Đề thi chọn HSG Quốc gia Lớp 12 THPT năm 2009- Môn Toán Câu 5 ( 3 điểm). Cho số nguyên dương n. Ký hiệu T là tập hợp gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con S của T có tính chất: trong S không tồn tại các số a, b mà { } 1;a b n − ∈ ? ( Lưu ý: Tập rỗng được coi là tập con có tính chất nêu trên) Đây là lời giải của cá nhân tôi;Chưa biết có ổn không. Xin các đồng nghiệp quan tâm cho ý kiến.Xin chân thành cảm ơn Gọi tập con của T mà trong đó tồn tại ít nhất 2 phần tử a, b sao cho 1a b− = hoặc a b n− = . là S . Khi đó ta có : S T S= − là 1) Trước hết ta tính số tập con có đúng 2 phần tử a , b và có tính chất a b n− = Ký hiệu là : n S Dễ thấy các tập con này là (1 ; n+1) ; (2 ; n+2) ; …. ;(n-1 ;2n-1) ; (n ; 2n) Và có ( 1) 1 2 . 2 n n n S n + = + + + = 2) Ta tính số tập con mà tồn tại ít nhất 2 phần tử a, b sao cho 1a b− = hoặc a b n− = trong đó nếu a b n− = thì tập đó có nhiều hơn 2 phần tử. Ký hiệu là 1;n S *) Xét tập hợp gồm (1;2) ; 3; 4; …; 2n-1; 2n gồm 1 phần tử là cặp (1;2) và 2n- 2 phần tử là các số 3;4;… ;2n-1;2n Với 2n-2 phần tử : 3;4;… ;2n-1;2n có tất cả 2 2 2 n − tập con kể cả tập rỗng. Với mỗi tập con đó ta chỉ việc “thả” cặp (1;2) vào thì có tập hợp con dạng 1;n S Và số tập hợp dạng (*)- có bộ (1;2) là 2 2 2 n − **) Hoàn toàn tương tự đối với tập hợp: (2;3) ; 4 ; 5 ; …;2n-1; 2n ( Không chứa chữ số 1) ta cũng có : số tập con có chứa (2;3) (Không chứa chữ số 1) là 2 3 2 n − ……. Số tập con có chứa (2n-2 ;2n-1) ( Không chứa các số 1 ;2 ;3 ;…2n-3) là 2 Số tập con có chứa (2n-1 ;2n) (Không chứa các số 1 ;2 ;3 ;…2n-3 ;2n-2) là 1 Chú ý : các tập con được thành lập theo các trường hợp trong (2) là không trùng nhau Vậy có : 2 2 3 2 2 2 1 1; 1 2 2 . 2 2 2 1 n n n n S − − − = + + + + + = − 3) Ta có ;từ 1) và 2) ,số tập hợp S là 2 1 1; ( 1) 2 1 2 n n n n n S S S − + = + = + − 4) Do đó số các tập con S thỏa mãn yêu cầu bài ra là: 2 1 2 2 2 1 ( 1) 2 2 2 ( 1) 2 ( 2 1) 2 2 n n n n n n n n S T S + − + − + − + = − = − + − =