Đê fthi học sinh giỏi cấp huyện môn toán năm hoc 2017 2018

PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN TRƯỜNG THCS THANH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán– Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề bài: Câu 1: ( điểm) Tính giá trị biểu thức sau:  1   + ÷ 0,75    a) A =    1  3 − 0,5 :  + − ÷    5.415.99 − 4.320.89 10 19 29 b) B = 5.2 − 7.2 27       − 1÷  − 1÷ − 1÷ − 1÷      100  c) C =  Câu 2:(4 điểm) a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài cạnh 3(m); 4(m); 6(m) đường cao tương ứng (m); hb (m); hc (m) Tính diện tích mảnh đất biết: – hb + hc = 25 (m) bz − cy cx − az ay − bx = = a b c b) BiÕt c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = a b c = = Chøng minh r»ng: x y z Câu 3: (4 điểm) a Tìm x, biết: x + x+ = 650   21 :  − 2x +  =  22 b Tìm x, biết:  c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z - x - y + z = - 52 Câu 4: (6 điểm) Cho ∆ABC có góc A nhọn Phía ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân A, ∆CAE vuông cân A Chứng minh: a/ DC = BE; DC ⊥ BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC K Chứng minh K trung điểm BC Câu 5: (2,0 điểm) 1) Cho ∆ABC nhọn với = 600 Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC m+n p 2) Cho m, n ∈ N p số nguyên tố thoả mãn: m − = p Chứng minh : p2 = n + -HếtHọ tên : ………………… Lớp SBD Câu Đáp án (4đ ) Điểm   1  + ÷ 0,75   a) A=    1   13   13  3 − 0,5 :  + − ÷    − :     =    2 30   13  15   − 13  = 13 61 61 = = 26 b) 5.415.99 − 4.320.89 5.2 2.15.32.9 − 2.320.23.9 B = 10 19 = 5.2 − 7.229.276 5.210.219.319 − 7.229.33.6 ( 29.318 5.2 − 32 = 29 18 ( 5.3 − ) 10 − = = 15 − )       − 1÷  − 1÷ − 1÷ − 1÷      100  C =  −  −  − 16   − 1000   ÷ ÷ ÷  ÷ =      100  1.3 2.4 3.5 99.101 1002 = 1.101 101 − − = 100.2 = 200 − −3 −8 −15 −9999 100 = (1.2.3 99)(3.4.5 101) − = (2.3.4 100).(2.3.4 100) a) Theo ta có: = 4.hb = 6.hc (=SABC) (4đ ) S ABC = S ABC  = 2hb = 3hc h h h h − hb + hc 25 = a = b = c = a = = 25.2 = 50(m ) 1 1 − + 3 3 bz − cy cx − az ay − bx a (bz − cy ) b(cx − az ) c (ay − bx) = = = = b c b2 c2 b) a = a abz − acy + bcx − abz + acy − bcx =0 a2 + b2 + c2 = Suy ra: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 bz − cy b c = ⇒ bz = cy ⇒ = a y z cx − az c a = ⇒ cx = az ⇒ = b z x ay − bx a b = ⇒ ay = bx ⇒ = c x y a b c = = x y z Từ (1), (2) (3) suy ra: c) x( y + 3) – ( y +3) = (x -1)( y + 3) =  x − = ±1  x − = ±3 ;   y + = ±3  y + = ±1 Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4) a) Ta có: x + x+ = 650 5x(1+52) = 650 5x.26 = 650 5x = 25=52 x=2   21 :  − 2x +  =   22 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy 2x+1=-1 2x+1 =1 x = -1 x = Vậy x = -1 x = c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => ; từ 4y = 5z => 12y = 15z => => => x = 40; y = 60; z = 48 Hình vẽ 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 E D A M B 0,25 0,25 0,25 b) (6đ ) 0,5 C K P a) Chứng minh ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ DC = BE => mà BA ⊥ DA => DC ⊥ BE b) Gọi M giao điểm BE DC Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông MCE, MBD, MDE BMC ta : CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2 ⇒ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; ⇒ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c) Trên tia AK lấy điểm P cho AP = DE AE = AC(gt) => ∆ADE = ∆CPA (c.g.c) ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB (soletrong) ⇒ ∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm Hình vẽ A (2đ) 1) 60 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 H B C Kẻ BH ⊥ AC Vì (1) Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 BC2 = BH2 + HC2 ⇒ BC2 = AB2 – AH2 + HC2⇒ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 ⇒ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2 ⇒ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC 2) m+n p m − = p => p2 = (m – 1)(m+n) (*) Vì p số nguyên tố nên p2 1; p2 p p2 p2 Với m – =1 m+n=p2=> m = thay vào (*) suy p2 = n+2 Với m – = p m+n=p => n=-1(vô lí n số tự nhiên) Với m-1=p2 m+n=1 suy n=-p2 (vô lí n số tự nhiên) Vậy p2 = n+2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25