de thi hoc sinh gioi lop 9 mon toan nam hoc 2014 2015 p1

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Bài (2,0 điểm): a) Cho A = x2 − x x2 + x − x+ x +1 x− x +1 Hãy rút gọn: B = 1− A + x + (Với 0≤ x ≤ 1) b) Cho x = − + + Thực tính 64 − 3x (x2 − 3)3 Bài (2,0 điểm): Giải phương trình sau: a) x − + x − + x + + x − = b) x + x + 2014 = 2014 Bài (2,0 điểm): Cho đường tròn tâm O hai điểm B, C thuộc đường tròn Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt A M điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn M cắt AB, AC theo thứ tự D E BC cắt OD I cắt OE K Chứng minh rằng: a) DB.DE = DI.DO b) OM, DK, EI đồng quy Bài (2,0 điểm): Cho đường tròn (O, R) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax By đường tròn Gọi M điểm tuỳ ý cung AB Tiếp tuyến M đường tròn cắt Ax By theo thứ tự C D a) Chứng minh: AC.BD = R2 b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác OCD nhỏ Bài (2,0 điểm): Cho x số nguyên Chứng minh rằng: a) A(x) = x5 – x chia hết cho x x 2x b) M = nhận giá trị nguyên − + 30 15 UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài (2,0 điểm): x( x − 1)(x + x + 1) A= x+ x +1 x( x + 1)(x − x + 1) − x− x +1 A = x( x − 1) − x( x + 1) = −2 x B = 1− −2 x + x + = 1− = 1− ( ) x − = 1− ( ) x −1 0,25 0,25 0,25 x − = 1− (1− x) = x 0,25 x3 = + 3( − + + 3) − 3.3 + = + 3x Từ x3 = + 3x được: x3 – 3x = ⇔ (x3 – 3x)3 = 43 ⇔ x3(x2 – 3)3 = 43 =64 0,50 64 x3(x2 − 3)3 − 3x = − 3x = x3 − 3x =4 Thay 3 (x − 3) (x − 3) 0,25 0,25 Bài 2(2,0 điểm): Giải phương trình sau: Nhân hai vế với ( ) 2x − + + được: ( 2x − + 2x − + 2x + + 2x − = 14 ) 2x − + = 14 0,25 0,25 2x − + 1+ 2x − + = 14 ⇔ 2x − = x = 15 Đặt điều kiện đối chiếu thử lại để kết luận nghiệm 0,25 0,25 1 được: x + x + = x + 2014 − x + 2014 + 4 0,25 Cộng hai vế với x +  2 x + = x + 2014 −  1 2  1  ⇔ x + = x + 2014 −  ÷  ÷  2  2   x + = − x + 2014 +  2 1 x + = − x + 2014 + ⇔x = − x + 2014 PT vô nghiệm VT≥ 0; 2 VP 0; b+c-a > 1 + ≥ Áp dụng a) có: ; a + b − c b + c − a 2b 1 1 + ≥ ; + ≥ Tương tự: a + b − c c + a − b 2a a + b − c c + a − b 2a  1  2 + + Cộng được: 2 ÷≥ a + b + c a + b − c b + c − a c + a − b   1 1 1 ⇔ + + ≥ + + a+ b− c b+ c − a c + a− b a b c Bài (2,5 điểm): Các điểm A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) thuộc (d) thuộc (P) nên x1; x2 hai nghiệm phương trình: x = x + m ⇔ x − x − m = (1) Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt −1 ∆ = + 4m > ⇔ m > Các điểm A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) thuộc (d) nên y1 = x1 + m, y2 = x2 + m Thay vào: ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 18 được: ⇔ ( x1 − x2 ) + ( x1 + m − x2 − m) = 18 ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ [( x1 + x2 ) − x1 x2 ]2 = Theo định lí Viet x1 + x2 = 1, x1 x2 = −m Ta có 0,50 0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 (1+4m)2 =  m = −1 + Tìm  Đối chiếu ĐK kết luận m = m=  0,25 Trừ được: ( x – y3 = x – y – ( x – y ) ( – y) ( x ⇔ ( x – y ) x + xy + y  ⇔ ( x ) ) = 2( x – y) ( x + y – 2)   ) + xy + y – ( x + y ) + = x = y ⇔ 2  x + xy + y – ( x + y ) + 4=0 Với x = y: x3 + = 2(x2 – x + y) x3 – 2x2 + = (x – 1) (x2 - x - 1) = 1+ 1− Giải x1 = 1; x2 = ; x3 = 2  1+  1− x = x=   x =  ;  ;  Nghiệm hệ là:   1+  1− y =  y = y =   2 2 Với: x + xy + y – ( x + y ) + 4=0 0,25 0,50 ⇔ 2x + 2xy + 2y – ( x + y ) + 8=0 0,50 ⇔ x + y2 + (x + y)2 − 4(x + y) + + = ⇔ x + y2 + (x + y − 2)2 + = PT vô nghiệm VT lớn Bài (2,5 điểm): Nối NA, NB Chứng minh ∆AND =∆BNC ⇒ NA = NB ⇒ ∆NAB cân ⇒ MN ⊥ AB Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN) KM/KG = AM/DG ⇒ ME/GN = AM/DG MF/NG = HM/HG HM/HG = MB/DG ⇒ MF/NG = MB/DG Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GN⇒ ME=MF Tam giác ENF có NM vừa đường cao vừa trung tuyến nên NM phân giác ENF 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ DN = 2NG chứng minh AE = 2EM Gọi I giao điểm EN DB Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN Gọi J giao điểm AG EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN ⇒ IE/IN =JE/JN ⇒ I ≡ J hay GA, DB, KN đồng quy 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2,0 điểm): Lần lượt hạ AH, OK vuông góc với BC Có: Lại có OM OK = AM AH OK SOBC OM SOBC = = nên AH SABC AM SABC Tương tự: ON SOAC OP SOAB = = ; BN SBAC CP SCAB Cộng được: OM ON OP SOBC SOCA SOAB SABC + + = + + = =1 AM BN CP SABC SABC SABC SABC 0,25 0,50 0,25 0,25 Với ba số dương a, b, c có:  1 1 1 + + ≥ ⇔ + + ÷( a+ b+ c) ≥ a b c a + b + c  a b c AM BN CP AM BN CP + + + + Có: = OM ON OP OM ON OP AM BN CP OM ON OP + + + + =( ) ( )≥ OM ON OP AM BN CP Bài (1,0 điểm): Đưa phương trình tích ⇔ 2x + 4xy − xy − 2y = ⇔ 2x(x + 2y) − y(x + 2y) = ⇔ (x + 2y)(2x − y) = Lập giải hệ phương trình:  x + 2y =  x + 2y =  x + 2y = −1  x + 2y = −7 ; ; ;  2x − y = 2x − y = 2x − y = −7 2x − y = −1 Giải nghiệm: (3; -1); (-3; 1) 0,25 0,50 0,50 0,50 ... + = x + 2014 − x + 2014 + 4 0,25 Cộng hai vế với x +  2 x + = x + 2014 −  1 2  1  ⇔ x + = x + 2014 −  ÷  ÷  2  2   x + = − x + 2014 +  2 1 x + = − x + 2014 + ⇔x = − x + 2014 PT... DB .DE = DI.DO DI DE · · · · Từ: DBI DIB (Đ.đỉnh) = DOE = OIK · · ⇒ IKO = IDB ⇒ Tứ giác DBOK nội tiếp đường tròn · · Do DBO = 90 0 nên DKO = 90 0 hay DK⊥OE Tương tự: EIO = 90 0 hay EI ⊥ DO OM DE (DE. ..UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG