Đề thi HSG trường 2013-2014.Lớp 10.QL3

Sở GD & ĐT Nghệ An Trường THPT Quỳnh lưu *** KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học: 2013 - 2014 Mơn: Tốn lớp 10 (Thời gian làm 150 phút) Câu (6 điểm) 2 Cho phương trình: x − 12 x − 2( m + 1) x − + m − m + 12 = a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có nghiệm thực thoả mãn x ∈ ( − ∞;1) ∪ ( 2;+∞ ) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2  x − x + y − y = x − x − y  2 x − y + = Câu (4 điểm) a) Giải bất phương trình sau: x + 3x − + ( x − ) x − + 14 > x + x + b) Cho hai số thực dương x; y thoả mãn điều kiện: x + + x y + + y = 2013 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y ( ( )( ) ) Câu (6 điểm) a) Cho tam giác ABC Hãy tìm tập hợp điểm M cho: MA + MB − MC = MB + MC b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ qua điểm M (−5;−1) cắt 2 đường tròn ( x + 1) + ( y − 6) = 26 hai điểm A, B cho AB = 13 A, B có hồnh độ số nguyên Điểm C nằm đường thẳng x + y + = Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC Biết diện tích tam giác ABC 20 Hết - Họ tên: ………………………………………………………………………… Số báo danh: ……………………… ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học: 2013 - 2014 Mơn: Tốn lớp 10 Câu Ý Đáp án Ta có: x − 12 x − 2(m + 1) x − + m − m + 12 = (1) Điểm ⇔ ( x − 3) − 2(m + 1) x − + m − m + = a 3đ 0,5 Đặt t = x − ; (t ≥ 0) ta pt: t − 2(m + 1)t + m − m + = (2) t = Với m = ta có pt: t − 6t + = ⇔  t = x = x =  2x − =  x − = ±1 ⇔ ⇔ Khi đó:   x = −1 x − = ± x − =    x = 2 x <  x − < −1 ⇔ ⇔ 2x − > Do x ∈ ( − ∞;1) ∪ ( 2;+∞ ) nên  ⇒ t >1 x > 2 x − > Từ đó: ycbt ⇔ tìm m để phương trình t − 2( m + 1)t + m − m + = có hai nghiệm t > , tức < t1 < t ( m + 1) − m − m + > ∆ >   ⇔ ( t1 − 1)( t − 1) > ⇔ t1t − ( t1 + t ) + > t + t > t + t > 1 1 ( b 3đ )  m>  3m − > m >   Hay m − m + − 2( m + 1) + > ⇔ m − 3m + > ⇔   < m m > 3    m > Vậy  nghiệm toán  < m x + x + Tập xác định D = [ 2; +∞ ) * TH 1: với ≤ x < Ta có: 14 > x + 2 x + 0,5 0,5 0,5 ) (1) x + 3x − > (7 − x) x − (2) (2) chứng minh sau: (2) ⇔ ( x − 4)3 − x + 26 x − 32 <  ( x − 4)3 < Ln với  với ≤ x < )  −6 x + 26 x − 32 < Cộng (1) (2) vế theo vế ta mệnh đề x + 3x − + ( x − 7) x − + 14 > 2( x + x + 1) Do BPT nghiệm với ≤ x < 0,25 * TH2: với ≤ x < v x ≥ Ta có: x + 3x − > 2 x + (3) ( x − 7) x − + 14 > x (4) Cộng (3) (4) vế theo vế ta mệnh đề x + 3x − + ( x − 7) x − + 14 > 2( x + x + 1) 4≤ x x (5) (6) > 2x +1 (7) ≥ (7 − x) x − ( (7) chứng minh sau: (7) ⇔ ( x − 6)( x − 10 x + 17) ≤ Luôn với ≤ x < ) Cộng (5) (6) (7) vế theo vế ta mệnh đề x + 3x − + ( x − 7) x − + 14 > 2( x + x + 1) 0,25 Do BPT nghiệm với ≤ x < 0,25 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: [ 2; ) ∪ [ 4;6 ) ∪ [ 6;7 ) ∪ [ 7; +∞ ) = [ 2; +∞ ) 0,25 Ta có: x + 1+ x2 y + 1+ y2 = ( )( ) = xy + x + y + y + x + + x + y = 2013 x2 + y2 (1) dấu “=” xảy x = y + x2 + y2 2 (2) 1+ x 1+ y ≤ dấu “=” xảy x = y Áp dụng Bđt Bunhiacôpsky: x + y + y + x ≤ x + y 2 + x + y (3) Áp dụng Bđt Côsy: xy ≤ ( b 3đ )( 0,5 ) dấu “=” xảy x = y Cộng theo vế (1) (2) (3) ta được: x2 + y2 x2 + y2 2013 ≤ +1+ + x2 + y 2 + x2 + y 2 Hay: 2013 ≤ P + + P ( + P ) ( )( 0,5 )  P ≥ 2012  ⇔ P( + P ) ≥ 2012 − P ⇔ 0 < P < 2012  P ( + P ) ≥ ( 2012 − P )   P ≥ 2012  2012 0 < P < 2012 ⇔  ⇔P≥  4026 2012  P ≥ 4026  2012 2012 Vậy GTNN P = , đạt x = y = 2013 4026 Giả sử I điểm thoả mãn: IA + IB − IC = ⇔ IA + CB = ⇔ IA = BC ⇒ I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI Gọi H trung điểm cạnh BC ⇒ HB + HC = Khi đó: MA + MB − MC = MB + MC a 2,5đ ⇔ MI + IA + IB − IC = MH + HB + MH + HC ⇔ MI = MH ⇔ MI = MH ⇒ M thuộc đường trung trực đoạn thẳng IH (với H trung điểm cạnh BC, I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 I A M H B Đường tròn (C) tâm I ( − 1;6 ) , bán kính R = 26 Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Khi IH ⊥ AB IA = R = 26 , AH = 13 ⇒ IH = IA − AH = 13 Đường thẳng ∆ qua M ( − 5;−1) có dạng a ( x + 5) + b( y + 1) = (*) (với a + b ≠ ) Do A, B ∈ ∆ nên d ( I , ∆ ) = IH a ( − + 5) + b( + 1) = 13 Hay a2 + b2 ( 0,5 ) ⇔ ( 4a + 7b ) = 13 a + b ⇔ 3a + 56ab + 36b = b 3,5 đ a + 18b = ⇔ ( a + 18b )( 3a + 2b ) = ⇔  3a + 2b = với a + 18b = , chọn a = 18; b = −1 thay vào (*) ta được: 18 x − y + 89 = Toạ độ A, B thoả mãn hệ pt  x = −4,4 18 x − y + 89 =  ⇔  x = −4,8 (loại)  2 ( x + 1) + ( y − ) = 26  y = 18 x + 89  a = ; b = − thay vào (*) ta được: x − y + = với 3a + 2b = , chọn Toạ độ A, B thoả mãn hệ pt  x = −2 2 x − y + =  x = −2; y =  ⇔  x = ⇔  2  x = 4; y = ( x + 1) + ( y − ) = 26 2 x − y + =  ⇒ A( − 2;1) , B ( 4;5) Vì C nằm đường thẳng x + y + = nên C ( t ;−1 − t ) Mặt khác: S = 20 ⇒ AB.d ( C , ∆ ) = 20 2t − 3( − − t ) + ⇒ 13 = 20 2 + 33 t = ⇔ 5t + 10 = 20 ⇔  t = −6 t = C ( 2;−3) t = −6 C ( − 6;5) Vậy: A( − 2;1) , B( 4;5) , C ( 2;−3) A( − 2;1) , B ( 4;5) , C ( − 6;5) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ... mệnh đề x + 3x − + ( x − 7) x − + 14 > 2( x + x + 1) Do BPT nghiệm với ≤ x < 0,25 * TH2: với ≤ x < v x ≥ Ta có: x + 3x − > 2 x + (3) ( x − 7) x − + 14 > x (4) Cộng (3) (4) vế theo vế ta mệnh đề. .. minh sau: (7) ⇔ ( x − 6)( x − 10 x + 17) ≤ Luôn với ≤ x < ) Cộng (5) (6) (7) vế theo vế ta mệnh đề x + 3x − + ( x − 7) x − + 14 > 2( x + x + 1) 0,25 Do BPT nghiệm với ≤ x < 0,25 Vậy tập nghiệm