DSpace at VNU: Adaptation of turbo coding and equalization in turbo equalization for time-varying and frequency-selective channels

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DSpace at VNU: Adaptation of turbo coding and equalization in turbo equalization for time-varying and frequency-selectiv...

´ Adaptation du turbo codage et de l’egalisation ´ en turbo egalisation pour les canaux variant ´ ´ dans le temps et selectifs en frequence Adaptation of turbo coding and equalization in turbo equalization for time-varying and frequency-selective channels Abdellah Berdai, Jean-Yves Chouinard et Huu Tue Huynh∗ Plusieurs auteurs ont cherché a` utiliser conjointement l’égalisation et le décodage dans un système itératif afin de réduire les effets dispersifs des canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence Dans la littérature récente, on propose plusieurs architectures de systèmes itératifs On peut citer les architectures associant un e´ galiseur et un décodeur a posteriori maximale (MAP), les architectures combinant un annuleur d’interférences et un décodeur MAP, les architectures mettant en oeuvre un e´ galiseur a` retour de décision et un décodeur MAP, etc La plupart de ces architectures nécessitent l’estimation précise du canal pour adapter les filtres d’égaliseurs ou réaliser les e´ galiseurs MAP Cet article présente une nouvelle architecture du turbo e´ galiseur dédiée aux canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence et qui ne nécessite pas d’estimateur de canal Le turbo e´ galiseur proposé consiste en un annuleur d’interférences en mode d’adaptation direct et un turbo décodeur Afin de réduire la corrélation du bruit, on propose l’ajout d’un filtre transverse dans la structure de l’annuleur d’interférences On redéfinit e´ galement le facteur de fiabilité pour les canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence, afin d’améliorer les performances du turbo décodeur L’architecture proposée permet de réduire considérablement les effets de sélectivité tant fréquentielle que temporelle pour des canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence selon la plage des fréquences Doppler normalisées A number of authors have sought to combine equalization and decoding in an iterative system in order to reduce the effects of frequency and temporal dispersiveness of time-varying frequency-selective channels In the recent literature, several architectures based on these iterative systems have been proposed One can note architectures which combine a maximum a posteriori (MAP) equalizer and decoder, architectures formed by an interference canceller and MAP decoder, architectures implementing a decision feedback equalizer and a MAP decoder, etc Most of these architectures require accurate channel estimation to adapt the equalizer filters or to execute the MAP equalizers This article presents a turbo equalizer architecture for time-varying frequency-selective channels without channel estimators The proposed turbo equalizer consists of an interference canceller in direct-adaptation mode and a turbo decoder In order to reduce noise correlation, the addition of a transverse filter to the interference-canceller architecture is proposed The reliability factor for variable time-varying frequency-selective channels is also redefined in order to improve the performance of the turbo decoder The architecture of the proposed turbo equalizer reduces considerably the effects of frequency and temporal dispersiveness of time-varying frequency-selective channels depending on the normalized Doppler frequency range Mots clés / Keywords: corrélation du bruit; facteur de fiabilité; turbo codage; turbo e´ galisation / noise correlation; reliability factor; turbo coding; turbo equalization I Introduction Dans le contexte des canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence, les délais de propagation e´ tant importants, la vitesse de transmission est affectée et réduite a` cause de l’effet produit par les obstacles des milieux de propagation et du phénomène de trajets multiples Un autre facteur important pour ces canaux est la vitesse de déplacement de l’émetteur ou du récepteur, qui cause les changements rapides du canal de transmission découlent les articles [2] et [3] Le turbo e´ galiseur proposé dans [3] utilise une nouvelle forme du facteur de fiabilité pour le décodeur a posteriori maximale (MAP) et pour les canaux de Rayleigh, alors que le turbo e´ galiseur proposé dans [2] utilise la même approche proposée dans [1], mais cette fois pour des canaux HF avec une séquence d’apprentissage représentant 50 % du flux de données Plusieurs autres auteurs ont essayé d’égaliser les canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence en utilisant d’autres techniques [4]–[8] On trouve e´ galement plusieurs travaux réalisés par X Wang et H.V Poor pour la turbo détection multi usagers [9] Plusieurs travaux ont e´ té effectués sur l’égalisation de ces canaux La première architecture du turbo e´ galiseur pour les canaux de Rayleigh sélectifs en fréquence a e´ té proposée dans [1], incluant un annuleur d’interférences, permettant ainsi d’exploiter pleinement des données souples issues du décodeur de canal Le turbo e´ galiseur proposé dans [1] utilise une séquence d’apprentissage périodique représentant 20 % du flux de données De cette première approche Dans cet article, nous nous intéressons plus particulièrement aux canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs en fréquence et aux symboles turbo codés Nous cherchons a` proposer une architecture de turbo e´ galiseur qui tienne compte de la sélectivité temporelle et fréquentielle du canal de Rayleigh tout en permettant une réduction de la longueur de la séquence d’apprentissage Notre approche en turbo e´ galisation diffère des approches proposées précédemment dans ce qui suit : ∗ Abdellah Berdai et Jean-Yves Chouinard sont au Laboratoire de Radiocommunication et de Traitement du Signal (LRTS), Université Laval, Ste-Foy, P.Q., Canada G1K 7P4 Courriel : {berdai.abdellah.1, chouinar}@ulaval.ca Huu Tue Huynh est au Département de traitement d’information, Faculté d’électronique et de télécommunications, Collège de Technologie, Université Nationale du Vietnam, Hanoi, Vietnam Courriel : tuehh@coltech.vnu.vn • La différence de point de vue structure réside dans les architectures de l’égaliseur a` la première itération et de l’annuleur d’interférences que nous proposons • La différence de point de vue algorithmique réside dans le choix de type d’algorithme en e´ galisation et en codage Can J Elect Comput Eng., Vol 33, No 2, Spring 2008 100 CAN J ELECT COMPUT ENG., VOL 33, NO 2, SPRING 2008 Figure : (a) Chaˆıne de transmission en présence du turbo e´ galiseur pour les canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence (b) Structure du turbo e´ galiseur proposé pour les canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence Tableau Nomenclature des acronymes AI CAG DFE DFE.LMS DFE.RLS EQM EQMM IES LMS RLS Annuleur d’interférences Commande automatique de gain ´ Egaliseur a` retour de décision DFE adapté par algorithme LMS DFE adapté par algorithme RLS Erreur quadratique moyenne Erreur quadratique moyenne minimale Interférence entre symboles Moindre carré moyen Moindre carré récursif • Nous proposons e´ galement une nouvelle forme du facteur de fiabilité pour le turbo décodeur adapté aux canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence II Architecture du turbo e´ galiseur pour les canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence II.A Chaˆıne de transmission du turbo e´ galiseur pour un canal variant dans le temps et sélectif en fréquence Afin d’évaluer les performances du turbo e´ galiseur proposé, nous considérons une transmission où les données sont turbo codées, ensuite modulées en BPSK, puis transmises dans un milieu sélectif en fréquence La chaˆıne de transmission est donnée a` la figure 1(a) Le codeur de canal est alimenté par des données binaires {Ik } e´ qui- probables Elles sont e´ mises par la source d’information a` raison d’un bit a` tous les Ts (Ts : durée de symbole) secondes et codées par un codeur turbo Le signal a` la sortie du canal discret e´ quivalent est corrompu par un bruit blanc additif gaussien (AWGN) {nk } de variance σn2 Le signal observé a` la sortie du canal s’exprime par vk = L−1 X hk,n xk−n + nk (1) n=0 où L est le nombre de trajets significatifs affectant le signal a` travers le canal de transmission II.B Principe de fonctionnement du turbo e´ galiseur proposé L’architecture du turbo e´ galiseur proposé est donnée a` la figure 1(b) ` chaque itération i le Le principe consiste en un traitement itératif A turbo e´ galiseur utilise les données issues du canal et l’information qu’il a produit pour procéder a` l’itération i + Le turbo e´ galiseur commence par e´ galiser la séquence reçue {vk } a` l’aide de l’annuleur d’interférences (AI)1 Ce dernier est alimenté par la séquence {vk } et la séquence {¯ xk } calculée a` l’itération i − 1, donnée par « „ Π (Λ(ck )) (2) x ¯k = » – ˆk ) P (ck = +1 | c où Λ (ck ) = ln est la mesure de vraisemblance ˆk ) P (ck = −1 | c logarithmique des symboles de la séquence codée Une fois que la séquence reçue {vk } aura e´ té filtrée par l’annuleur d’interférences, il deviendrait possible de décoder les données Ce traitement itératif se poursuit de la même manière et, après un certain nombre d’itérations, le décodeur prend une décision sur les symboles e´ mis La nomenclature des acronymes est donnée au tableau ´ BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’EGALISATION 101 Figure : Schéma fonctionnel de l’égaliseur proposé lors de la première itération ´ II.B.1 Egaliseur a` la première itération (figure 2) Le turbo e´ galiseur ne peut eˆ tre utilisé lors de la première itération car nous ne disposons pas des données estimées {¯ xk } Pour cette raison, nous utilisons un e´ galiseur adaptatif au lieu de l’AI lors de la première itération Un choix réfléchi de cet e´ galiseur adaptatif du point de vue structure et algorithmique est nécessaire afin d’obtenir des performances suffisamment bonnes pour que le processus itératif puisse démarrer aussi tôt Quant au choix de l’algorithme, il existe deux grandes familles d’algorithmes d’adaptation, l’algorithme de moindre carré moyen (LMS) et l’algorithme de moindre carré récursif (RLS) Le premier est largement utilisé pour sa simplicité de mise en oeuvre et sa stabilité numérique, alors que le deuxième est connu par sa rapidité de convergence et sa poursuite de non stationnarité Plusieurs auteurs ont comparés ces deux algorithmes [2], [10]–[11] Dans la plupart des cas, l’algorithme RLS conduit a` des performances supérieures a` celles de l’algorithme LMS dans le contexte non stationnaire Plusieurs autres travaux de recherche ont e´ té menés afin d’augmenter la stabilité et de diminuer la complexité de l’algorithme RLS pour les canaux variant dans le temps [12]–[15] En nous appuyant sur ces travaux, nous avons choisis l’algorithme RLS et la structure a` retour de décision pour former l’égaliseur a` la première itération Nous proposons e´ galement l’ajout d’un filtre d’erreur M (z), dont les coefficients sont adaptés par l’algorithme LMS dans la structure de l’égaliseur a` la première itération afin de réduire la corrélation du bruit Ce principe est inspiré de la structure proposée dans [16] En effet, dans [16], les auteurs proposent ce principe pour l’égaliseur a` retour de décision adapté par l’algorithme LMS (DFE.LMS) et pour un canal stationnaire Dans cet article, nous utilisons le même principe, mais pour un e´ galiseur DFE.RLS et pour un canal non stationnaire Le schéma de l’égaliseur proposé est donné a` la figure Il consiste en un circuit de commande automatique du gain [17], un e´ galiseur DFE.RLS et un e´ galiseur de phase [15] : • Commande automatique de gain (CAG) est un filtre ayant un seul coefficient noté gk Son rôle est de commander la puissance du signal reçu vk pour l’égaliser a` celle du signal e´ mis Le signal a` la sortie du bloc CAG est donné par v˘k = gk−1 vk La mise a` jour du coefficient gk est donnée par [17] : ` ´ Gk = Gk−1 + ∆G σx2 − |˘ xk |2 , avec G0 = 1, p gk = |Gk | (3) ´ DFE.RLS consiste en un filtre avant A(z), un fil• Egaliseur tre arrière B(z) et un filtre d’erreur Q(z) La mise a` jour des vecteurs ak , bk et qk contenant les coefficients des filtres A(z), B(z) et Q(z) est donnée par ak+1 = ak + γkA e˘k , bk+1 = bk + γkB e˘k , qk+1 = qk + où (·)∗ désigne la conjugaison de (·), γkA et γkB sont appelés vecteurs du gain de Kalman de l’algorithme RLS, ∆ est le pas ˘k est un vecteur qui cond’adaptation de l’algorithme LMS et e tient les e´ chantillons du signal d’erreur e˘k Cette erreur e˘k est donnée par e˘k = x ˜k − x ˆk (6) où x ˆk est le signal e´ galisé en amplitude et en phase et x ˜k est le signal décidé La mise a` jour des vecteurs γkA et γkB et les B ee par matrices PA k et Pk est donn´ γkA = γkB = ˘ kH PA k−1 v ˘ kH ˘ k PA λ+v k−1 v , ˜H PB k k−1 x , ˜ k PB ˜H λ+x k−1 x k “ ” −1 A ˘ k PA PA PA k = λ k−1 − γk v k−1 , ” “ −1 B ˜ k PB PB PB k = λ k−1 − γk x k−1 (7) où [·]H désigne la transposition et conjugaison de [·], λ est le ˘ k est un vecteur contenant facteur d’oubli de l’algorithme RLS, v les e´ chantillons du signal produit par le circuit CAG (i.e v˘k ) et ˜ k est un vecteur qui contient les e´ chantillons du signal décidé x (i.e x ˜k ), avec x ˜k = xk pendant la période d’apprentissage et aux données décidées (i.e x ˜k = sign( [ˆ xk ])) pour le reste ´ • Egaliseur de phase a pour fonction de corriger la phase du signal e´ galisé en amplitude L’égaliseur de phase que nous employons utilise l’algorithme de gradient stochastique [15] La mise a` jour de la phase θˆk du signal e´ galisé et de l’erreur eθk est donnée par (4) ∆G et σx2 sont respectivement le pas d’adaptation et la variance du signal transmis (5) ˘∗k ∆˘ ek e θˆk =θˆk−1 + ∆θ eθk + βθ k X i=1 eθk ∗ = [ˆ xk (˜ xk − x ˆk ) ] ! eθi , (8) 102 CAN J ELECT COMPUT ENG., VOL 33, NO 2, SPRING 2008 Figure : (a) Annuleur d’interférences conventionnel (b) Annuleur d’interférences proposé où [·] désigne la partie imaginaire de [·], ∆θ le pas d’adaptation et βθ une constante positive Le signal e´ galisé en amplitude et en phase est donné par h i x ˆk = x ˘k exp −j θˆk−1 (9) II.B.2 Annuleur d’interférences (figure 3) L’annuleur d’interférences permet de s’affranchir totalement de l’interférence entre symboles (IES) Sa structure est très proche de celle de l’égaliseur a` retour de décision (DFE) Toutefois, le DFE réalise un compromis entre la minimisation du bruit et l’annulation des IES alors que l’AI supprime totalement les IES si les données de références sont parfaitement estimées (¯ xk = xk ) Comme, en turbo e´ galisation, nous ne connaissons pas les données transmises, elles sont remplacées par les données estimées par le décodeur de canal Et tant que ces données ({¯ xk }) ne sont pas parfaitement estimées, l’AI ne supprime pas totalement les IES a` cause de la corrélation bruit Pour réduire la corrélation du bruit, nous proposons l’ajout d’un filtre transverse M (z) dans la structure de l’AI (voir figure 3(b)) En effet, dans [16] les auteurs démontrent analytiquement que le filtrage d’erreur améliore l’erreur quadratique moyenne minimale (EQMM) de l’égaliseur DFE Dans cet article, nous démontrons analytiquement que le filtrage d’erreur améliore e´ galement les performances de l’AI de point de vue EQMM L’EQMM de l’annuleur d’interférences conventionnel (figure 3(a)) est donnée par (voir Annexe A) ˆ ˜ AIconventionnel (10) Jmin = E |xk |2 − ξ T Γ−1 ξ L’EQMM de l’AI proposé (figure 3(b)) est donnée par (voir Annexe B) AIpropos´ e AIconventionnel Jmin = Jmin − σe−2 (E [|xk ek−1 |])2 (11) Tableau Complexité calculatoire de l’AI proposé AI conventionnel AI proposé Nombre d’opérations N (12.5K + 3.5K − 2) N (12.5K + 3.5K + 1) ` la section III, nous affirmons d’erreur quadratique moyenne (EQM) A par simulation que l’EQM de l’AI proposé est inférieure a` celle de l’AI conventionnel Pour adapter les filtres de l’AI, deux méthodes sont possibles La première méthode consiste a` adapter directement les filtres de l’AI La seconde méthode nécessite l’estimation de canal Dans cet article, nous choisissons le modèle d’adaptation directe Ce choix est lié a` la structure de l’annuleur d’interférences que nous proposons Ce dernier nécessite le calcul de l’erreur entre le signal estimé par le décodeur de canal (i.e x ¯k ) et le signal en sortie de l’AI (i.e x ˆk ) Quant au choix de l’algorithme d’adaptation des filtres de l’AI, nous adoptons l’algorithme RLS ; ce dernier s’adapte bien aux variations temporelles de canal La mise a` jour des vecteurs ck , wk et mk contenant les coefficients des filtres C(z), W (z) et M (z) est donnée par puisque σe−2 (E [|xk ek−1 |])2 ≥ (12) AIpropos´ e AIconventionnel Jmin ≤ Jmin (13) On peut conclure que ck+1 = ck + γkC ek , wk+1 = wk − γkW ek , Dans le cas d’une estimation parfaite des données transmises (i.e x ¯k = xk ), la relation (12) est nulle et les deux structures deviennent e´ quivalentes Malheureusement, en turbo e´ galisation, nous ne connaissons pas les données transmises (c’est ce que nous cherchons a` obtenir) et le décodeur de canal ne peut pas fournir des données parfaitement estimées tant que les interférences entre symboles ne sont pas totalement supprimées par l’AI et tant que le rapport signal a` bruit n’est pas suffisant pour déclencher le processus itératif (turbo) D’où la relation (12) peut ne pas eˆ tre nulle et l’annuleur proposé pourrait apporter des améliorations par rapport a` l’AI conventionnel en termes mk+1 = mk + (14) ∆ek e∗k où ek est un vecteur qui contient les e´ chantillons du signal d’erreur ek Cette erreur ek est donnée par ek = x ¯k − x ˆk (15) La mise a` jour des vecteurs du gain de Kalman γkC et γkW et des ma- ´ BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’EGALISATION ` partir des relations (20) et (21), on peut conclure que A W trices d’adaptation PC ee par k et Pk est donn´ γkC = H PC k−1 vk λ+ H vk PC k−1 vk , Λ (ck ) = ¯H PW k k−1 x γkW = , ¯ k PW ¯H λ+x k−1 x k “ ” −1 C C PC PC k = λ k−1 − γk vk Pk−1 , “ ” −1 W ¯ k PW PW PW k = λ k−1 − γk x k−1 (16) Pour effectuer cette comparaison, nous considérons que le filtre avant C(z) (K coefficients) et le filtre arrière W (z) (2K − coefficients) sont adaptés par l’algorithme RLS et le filtre d’erreur (1 coefficient) M (z) est adapté par l’algorithme LMS Le tableau résume le nombre d’opérations de calcul nécessaires dans les deux cas Nous constatons que l’AI proposé nécessite 3N opérations en plus Toutefois, il donne des performances meilleures du point de vue erreur quadratique moyenne II.B.3 Décodage des données Le décodeur retenu est basé sur celui proposé par [18] La différence réside dans le choix de l’algorithme LOG-MAP, le calcul des valeurs de vraisemblance logarithmique des bits de parité et l’expression du facteur de fiabilité Sous l’hypothèse d’avoir x ¯k = xk (i.e les symboles sont parfaitement estimés par le décodeur de canal), la sortie de l’AI est donnée par [1] # " L−1 X ∗ hk,n nk+n x ˆk = βk xk + αk n=0 (17) avec αk = L−1 X |hk,n |2 = (18) n=0 et βk = αk σx2 αk σx2 + σn2 [ˆ ck ] (22) Le turbo décodeur e´ tant très sensible aux valeurs du facteur de fiabilité de canal Lkc [19], nous l’approximons par Afin de situer la complexité calculatoire de l’annuleur d’interférences proposé par rapport a` l’annuleur d’interférences conventionnel, nous comparons le nombre d’opérations de calcul nécessaire pour e´ galiser une séquence de données de longueur N dans les deux cas L−1 βk X ∗ hk,n nk+n = βk xk + ηk αk n=0 2βk ση2 ` partir de (22), on peut conclure où [·] indique la partie réelle de [·] A que 2βk Lkc = (23) ση ¯ est où vk est un vecteur contenant les e´ chantillons du signal reçu et x un vecteur contenant les e´ chantillons du signal estimé par le décodeur de canal (i.e x ¯k ) = βk xk + 103 Lkc ≈ „ 1 + σn2 σx « (24) Cette expression finale du facteur de fiabilité du canal variant dans le temps et sélectif en fréquence ne nécessite que la connaissance a priori du rapport signal a` bruit, alors que l’expression proposée dans [3] nécessite l’estimation du canal et la connaissance a priori du rapport signal a` bruit III Résultats de simulation Dans cette section, nous e´ valuons les performances du turbo e´ galiseur proposé pour les vitesses de mobile v (km/h) ∈ {20, 80, 120, 160, 200, 240} La vitesse de transmission est fixée a` Rs = 148 kbits/s et la fréquence porteuse fc est de GHz Le canal utilisé est un canal de Rayleigh a` trois trajets de même puissance Chaque trajet est généré selon le modèle proposé dans [20] Le codeur turbo simulé est constitué de deux codeurs convolutifs systématiques et récursifs de longueur de contrainte e´ gale a` et de polynôme générateur (1, 23/35)o (i.e en octal) Afin de réduire la quantité des données transmises, nous utilisons la technique de poinçonnage, e´ liminant ainsi la moitié des bits de redondance Le taux de codage est e´ gale a R = 1/2 Les entrelaceurs que nous utilisons sont de types semialéatoires [21] (S-random interleavers) Ces derniers garantissent une p distance minimale S avec S ≤ I/2 où I est la longueur du bloc de données Dans cet article, nous choisissons S = 22 pour l’entrelaceur du codeur turbo (I = 5000) et S = 37 pour l’entrelaceur de canal (I = 10 000) Pour favoriser la convergence de l’égaliseur lors de la première itération et de l’AI, nous utilisons une séquence d’apprentissage périodique qui représente 1/5 = 20 % du flux de données, soit 20 symboles d’apprentissage pour 100 symboles e´ mis La perte de 0.97 dB2 dans le rapport Eb /N0 due a` cette séquence d’apprentissage périodique n’a pas e´ té prise en compte La variance du bruit σn2 pour le canal de Rayleigh sélectif en fréquence est calculée a` partir de l’expression suivante [1], [22] : (19) où αk et βk sont variables puisque le canal est variant dans le temps ` partir de (17), nous remarquons que le signal e´ galisé x A ˆk n’est pas affecté par les interférences entre symboles L’entrée du décodeur LOG-MAP est la séquence e´ galisée {ˆ ck } Le rapport de vraisemblance logarithmique s’exprime – » ˆk ) P (ck = +1 | c Λ (ck ) = ln (20) ˆk ) P (ck = −1 | c Nous rappelons que la séquence {xk } (sans les symboles d’apprentissage) est une version entrelacée de la séquence {ck } Donc la probabilité conditionnelle P (ˆ ck | xk ) est donnée par [3] » – |ˆ ck − βk xk |2 P (ˆ ck | xk ) = exp − (21) 2πσx2 2ση2 Eb = N0 2˛ ˛2 ˛L−1 ˛ X ˛ ˛ E 4˛ hk,n xk−n ˛ ˛ ˛ n=0 R log2 (2)N0 = Eh Eh = 2Rσn2 2Rσn2 (25) où N0 et σn2 sont respectivement la densité spectrale de puissance mono-latérale et la variance du bruit a` l’entrée du démodulateur Les performances en termes de taux d’erreur binaire (TEB) sont e´ valuées par une méthode de type Monte-Carlo et chaque valeur du TEB a e´ té obtenue par la transmission de 106 bits d’information Nous rappelons ici que, pour toutes les simulations, le codeur turbo exécute une seule itération a` chaque itération du turbo e´ galiseur Ceci est pour réduire la complexité calculatoire par itération 10 log 10 (4/5) = −0.97 104 CAN J ELECT COMPUT ENG., VOL 33, NO 2, SPRING 2008 Tableau Les valeurs optimales des paramètres de l’AI et de l’égaliseur a` la première itération v (km/h) fD (Hz) = (v (m/s) · fc )/3.108 (fréquence Doppler) fm = fD Ts (fréquence Doppler normalisée) ´ Egaliseur a` la première itération Pas d’adaptation, ∆G (CAG) Facteur d’oubli, λ (algorithme RLS) Pas d’adaptation, ∆ (algorithme LMS) Pas d’adaptation, ∆θ (égaliseur de phase) Pas d’adaptation, βθ (égaliseur de phase) Annuleur d’interférences Facteur d’oubli, λ (algorithme RLS) Pas d’adaptation, ∆ (algorithme LMS) Scénario 20 37.03 0.00025 Scénario 80 148.14 0.001 Scénario 120 222.22 0.0015 Scénario 160 296.29 0.002 Scénario 200 370.37 0.0025 Scénario 240 444.44 0.003 10−4 10−2 10−7 10−7 10−5 10−2 10−7 10−7 10−5 10−2 10−7 10−7 10−5 0.9425 10−3 10−7 10−7 10−5 0.9225 10−4 10−7 10−7 10−6 0.9225 10−5 10−7 10−7 5.10−2 5.10−2 10−2 10−2 10−4 10−5 ´ Figure : Evolution de l’erreur quadratique moyenne en sortie de l’AI, canal sélectif a` trois trajets, fm = 0.001 ´ Figure : Evolution de l’erreur quadratique moyenne en sortie de l’AI, canal sélectif a` trois trajets, fm = 0.0015 III.A Paramètres d’égaliseurs ´ III.A.1 Egaliseur de la première itération Les performances du turbo e´ galiseur sont basées sur l’égaliseur a` la première itération Ce dernier doit fournir un taux d’erreur binaire suffisamment faible pour déclencher le processus itératif a` un rapport signal a` bruit donné Le schéma de l’égaliseur a` la première itération proposé est donné a` la figure Dans ce dernier, l’égalisation d’amplitude est assurée par un e´ galiseur a` retour de décision (DFE) Les performances du DFE sont largement supérieures a` celles de l’égaliseur linéaire Toutefois, la structure du DFE peut eˆ tre instable et peut conduire a` une dégradation des performances a` cause du phénomène de propagation d’erreur pour le contexte non stationnaire Dans la première méthode, les coefficients des filtres C(z) et W (z) sont calculés directement a` partir de l’estimation du canal Le nombre de coefficients a` adapter dans cette solution e´ gale L (L est le nombre de trajets du canal) Afin de réduire la production de ce phénomène (i.e propagation d’erreur), nous avons minimisé le nombre de coefficients des filtres Nous avons fixé cinq coefficients a` l’avant (filtre A(z)), un coefficient a` l’arrière (filtre B(z)) et un seul coefficient pour le filtre d’erreur (filtre Q(z)) Les valeurs de ∆G , λ, ∆, ∆θ et βθ sont optimisés a` l’aide des simulations et sont données au tableau III.A.2 Annuleur d’interférences L’un des e´ léments les plus importants du turbo e´ galiseur est l’annuleur d’interférences En effet, c’est grâce a` l’AI que le décodeur de canal traite des séquences sans l’interférence entre symboles Nous avons mentionné précédemment dans la section II.B.1 qu’il existe deux méthodes pour adapter les coefficients des filtres de l’AI La deuxième méthode nécessite l’adaptation d’au moins 3L − coefficients dans le cas idéal Le nombre de coefficients est très e´ levé dans le cas des canaux non stationnaires Dans cet article, nous avons adopté le mode d’adaptation direct Le nombre de coefficients est fixé a` 25 coefficients pour le filtre avant C(z), 28 coefficients pour le filtre arrière W (z) et un seul coefficient pour le filtre d’erreur M (z) Nous rappelons ici que, dans un souci de réduire la complexité calculatoire, nous avons favorisé le cas qui utilise moins de coefficients dans les filtres de l’AI Les valeurs de λ et ∆ de l’AI sont données au tableau III.B Performances de l’annuleur d’interférences proposé Dans un but de situer les performances de l’annuleur d’interférences proposé par rapport a` l’AI conventionnel, nous avons tracé aux figures et l’erreur quadratique moyenne en sortie de l’annuleur d’interférences a` la quatrième itération, avec et sans filtre d’erreur (M (z)) pour les fréquences Doppler normalisées fm = 0.001 et fm = 0.0015 ´ BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’EGALISATION 105 ´ Figure : Evolution de TEB en sortie du décodeur de canal, canal sélectif a` trois trajets, fm = 0.001 Figure : TEB en sortie du décodeur de canal, canal sélectif a` trois trajets, fm = 0.001, v = 80 km/h ´ Figure : Evolution de TEB en sortie de l’égaliseur a` la première itération, canal sélectif a` trois trajets, fm = 0.001 Figure : TEB en sortie du décodeur de canal, canal sélectif a` trois trajets, fm = 0.002, v = 160 km/h Ces courbes sont obtenues a` partir de la moyenne de 100 tirages aléatoires de la séquence d’information et pour un rapport signal a` bruit Eb /N0 = dB utilisons un circuit CAG et un e´ galiseur de phase pour l’égaliseur linéaire Nous remarquons (figure 6) que les performances obtenues par l’utilisation de l’égaliseur proposé lors de la première itération sont largement supérieures a` celles obtenues avec un e´ galiseur linéaire Ce résultat est attendu puisque les performances de l’égaliseur a` retour de décision sont nettement supérieures a` celles de l’égaliseur linéaire (voir figure 7) Nous remarquons (figures et 5) que l’EQM obtenue avec adaptation d’erreur est inférieure a` l’EQM obtenue sans adaptation d’erreur sur presque toute la période d’adaptation et pour les deux fréquences Doppler normalisées testées Ceci affirme que le filtrage d’erreur améliore les performances de l’annuleur d’interférences du point de vue erreur quadratique moyenne Nous signalons ici qu’il est possible d’améliorer davantage les performances de l’AI proposé en ajoutant plus de coefficients dans le filtre M (z) [16], mais ceci augmente la complexité calculatoire III.C Performances de l’égaliseur a` la première itération ` la figure 6, nous comparons les performances en termes de taux A d’erreur binaire pour les trois premières itérations d’un turbo e´ galiseur utilisant l’égaliseur proposé (figure 2), et un turbo e´ galiseur utilisant un e´ galiseur linéaire classique [1] lors de la première itération Le nombre de coefficients de l’égaliseur linéaire est fixé a` sept coefficients et le facteur d’oubli est e´ gal a` λ = Nous signalons ici que, dans un souci d’améliorer le TEB a` la première itération, nous III.D Influence de la fréquence Doppler normalisée Pour illustrer l’effet de la vitesse du mobile sur le turbo e´ galiseur au fil des itérations, nous avons tracé aux figures et les taux d’erreur binaire en fonction du rapport Eb /N0 en sortie du décodeur de canal pour les fréquences Doppler normalisées fm = 0.001 et fm = 0.002 pour les itérations 1, 2, et Nous remarquons (figures et 9) que, pour les deux fréquences Doppler normalisées, le taux d’erreur binaire s’améliore a` partir de la deuxième itération Les itérations et sont presque confondues Cette convergence rapide est réalisée grâce aux performances du codeur turbo, qui fonctionne bien avec le facteur de fiabilité que nous avons définis (voir relation (24)) Nous apercevons e´ galement que le processus itératif (turbo) pour le turbo e´ galiseur déclenche a` un rapport Eb /N0 = dB pour fm = 0.001 et a` Eb /N0 = dB pour fm = 0.002 106 CAN J ELECT COMPUT ENG., VOL 33, NO 2, SPRING 2008 Il y a trois points a` souligner pour la turbo e´ galisation des canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs en fréquences : • Pour que le turbo e´ galiseur converge au fil des itérations, il est nécessaire d’utiliser périodiquement une séquence d’apprentissage, ce qui représente au moins 20 % du flux de données Malgré cela, on observe des taux d’erreur relativement e´ levés sur ces canaux pour les fréquences Doppler normalisées e´ levées En effet, au delà d’une certaine fréquence Doppler normalisée, il devient difficile pour le turbo e´ galiseur de contrer les sélectivités temporelle et fréquentielle du canal de Rayleigh sélectif en fréquence en raison des variations rapides du canal • L’ajout du filtre de réduction de la corrélation du bruit dans les structures de l’annuleur d’interférences et de l’égaliseur de la première itération permet d’améliorer les performances globales du turbo e´ galiseur ´ Figure 10 : Evolution du TEB en sortie du décodeur de canal (troisième itération) pour les différentes valeurs de fm , canal sélectif a` trois trajets • Le facteur de fiabilité que nous avons défini s’adapte bien a` l’algorithme de décodage des codes turbo ; de plus il ne nécessite pas l’estimation de canal Annexe Le premier responsable de ce déclanchement est l’égaliseur de la première itération Ce dernier doit fournir un TEB suffisamment faible pour déclencher le processus itératif Il y a aussi l’annuleur d’interférences, qui doit eˆ tre capable de supprimer l’interférence entre symboles pour permettre au décodeur de fournir une meilleure estimation des données au fil d’itérations ` la figure 10, nous avons tracé les taux d’erreur binaire en A fonction du rapport Eb /N0 en sortie du décodeur de canal a` la troisième itération pour les fréquences Doppler normalisées fm ∈ {0.00025, 0.001, 0.0015, 0.002, 0.0025, 0.003} Nous avons tracé e´ galement le TEB du codeur turbo a` l’itération 15 pour un canal a` bruit blanc additif gaussien (AWGN sans IES) Dans cette annexe, nous déterminons analytiquement les erreurs quadratiques moyennes minimales de l’AI conventionnel (figure 3(a)) et l’EQMM de l’AI proposé (figure 3(b)) Pour ce faire, nous considérons un AI constitué d’un filtre C(z) ayant K coefficients et d’un filtre W (z) ayant 2K − coefficients A Détermination de l’EQMM de l’AI conventionnel La sortie de l’AI est donnée par (voir figure 3(a)) x ˆk = K−1 X ck,n vk+n − n=0 K−1 X wk,n x ¯k+n (n=−(K−1); n=0) ¯Tk zk =c Nous constatons que plus le canal sélectif en fréquence est variant dans le temps, plus les performances du turbo e´ galiseur s’éloignent des performances d’un canal AWGN Pour un TEB e´ gal a` 2.10−4 et fm = 0.00025, la perte dans le rapport Eb /N0 est de dB, alors que cette perte est environ dB pour fm = 0.002 et de 13 dB pour fm = 0.003 En effet, pour les fréquences Doppler e´ levées, on assiste a` des changements rapides du canal, qui sont a` l’origine causés par la vitesse du déplacement de mobile Ces changements dégradent les signaux e´ mis (signaux fortement affectés par l’IES) et influencent les performances de l’égaliseur a` la première itération, qui ne domine pas la poursuite de ces variations Et puisque notre système est itératif, toutes les performances en sont affectées Ce problème peut eˆ tre résolu par l’augmentation de la quantité des symboles de la séquence d’apprentissage périodique Ceci, malheureusement, affecte l’efficacité spectrale du système IV Conclusion L’objectif de cet article a e´ té d’adapter le turbo codage et l’égalisation a` la turbo e´ galisation dans les canaux variant dans le temps et sélectifs en fréquence, et d’apporter des améliorations aux techniques utilisées Nous avons démontré par simulation que le turbo e´ galiseur proposé présente un très bon comportement pour des canaux de Rayleigh corrélés, variant dans le temps et sélectifs en fréquence Les performances obtenues avec ce turbo e´ galiseur proposé permettent d’envisager des transmissions avec des taux d’erreurs relativement faibles et cela, sans changer plusieurs paramètres (A-1) avec zk = [vk · · · vk+K−1 x ¯k−K+1 · · · x ¯k−1 x ¯k+1 · · · x ¯k+K−1 ]T ¯k = [ck,0 · · · ck,K−1 − wk,−K+1 · · · − wk,−1 − wk,0 − wk,1 c · · · − wk,K−1 ]T (A-2) où [·]T désigne la transposée de [·] L’erreur quadratique moyenne est donnée par ˆ˛ ˛˜ ˆ ˜ J AIconventionnel = E ˛e2k ˛ = E |xk − x ˆk |2 (A-3) Cette erreur quadratique moyenne s’exprime par [16] ˆ ˜ ¯k + c ¯Tk Γ¯ ck J AIconventionnel = E |xk |2 − 2ξT c (A-4) où ξ = E [|xk zk |] est un vecteur de dimension (3K − 1) × comprenant les e´ chantillons de corrélationˆcroisé˜e entre le signal désiré, xk , et le signal d’entrée, zk Γ = E |zk |2 est une matrice de dimension (3K − 1) × (3K − 1) comprenant les e´ chantillons d’auto corrélation du signal d’entrée Les coefficients optimaux de l’égaliseur peuvent eˆ tre déterminés par le forçage du gradient ∇k a` zéro Le gradient ∇k de l’EQM peut eˆ tre obtenu par ` ˆ ´ 2˜ T ¯k + c ¯Tk Γ¯ ck ∂ E |xk | − 2ξ c ∇k = · = Γ¯ ck − ξ, (A-5) ∂ (¯ ck ) d’où ¯opt c = Γ−1 ξ k En substituant (A-6) dans (A-4), on obtient l’EQMM ˆ ˜ AI conventionnel Jmin = E |xk |2 − ξT Γ−1 ξ (A-6) (A-7) ´ BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’EGALISATION B Détermination de l’EQMM de l’AI utilisant le retour d’erreur (annuleur d’interférences proposé) Afin d’examiner l’EQM de l’AI proposé, nous e´ tudions le cas d’un AI avec un filtre M (z) ayant un seul coefficient Dans ce cas, la sortie de l’AI est donnée par (voir figure 3(b)) x ˆk = K−1 X K−1 X ck,n vk+n − n=0 (n=−(K−1); n=0) (A-8) avec ˘k = zTk z ˆ T ˘k = c c ¯k ek−1 , mk,1 ˜T [4] M Tuchler et J Hagenauer, “Linear time and frequency domain turbo equalization,” dans Proc IEEE Veh Technol Conf., mai 2001, pp 1449–1453 [5] R Otnes et M Tuchler, “Iterative channel estimation for turbo equalization of time-varying frequency-selective channels,” IEEE Trans Wireless Commun., vol 3, no 6, nov 2004, pp 1918–1923 (A-9) ` partir de (A-4), on peut exprimer l’erreur quadratique moyenne A de l’AI proposé par ˆ ˜ ˘ ck ˘k + c ˘Tk Γ˘ J AIpropose = E |xk |2 2T c (A-10) ă [6] A.O Berthet, B.S Unal et R Visoz, “Iterative decoding of convolutionally encoded signals over multipath Rayleigh fading channels,” IEEE J Select Areas Commun., vol 19, no 9, sept 2001, pp 1729–1743 [7] S Song, A.C Singer et K Sung, “Soft input channel estimation for turbo equalization,” IEEE Trans Signal Processing, vol 52, no 10, oct 2004, pp 2885–2894 [8] C Laot, R.L Bidan et D Leroux, “Low complexity MMSE turbo equalization: A possible solution for EDGE,” IEEE Trans Wireless Commun., vol 4, no 3, mai 2005, pp 965–974 [9] X Wang et H.V Poor, Wireless Communication Systems: Advanced Techniques for Signal Reception, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 2004 avec » – » – |xk zk | ξ ˘k |] = E ξ˘ = E [|xk z = |xk ek−1 | E [|xk ek−1 |] (A-11) et ˆ ˜ ˘ = E |˘ zk |2 = Γ » Γ E [|ek−1 zk |] – E [|e ˆ k−1 zk2 ˜|] E |ek−1 | (A-12) L’objectif d’égalisation e´ tant toujours la minimisation de l’EQM pour rendre ek ⊥zk−l (i.e ek orthogonal a` zk−l ), donc [23] E [ek zk−l ] = pour − ∞ < l < ∞, d’où [1] C Laot, A Glavieux et J Labat, “Turbo equalization: Adaptive equalization and channel decoding jointly optimized,” IEEE J Select Areas Commun., vol 19, no 9, sept 2001, pp 1744–1752 [3] M.L Ammari, H.T Huynh et P Fortier, “Turbo detection of turbo coded symbols over time varying frequency selective Rayleigh fading channel,” dans Proc Can Workshop Inform Theory, 2001, pp 12–15 ˘Tk z ˘k =c ˜T Références [2] C Langlais et M Hélard, “Optimization of the equalization and the interleaving in turbo equalization for a frequency selective fading channel,” dans Proc Int Conf Commun., vol 3, 2002, pp 1868–1872 wk,n x ¯k+n + mk,1 ek−1 ˆ 107 » ˘= Γ Γ – ˆ 2˜ E |ek−1 | (A-13) (A-14) ˘opt Les coefficients optimaux c peuvent eˆ tre déterminés par le forçage k a` zéro du gradient ∇k de l’EQM −1 ˘ ˘opt =Γ c k ˘ ξ (A-15) Nous remplaçons (A-15) dans (A-10), alors l’EQMM s’exprime par ˆ ˜ AIpropos´ e ˘ ˘ −1 ξ Jmin = E |xk |2 − ξ˘T Γ (A-16) [10] S Haykin, Adaptive Filter Theory, 2e e´ d., Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1991 [11] F.R Palou, J.M Noras et D Cruickshank, “Equalisation of HF channels using the SFAEST algorithm,” in Proc 8th IEE Int Conf HF Radio Syst Techniques, 2000, pp 101–105 [12] F Ling et J.G Proakis, “Adaptive lattice decision-feedback equalizers: Their performance and application to time-variant multipath channels,” IEEE Trans Commun., vol 33, no 4, avril 1985, pp 348–356 [13] X Chen et J-Y Chouinard, “Adaptive equalization of frequency selective indoor wireless communication channels,” dans Proc Can Conf Elect Comput Eng., ´ 25–28 sept 1994, pp 226–229 Halifax, N.-E., [14] S Haykin, A.H Sayed, J.R Zeidler, P Yee et P.C Wei, “Adaptive tracking of linear time variant systems by extended RLS algorithms,” IEEE Trans Signal Processing, vol 45, no 5, mai 1997, pp 1118–1128 [15] J Labat, O Macchi et C Laot, “Adaptive decision feedback equalization: Can you skip the training period?” IEEE Trans Commun., vol 46, no 7, juillet 1998, pp 921–930 [16] D.W Kim, S.H Han, M.S Eun, J.S Choi et Y.S Cho, “An adaptive decision feedback equalizer using error feedback,” IEEE Trans Consumer Electron., vol 42, no 3, août 1996, pp 468–477 [17] C.A.F.D Rocha et O Macchi, “A novel self learning complex adaptive recursive equalizer with unique optimum,” dans Proc IEEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Processing, 1994, pp 481–484 [18] G Berrou, A Glavieux et P Thitimajshima, “Near Shannon limit error correcting coding: Turbo codes,” dans Proc IEEE Int Conf Commun., 1993, pp 1064–1070 ´ [19] A Berdai, “Egalisation aveugle et turbo e´ galisation dans les canaux sélectifs en fréquence invariants et variant dans le temps,” Mémoire de maˆıtrise, Université Laval, Québec, P.Q., 2006 AIpropos´ e AIconventionnel Pour comparer Jmin avec Jmin , nous devons −1 ˘ Posons déterminer Γ ˆ ˜ ˆ ˜ E |ek−1 |2 ≈ E |ek |2 = σe2 , (A-17) [20] D.J Young et N.C Beaulieu, “The generation of correlated Rayleigh random variates by inverse discrete Fourier transform,” IEEE Trans Commun., vol 48, juillet 2000, pp 1114–1127 d’où [22] M Tuchler, A.C Singer et R Koetter, “Minimum mean squared error equalization using a priori information,” IEEE Trans Signal Processing, vol 50, mars 2002, pp 673–683 » ˘= Γ Γ – σe2 (A-18) [23] J.G Proakis, Digital Communications, 4e ed., New York: McGraw-Hill, 2001 En utilisant les formules d’inversion de matrice, nous pouvons ˘ −1 est donnée par démontrer que Γ » −1 – ˘ −1 = Γ Γ (A-19) −2 σe En substituant (A-19) et (A-11) dans (A-16), on obtient ˆ ˜ AIpropos´ e Jmin = E |xk |2 − ξT Γ−1 ξ − σe−2 (E [|xk ek−1 |])2 AIconventionnel = Jmin − σe−2 (E [|xk ek−1 |])2 [21] S Dolinar et D Divsalar, “Weight distributions for turbo codes using random and nonrandom permutations,” Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, Calif., TDA Prog Rep 42-122, 1995, pp 56–65 (A-20) Berdai Abdellah a obtenu le diplôme d’ingénieur en ´ e´ lectronique en 1998 de l’Ecole Militaire Polytechnique (EMP) d’Alger, Algérie De 1998 a` 2004, il a travaillé en tant qu’ingénieur pour un organisme de sécurité publique En 2006, il a obtenu le diplôme de maˆıtrise en génie e´ lectrique a` l’Université Laval, Québec, Québec, Canada Actuellement, il poursuit ses e´ tudes de doctorat en génie e´ lectrique au Laboratoire de Radiocommunication et de Traitement du Signal (LRTS) de l’Université Laval Ses intérêts en recherche portent sur le codage, l’estimation et l’égalisation de canal, la turbo e´ galisation et les techniques multi porteuses 108 CAN J ELECT COMPUT ENG., VOL 33, NO 2, SPRING 2008 Jean-Yves Chouinard a reçu les diplômes de baccalauréat, de maˆıtrise et de doctorat en génie e´ lectrique a` l’Université Laval, Québec, Québec, Canada, en 1979, 1984 et en 1987 respectivement De 1979 a` 1981, il a travaillé comme ingénieur en télécommunications chez Northern Telecom, Montréal, a` la mise en opération du premier système pan-canadien de téléphonie numérique DRS-8 En 1987, il a effectué un stage ´ comme chercheur post-doctoral au Centre National d’Etudes des Télécommunications (CNET) a` Issy-les-Moulineaux, France, sur les méthodes de transmission numériques pour le système radiomobile GSM De 1988 a` 2002, il e´ tait ´ professeur a` l’Ecole d’Ingénierie et de Technologie de ´ l’Information (EITI) de l’Université d’Ottawa, Ottawa, Ontario, Canada De 1996 a` 1997, ´ il e´ tait professeur invité a` l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications (ENST) a` Paris Depuis 2003, il est professeur au Département de génie e´ lectrique et de génie informatique a` l’Université Laval et occupe le poste de vice-doyen aux e´ tudes a` la Faculté des sciences et de génie depuis 2007 Il est membre de l’Ordre des Ingénieurs du Québec (OIQ) depuis 1979 Il est e´ galement trésorier de la Société canadienne de théorie de l’information (Canadian Society of Information Theory, CSIT/SCTI) Il est e´ diteur associé pour les IEEE Transactions on Broadcasting Il est auteur ou co-auteur de plus de 120 articles publiés dans des revues scientifiques et dans des compte-rendus de conférences Il est aussi co-éditeur d’un livre sur la théorie de l’information et de ses applications ainsi que co-auteur de chapitres de livres sur la radio logicielle et sur les méthodes de modulation par porteuses multiples appliquées a` la télédiffusion numérique Ses intérêts en recherche portent sur la modélisation des canaux de propagation sans fil a` large bande, la théorie de l’information, les méthodes de modulation numériques, la théorie des codes correcteurs et du codage de source, et leurs applications pour les systèmes de télédiffusion avancés Docteur des sciences en génie e´ lectrique de l’Université Laval, Québec, Québec, Canada (1972), Huu Tue Huynh a commencé sa carrière d’enseignant au sein du Département de génie e´ lectrique et de génie informatique de la même université en 1969 Il a travaillé toute sa carrière durant au Laboratoire de Radiocommunication et de Traitement du Signal (LRTS), où il a e´ té responsable des recherches des algorithmes et architectures rapides avec applications aux systèmes et réseaux de transmission Il a quitté l’Université Laval en 2004 pour devenir directeur du Département de traitement de l’information du Collège de Technologie de l’Université Nationale du Vietnam a` Hanoi, Vietnam Il a e´ té professeur invité a` l’INSA de Lyon, France (1972), a` l’ENST de Paris (1980), a` l’Université de Rennes, France (1982), ´ a` Concordia University de Montréal (1985), a` l’Ecole Polytechnique de Montréal (1986), et au CEPHAG de Grenoble, France (1995) Pendant l’année 1984, il a e´ té chercheur in´ vité du Bell Labs a` Neptune, New Jersey, E.-U Il est auteur ou co-auteur d’une centaine de travaux publiés dans des revues et des conférences internationales, et de deux livres, Systèmes non-linéaires (Gordon & Breach, 1972) et Simulations stochastiques et applications en finances avec des programmes MATLAB (Economica, 2006) ... [2] C Langlais et M Hélard, “Optimization of the equalization and the interleaving in turbo equalization for a frequency selective fading channel,” dans Proc Int Conf Commun., vol 3, 2002, pp 1868–1872... “Linear time and frequency domain turbo equalization, ” dans Proc IEEE Veh Technol Conf., mai 2001, pp 1449–1453 [5] R Otnes et M Tuchler, “Iterative channel estimation for turbo equalization of. .. Sung, “Soft input channel estimation for turbo equalization, ” IEEE Trans Signal Processing, vol 52, no 10, oct 2004, pp 2885–2894 [8] C Laot, R.L Bidan et D Leroux, “Low complexity MMSE turbo equalization:

Ngày đăng: 16/12/2017, 15:09