TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM HỌC 2013-2014 Mơn thi: TỐN – LỚP 12; định hướng cho học sinh thi khối A Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + 3mx + 2, m tham số Khi m = 0, viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A (1; ) Tìm m để hàm số cho có điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Tìm m để hàm số cho đồng biến khoảng ( 2; + ∞ ) Câu II (2,0 điểm) Giải hệ phương trình x + xy − y = x − + y − = Tính đạo hàm hàm số y = x + + tan x Câu III (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn x + y + z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x3 + y + 16 z ( x + y + z) Câu IV (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , tam giác ABC vuông B với AB = a 2, BC = 2a Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Câu V (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính theo a khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’C’B) Gọi M, N trung điểm CD, DD’ Tính khoảng cách MN A’C’ theo a Hết TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu Câu I ( điểm) ĐÁP ÁN KHẢO SÁT ĐẦU NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN – LỚP 12; định hướng khối A Thời gian làm bài: 120 phút Đáp án (1 điểm) Khi m = hàm số trở thành y = x3 − x + Ta có y ' = x − x Phương trình tiếp tuyến A (1;0 ) đồ thị hàm số y − = y ' (1)( x − 1) Điểm 0,5 hay y = −3 x + (1 điểm) Ta có y ' = x − x + 3m Để hàm số có cực trị ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt 0,5 Khi hàm số đạt cực trị x1 , x2 nghiệm phân biệt phương trình 0,5 ⇔ ∆ ' = (1 − m ) > ⇔ m < 3x − x + 3m = Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = ( ) x1 x2 = m ( 3) Theo x1 + x2 = ( ) Từ (2) (4) ta có x1 = 3; x2 = −1 Thay vào (3) ta có m = −3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = −3 3(1 điểm) Ta có y ' = x − x + 3m 0,5 Để hàm số đồng biến ( 2; + ∞ ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x > ⇔ x − x + 3m ≥ 0, ∀x > ⇔ x − x + m ≥ 0, ∀x > ⇔ m ≥ − x + x, ∀x > 0,5 Đặt g ( x ) = − x + x x ∈ [ 2; + ∞ ) Ta có g '( x) = −2 x + , g '( x) < 0, ∀x ≥ Bảng biến thiên g ( x ) x − g' g +∞ 0,5 −∞ Từ để ⇔ m ≥ g ( x), ∀x > ⇔ m ≥ Vậy m ≥ Câu II (2 điểm) (1 điểm) x + xy − y = Hệ cho x − + y − = (1) ( 2) 0,5 Điều kiện x ≥ 1; y ≥ x = y Từ (1) ⇔ ( x − y )( x + y ) = ⇔ x + 4y = Với x = y thay vào ( ) ta có x − = ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = (thỏa mãn) Với x + y = đối chiếu với điều kiện, loại Vậy ( x, y ) = {( 5;5 )} 0,5 (1 điểm) + 2 x + cos x Chú ý : Nếu tính hai đạo hàm điểm điểm Ta có y ' = Câu III (1 điểm) Thật (1) ⇔ ( x + y ) ≥ ( x + y ) ( x + y) ≥ 3 điều x + y ) + 64 z ( a − z ) + 64 z 3 Đặt x + y + z = a Khi A ≥ ( = = (1 − t ) + 64t 3 (với t = 1,0 (1) ⇔ x3 + y ≥ x y + y x ⇔ ( x − y ) ( x + y ) ≥ , Trước hết ta có với x, y ≥ x + y x + tan 3x 0,5 3 a a 0,5 z , ≤ t ≤ ) a Xét hàm số f ( t ) = (1 − t ) + 64t với t ∈ [ 0;1] Ta có f '(t ) = 64t − (1 − t ) , f '(t ) = ⇔ t = ∈ [ 0;1] 0,5 64 Ta có f ( ) = 1; f (1) = 64; f = 81 Do f ( t ) = t∈[ 0;1] Câu IV (2 điểm) 16 64 , GTNN A đạt x = y = z > 81 81 (1 điểm) S A C 0,5 H B Vì SA= SB =SC, nên kẻ SH vng góc với đáy H, H tâm tròn ngoại tiếp đáy Mà tam giác ABC vuông B nên H trung điểm AC 0,5 SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABC ) SH ⊂ ( SAC ) Vậy (1 điểm) Thể tích khối chóp SABC VSABC = SH S ABC Với S ABC = BA.BC = a 2 1 a , AH = AC = BA2 + BC = 2 6a a , SH = SA2 − AH = 2a − = a 2 a3 Từ (1), (2), (3) suy VSABC = a = 3 a Vậy thể tích khối chóp S.ABC VSABC = Câu V (2 điểm) (1) 0,5 (2) (3) 0,5 (1 điểm) Vì tứ diện B’A’C’B tứ diện vuông đỉnh B’, nên gọi d khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’C’B), ta có 1 1 = + + 2 d B ' A ' B 'C ' B ' B2 A' D' C' B' N 0,5 E F A P D M B C 1 1 = + + = d a a a 4a 2a Vậy d = d ( B ', ( A ' C ' B ) ) = Hay 0,5 (1 điểm) Lấy P trung điểm AD, Ta có A’C’ // MP, suy A’C’ // (MNP) Nên d ( A ' C ', MN ) = d A ' C ', ( MNP ) = d C ', ( MNP ) ( ) ( ) 0,5 (1) Ta có DC’ cắt CD’, MN E, F có F trung điểm DE, nên C’F = DF 0,5 Suy ra: d ( C ', ( MNP ) ) d ( D, ( MNP ) ) = C'F =3 DF (2) Gọi h khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MNP), tứ diện DMNP tứ diện vng đỉnh D, nên 1 1 = + + = , h DM DN DP a a Hay h = d ( D, ( MNP ) ) = (3) Từ (1), (2), (3) suy d ( A ' C ', MN ) = 3d ( D, ( MNP ) ) = a ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu Câu I ( điểm) ĐÁP ÁN KHẢO SÁT ĐẦU NĂM HỌC 2013- 2014 Mơn thi: TỐN – LỚP 12; định hướng khối A Thời gian làm bài: 120 phút Đáp án (1 điểm) Khi... > 0,5 Đặt g ( x ) = − x + x x ∈ [ 2; + ∞ ) Ta có g '( x) = −2 x + , g '( x) < 0, ∀x ≥ Bảng biến thi n g ( x ) x − g' g +∞ 0,5 −∞ Từ để ⇔ m ≥ g ( x), ∀x > ⇔ m ≥ Vậy m ≥ Câu II (2 điểm) (1 điểm)... d A ' C ', ( MNP ) = d C ', ( MNP ) ( ) ( ) 0,5 (1) Ta có DC’ cắt CD’, MN E, F có F trung điểm DE, nên C’F = DF 0,5 Suy ra: d ( C ', ( MNP ) ) d ( D, ( MNP ) ) = C'F =3 DF (2) Gọi h khoảng cách