UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TỐN HỌC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (6 điểm) a) Giải phương trình sau ¡ : x + 12 x x + = 27( x + 1) ≥ x−2 b) Giải bất phương trình sau: x−5 −3 Bài (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n + 26 n − 11 lập phương hai số nguyên dương Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình · · chiếu B AK, F trung điểm BC, biết KAB Chứng = KAC minh FL vng góc với AC Bài (4 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Bµi (4điểm) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2 ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) ( z + 1) + ( z + 1) ( x + 1) ≥ x + y + z + 3 z x2 + 3 x2 y + 33 y2 z2 + Hết Họ tên : Số báo danh : ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNH MƠN: TỐN Bài NĂM HỌC: 2011 - 2012 Lời giải Điểm Bài a) Giải phương trình sau ¡ : x + 12 x x + = 27( x + 1) ≥ x−2 b) Giải bất phương trình sau: x−5 −3 Lời giải: a) Điều kiện: x + ≥ ⇔ x ≥ −1 0,5 đ Phương trình đã cho tương đương với x + 12 x + x + 9(1 + x) = 36(1 + x) ⇔ (2 x + + x ) = (6 + x ) 2 x + + x = + x 3 + x = x (1) ⇔ ⇔ x + + x = −6 + x 9 + x = −2 x (2) 9(1 + x ) = x 4 x − x − = ⇔ ⇔ x=3 Ta có (1) ⇔ x ≥ x ≥ 81(1 + x) = x 4 x − 81x − 81 = 81 − 97 ⇔ ⇔x= Ta có (2) ⇔ x ≤ x ≤ 81 − 97 nghiệm phương trình đã cho x ≠ b) Điều kiện: x − − ≠ ⇔ x ≠ 9 ≥2− x ⇔ ≥2− x TH1 : Xét x < ta có : ( 1) ⇔ 5− x−3 2− x ⇔ ( − x ) ≤ ⇔ −3 ≤ x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy −1 ≤ x < nghiệm 9 ≥ x−2⇔ ≥ x−2 TH2 : Xét < x < ta có : ( 1) ⇔ 5− x−3 2− x ⇔ − ( x − ) ≥ ( Bpt vô nghiệm) 9 ≥ x−2⇔ − ( x − 2) ≥ TH3 : Xét < x ≠ ta có : ( 1) ⇔ x −8 x −8 − ( x − 8) ( x − ) − x + 10 x − ⇔ ≥0⇔ ≥0 x −8 x −8 Kết luận: x = ; x = 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ 2đ ⇔ ( x − ) ( x − 10 x + ) ≤ x ≤ − ⇔ 8 < x ≤ + Kết hợp với miền x xét ta có < x ≤ + nghiệm Bpt Vậy tập nghiệm Bpt : S = [ −1;2 ) ∪ 8;5 + ( 0,5 đ Bài Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n + 26 n − 11 đ lập phương hai số nguyên dương Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n cho n + 26 = x vµ n − 11 = y 1,5đ với x, y hai số nguyên dương ( x > y ) Khi ta x − y = 37 ⇔ ( x − y )( x + xy + y ) = 37 x − y = (1) Ta thấy < x − y < x + xy + y , nên ta có x + xy + y = 37 (2) Thay x = y + từ (1) vào (2) ta y − y − 12 = , từ có y = vµ 0,5 đ n = 38 Vậy n = 38 giá trị cần tìm Bài Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình chiếu B AK, F trung điểm BC, biết · · Chứng minh FL vng góc với AC KAB = KAC Lời giải: A 0,5đ L C F K B · · · = 2α ; BAC = 3α Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC = α Khi đó: KAB Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK ACK, ta được: BK AK CK AK = ; = sin 2α sin B sin α sin C Do BK=2CK, nên từ đẳng thức ta có: cosα = sin B (*) sin C Lại có: b2 + c a a b + c − a FA − FC = − ÷− = = bc.cos A = bc cos 3α (1) LC = LA2 + b − 2b.LA.cosα = LA2 + b − 2bc cos 2α cosα 2 ⇒ LA2 − LC = 2bc cos α cos 2α − b = bc ( cosα + cos3α ) − b = ( bc cos α − b ) + bc cos 3α (**) Thay (*) vào (**), ta được: LA2 − LC = bc cos 3α (2) Từ (1) (2) suy ra: FA2 − FC = LA2 − LC Theo bổ đề định lí carnot, suy CA vng góc với FL 2đ ( Chuyển qua vectơ ta có CA ⊥ EF ) 0,5 đ Bài Cho A tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập 1đ tập hợp gồm phần tử Lời giải: Ký hiệu X số phần tử tập hữu hạn X Gọi B1, B2,…, Bn tập A thỏa mãn: Bi = 3, Bi ∩ B j ≠ ( i, j = 1, 2, , n ) Giả sử tồn phần tử a ∈ A mà a thuộc vào tập số tập B1, B2,…, Bn (chẳng hạn a ∈ B1, B2, B3, B4), đó: Bi ∩ B j ≥ ( i, j = 1, 2,3, ) Mà Bi ≠ Bj i ≠ j, tức Bi ∩ B j ≠ Do Bi ∩ B j = (i, j = 1, 2, 3, 4) Từ A ≥ +4.2 = 9, điều mâu thuẫn Như vậy, phần tử A thuộc nhiều ba số tập B1, B2,…, Bn Khi 3n ≤ 8.3 ⇔ n ≤ Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét tập A là: B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4}; B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7} Tám tập hợp tập gồm ba phần tử A thỏa mãn Bi ∩ B j ≠ Vì số n cần tìm n = Bài Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2 ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) ( z + 1) + ( z + 1) ( x + 1) ≥ x + y + z + 3 z x2 + 3 x2 y + 33 y2 z2 + Lời giải: Gọi vế trái bất đẳng thức S Do ab + a + b ≥ 3 a 2b , ∀a > 0, b > Nên: ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) ( z + 1) S≥ ( z + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( y + 1) ( y + 1) + ( z + 1) + ( x + 1) = 2 z +1 2 x +1 1,5 đ 1,5 đ 1đ ( z + 1) ( x + 1) + ( y + 1) ( z + 1) 2 y +1 ( y + 1) + ( z + 1) + ( x + 1) ≥ = x + y + z + (đpcm) ( z + 1) + ( x + 1) + ( y + 1) Dấu xảy a = b = c = 3đ