BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮNG CÂU TÍCH PHÂN “LẠ”

BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮNG CÂU TÍCH PHÂN “LẠ” Trong các đề của Bộ GDĐT công bố (minh họa, thử nghiệm, tham khảo) có nhiều câu tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là biểu thức cụ thể. Với những câu tích phân này có nhiều bạn thấy “lạ”. Chúng ta sẽ cùng nhau biến “lạ” thành quen trong bài viết này. Cơ sở cho cách xử lí những tích phân này là: Phép biến đổi tích phân Công thức tính tích phân từng phần. Thủ thuậ t bác bỏ nhanh 1. Phép biến đổi tích phân Khi câu tích phân xuất hiện những biểu thức     ; f x f t x  ở giả thiết là dấu hiệu nhắc chúng ta đổi biến. Thí dụ 1. Câu 44. Cho hàm số   fx liên tục trên và thỏa mãn     2 2cos2x, . f x f x x       Tính   3 2 3 2 .I f x dx      A. 6. I  B. 0. I  C. 2. I  D. 6. I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiện   fx  nhắc chúng ta đổi biến tx  . Giải Đổi biến tx  , ta có:          3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 .I f x dx f t dt f t dt f x dx J                          Ta có:           3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 00 22 3 22 0 2 () 2 2cos2x 4 cos 4 cos cos 4 sin sin 12. I J f x dx f x dx f x f x dx dx x dx xdx xdx xx                                                Do đó: 6 I  nên chọn phương án D. Chú ý: Thực ra chỉ cần đến () là thấy hàm dưới dấu tích phân chỉ nhận giá tri ̣ dương và chỉ triệ t tiêu tạ i một số điểm với 33 ; 22 x      nên 0. I  Do đó chọn ngay phương án D mà không cần tính tích phân cụ thể như trên. Thí dụ 2. Câu 25. Cho   4 0 16.f x dx  Tính   2 0 2. I f x dx  A. 32. I  B. 8. I  C. 16. I  D. 4. I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiện của   2 fx nhắc chúng ta đổi biến 2. tx  Giải Đổi biến 2, tx  ta có:           2 4 4 4 4 0 0 0 0 0 1 1 1 2 8. 2 2 2 2 t I f x dx f t d f t dt f t dt f x dx               Do đó chọn phương án B. Thí dụ 3. Câu 46. Biết hàm số 2 y f x     là hàm số chẵn trên ; 22      và   sin cos . 2 f x f x x x         Tính   2 0 .I f x dx  A. 0. B.1. C. 1 . 2 D. 1.  (Đề thi thử của BigSchool – Mã 001) Phân tích: Mộ t số bạn thấy xuất hiện 2 fx      nên đã đổi biến 2 tx   và bế tắc. Cái “bẫy” ở đây chính là điều này. Để ý giả thiết 2 y f x      là hàm số chẵn nên 22 f x f x                  với ; 22 x      và ta đổi bi

BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮ NG CÂU TÍ CH PHÂN “LẠ” Trong các đề của Bô ̣ GD-ĐT công bố (minh ho ̣a, thử nghiê ̣m, tham khảo) có nhiề u câu tích phân mà hàm dưới dấ u tích phân không phải là biể u thức cu ̣ thể Với những câu tích phân này có nhiề u ba ̣n thấ y “la ̣” Chúng ta sẽ cùng biế n “la ̣” thành quen bài viế t này Cơ sở cho cách xử lí những tić h phân này là: - Phép biế n đổ i tích phân - Công thức tin ́ h tích phân từng phầ n - Thủ thuâ ̣t bác bỏ nhanh Phép biế n đổ i tích phân Khi câu tích phân xuấ t hiêṇ những biể u thức f  x  ; f t  x  ở giả thiế t là dấ u hiêụ nhắ c chúng ta đổ i biế n Thí du ̣ Câu 44 Cho hàm số f  x  liên tu ̣c và thỏa mañ f  x   f   x    2cos x, x  Tính I  3  f  x  dx 3  A I  6 C I  2 B I  D I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố ) Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n f   x  nhắ c chúng ta đổ i biế n t   x Giải Đổ i biế n t   x , ta có: I 3  3 3 3  f  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f   x  dx  J  3 3  3  3 Ta có: 3 3  f  x  dx   f   x  dx   IJ    3 3 3   3  3  3  f  x   f   x   dx (*) 3  2     2cos x dx   cos x dx    cos x dx   cos x dx   0    3 3     sin x   sin x  2   12   Do đó: I  nên cho ̣n phương án D Chú ý: Thực chỉ cầ n đế n (*) là thấ y hàm dưới dấ u tích phân chỉ nhâ ̣n giá tri ̣  3 3  dương và chỉ triêṭ tiêu ta ̣i mô ̣t số điể m với x    ;  nên I  Do đó cho ̣n  2 phương án D mà không cầ n tính tích phân cu ̣ thể Thí du ̣ Câu 25 Cho 0  f  x  dx  16 Tính I   f  x  dx A I  32 C I  16 B I  D I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố ) Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n của f  x  nhắ c chúng ta đổ i biế n t  x Giải Đổ i biế n t  x, ta có: 1 t I   f  x  dx   f  t  d     f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  20 20 2 0 Do đó cho ̣n phương án B 4 Thí du ̣ Câu 46 Biế t hàm số      y  f  x   là hàm số chẵn   ;  và 2  2     f  x   f  x    sin x  cos x Tính I   f  x  dx 2  A B.1 C D 1 (Đề thi thử của BigSchool – Mã 001)    Phân tích: Mô ̣t số ba ̣n thấ y xuấ t hiêṇ f  x   nên đã đổ i biế n t  x  và bế 2    tắ c Cái “bẫy” ở chính là điề u này Để ý giả thiế t y  f  x   là hàm số chẵn 2         nên f  x    f   x   với x    ;  và ta đổ i biế n hơ ̣p lí phải là: 2 2   2   t  x  Giải Đổ i biế n t   x   , ta có:       I   f  x  dx   f   t  d   t    2  2   2       f   t  dt   2  0 Ta có:   f  x   dx  J 2    f   t  dt 2        I  J   f  x  dx   f  x   dx    f  x   2  0 0     f  x   dx       sin x  cos x  dx   sin x  cos x   Từ đó: I  J  nên cho ̣n phương án B Thí du ̣ Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c thỏa mañ f   x   2017 f  x   e x Tính I   f  x  dx 1 e2  A I  2018e e2  C I  2018e B I  D I  e2017 Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n f   x  nhắ c chúng ta đổ i biế n t   x Giải Đổ i biế n t   x , ta có: 1 1 1 1 1 I   f  x  dx   f  t  d  t    f  t  dt   f   x  dx  J Do đó: 2018 I  J  2017 I  1 1 1  f   x  dx  2017  f  x  dx e2     f   x   2017 f  x   dx   e dx  e  e   1 e e 1 1 1 x Suy I  x1 e2  nên ta cho ̣n phương án A 2018e Thí du ̣ Biế t F  x rằ ng F  2018   là mô ̣t nguyên 2017 2018 1  F  x  1 dx  Tính I   f  x của thỏa mañ xf  x  dx C I  2019 B I  2017 A I  2018 hàm D I  2016 Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n của F  x  1 nhắ c ta đổ i biế n t  x  Giải Đổ i biế n t  x  1, ta có: 1 2017 2018 2018 2018 1 0  F  x  1 dx   F t  d t  1   F t  dt   F  x  dx u '  u  x Lưu ý: F '  x   f  x  nên đă ̣t  thì  v '  f  x  v  F  x  Áp du ̣ng công thức tić h phân từng phầ n ta có: 2018 I  2018 xf  x  dx   u.v ' dx  uv 2018 2018 0  xF  x  2018   v.u ' dx 2018   F  x  dx  2018F  2018    2018   2017 Do đó ta cho ̣n phương án B 2018 Chú ý: Khi nhìn  từng phầ n để tính I xf  x  dx  2018  xF '  x  dx là ta thấ y dấ u hiêụ sử du ̣ng tić h phân Tính tích phân từng phầ n Dấ u hiê ̣u để chúng ta nghi ̃ đế n sử du ̣ng công thức tính tích phân từng phầ n là hàm dưới dấ u tích phân xuấ t hiêṇ đa ̣o hàm của mô ̣t hàm nào đó Thí du ̣ Câu 23 Cho hàm số f  x  có đa ̣o hàm đoa ̣n 1;2 , f 1  và f    Tính I   f '  x  dx B I  1 A I  D I  C I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố ) Phân tích: Sự xuấ t hiê ̣n của f '  x  dưới dấ u tích phân nhắ c chúng ta nghi ̃ đế n công thức tính tích phân từng phầ n và đă ̣t u  f  x  La ̣i tiế p tu ̣c nhìn ở dưới dấ u tích phân xem thừa số nào nhân với f '  x  thì đó chính là v Giải u '  f '  x  u  f  x  Đă ̣t  thì  v '  v  2 Ta có: I   f '  x  dx   v.u ' dx  uv   v '.udx  f  x   f    f 1    1 Do đó ta cho ̣n phương án A Thí du ̣ Câu 38 Cho hàm số f  x  thỏa mañ   x  1 f ' x  dx  10 Tính I   f  x  dx và f 1  f    A I  12 C I  12 B I  D I  8 (Đề của Bộ GD – ĐT công bố ) Phân tích: Hàm dưới dấ u tích phân của giả thiế t xuấ t hiêṇ f '  x  và thừa số nhân với f '  x  chin ́ h là  x  1 Từ đó ta nhâ ̣n u và v để sử du ̣ng công thức tić h phân từng phầ n Giải u '  f '  x  u  f  x  Đă ̣t  thì  v '  v  x  Ta có: 1 I   f  x  dx   u.v ' dx  uv   u '.vdx 0   x  1 f  x     x  1 f '  x  dx  f 1  f    10   10  8 Do đó ta cho ̣n phương án D Thí du ̣  Câu 46 Cho hàm số y  f  x  thỏa mañ  sin x f  x  dx  f    Tính  I   cos x f '  x  dx A I  B I  1 C I  D I  (Đề thi thử của BigSchool – Mã 003) Phân tích: Xuấ t hiêṇ cos x f '  x  dưới dấ u tić h phân nhắ c ta tiń h tić h phân từng phầ n và đă ̣t u  f  x  và v  cos x Giải u '  f '  x  u  f  x  Đă ̣t  thì  v '   sin x v  cos x Ta có:   0   I   cos x f '  x  dx   v.u 'dx  uv   u.v ' dx  0   cos x f  x      sin x  f  x  dx   f     1   0 Do đó ta cho ̣n phương án C  Chú ý: Mô ̣t số chuyên gia nghi ngờ về giả thiế t:  sin x f  x  dx  f    và có ý kiế n: “Nế u không có hàm số nào thỏa mañ giả thiế t này thì cả phương án đã cho đề u sai!” Đây đúng là điề u mà tấ t cả những đề thi đề u phải cẩ n thâ ̣n tung các giả thiế t về hàm số da ̣ng “ẩ n” vì nế u hàm số đó không tồ n ta ̣i thì các khẳ ng đinh ̣ về hàm số đó đề u sai Kinh nghiê ̣m cá nhân sáng tác các đề kiể u này nên lấ y mô ̣t hàm số cu ̣ thể để khỏi lo sự không tồ n ta ̣i Với đề thi tự luâ ̣n mà chứng minh hàm số không tồ n ta ̣i thì là điề u lí thú và bài toán vẫn tuyê ̣t vời với đề thi trắ c nghiê ̣m, mà phải cho những phương án với những kế t quả cu ̣ thể thì cầ n rấ t thâ ̣n tro ̣ng bởi không khéo từ giả thiế t vẫn dẫn đế n kế t quả cu ̣ thể , giả thiế t đã bao hàm giả sử hàm số tồ n ta ̣i! Để các ba ̣n chuyên gia đỡ “áy náy” xin chỉ hàm số cu ̣ thể thỏa mañ giả thiế t của thí du ̣ 8, đó là hàm số y  f  x   với mo ̣i x (hàm không đổ i) Khi đó f    và   0  sin x f  x  dx   sin xdx    cos x    Từ đó chúng ta còn đưa mô ̣t phương pháp đô ̣c đáo để có thể giải nhanh thí du ̣ và nhiề u bài toán trắ c nghiê ̣m khác (sẽ triǹ h bày ở phầ n cuố i của bài viế t) Thí du ̣ Câu 46 Cho hàm số y  f  x  với f    f 1  Biế t rằ ng: e x  f  x   f '  x   dx  ae  b Tính Q  a 2017  b 2017 B Q  A Q  C Q  D Q  2 (Đề thi thử của BigSchool – Mã 002) Phân tích: Sự xuấ t hiêṇ f '  x  và e x f '  x  nhắ c chúng ta dùng tích phân từng phầ n với u  f  x  , v  e x Giải u '  f '  x  u  f  x  Đă ̣t  thi ̀ x x v '  e v  e Ta có: 1 0  e  f  x   f ' x  dx   u.v ' v.u ' dx   uv  ' dx  u.v  x  e x f  x   e f 1  f    e  1 Do đó a  1; b  1 dẫn đế n Q  nên cho ̣n phương án A Thí du ̣ 10 Câu 48 Cho y  f  x   sin x Tính I   x f '  x  dx cos 2017 x  sin 2017 x  C I   B I  A I   2017 D I  3 (Đề thi thử của BigSchool – Mã 004) Phân tích: Xuấ t hiêṇ f '  x  ; x f '  x  nhắ c chúng ta dùng tích phân từng phầ n và đă ̣t u  f  x  và v  x Giải u '  f '  x  u  f  x  Đă ̣t  thì  v '  v  x   0    I   x f '  x  dx   v.u ' dx  uv   f  x  dx  xf  x   J     f   J   J 2  (vì f    ) 2 Tính J bằ ng phép đổ i biế n t    x   sin 2017   t  sin x 2  J  dx    dt  2017 2017   cos x  sin x     2017 2017  cos   t   sin   t  2  2    2017 2017  cos t cos 2017 x   2017 dt   2017 dx  K 2017 2017 sin t  cos t sin x  cos x 0   Nhâ ̣n thấ y: J  K   dx  x 02  Suy I   J K       4 Do đó cho ̣n phương án C Thủ thuâ ̣t bác bỏ nhanh Ở phầ n bình luâ ̣n thêm về thí du ̣ 8, chúng ta đã mở mô ̣t phương pháp để giải bài toán trắ c nghiê ̣m nhanh Có thể go ̣i phương pháp này là “Thủ thuật bác bỏ nhanh” Đây cũng là cách mà người ta cũng dùng để bác bỏ mô ̣t điề u khái quát nào đó bằ ng cách đưa mô ̣t phản thí du ̣ Bởi có mô ̣t chân lí là: “Muố n đúng với mo ̣i tiǹ h huố ng thì phải đúng với bấ t cứ trường hơ ̣p riêng nào!” Trở la ̣i thí du ̣ 8, ta lấ y y  f  x   với mo ̣i x thỏa mañ các giả thiế t về hàm y  f  x  mà bài toán đă ̣t Khi đó f '  x   với mo ̣i x nên   0 I   cos x f '  x  dx   0dx  Loa ̣i tấ t cả các phương án A, B, D nên tấ t nhiên cho ̣n phương án C Thí du ̣ 11 Hàm số y  f  x  liên tu ̣c thỏa mañ : f   x   f  2017 x   2016 x Tính 2017 I  f  x  dx 20172  A I  B I  2016 C I  2017 D I  2018 Phân tích: Với giả thiế t “ít ỏi” ở gầ n sẽ bế tắ c về đường lố i nế u chúng ta làm bình thường mô ̣t bài tự luâ ̣n Chính tác giả đề toán này cũng chưa giải và cũng chưa tìm tấ t cả các hàm số y  f  x  thỏa mãn giả thiế t đã cho Nhưng vì là tác giả đề toán trắ c nghiê ̣m nên cũng đã phải “thủ sẵn” mô ̣t hàm số cu ̣ thể để đề phòng hàm số mà mình “bia” ̣ cái giả thiế t không tồ n ta ̣i (!) Giải Cho ̣n y  f  x   x với mo ̣i x thì f   x   f  2017 x    x  2017 x  2016 x thỏa mañ giải thiế t 2017 2017 1  f  x  dx   Khi đó I  2017 x2 xdx  2017   Vâ ̣y các phương án B, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án A Thí du ̣ 12 Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c thỏa mañ f  x   f  x  1   e  1 e x Tính I   f '  x  dx A I  e  C I  e  B I  e D I  Phân tích: Giả thiế t quá it́ liên ̣ đế n I nên đường giải theo tự luâ ̣n sẽ quá khó khăn Với “Thủ thuật bác bỏ nhanh” ta nhìn vào đẳ ng thức của giả thiế t để nghi ̃ mô ̣t hàm số y  f  x  cu ̣ thể thỏa mañ đẳ ng thức này Chắ c đo ̣c đế n các ba ̣n cũng đã tự nghi ̃ Giải Cho y  f  x   e x thì f  x   f  x  1  e x  e x1  e x 1  e  thỏa mañ giả thiế t 1 0 Khi đó I   f '  x  dx   e x dx  e x  e  1 Chứng tỏ các phương án B, C, D không thể đúng nên cho ̣n phương án A Thí du ̣ 13 Cho hàm số y  f  x  thỏa mañ f  sin x   f  cos x   với mo ̣i x Tính 2017 I  f  x  dx 20173  A I  20173 B I  C I  20173 D I   2017 Phân tích: Hê ̣ thức f  sin x   f  cos x   khó mà liên ̣ với hàm số y  f  x  đề toán tự luâ ̣n Nhưng số ở vế phải ̣ thức làm chúng ta nhớ đế n ̣ thức sin x  cos x  ? Từ gơ ̣i ý tới mô ̣t hàm số y  f  x  cu ̣ thể thỏa mañ ̣ thức này Giải Cho ̣n y  f  x   x thì f  sin x   f  cos x   sin x  cos2 x  thỏa mañ giả thiế t 2017 Khi đó: I  2017  f  x  dx   0 2017 x dx  x 3 20173  Do vâ ̣y các phương án A, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án B Thí du ̣ 14 Cho hàm số y  f  x  thỏa mañ f  x   f  x   với mo ̣i x Tính  I   f  x  dx A I  B I  1 C I  D I  Phân tích: Hê ̣ thức đã cho tương đương ̣ thức nào đã biế t? Chúng ta “lu ̣c tìm” và đươ ̣c cos2 x  2cos x  Từ đó có mô ̣t hàm số thỏa mañ giả thiế t Giải Cho ̣n y  f  x   cos x thì ta có ̣ thức cos2 x  2cos x  Ta có: f  x   f  x   thỏa mañ Khi đó:   0 I   f  x  dx   cos xdx  sin x   Do đó các phương án A, B, C không thể đúng nên ta cho ̣n phương án D Thí du ̣ 15  Cho hàm số y  f  x  thỏa mañ f  x   f    x  với mo ̣i x Tính I   f  x  dx C I  1 B I  A I   D I  Phân tích: Với ma ̣ch suy nghi ̃ ta nhớ đế n sin x  sin    x  với mo ̣i x nên có thể cho ̣n hàm số y  f  x   sin x, dễ dàng thỏa mañ f  x   f    x    0  Khi đó I   f  x  dx   sin xdx   cos x 02  Do đó các phương án B, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án A Lời kế t: Với đề toán trắ c nghiê ̣m vẫn đòi hỏi các ba ̣n phải tư để cho ̣n phương án đúng Không những thế , các ba ̣n phải sẵn sàng nhiề u “vố n liế ng” để tư nhanh Với đề toán trắ c nghiê ̣m, các phương án cho trước cũng là giả thiế t rấ t quan tro ̣ng vì có chỉ cầ n thử mô ̣t chút là có những phương án đã bi loa ̣ ̣i Chiń h vì vâ ̣y, từ toán tự luâ ̣n bước sang toán trắ c nghiê ̣m không hề đơn giản, đă ̣c biêṭ là viê ̣c đề và sau nữa là cách da ̣y, cách ho ̣c Hy vo ̣ng bài viế t góp chút it́ vào hành trang của những ngày cuố i cùng, giúp các ba ̣n có thể tự tin để bước vào kì thi THPT Quố c Gia Rấ t mong nhâ ̣n đươ ̣c nhiề u trao đổ i và tranh luâ ̣n của các ba ̣n TS Lê Thố ng Nhấ t Hiê ̣n nay, các câu trắ c nghiê ̣m da ̣ng này rấ t ít Do đó, xin gửi thêm các ba ̣n mô ̣t số bài tâ ̣p để luyê ̣n thêm Bài Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c e2 Biế t rằ ng  e   f  cos x  tan xdx  2017 Tính I   A I  2016 f  ln x  dx  và x.ln x f  x dx x C I  2018 B I  2017 D I  2015 Đáp số : Cho ̣n C Bài Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c f  x   2016 f  2017  x   x Tính I  thỏa mañ 2017  f  x  dx A I  2017 B I  1008,5 C I  2016 D I  2018 Đáp số : Cho ̣n B Bài Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c thỏa mañ f  3x   f  x  f  x  Tính I   f  x  dx A I  e B I  e  C I  e  D I  Đáp số : Cho ̣n C  Bài Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn  ;  Tính I   sin x f  x  dx  A I  Đáp số : Cho ̣n B B I  C I  D I  1 Bài Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tu ̣c f  x   f  x  2017   với mo ̣i x Tính I  thỏa mañ 2017  f  x  dx B I  A I  C I  2018 D I  2017 Đáp số : Cho ̣n D Bài Cho hàm số y  f  x  liên tu ̣c e thỏa mañ  f ' x .ln xdx  1 e f  e   e Tính I   A I  e  Đáp số : Cho ̣n B f  x dx x B I  e  C I  D I  và