DE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁN

DE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁN.DE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁNDE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁNDE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁNDE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁN

PSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a ( a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = Chứng minh x + y + y + x = Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x 2) Giải hệ phương trình   x − y − = x + y + − x + y − Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + x − y − y + 20 = 2) Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 = + AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12 Chứng minh bất đẳng thức 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Câu Ý I ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Nội dung Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a ( a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 a − b = 29 + 12 − = (3 + ) − = 3+ −2 = = 3( a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 0,25 = 4( a − 2ab + b ) + 2015 = 4( a − b) + 2015 = 2051 0,25 1,00 Chứng minh x + y + y + x = 2 xy + (1 + x )(1 + y ) = ⇔ (1 + x )(1 + y ) = − xy 0,25 ⇒ (1 + x )(1 + y ) = (1 − xy ) ⇔ + x + y + x y = − xy + x y 0,25 ⇔ x + y + xy = ⇔ ( x + y ) = ⇔ y = − x 0,25 ⇒ x + y + y + x2 = x + x2 − x + x2 = 0,25 2 Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + Pt ⇔ x + + ( x + 2)(4 x + 1) = x + + x + ĐK: x ≥ − ⇒ t = x + ( x + 2)(4 x + 1) + ⇔ x + ( x + 2)(4 x + 1) = PTTT t − 4t + = ⇔ t = t = 0,25 t2 − 0,25 TH1 t = giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t ≥ bị loại TH t = ⇒ x + + x + = Giải pt tìm x = − Vậy pt có nghiệm x = − 1,00 Đặt t = x + + x + 1, t ≥ (hoặc t ≥ ) II 0,25 0,25 Cho x, y hai số dương thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = II 1,00 A = a3 − b3 + a + b − 11ab + 2015 = ( a − b)( a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 I Điểm 0,25 (TM) 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x Giải hệ pt   x − y − = x + y + − x + y − 0,25 1,00 ĐK: y − x + ≥ 0, x + y + ≥ 0, x + y − ≥ 0, x ≤  y − 2x + =  x = 0 = TH  ⇔ ⇒ (Không TM hệ) 3 − x =  y = −1 = 10 − TH x ≠ 1, y ≠ Đưa pt thứ dạng tích ta x+ y−2 ( x + y − 2)(2 x − y − 1) = y − x + + − 3x   ( x + y − 2)  + y − x + 1 = Do y − x + ≥  y − x + + − x  nên + y − 2x + > ⇒ x + y − = y − x + + − 3x 0,25 0,25 Thay y = − x vào pt thứ ta x + x − = x + − − x ⇔ x2 + x − = 3x + − + − − x 0,25 3x + 2+ x ⇔ ( x + 2)( x − 1) = + 3x + + + − x   ⇔ ( x + 2)  + + − x =  3x + + + − x  Do x ≤ nên + +1− x > 3x + + + − x Vậy x + = ⇔ x = −2 ⇒ y = (TMĐK) III 0,25 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + x − y − y + 20 = (1) Ta có (1) ⇔ x + x + 20 = y + y Ta thấy x + x < x + x + 20 ≤ x + x + 20 + 8x ⇔ x ( x + 1) < y ( y + 1) ≤ ( x + )( x + ) 1,00 0,25 Vì x, y ∈ » nên ta xét trường hợp sau + TH1 y ( y + 1) = ( x + 1)( x + ) ⇔ x + x + 20 = x + 3x + ⇔ 2x = 18 ⇔ x = ⇔ x = ±3 Với x = , ta có y + y = 92 + + 20 ⇔ y + y − 110 = ⇔ y = 10 ; y = −11 (t.m) 0,25 + TH2 y ( y + 1) = ( x + )( x + 3) ⇔ x + x + 20 = x + 5x + ⇔ 4x = 14 ⇔ x = (loại) + TH3 y ( y + 1) = ( x + 3)( x + ) ⇔ 6x = ⇔ x = + TH4 y ( y + 1) = ( x + )( x + ) 0,25 (loại) ⇔ 8x = ⇔ x = ⇔ x = Với x = , ta có y + y = 20 ⇔ y + y − 20 = ⇔ y = −5 ; y = Vậy PT cho có nghiệm nguyên ( x ; y ) : ( ; 10 ) , ( ; − 11) , ( −3 ; 10 ) , ( −3 ; − 11) , ( ; − 5) , ( ; ) 0,25 III Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Đặt M = k − 8k + 23k − 26k + 10 Ta có M = ( k − 2k + 1) − 8k ( k − 2k + 1) + 9k − 18k + 0,25 = ( k − 1) − 8k ( k − 1) + ( k − 1) = ( k − 1) ( k − 3) + 1   2 1,00 2 2 M số phương ( k − 1) = ( k − 3) + số phương TH ( k − 1) = ⇔ k = 2 0,25 TH ( k − 3) + số phương, đặt ( k − 3) + = m ( m ∈ » ) 2 ⇔ m − ( k − 3) = ⇔ (m − k + 3)(m + k − 3) = 0,25 Vì m, k ∈ » ⇒ m − k + ∈ », m + k − ∈ » nên m − k + =  m − k + = −1  m = 1, k =  ⇔ ⇒k =3  m + k − =  m + k − = −1  m = −1, k = Vậy k = k = k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương IV 0,25 Chứng minh IA tia phân giác góc MIN 1,00 M E H P O I B A C K N Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 900 ⇒ điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO ⇒ AIN = AMN , AIM = ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN ⇒ ∆AMN cân A ⇒ AMN = ANM Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 0,25 0,25 ⇒ AIN = AIM ⇒ đpcm IV 0,25 0,25 1 = + AK AB AC 1 = + ⇔ AB AC = AK ( AB + AC ) ⇔ AB AC = AK AI AK AB AC 1,00 0,25 (Do AB + AC = AI ) ∆ABN đồng dạng với ∆ANC ⇒ AB AC = AN ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ⇒ AK AI = AH AO Tam giác ∆AMO vuông M có đường cao MH ⇒ AH AO = AM 0,25 ⇒ AK AI = AM Do AN = AM ⇒ AB AC = AK AI 0,25 0,25 Đường thẳng qua M, vng góc với ON cắt (O) điểm thứ hai P IV Xác định vị trí điểm A để AMPN hình bình hành Ta có AN ⊥ NO, MP ⊥ NO, M ∉ AN ⇒ AN / / MP Do AMPN hình bình hành ⇔ AN = MP = x AN NO x2 = ⇒ NE = Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM ⇒ NE EM R 2x TH NE = NO − OE ⇒ = R − R2 − x2 ⇔ 2x2 = R2 − R R2 − x2 R Đặt 1,00 0,25 R2 − x2 = t, t ≥ ⇒ x2 = R2 − t  2t = − R PTTT 2( R − t ) = R − Rt ⇔ 2t − Rt − R = ⇔  t = R 2 2 0,25 Do t ≥ ⇒ t = R ⇔ R − x = R ⇔ x = ⇒ A ≡ B (Loại) TH NE = NO + OE ⇒ Đặt 2x2 = R + R2 − x2 ⇔ x2 = R2 + R R2 − x2 R R2 − x2 = t, t ≥ ⇒ x2 = R2 − t  2t = R PTTT 2( R − t ) = R + Rt ⇔ 2t + Rt − R = ⇔  t = − R Do t ≥ ⇒ 2t = R ⇔ R − x = R ⇔ x = R ⇒ AO = R Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh V Chứng minh bất đẳng thức ( Ta có 12 ≥ (a + b)3 + 4ab ≥ ab ) 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b 0,25 0,25 1,00 + 4ab Đặt t = ab , t > 12 ≥ 8t + 4t ⇔ 2t + t − ≤ ⇔ (t − 1)(2t + 3t + 3) ≤ Do 2t + 3t + > 0, ∀t nên t − ≤ ⇔ t ≤ Vậy < ab ≤ 1 Chứng minh + ≤ , ∀a, b > thỏa mãn ab ≤ 1 + a + b + ab 0,25 1 1 Thật vậy, BĐT − + − ≤0 + a + ab + b + ab 0,25  b − a  a ab − a ab − b b  + ≤0⇔ −  ≤0 + + a b + (1 + a )(1 + ab ) (1 + b)(1 + ab ) ab    ( ⇔ b− a )( ab − 1) (1 + ab )(1 + a )(1 + b) Tiếp theo ta CM ≤ Do < ab ≤ nên BĐT + ab + 2015ab ≤ 2016, ∀a, b > thỏa mãn ab ≤ Đặt t = ab ,0 < t ≤ ta + 2015t ≤ 2016 1+ t 0,25 2015t + 2015t − 2016t − 2014 ≤ ⇔ (t − 1)(2015t + 4030t + 2014) ≤ BĐT ∀t : < t ≤ V ậy 1 + + 2015ab ≤ 2016 Đẳng thức xảy a = b = 1+ a 1+ b 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ DỰ BỊ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình x3 + 2015 x − 2016 = Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A = x13 + x23 + x33 2) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a + b = c + d ab + = cd Hãy so sánh c d Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + = x − x + 2 y + xy = 2) Giải hệ phương trình   x y − y = Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y , z thỏa mãn x+2 = y+ z 2) Cho x, y hai số thực thoả mãn y = 3( xy + y − x − x ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E D BD CE cắt H , AH cắt BC M Từ A kẻ tiếp tuyến AP, AQ với (O) (P,Q tiếp điểm) 1) Chứng minh bốn điểm A ,P, M, Q thuộc đường tròn 2) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng 3) OH cắt DE I Chứng minh ID HD = IE HE Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương Tìm giá trị lớn biểu thức P= a b c + + b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Câu Ý I ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang) Nội dung Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình x3 + 2015 x − 2016 = Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A = x13 + x23 + x33 x = pt ⇔ ( x − 1)( x + 2016 x + 2016) = ⇔   x + 2016 x + 2016 = Giả sử x3 = ⇒ x1 , x2 nghiệm pt (1)  x + x = −2016 Theo Viets   x1 x2 = 2016 A = x13 + x23 + = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) + A = ( −2016) − 3.2016( −2016) + = −2013.2016 + Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a + b = c + d ab + = cd Hãy so sánh c d a + b = c + d => a =c+d-b thay vào ab+1=cd có (c+d-b)b + = cd bc+bd-b2-cd=-1 (bc-b2)+(bd-cd)=-1 b(c-b)-d(b-c)=-1 (c-b)(b-d)=-1 I (1)  c − b =  b − d = −1 Vì c, b, d số nguyên nên   c − b = −1   b − d = Giải phương trình x + = x3 − x + 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 ⇔c=d II Điểm 0,25 1,00 Pt ⇔ x + = ( x + 1)( x − x + 3) Do x − x + > 0, ∀x nên điều kiện x + ≥ ⇔ x ≥ −1 Pt ⇔ x − 3x + + 3( x + 1) = ( x + 1)( x − 3x + 3) Chia hai vế cho x − x + ta ⇔ + Đặt t = t =1⇒ x +1 x +1 =4 x − 3x + x − 3x + t = x +1 , t ≥ ta ⇔ 3t − 4t + = ⇔  t = x − 3x +  x +1 = ⇔ x + = x2 − 3x + ⇔ x2 − x + = x − 3x + 0,25 0,25 0,25 t= II x +1 ⇒ = ⇔ x + = x − x + ⇔ x − 12 x − = x − 3x + 2 y + xy = Giải hệ phương trình   x y − y = Đặt 1,00 =z y 2 + 3x = z Hệ phương trình cho trở thành  2 + 3z = x ⇒ 3( x − z ) = z − x3 ( 0,25 ) ⇔ ( x − z ) x + xz + z + = 0,25 ⇔x=z 0,25 (vì x + xz + z + > 0, ∀x, z )  x = −1 x = Ta có: x3 − x − = ⇔  Vậy phương trình cho có hai nghiệm: ( x, y ) = (−1; −2), ( 2,1) III 0,25 Tìm số nguyên x, y , z thỏa mãn Ta có x+2 = y+ z 0,25 1,00 x + = y + z ⇔ x + = y + z + yz ⇔ ( x − y − z ) + = yz ⇒ ( x − y − z ) + ( x − y − z ) + 12 = 4yz (1) TH1 Nếu x − y − z ≠ 0,25 4yz − ( x − y − z ) − 12 Ta có = (2) vô lý 4(x − y − z) ( x, y, z ∈ N nên vế phải (2) số hữu tỷ ) x − y − z = TH2 x − y − z = (1) ⇔  (3)  yz = x = x =   Giải (3) ta  y =  y = thỏa mãn BT z = z =   Cho x, y hai số thoả mãn y = 3( xy + y − x − x ) Tìm giá trị lớn III 0,25 0,25 0,25 giá trị nhỏ x 1,00 phương trình bậc hai ẩn y x tham số) + ∆ = −3 ( x + 1)( x − 3) + Để phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ Giải −1 ≤ x ≤ + Với x = −1 tìm y = 0,25 Biến đổi y = ( xy + y − x − x ) ⇔ y − ( x + 1) y + ( x + x ) = (1) (coi 0,25 0,25 IV + Với x = tìm y = Khẳng định được: - Giá trị nhỏ x -1 đạt y = - Giá trị lớn x đạt y = Chứng minh bốn điểm A ,P, M, Q thuộc đường tròn 0,25 1,00 A A D I E N E D H H K Q P B B M O O C C G Ta có AMO + AQO = 1800 ⇒ tứ giác AMOQ nội tiếp (1) APO = AHO = 900 ⇒ tứ giác APMO nội tiếp (2) Từ (1) ,(2) suy điểm A,P,M,O,Q thuộc đường tròn Vậy điểm A,P,M,Q thuộc đường tròn IV Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng AQ tiếp tuyến ,AEC cát tuyến ⇒ AQ = AE.AC (1) ∆AEH ∼ ∆AMC ⇒ AE.AC = AH.AM (2) AQ AM Từ (1),(2) ⇒ AQ = AH.AM ⇒ = AH AQ Lại có HAQ = QAM ⇒ ∆AQH ∼ AMQ (c.g.c) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 ⇒ AHQ = AQM Tương tự AHP = APQ Do AHP + AHQ = APM + AQM = 1800 (tứ giác APMQ nội tiếp ) Vậy điểm P,H,Q thẳng hàng IV OH cắt DE I Chứng minh ID HD = IE HE Qua O kẻ đường thẳng song song với ED cắt BD G cắt CE K Trên CH lấy điểm N cho OK = ON ID OK ED / /KG ⇒ = (1) IE OG 0,25 1,00 0,25 Ta có OGB = HKE (so le ) HDE = OCK ⇒ OCK = OGB Mà BOG = KOC ⇒ ∆OBG ∼ ∆OKC OG OB OB.OC ⇒ = ⇒ OK = (2) OC OK OG ID OB.OC OC Từ (1) ,(2) ⇒ = = (3) IE OK OK HED = OKN = ONK, HDE = HCN ⇒ ∆HDE ∼ ∆OCN HD OC OC ⇒ = = (4) HE ON OK ID HD Từ (3), (4) ⇒ = (đpcm) IE HE Cho a, b, c số dương V 0,25 0,25 0,25 Tìm giá trị lớn biểu thức a b c + + b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c * Ta chứng minh với hai số dương x, y ta ln có P= 1 1 ≤ ( + ) (*) Dấu xảy x = y x+ y x y 1,00 0,25 * Áp dụng đẳng thức Côsi : Ta có a 1 a a a ≤ ( + )⇒ ≤ + b + c + 2a b + c + 2a b + c + 2a b + c + a 0,25 Ấp dụng bất đẳng thức (*) 1 1 = ≤ ( + ) b + c + a ( a + b) + ( a + c ) a + b a + c ⇒ a a a a a a ≤ ( + )⇒ ≤ ( + + 1) b + c + 2a a + b a + c b + c + 2a a + b a + c Tương tự: 0,25 b 1 b b c 1 c c   ≤  + + 1 ; ≤  + + 1 c + a + 2b  b + c a + b  a + b + 2c  b + c c + a  1 a a b b c c  M≤  + + + + + + 3 = 4 a+b a+c a+b b+c a+c b+c  Giá trị lớn M a = b = c 0,25 ... + 2015ab ≤ 2016, ∀a, b > thỏa mãn ab ≤ Đặt t = ab ,0 < t ≤ ta + 2015t ≤ 2016 1+ t 0,25 2015t + 2015t − 2016t − 2014 ≤ ⇔ (t − 1)(2015t + 4030t + 2014) ≤ BĐT ∀t : < t ≤ V ậy 1 + + 2015ab ≤ 2016. .. I ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang) Nội dung Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình x3 + 2015 x − 2016. .. HẢI DƯƠNG ĐỀ DỰ BỊ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu