Đề thi chọn HS Giỏi

PGD KRÔNG BÚK TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút. ĐỀ BÀI: Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức 2 1 2 1A x x x x= + − + − − Bài 2 (3đ) Cho biểu thức 2a 1 2a 1 . 1 1 2 1 a a a a a a B a a a a   + − − + − = + −  ÷  ÷ − − −   a/ Rút gọn B. b/ Chứng minh rằng 2 3 B〉 . Bài 3: (3đ). Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1. Chứng minh bất đẳng thức: ( ) ( ) ( ) 4 2a b c d a b c d+ + + ≥ + + + . Bài 4 (3đ). Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 1 3 4 1 2006 2007 1 2007 2008 C = + + + + + + + + + + + + là số hữu tỷ. Bài 5 (3đ). Cho ba số x, y, z thỏa mãn 2 2 2 3 3 3 1 1 x y z x y z  + + =   + + =   Hãy tính tổng x y z+ + . Bài 6 (3đ). Cho ( ) ABC AB AC∆ 〈 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC∆ . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ tại D. a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC∆ . b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC ∆ với các cạnh AB, BC. K là hình chiếu vuông góc của C xuống đường thẳng AI. Chứng minh M, N, K thẳng hàng. Bài 7 (3đ). Cho ABC∆ . Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích DP E∆ khônh lớn hơn 1 4 diện tích ABC∆ . Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích DP E∆ đạt giá trị lớn nhất. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08. Bài 1 (2đ). ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 A x x x x x x = − + − + + − − − + = − + + − − . ĐK: 1x ≥ 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x = − + + − − = − + + − − Với 1 2 1 1 1 1 2x A x x≤ < ⇒ = − + − − + = 0,25đ Với 2 1 1 1 1 2 1x A x x x≥ ⇒ = − + + − − = − 0,25đ Bài 2 (3đ). a/ Rút gọn biểu thức M ở trong ngoặc (…) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2a 1 1 2 1 . 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2a 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a + − = + − − = − + − = − + + + − − + ⇒ = − − + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2a . 1 1 1 1 1 2 1 1 2a 1 1 2 2a 2a 1 2a 1 1 2 1 1 1 a a a a MTC a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − + = − − + + − − + + − + + − − + − + + + + − − − − + − = − + + − = − + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 . 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a B a a a a a a a a a a a a a a a − − − ⇒ = + − − + + − + + − + = + = = + + + + + + (ĐKXĐ: 1 0, 1, 4 a a a≥ ≠ ≠ ) b/ Vì ( ) ( ) 2 1 0 0 1 1 2 2 a a a a a a − ≥ ∀ ≥ + ⇔ + ≥ ⇔ ≤ Nên ( ) (1) 1 3 1 1 1 2 2 a a a a a + + + ≤ + + = + Mặt khác: 1 0a a+ + > nên chia cả 2 vế của (1) cho ( ) 3 1 2 a a+ + ta có: 1 2 3 1 a a a + ≥ + + và vì 1a ≠ nên dấu “=” không xảy ra. Vậy 3 2 B > với 1 0; 1; 4 a a a≥ ≠ ≠ . 1,5 đ 2đ 1đ . PGD KRÔNG BÚK TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút. ĐỀ BÀI: Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức 2 1 2 1A. thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích DP E∆ đạt giá trị lớn nhất. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08. Bài 1 (2đ). ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1