Chuyên đề : Mối quan hệ phương trình bất phương trình Người thực LÊ VĂN CHÁNH KHTN,Tp HCM Mục lục Dùng phương trình đểgiải bất phương trình 1.1 Định lý quan trọng 1.2 Phương pháp 3 Giải phương trình nhờ vào phương trình bất phương trình Tài liệu tham khảo 10 Chương Dùng phương trình đểgiải bất phương trình Khi đối mặt với toán giải bất phương trình (bpt), dường không thoải mái phải nhân , chia , lũy thừahai bất phương trình cho số hay biểu thức, Làm đề vượt qua trở ngại , để chuyển việc giải bất phương trình việc giải phương trình với cảm giác thoải mái ? Và cho nhiều công cụ , giải phương trình thay bất phương trình Bên định lý quan trọng , giúp giải vấn đề 1.1 Định lý quan trọng Định lý Cho hàm số f liên tục (a, b), tồn hai giá trị c, d : a < c < d < b cho : f (c)f (d) < phương trình f (x) = có nghiệm (c, d) Ta thấy , định lý suy trực tiếp từ định lý giá trị trung bình, , không bàn đến việc chứng minh Từ định lý , đến hệ quan trọng sau: Hệ Cho hàm f liên tục khúc ,trong khoảng không chứa nghiệm giá trị hàm số không đổi dấu Định lý cho phép xác định dấu hàm số khoảng chứa nghiệm Đây mấu chốt cho ý tưởngsau Mọi bất phương trình (ptr)đều qui dạng : f (x) ≥ f (x) > Như nói , tiến hành giải ptr f (x) = 0(1) Do đó, khác biệt hai bất phương trình không quan tâm , biết rỏ tập nghiệm ptr cần quan tâm đến hai bất phương trình Nên xét dạng bất phương trình f (x) ≥ Nhờ trợ giúp nhiều công cụ khác , chúng giải ptr (1), chúng tìm tập nghiệm ptr (1) (Chúng ta quan tâm trường hợp hữu hạn nghiệm ).Từ , xét dấu hàm số khoảng không chứa nghiệm Các khoảng với múc nghiệm điểm tới hạn Kết sau xét dấu ta biết miền có f (x) > Từ , kết luận nghiệm bất phương trình Vẫn điều mà chưa nói đến , khoảng xét dấu ? Rỏ ràng , khoảng hàm số không đổi dấu , nên ta đơn giản lấy giá trị đặc biệt cho thuận tiện đề xác định dấu hàm Từ suy dấu hàm số khoảng Ta bổ sung thêm nhận xét đề trình xét dấu thuận tiện Định lý 2: Cho hàm số liên tục có hữu hạn không điểm , hai khoảng liên tiếp nghiệm đơn nghiệm bội bậc lẻ hàm số không đổi dấu, nghiệm bội chẳn hàm số giữ nguyên dấu (1.1) Chúng ta bắt đầu ví dụ bên : 1.2 Phương pháp Giải bất phương trình : 5x + 3x ≥ 6x + 2x Bước Đặt f (x) = 5x + 3x − 6x − 2x , ta cần giải bpt: f (x) ≥ Bước Giải phương trình f (x) = Có thể có nhiều cách đểgiải phương trình trên, trình bày giải ptr định lý Lagrange Ý tưởng : Qui ptr dạng : g(b) − g(a) = g(d) − g(c), : a < b < c < d Và áp dụng định lý Lagrange khoảng (a, b), (c, d) Gọi x nghiệm ptr (cố định x) Đặt g(t) = tx , t > Ta dễ nhận thấy đẳng thức sau : g(3) − g(2) = g(6) − g(5) Theo định lý Lagrange tồn c, d : < c < < < d < cho : g(3) − g(2) = (3 − 2)g (c) g(6) − g(5) = (6 − 5)g (d) Khi :xcx−1 = xdx−1 ⇔ x=0 ( dc )x−1 = ⇔ x = 1(do d > c > 2) Do ,ptr (nếu có ) nghiệm nghiệm nằm tập Se = {0, 1} Kiểm chứng trực tiếp Se tập nghiệm ptr Bước Lập bảng xét dấu Lê Văn Chánh SV Toán Tin,KHTN,Tp HCM Trang Thay lập bảng biến thiên , lý luận để tìm dấu hàm số khoảng S1 = (−∞, 0), S2 = (0, 1), S3 = (1, ∞) • Ta thấy , limx→∞ f (x) = limx→∞ 6x (( 56 )x + ( 12 )x − − ( 31 )x ) = −∞ nên f (x) < 0, ∀x ∈ S3 Dễ nhận thấy f (0) = 0, f (1) = Nên x = 0, nghiệm đơn Do áp dụng định lý (1.1), ta có : • f (x) > 0∀x ∈ S2 , f (x) < 0∀x ∈ S1 Bước Kết luận nghiệm Sie = S2 ∪ {0, 1} = [0, 1] Phương pháp áp dụng cho bất phương tính có tính giải (với hàm tương ứng hàm có hữu hạn không điểm gián đoạn hữu hạn điểm) Một số tập : Giải bất phương trình sau 3x ≥ 2x + 5x + 3x ≥ 6x + √ x2 −1 3−x ≥x x3 − 3x + ≥ sin x ≥ x √ √ − x + x + ≥ x3 + x2 − 4x − √ √ 2x + 5x − < x −1 32(x √ 2 −1) x2 +1 − 36.3x−3 + > ≥ 3x + 1, Tính giải hiểu đơn giản có cách ta xác định không điểm hàm Lê Văn Chánh SV Toán Tin,KHTN,Tp HCM Trang Chương Giải phương trình nhờ vào phương trình bất phương trình Từ cách giải trên, lại có suy nghĩ ngược lại : " Liệu phương trình hay bất phương trình đơn giản giúp ích cho giải phương trình khác không ?" (2.1) Trước hết xem xét vấn đề sau : Cho k số tự nhiên a, b hai số dương phân biệt Ta có bất đẳng thức (BĐT) sau : a+b k ak + b k ≥( ) 2 (2.2) BĐT chứng minh đơn giản phương pháp qui nạp dùng BĐT Becnuli Từ BĐT đặt câu hỏi : Với a, b > 0, a = b, ta có : ax + b x a+b x ≥( ) 2 (2.3) Nói cách khác , ta cần giảibpt (2.3) Không tổng quát , ta giả sử a < b Thực phần (1) Bước Đặt f (x) = ax + bx − 2( a+b )x , ta cần giải bpt: f (x) ≥ Bước Giải phương trình f (x) = Cũng giải phương trình định lý Lagrange Gọi x nghiệm ptr (cố định x) Đặt g(t) = tx , t > Ta dễ nhận thấy đẳng thức sau : g( a+b ) − g(a) = g(b) − g( a+b ) 2 a+b Theo định lý Lagrange tồn c, d : a < c < < d < b cho : g( a+b ) − g(a) = [ a+b − a]g (c) 2 a+b a+b g(b) − g( ) = [b − ]g (d) Khi : b−a xcx−1 = b−a xdx−1 ⇔ x=0 ( dc )x−1 = ⇔ x = 1(do d > c > 0) Do ,ptr (nếu có ) nghiệm nghiệm nằm tập S = {0, 1} Kiểm chứng trực tiếp S tập nghiệm ptr Bước Lập bảng xét dấu Thay lập bảng biến thiên , lý luận để tìm dấu hàm số khoảng S1 = (−∞, 0), S2 = (0, 1), S3 = (1, ∞) • Ta thấy :2 ∈ S3 , f (2) = • Ta thấy : 21 ∈ S2 , f ( 12 ) = (a−b)2 > 0, a = b Nên f (x) > 0, ∀x ∈ S3 √ √ − √ (√ a−√b) a+ b+ 2(a+b) < 0, a = b Nên f (x) < 0, ∀x ∈ S2 4ab • Dễ nhận thấy f (0) = ln (a+b) = 0, a = b Nên x = nghiệm đơn Do áp dụngđịnh lý (1.1), ta có : f (x) > 0∀x ∈ S1 Bước Kết luận nghiệm Sie = S1 ∪ S3 ∪ {0, 1} = (−∞, 0] ∪ [1, ∞] BĐT quen thuộc * Hệ −1 ∈ Sie , :f (−1) ≥ ⇒ a1 + 1b ≥ a+b Để trả lời câu hỏi (2.1) , quan sát ví dụ sau : Giải ptr : (2x + x)(ax + bx ) = 2(a + b)x + x(ax + bx ) (2.4) , với a,b hai số phân biệt > Giải Ta viết ptr : (2a)x + (2b)x − 2(a + b)x = x(a + b − ax − bx ) (2.5) Tiếp tục ta mong muốn xét dấu biểu thức :a+b−ax −bx Ta thấy :f (x) = a+b−ax −bx < 0, ∀x ∈ (−∞, 1) nghịch biến R với a, b > f (1) = Nên a + b − ax − bx ≤ 0, ∀x ∈ [1, ∞) Từ , nhận dấu hai vế ptr (2.5) • x(a + b − ax − bx ) > 0, ∀x ∈ (0, 1) ≤ 0, ∀x ∈ [−∞, 0] ∪ [1, ∞) • (2a)x + (2b)x − 2(a + b)x ≥ 0, ∈ [−∞, 0] ∪ [1, ∞) < 0, ∀x ∈ (0, 1) Do : • (2a)x + (2b)x − 2(a + b)x ≥ ≥ x(a + b − ax − bx ), ∀x ∈ [−∞, 0] ∪ [1, ∞) Lê Văn Chánh SV Toán Tin,KHTN,Tp HCM Trang • (2a)x + (2b)x − 2(a + b)x < < x(a + b − ax − bx ), ∀x ∈ (0, 1) Khi (2.4)⇔ (2a)x + (2b)x − 2(a + b)x = ⇔ x(a + b − ax − bx ) = x=0 x=1 *Nhận xét Đểgiải ptr : f(x)=0 D, ta biến đổi phương trình dạng :g(x)=h(x) Trong : g(x) ≥ ≥ h(x)∀x ∈ D1 g(x) < < h(x)∀x ∈ D2 D ∪ D2 = D D1 ∩ D2 = ∅ h(x) = g(x) = Khi , ta qui việc giải phương trình ban đầu hệ x ∈ D2 * Nhận xét • Trong trường hợp D2 D1 ∅ hướng phương pháp đánh giá quen thuộc • Trong , ta cần xét dấu h(x),g(x) nghĩa giải bất ptr (có thể ứng dụng phần 1) Chúng ta thực thêm ví dụ Giải phương trình : √ x (x6 + 2010)( 3x + 4x − ) = (x4 + 4x2 + x2 + 4)(5x − 25) (2.6) Ta nhận thấy phương trình quen thuộc : 3x + 4x = 5x (2.7) √ x (gần gủi với nhân tử 3x + 4x − ) x x x Việc giải (2.7) Cũng đơn giản nhờ vào tính chất hàm f (x) = +45x −5 = ( 35 )x + ( 45 )x − 1nghịch biến f (2) = 0.Do (2.7) có nghiệm Thông qua lý thuyết phần 1, ta có :(*) √ x • 3x + 4x ≥ 5x ⇔ x ≤ Từ , ta có : 3x + 4x − ≥ ⇔ x ≤ • 5x − 25 ≤ ⇔ x ≤ Từ nhận xét (*) (x6 + 2010) > 0, (x4 + 4x2 + x2 + 4) > 0, ta có : √ x • (x6 + 2010)( 3x + 4x − ) ≥ ≥ (x4 + 4x2 + x2 + 4)(5x − 25), ∀x ≤ √ x • (x6 + 2010)( 3x + 4x − ) < < (x4 + 4x2 + x2 + 4)(5x − 25), ∀x > √ x (x6 + 2010)( 3x + 4x − ) = Do (2.6) ⇔ ⇔x=2 (x4 + 4x2 + x2 + 4)(5x − 25) = Vài câu hỏi mở : lúc thực Lê Văn Chánh SV Toán Tin,KHTN,Tp HCM Trang • Chúng ta có cách để xác định hàm h,g từ f ?.(Rỏ ràng chuyển dạng (tất nhiên lúc biết h g sở để ta xác định D1 , D2 để tiếp tục trình giải phương trình )) • Như biết , phương pháp đểgiải cho phương trình, nên đặt câu hỏi : áp dụng phương pháp ? Một số tập dùng phương pháp : Giải phương trình sau √ √ − x + x + = x3 + x2 − 4x − √ √ 2x + 5x − < x2 −1 √ 2 x − + x + + (x − 1)(x2 − 3x + 5) = 2x (a + b)2 sin x − a2 sin x − b2 sin x = 2 a2 cos x + b2 cos x − (a + b)2 cos x , (a,b>0) √ √ √ − x + + x + − 3x = x3 + x2 − 5x + √ √ − x + + x = x3 + x2 − 4x − + |x| + |x − 1| √ { Mở rộng ý tưởng cho hệ phương trình} Lê Văn Chánh (x + 2(y + 2) = y(x2 + 8) , (y + 2)(x2 + 2) = x(y + 8) SV Toán Tin,KHTN,Tp HCM Trang Chương Tài liệu tham khảo Các toán phương trình từ diendantoanhoc.net (Đặc biệt, post anh Kummer) Chuyên đề sử dụng định lý Lagrange đểgiải phương trình (Anh Trịnh Công Sơn muangau(toanthpt.net)) Bài giảng dùng tính chất liên tục hàm số đểgiải bất phương trình , thầy giáo Nguyễn Văn Quí (chuyên Bến Tre) 10 ... − 6x − 2x , ta cần giải bpt: f (x) ≥ Bước Giải phương trình f (x) = Có thể có nhiều cách để giải phương trình trên, trình bày giải ptr định lý Lagrange Ý tưởng : Qui ptr dạng : g(b) − g(a) =... ≥( ) 2 (2.3) Nói cách khác , ta cần giải bpt (2.3) Không tổng quát , ta giả sử a < b Thực phần (1) Bước Đặt f (x) = ax + bx − 2( a+b )x , ta cần giải bpt: f (x) ≥ Bước Giải phương trình f (x)... Mọi bất phương trình (ptr)đều qui dạng : f (x) ≥ f (x) > Như nói , tiến hành giải ptr f (x) = 0(1) Do đó, khác biệt hai bất phương trình không quan tâm , biết rỏ tập nghiệm ptr cần quan tâm đến