xử lý tín hiệu số

Nội Dung 1.Tín hiệu, hệ thống XLTH 2.Tín hiệu tương tự tín hiệu Xử Lý Tín Hiệu Số số Chương Tín hiệu hệ thống 3.Khái niệm tần số XLTH Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu Tín hiệu 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 -0.1 -0.2 Tín hiệu Một tín hiệu hàm số x từ tập hợp D ⊂ Rk (hoặc Ck) vào Rh (hoặc (hoặc Ch) Trong thực tế, tín hiệu hàm số theo thời gian không gian đại lượng vật lý khác Tuy nhiên theo thói quen, ta hay gọi đối số tín hiệu thời gian ts ts -0.1 -0.2 XLTH time [ms] 10 Tín hiệu tương tự tín hiệu số 0.3 x : D ⊂ Rk → Rh (k ≥ 1, k ∈ Z ) 0.1 sampling time, tk [ms] 10 0.2 0.1 -0.1 -0.2 Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu Voltage [V] Voltage [V] [V] Voltage [V] Một tín hiệu hàm số Trong thực tế, tín hiệu hàm số theo thời gian không gian đại lượng vật lý khác Tuy nhiên theo thói quen, ta hay gọi đối số tín hiệu thời gian Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số time [ms] 10 Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu Phân loại Tín hiệu Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu Phân loại Tín hiệu Tín hiệu có đối số D ⊂ Rk với k > gọi tín hiệu nhiều chiều Tín hiệu có miền xác định liên tục miền giá trị rời rạc gọi tín hiệu lượng tử hố Tín hiệu có miền giá trị Rh với h > gọi tín hiệu nhiều kênh Tín hiệu thời gian rời rạc giá trị rời rạc gọi tín hiệu số Tín hiệu có đối số liên tục gọi tín hiệu thời gian liên tục Tín hiệu có đối số liên tục miền giá trị liên tục gọi tín hiệu tương tự Tín hiệu có đối số rời rạc gọi tín hiệu rời rạc Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH XLTH Nhược điểm Ưu điểm • Linh động • Dễ dàng nâng cấp • Dễ dàng lưu trữ • Dễ dàng kiểm sốt thay đổi độ xác • Tốc độ xử lý khơng cao băng thông rộng, đặc biệt với hệ thống thời gian thực Một số tín hiệu So sánh tín hiệu tương tự tín hiệu số Xử lý tín hiệu Tín hiệu tương tự tín hiệu số • Tín hiệu xung đơn vị δ(n) • Tín hiệu bước nhảy đơn vị u(n) • Tín hiệu mũ an • Bị ảnh hưởng kích thước lưu trữ liệu • Mau lỗi thời • Khả tái sản xuất XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số Khái niệm tần số Khái niệm tần số Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian liên tục Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian liên tục Tín hiệu hình sin giá trị phức hàm dao động điều hồ có dạng x a (t ) = Ae j (ωt +θ ) −∞ < t < +∞ Ta dùng tần số F số chu kỳ giây ω = 2πF Cơng thức viết lại Trong ejϕ có biểu diễn Euler xa ( t ) = Ae j( πft +θ ) ejϕ = cosϕ + jsinϕ −∞ < t < +∞ Trong A biên độ ω tần số góc tính rad/s θ góc pha Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH XLTH Khái niệm tần số 10 Khái niệm tần số Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian liên tục Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian liên tục Tín hiệu hình sin giá trị thực hàm dao động điều hồ có dạng xa ( t ) = Acos( ωt + θ ) Tín hiệu tương tự tín hiệu số −∞ < t < +∞ Ta dùng tần số F số chu kỳ giây ω = 2πF Cơng thức viết lại Trong x a (t ) = A cos(2πft + θ ) −∞ < t < +∞ A biên độ ω tần số góc tính rad/s θ góc pha XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 11 XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 12 Khái niệm tần số Khái niệm tần số Tính chất Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian rời rạc Tín hiệu hình sin điều hồ đặc trưng tính chất sau: Với giá trị tần số ω, xa tuần hoàn chu kỳ Tp = 1/F = 2π/ω Tín hiệu hình sin với tần số khác khác Tăng tần số góc ω làm tăng tốc độ dao động tín hiệu, nghĩa có nhiều chu kỳ giây Tín hiệu hình sin giá trị phức hàm dao động điều hoà có dạng xd ( n ) = Ae j( ωn+θ ) Với ejϕ có biểu diễn Euler ejϕ = cosϕ + jsinϕ n∈Z Trong A biên độ ω tần số góc tính rad/s θ góc pha XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 13 Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH Khái niệm tần số Khái niệm tần số Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian rời rạc Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian rời rạc Ta dùng tần số F số chu kỳ giây ω = 2πF Tín hiệu hình sin giá trị thực hàm dao động điều hồ có dạng Cơng thức viết lại xd ( n ) = Ae j( πFn +θ ) 14 xd ( n ) = Acos( ωn + θ ) n∈Z Với ejϕ n∈Z có biểu diễn Euler ejϕ = cosϕ + jsinϕ Trong A biên độ ω tần số góc tính rad/s θ góc pha XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 15 XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 16 Khái niệm tần số Khái niệm tần số Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian rời rạc Tính chất Ta dùng tần số F số chu kỳ giây ω = 2πF Trái với tín hiệu hình sin thời gian liên tục, tín hiệu hình sin thời gian rời rạc đặc trưng tính chất sau: Cơng thức viết lại xd ( n ) = Acos( 2πFn + θ ) n∈Z Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH Tín hiệu hình sin thời gian rời rạc tuần hồn f số hữu tỉ Các tín hiệu hình sin thời gian rời rạc có tần số f sai biệt bội số nguyên 2π đồng Tần số dao động lớn tín hiệu hình sin thời gian rời rạc đạt ω = π hay ω = -π, ứng với f = ½ hay f = -1/2 17 XLTH Hệ thống (1) Một hệ thống xử lý tín hiệu, hay vắn tắt hệ thống, tốn tử ánh xạ tín hiệu từ khơng gian hàm đến tín hiệu thuộc không gian hàm khác A : H1 → H2 Voltage [V] Voltage [V] 0.3 0.2 0.1 -0.1 -0.2 time [ms] 10 0.2 Các thành phần hệ thống xử lý tín hiệu Đa số tín hiệu gặp phải khoa học kỹ thuật tín hiệu liên tục, nghĩa ánh xạ có đối số biến liên tục, theo thời gian khơng gian thường có giá trị trải khoảng liên tục Các tín hiệu xử lý trực tiếp hệ thống xử lý tín hiệu tương tự 0.1 ts -0.1 -0.2 sampling time, tk [ms] Input Analog signal 10 Quy trình biến đổi tín hiệu qua hệ thống gọi xử lý tín hiệu XLTH 18 Hệ thống (2) Hệ thống 0.3 Tín hiệu tương tự tín hiệu số Tín hiệu tương tự tín hiệu số 19 XLTH Analog Processing System Output Analog signal Tín hiệu tương tự tín hiệu số 20 Hệ thống (3) Hệ thống (3) Phân loại hệ thống Các thành phần hệ thống xử lý tín hiệu Xử lý tín hiệu số cung cấp cách thay cho việc xử lý tín hiệu tương tự Để xử lý số tín hiệu tương tự, trước hết tín hiệu tương tự chuyển đổi sang tín hiệu số, sau xử lý hệ thống xử lý tín hiệu số, tín hiệu xuất tín hiệu số chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương tự A/D Converter Input Analog signal XLTH Input Digital signal Digital Processing System D/A Converter Output Digital signal Output Analog signal Tín hiệu tương tự tín hiệu số 21 • Một hệ thống A gọi khơi phục tồn hảo (perfect reconstruction) hay khả đảo A song ánh Nói cách khác, tín hiệu nguồn x khơi phục từ tín hiệu y = Ax nhờ ánh xạ ngược A-1, x = A-1y • Một hệ thống gọi bất biến theo thời gian với tín hiệu nguồn x[t] cho tín hiệu xuất y[t], tín hiệu nguồn x[t-t0] cho tín hiệu xuất y[t-t0] • Nói cách khác, tín hiệu nhập làm khởi hành trễ khoảng thời gian t0 tín hiệu xuất chậm lại khoảng thời gian t0 XLTH Hệ thống (4) Tín hiệu tương tự tín hiệu số Hệ thống (5) Phân loại hệ thống Phân loại hệ thống • • Trong trường hợp rời rạc, hệ thống bất biến theo thời gian với tín hiệu nguồn x[n] cho tín hiệu xuất y[n], tín hiệu nguồn x[n-k] cho tín hiệu xuất y[n-k] • Hệ thống không bất biến theo thời gian gọi hệ thống biến đổi theo thời gian • Một hệ thống gọi biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ N tương ứng với dãy nhập x[n] dãy xuất y[n] nhập liệu x[n + Nm] cho xuất liệu tương ứng y[n + Nm] Tín hiệu tương tự tín hiệu số 23 Một hệ thống gọi tuyến tính toán tử A tương ứng toán tử tuyến tính: A ( α1 x1 + α x2 ) = α1 Ax1 + α Ax2 • Nói cách khác, tín hiệu nhập làm trễ k nhịp tín hiệu xuất làm trễ k nhịp XLTH 22 α1 ,α ∈ R Một hệ thống gọi nhân tín hiệu xuất y[n] thời điểm n phụ thuộc vào giá trị tín hiệu nguồn thời điểm khứ, nghĩa phụ thuộc x[n], x[n-1], y[n] = F ( x[n], x[n − 1], ) • XLTH Một hệ thống A gọi ổn định tín hiệu xuất Ax bị chặn với tín hiệu nhập x bị chặn Tín hiệu tương tự tín hiệu số 24 Hệ thống (6) XLTHS: Mục đích cơng cụ Phân loại hệ thống Định lý • • Dự đoán xuất liệu hệ thống Applications Cho hệ thống rời rạc A Khi A tuyến tính bất biến theo thời gian tồn dãy h cho • Cài đặt xử lý cụ thể • Nghiên cứu tín hiệu cụ thể Ax = h*x Ta gọi h hàm đáp ứng xung, số trường hợp, A hay h gọi lọc Hardware Ta thường đồng A với h • Cho hệ thống A tuyến tính bất biến theo thời gian với hàm đáp ứng xung h, h nhân h(n) = với n < • Bộ xử lý đa dụng (General purpose processors: GPP) • Bộ xử lý số (DSP) Fast • Programmable logic ( PLD, FPGA ) Faster real-time DSPing • NNLT: Pascal, C / C++ Software • NN cấp cao: Matlab, Mathcad, Mathematica… • Cơng cụ chun dụng (vd: package thiết kế lọc) XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 25 Hệ thống V Một số bước bỏ qua ms A - Filter + A/D - D/A + filter A (Vd: cần xuất liệu số ) k A/D Digital Processing ms V tương tự Tiêu chí định: Analysis bandwidth, Dynamic range • Lọc thơng qua/thơng dừng • Tốc độ lấy mẫu A/D • Tham số số bit Xử lý số D/A Tương tự giáo trình Tín hiệu Lọc loại alias A/D Xử lý số V Nội dung Filter Lọc Antialiasing Antialiasing Số k Tương tự ms 26 Cài đặt hệ thống số V L
c đ chung Tín hiệu tương tự tín hiệu số XLTH Lọc Khơi phục • Định dạng số Xuất liệu số ms XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 27 XLTH Tín hiệu tương tự tín hiệu số 28 Nội dung 1.Cơng cụ phân tích tần số 2.Các dạng biến đổi Fourier 3.Biến đổi Fourier LTục (FT) 4.Chuỗi Fourier rời rạc (DFS) Xử lý tín hiệu Phân tích tần số tín hiệu XLTH Tại cần PTTS Phân tích tần số Các ứng dụng PTTS Có ứng dụng rộng rãi • Nhanh hiệu để biểu diễn tín hiệu theo sở • Đơn giản hoá toán ban đầu - ex.: giải PTĐHR (PDE) • Viễn thông - GSM/điện thoại di động, • Là kỹ thuật mạnh bù đắp cho phân tích lãnh vực thời gian • Điện tử/CNTT – hầu hết ứng dụng dựa DSP, • Một số biến đổi XLTH bao gồm: Fourier, Laplace, z, wavelet • Giải trí - âm nhạc, audio, video, đa phương tiện, • Xử lý ảnh Phân tích tần số công cụ giải toán • Kỹ nghệ I khảo cứu – phổ X-Quang, hoá phân tích, giải phương trình đạo hàm riêng, thiết kế radar, Phân tích time, t frequency, f F S(f) = F[s(t)] s(t) s(t), S(f) : Cặp biến đổi qua lại • Phân tích tiếng nói – Các thiết bò biết nghe lời, sinh trắc học Tổng hợp XLTH Phân tích tần số • Y học - Chụp cắt lớp, Chẩn đoán rối loạn giấc ngủ đau tim XLTH Phân tích tần số Vài nét lịch sử Các cơng cụ phân tích Tín hi u nh p Ph t n s 2.5 1.5 0.5 0 time, t Liên tục 2.5 1.5 0.5 0 time, t 10 12 T/hoàn FS (chu kỳ T) Rời rạc Ko Tuần hoàn Liên tục 2.5 T/ hoàn (c/ kỳ T) 1.5 0.5 0 time, tk Rời rạc 2.5 Ko Tuần hoàn 1.5 0.5 0 time, tk 10 12 FT Thế kỷ 18: Hai tốn lớn DFS** Rời rạc DTFT Liên tục DFT** Rời rạc j =√-1, ω = 2π/T, s[n]=s(tn), N = Số maãu XLTH T ⋅ s(t) ⋅ e − j k ω t dt T ∫ − j2 π f t +∞ S(f) = ∫ s(t) ⋅ e dt −∞ ck = Các tiên đoán thiên văn người Babylon, người Ai cập cổ xưa dựa tổng hàm lượng giác 1669: Newton phát phổ ánh sáng không nhận thức khái niệm tần số −j N−1 ~ ck = ∑ s[n] ⋅ e N n =0 2πkn N +∞ ∑ s[n] ⋅ e− j π f n n= −∞ 2πkn −j N−1 ~ N ck = ∑ s[n] ⋅ e N n =0 S(f) = ** Tính FFT Phân tích tần số → Qũi đạo thiên thể: Lagrange, Euler & Clairaut xấp xỉ liệu quan sát với tổ hợp tuyến tính hàm tuần hồn Clairaut,1754(!) có cơng thức DFT → Dây đàn: Euler mô tả chuyển động dây đàn sin (phương trình sóng) Tuy nhiên giới q tộc trí tổng hàm sin biểu diễn đường cong trơn 1807: Fourier trình bày cơng trình truyền nhiệt ⇒ Phân tích Fourier đời → Phương trình khuyếch tán ⇔ chuỗi hàm of sines & cosines Nhưng việc xuất gặp chống đối giới quý tộc XLTH Vài nét lịch sử Phân tích tần số Biến Đổi Fourier liên tục Thế kỷ 19th / 20th: Hai nhánh phân tích Fourier - Liên tục & Rời rạc Cho tín hiệu x ∈ L1(R) Biến đổi Fourier x hàm: Liên tục ∞ X (ω) = ∫ x(t ) e − jωt dt = 〈 e jω , x〉 → Fourier mở rộng phân tích sang hàm (Fourier Transform) → Dirichlet, Poisson, Riemann, Lebesgue giải vấn đề hội tụ → Các biến thể FT đời (ex.: Short Time FT – phân tích tiếng nói) −∞ Rời rạc: Phương pháp tính nhanh (FFT) → 1805 - Gauss, dùng FFT lần (bản thảo Latin, 1866) → 1965 - IBM’s Cooley & Tukey “khám phá lại” FFT (“An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”) → Các biến thể khác DFT cho ứd khác (ex.: Warped DFT - thiết kế lọc & nén tín hiệu) → FFT hoàn thiện cải tiến cho máy tính XLTH Phân tích tần số Nếu x ∈ L1(R) X ∈ L1(R), ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược x là: ∞ j ωt xˆ(t ) = ∫ X (ω) e d ω 2π −∞ xˆ ∈ Co ( R), xˆ = x a.e Tại điểm bất liên tục biến đổi Fourier có giá trị trung bình cộng x(t)+ x(t)-: XLTH Phân tích tần số Biến Đổi Fourier liên tục Tính chất Lưu ý • ejωt khơng thuộc L2(R) {ejωt} khơng đếm Nếu x ∈ L2(R) x phiên tổng hợp trùng L2(R) • • Ký hiệu x ↔ X để X biến đổi Fourier x x biến đổi Fourier ngược X Biến đổi Fourier viết theo quan điểm tần số: ∞ X ( F ) = ∫ x (t ) e − j πFt dt −∞ Time Tuyến tính Frequency a·s(t) + b·u(t) Nhân a·S(f)+b·U(f) s(t)·u(t) Dịch theo thời gian +∞ ∫ s(t − t ) ⋅ u( t ) dt -∞ s(t − t ) Dịch theo tần số e + j π f ⋅ s(t) Chập Đảo ngược thời gian Đạo hàm S(f - f ) s(-t) S(-f) j2πf S(f) ∫ h(t) g*(t) dt = ∫ H(f) G*(f) df ∫ s(u) du Bảo toàn lượng -∞ E= S(f)/(j2πf ) +∞ ∫ s(t) dt = -∞ Biến Đổi Fourier liên tục Cho tín hiệu x ∈ x(t) thực Biến đổi Fourier x biểu diễn theo hàm sin cos: L1(R), Phân tích +∞ ∫ x(t )cos(ωt ) dt π −∞ +∞ B(ω)= ∫ x(t )sin(ωt )dt π −∞ A(ω)= e− j 2π f t ⋅ S(f) t Tích phân Phân tích tần số S(f)·U(f) ds(t) dt Đẳng thức Parseval XLTH +∞ ∫ S(f − f ) ⋅U(f ) df −∞ XLTH +∞ ∫ S(f) df -∞ Phân tích tần số 10 Chuỗi Fuorier (Fourier Series (FS)) Một hàm tuần hồn s(t) thoả điều kiện Dirichlet biểu diễn thành chuỗi Fourier, theo hàm điều hoà sine/cosine s(t) = a0 + +∞ ∑ [ak ⋅ cos (k ω t) − bk ⋅ sin (k ω t)] k =1 Với t trừ điểm gián đoạn a0, ak, bk : Hệ số Fourier k: số, T: chu kỳ, ω = 2π/T T (giá trị trung bình tín hiệu chu kỳ, ⋅ ∫ s(t)dt i.e thành phần DC.) T T ak = ⋅ ∫ s(t) ⋅ cos(k ω t) dt Lưu ý: {cos(kωt), sin(kωt) }k T tạo thành sở trực T chuẩn không gian - bk = ⋅ ∫ s(t) ⋅ sin(k ω t) dt hàm số T a0 = Tổng hợp +∞ x(t )= ∫ [ A(ω) cos(ωt ) + B(ω)sin(ωt )] dω −∞ X (ω)=π( A(ω) − jB(ω)) XLTH Phân tích tần số 11 XLTH Phân tích tần số 12 Chuỗi Fourier - Phân tích T = 2π ⇒ ω = (a) s(t) liên tục khúc; (b) s(t) đơn điệu khúc; Trên chu kỳ: T ∫ (c) s(t) khả tích tuyệt đối: 2π π    ⋅  dt + ∫ ( −1)dt  = a0 = 2π  ∫  π 0 s(t) dt < ∞ 2π π    ak = ⋅  ∫ cos kt dt − ∫ cos kt dt  = π   π 0 Tốc độ hội tụ T Vd: xung vuông - bk = s(t) liên tục |ak|0) T (b) (a) XLTH sw(t) = 13 XLTH Chuỗi Chuỗi Fourier - Phân Phân tích Biểu diễn phổ Fourier ∑ vk (t) k =0 θk vk = akcos(ωk t) - bksin(ωk t) vk = rk cos (ωk t + θk) fk=k ω/2π 4/π 4/3π f1 2f1 3f1 XLTH 4f1 5f1 6f1 f * Hàm chẵn lẻ s(x) x Lẻ : x s(-x) = -s(x) Phân tích tần số 15 911 sw11 (t) sin(kt) ]]] (t)===∑ ⋅sin(kt) sin(kt) ∑∑[[ [b-bkbkk⋅⋅sin(kt) 13 9(t) kkk==1=11 14 θk 0.5 -0.5 -1 f1 3f1 5f1 f f1 3f1 5f1 f -1.5 t 10 Tốc độ hội tụ chậm (~1/k) - mặt lý thuyết cần vô hạn số hạng Trong th c hành, Chuỗi cắt bỏ phần lại khơng đáng kể ⇒ Nhưng có sai: Hiện tượng Gibbs Phổ Fourier xung -π/2 vng Phân tích tần số -1 4 ⋅ sin t + ⋅ sin ⋅ t + ⋅ sin ⋅ t + π 3⋅π 5⋅π 4/3π θK = pha 15 XLTH t s(x) 4/π f 10 1.5 rk f1 2f1 3f1 4f1 5f1 6f1 Toạ độ cực -bk s(-x) = s(x) θk = arctan(bk /ak ) Toạ độ Descartes rK = biên độ, Chẵn : ak ak Tổng hợp xung vuông từ thành phần rk = ak + bk rk -1.5 square signal, sw(t) s(t) = bk -0.5 Chuỗi Fourier - Tổng hợp zk = (rk , θk ) ∞ (hàm lẻ) 0.5 2π π    ⋅  sin kt dt − ∫ sin kt dt  = = ⋅ { 1− cos kπ } = k⋅π π ∫  π 0  (c) Phân tích tần số (trung bình zero)   k ⋅ π , k odd  =   , k even   s(t) 2π 1.5 FS hàm lẻ: xung vuông Đk Dirichlet square signal, sw(t) Sự hội tụ FS Phân tích tần số 16 Hiện tượng Gibbs Chuỗi Fourier dịch chuyển theo t sw 79 (t) = 79 ∑ [- bk ⋅ sin(kt)] k =1 square signal, sw(t) Xuất Overshoot điểm gián đoạn 0.5 a 0= 0   k ⋅ π , k odd, k = 1, 5,   ak =  − , k odd, k = 3, 7, 11  k⋅π   , k even  -0.5 -1 -1.5 t 10 • Max overshoot pk-to-pk = 8.95% biên độ gián đoạn (Khá nhỏ) • Trong vd trên, điểm bất liên tục chuỗi hội tụ (-1+1)/2 = Phân tích tần số (ejt)* = cos(t) - j·sin(t) ck = T ⋅ ∫ s(t) ⋅ e- j k ω t dt T s(t) = ∞ ∑ ck ⋅ e j k ω t “pha” XLTH e jt + e − jt cos(t) = ck = e jt − e − jt sin(t) = 2⋅ j Dạng phức chuỗi Fourier (Laplace 1782) Hệ số điều hoà ck cách khoảng ∆f = 1/T trục tần số z=re b r -1 rk 4/π (hàm chẵn) θk f1 3f1 5f1 7f1 f f1 3f1 5f1 7f1 f Phân tích tần số 18 Chuỗi Fourier phức suy diễn theo quan điểm giải tích hàm Cho v hàm định nghĩa vòng tròn đơn vị, ta định nghĩa : x(t) = v (ejωot) với ωo = 2π / T Ta đồng hàm định nghĩa vòng tròn đơn vị với hàm tuần hoàn chu kỳ T Trên L1[-T/2,T/2], ta định nghĩa tích vơ hướng : T2 * áx, = ò x (t ) y (t )dt T -T jθ r = a2 + b θ θ = arctan(b/a) a Phân tích tần số t -1.5 1 ⋅ (ak + j ⋅ bk ) = ⋅ (a −k − j ⋅ b −k ) 2 XLTH 10 x hàm tuần hoàn chu kỳ T Note: c-k = (ck)* c = a0 Chuỗi Fourier phức k = −∞ Quan hệ với FS hệ số thực -0.5 π Chuỗi Fourier phức e-jt = 0.5 Lưu ý: biên độ không đổi NHƯNG pha dịch tới k⋅π/2 17 Ký hiệu Euler: 2π 4/3π - bk = • Được phát Michelson, 1898 Giải thích Gibbs XLTH (trung bình 0) 1.5 square signal, sw(t) Chuỗi Fourier hàm chẵn: Dịch xung vuông đoạn π/2 1.5 19 XLTH Phân tích tần số 20 Tính chất chuỗi Fourier Thời gian Thuần Cộng Tuyến tính Tần số a·s(t) a·S(k) s(t) + u(t) S(k)+U(k) a·s(t) + b·u(t) Đảo ngược theo t Tính lẻ chuỗi Fourier Cơ sở trực chuẩn Các Fourier {uk} tạo thành sở trực chuẩn không gian hàm: uk = (1/√T) exp(jkωt) (|k| = 0,1 2, …+∞ ∞) : Đn Tích ⊗: uk ⊗ um = δk,m (1 if k = m, otherwise) a·S(k)+b·U(k) s(-t) (L/ý (ejt)* = e-jt ) T * uk ⊗ um = ∫ uk ⋅ um dt o Thì ck = (1/√T) s(t) ⊗ uk i.e (1/√T) nhân với hình chiếu s(t) xuống thành phần uk S(-k) ∞ Tích * Tích chập * m = −∞ e 2π m t +j T ⋅ s(t) e Dịch theo tần số Tần số âm & đảo ngược thời gian S(k)·U(k) s(t − t ) Dịch theo thời gian XLTH ∑ S(k − m)U(m) s(t)·u(t) T ⋅ ∫ s(t − t ) ⋅ u( t ) dt T −j k = - ∞, … -2,-1,0,1,2, …+ ∞, đồng hồ 2π k ⋅t T ⋅ S(k) k < ⇒ pha chiều kim đồng hồ (pha φk < 0), tương đương với t < ⇒ đảo ngược thời gian Pha có vai trò quan trọng kết hợp tín hiệu! S(k - m) Phân tích tần số 21 XLTH Chuỗi Fourier lượng W = Năng lượng trung bình: T s(t) Chuỗi Fourier số tín hiệu dt ≡ s(t) ⊗ s(t) • FS hội tụ ~1/k ∞ W = ∑ ck = a02 + ∑  ak + bk    k = −∞ k =1 ⇒ Các tần số thấp Wk = |ck|2 chứa hầu hết lượng • Wk vs ωk: Phổ mật độ lượng Example Đoàn xung, δ = τ / T 2τ T t a0 = δ sMAX ak = 2δsMAX sync(k δ) XLTH 22 o ∞ bk = Phân tích tần số T ∫ Công thức Parseval’ s(t) ωk = kω, φk = ωkt, k > pha quay ngược chiều kim Phân tích tần số 10 -1 10 -2 10 -3 Wk/W0 Wk = W0 sync2(k δ) kf 50 W0 = (δ sMAX)2 sync(u) = sin(π u)/(π u) 100 150 200 ∞ W    W = W0 ⋅ 1+ ∑ k   k =1 W0  23 XLTH Phân tích tần số 24 Chuỗi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Series: DFS) Tín hiệu tuần hồn s[n], chu kỳ = N DFS cho dãy hệ số ck tuần hoàn với chu kỳ DFS đ.nghĩa: 2π k n −j N−1 ~ N ck = ∑ s[n] ⋅ e N n =0 ~ ~ L
u ý: ck+N = ck ⇔ chu kỳ N N −1 j ∑e N n =0 2π n(k - m) N k, m Kronecker’s delta i.e tuần hoàn theo t ⇒ tuần hoàn theo tần số! 2π k n N−1 j ~ s[n] = ∑ ck ⋅ e N k =0 =δ N mẫu liên tiếp s[n] đủ để biểu diễn s theo thời gian hay theo tần số Tổng hợp: Tổng hữu hạn ⇐ s[n] có dải thơng bị chặn XLTH 25 Tính chất DFS Time Tuyến tính Frequency a·s[n] a·S(k) s[n] + u[n] S(k)+U(k) a·s[n] + b·u[n] a·S(k)+b·U(k) Cộng Nhân s[n] ·u[n] N−1 ∑ s[m] ⋅ u[n − m] Tích chập N−1 ⋅ ∑ S(h)U(k - h) N h =0 S(k)·U(k) m =0 Dịch theo t s[n - m] e Dịch theo tần số XLTH +j e 2π h t T ⋅ s[n] Phân tích tần số L  , k = 0, + N, ± 2N,  N   ~ = c k  π k (L −1)  π kL   −j sin   N e  N  , otherwise ⋅  N π k sin     N   -5 10 L N ~ ck 0.6 0.24 0.24 −j 2π k ⋅m T ⋅ S(k) S(k - h) 27 XLTH Phân tích tần số 0.2 0.6 0.6 0.24 0.24 10 θk 0.4π 0.2π Tín hiệu rời rạc ⇒ phổ tần số tuần hoàn So sánh với hàm xung chữ nhật thời gian liên tục (Xem lại) n 1 0.6 k 0.4π 0.2π 10 -0.2π -0.4π Phân tích tần số Thuần s[n] DFS dãy tuần hồn rời rạc: Xung vng 1-Volt s[n]: Chu kỳ N, có L mẫu khác Trực chuẩn DFS: uk , um = DFS analysis n -0.2π -0.4π 26 Chuỗi Fourier phức Chương Cho v hàm định nghĩa vòng tròn đơn vị, ta định nghĩa : x(t) = v (ejω0t) với ωo = 2π / T x hàm tuần hồn chu kỳ T Lấy Mẫu Ta đồng hàm định nghĩa vòng tròn đơn vị với hàm tuần hồn chu kỳ T Trên L1[-T/2,T/2], ta định nghĩa tích vơ hướng : áx, yñ = Chuỗi Fourier phức (2) Đặt Chuỗi Fourier phức (3) Mọi hàm tuần hồn x khai triển: fk (t ) = e Thì T2 * ò x (t ) y(t )dt T -T jkw o t {fk }kỴZ Tạo thành sở trực chuẩn L1[-T/2, T/2] x= å X [k ] f k ỴZ k = å X [k ]e k ỴZ jkwot T2 X [k ] = fk ,x = ò x(t ) e- jkwot dt T -T Hàm Dirac Hàm Dirac (2):Tính chất ¥ òd (t )dt =1 Đặt -¥ ì 0£t £e ï1/ e ù Nụi khaực ợ Ơ Ơ -Ơ -Ơ x(t ) * d (t - t0 ) = x(t - t0 ) ò x(t - t )d (t )dt =ò x(t )d (t - t )dt = x(t ) d e (t ) = í d (t ) = lim d e (t ) e ®0 Được gọi hàm Dirac x(t )d (t ) = d (t - t0 ) « e - jwt0 e jw0t « 2pd (w - w ) Cơng thức tổng Poison • Một đoàn xung với khoảng cách T hàm sT (t ) = ¥ å n=-¥ d (t - nT ) x(0)d (t ) Công thức tổng Poison Định lý Cho hàm x đủ trơn triệt tiêu nhanh vô cực, đó: ¥ å x (t - nT ) = n =-¥ ỉ 2p k j 2p kt /T ¥ ¥ = å X (kw ) e jkw0t X ỗỗ ữữ e T k =-¥ è T ø T k =-¥ trường hợp đặc biệt, t = T = : ¥ å x ( n) = n =-¥ CM Làm lớp ¥ å k =-¥ X (2p k ) Cơng thức tổng Poison Lấy mẫu Hệ Đồn xung sT(ω) có biến đổi Fourier là: ST (w ) = 2p T Ơ ổ d ốỗỗw - k =-Ơ ¥ 2p k ÷÷ = w o å d (w - kw o ) T ứ k =-Ơ Tín hiệu thực tế liên tục, cần có biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu rời rạc, lấy mẫu đóng vai trò quan trọng xử lý tín hiệu thiết lập mối liên hệ tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc CM Làm lớp Lấy mẫu (2) Lưu ý: Định nghĩa Lấy mẫu tín hiệu x với khoảng cách T > tạo phiên xT x xác định sau: xT (t ) = x(t ) sT (t ) = Lấy mẫu (3) ¥ å x(nT ) d (t - nT ) n =-¥ Biến đổi Fourier xT(t) X T (w ) = 1 ¥ X (w ) * ST (w ) = X (w ) * å d (w - kw o ) 2p T k =-¥ ¥ = å X (w - kw o ) T k =-¥ Nhận xét: XT(ω) tuần hồn chu kỳ T Định lý tạo mẫu Định lý tạo mẫu (2) Định lý (tt) Định lý • Nếu X liên tục có dải thơng bị chặn ωm nghĩa X() = với │ω│ ≥ ωm x xác định cách mẫu lấy với khoảng cách 2ωm hay x(np/ωm) • Tần số lấy mẫu tối thiểu ωs = ωm, ứng với chu kỳ lấy mẫu tối đa T = p/ωm x khơi phục từ mẫu cơng thức nội suy : x(t ) = ¥ å x(nT ) n =-¥ Với sin cT (t ) = Ví dụ Ví dụ x(t) = sinc(t/3.000000) T = 2.000000 N = 40.000000 sincT (t - nT ) sin(p t / T ) pt /T x(t) = xungvuong rong 0.500000 T = 0.500000 N = 50 1.5 Lấy mẫu hàm sinc Lấy mẫu xung vuông 0.8 0.5 0.6 0.4 -0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 x(t) = xungvuong rong 0.500000 T = 0.250000 N = 50 1.5 0.2 0.5 -0.2 -0.4 -15 -10 -5 10 15 -0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 x(t) = xungvuong rong 0.500000 T = 0.200000 N = 50 Ví dụ Ví dụ 1.5 Lấy mẫu xung vuông 0.5 Lấy mẫu hàm cos 0.5 -0.5 -2 x(t) = cos(3.141593t + 0.785398) T = 1.000000, N = 50 -0.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 -1 -4 2 1 0.5 0 -1 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 -2 -4 x(t) = cos(3.141593t + 0.785398) T = 1.000000, N = Ví dụ 0.5 Lấy mẫu hàm cos -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 x(t) = cos(3.141593t + 0.785398) T = 0.666667, N = 50 1.5 0.5 -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 -2 -1 x(t) = cos(3.141593t + 0.785398) T = 1.333333, N = 50 x(t) = xungvuong rong 0.500000 T = 0.100000 N = 50 1.5 -0.5 -2 -3 -3 -2 -1 .. .Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu Phân loại Tín hiệu Tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu Phân loại Tín hiệu Tín hiệu có đối số D ⊂ Rk với k > gọi tín hiệu nhiều chiều Tín hiệu có miền... Để xử lý số tín hiệu tương tự, trước hết tín hiệu tương tự chuyển đổi sang tín hiệu số, sau xử lý hệ thống xử lý tín hiệu số, tín hiệu xuất tín hiệu số chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương... Tín hiệu tương tự tín hiệu số 20 Hệ thống (3) Hệ thống (3) Phân loại hệ thống Các thành phần hệ thống xử lý tín hiệu Xử lý tín hiệu số cung cấp cách thay cho việc xử lý tín hiệu tương tự Để xử lý