn tử Hamilton TÍNH CHẤT ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g → − → − → − → − ∇(α F + β G ) = α∇ F + β∇ G → − → − → − → − ∇ × (α F + β G ) = α∇ × F + β∇ × G ∇(fg) = f ∇g + g∇f → − → − → − ∇(f F ) = f ∇ F + F ∇f → − → − → − ∇ × (f F ) = f ∇ × F + ∇f × F → − → − → − → − → − → − ∇(F1 × F2 ) = F2 ∇ × F1 − F1 ∇f × F2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 15 / 26 Một vài loại trường đặc biệt Trường ĐỊNH NGHĨA 3.1 → − Trường véc tơ F (M) gọi trường miền Ω tồn trường vơ hướng f (M) cho Ω ta có → − F (M) = grad f (M) Hàm f (M) gọi hàm trường → − véc tơ F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 16 / 26 Một vài loại trường đặc biệt Trường ĐỊNH LÝ 3.1 Cho trường véc tơ → − → − → − → − F (M) = P(M) i + Q(M) j + R(M) k với P(M), Q(M), R(M) liên tục miền đơn liên → − Ω Khi trường véc tơ F trường → − hoàn lưu trường F theo chu tuyến kín γ trơn khúc Ω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 17 / 26 Một vài loại trường đặc biệt Trường ĐỊNH LÝ 3.2 → − Trường véc tơ F (M) trường miền đơn liên Ω khơng xốy, tức → − curl F (M) = 0, ∀M ∈ Ω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 18 / 26 Một vài loại trường đặc biệt Trường ống ĐỊNH NGHĨA 3.2 → − Trường véc tơ F (M) gọi trường ống miền Ω div F(M) = 0, ∀M ∈ Ω Vậy trường ống khơng có điểm nguồn khơng có điểm rò TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 19 / 26 Một vài loại trường đặc biệt Trường ống Trong miền đơn liên Ω, thơng lượng trường ống qua mặt kín S → − → − F n dS = Ω S → − div F dΩ = → − Cho trường ống F miền đơn liên Ω, γ đường cong khép kín Ω Khi → − thơng lượng trường F qua mặt S có biên γ khơng phụ thuộc vào mặt S mà phụ thuộc vào biên γ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 20 / 26 Một vài loại trường đặc biệt Trường ống ĐỊNH NGHĨA 3.3 → − Đường dòng trường véc tơ F đường → − γ mà véc tơ F điểm γ véc tơ tiếp tuyến γ điểm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 21 / 26 Trường điều hòa, phương trình Laplace, hàm điều hòa Trường điều hòa ĐỊNH NGHĨA 4.1 → − Trường F gọi trường điều hòa vừa trường vừa trường ống → − Vì F trường điều hòa nên trường → − → − thế, F = grad f Ngoài F trường ống nên → − = div F = div grad f = ∇.∇f = ∂2 f ∂2 f ∂2 f + + ∂x2 ∂y ∂z2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 22 / 26 Trường điều hòa, phương trình Laplace, hàm điều hòa Trường điều hòa ĐỊNH NGHĨA 4.2 Hàm số f gọi hàm điều hòa Ω 2 ∂f ∂f ∂f + + = ∂x2 ∂y ∂z2 Phương trình gọi phương trình Laplace TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 23 / 26 Trường điều hòa, phương trình Laplace, hàm điều hòa Các cơng thức Green Cho f , ϕ hàm vô hướng Xét trường → − véc tơ F = f grad ϕ = f ∇ϕ Ta có → − div F = ∇(f grad ϕ) = ∇f ∇ϕ + f ∇2 ϕ Theo công thức tính đạo hàm theo hướng ta có ∂ϕ → − → − → − F n = f grad ϕ n = f → − ∂n Công thức Green thứ Cho S mặt cong kín, ta có ∂ϕ f → − dS = S ∂n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Ω (∇f ∇ϕ + f ∇2 ϕ)dΩ LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 24 / 26 Trường điều hòa, phương trình Laplace, hàm điều hòa Các cơng thức Green Đổi vị trí f , ϕ ta có ∂f ϕ → − dS = S ∂n Ω (∇f ∇ϕ + ϕ∇2 f )dΩ Công thức Green thứ hai S ∂f ∂ϕ f → − −ϕ → − dS = ∂n ∂n (f ∇2 ϕ − ϕ∇2 f )dΩ Ω Cho f = ϕ ta công thức Green thứ ba ∂f f → − dS = S ∂n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Ω ((∇f )2 + f ∇2 f )dΩ LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 25 / 26 Trường điều hòa, phương trình Laplace, hàm điều hòa Các cơng thức Green CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) LÝ THUYẾT TRƯỜNG TP HCM — 2016 26 / 26