Tài liệu toán A2 đại học

Toàn bộ bài giảng toán A2 đại học cho sinh viên các ngành không chuyên về toán : gồm các chương : Ma trận Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, không gian vector, ánh xạ tuyến tính, Dạng song song tuyến tính Dạng toàn phương

1/5/2016 TON CAO CP A2 I HC (I S TUYN TNH) PHN PHI CHNG TRèNH S tit: 45 Chng Ma trn nh thc Chng H phng trỡnh tuyn tớnh Chng Khụng gian vector Chng nh x tuyn tớnh Chng Dng song tuyn tớnh Dng ton phng Ti liu tham kho Nguyn Phỳ Vinh Giỏo trỡnh Toỏn cao cp A2 H Cụng nghip TP HCM Cụng Khanh Toỏn cao cp A2 NXB HQG TP HCM Nguyn Vit ụng Toỏn cao cp A2 NXB Giỏo dc Lờ S ng Toỏn cao cp i s Tuyn tớnh NXB Giỏo dc Bựi Xuõn Hi i s tuyn tớnh H KHTN TP HCM Alpha C Chiang, Kevin Wainwright Fundamental Methods of Mathematical Economics Chng Ma trn nh thc Đ1 Ma trn Đ2 nh thc Đ1 MA TRN (Matrix) 1.1 Cỏc nh ngha a) nh ngha ma trn Ma trn A cp m n trờn l h thng gm m n s aij ẻ (i = 1, m; j = 1, n ) v c sp thnh bng gm m dũng v n ct: 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc ổa ỗỗ 11 a12 ỗỗ a a22 A = ỗỗ 21 ỗỗ ỗỗ ỗốam am a1n ửữ ữ a2n ữữữ ữ ữữữ ữ amn ứữữ Cỏc s aij c gi l cỏc phn t ca A dũng th i v ct th j Cp s (m, n ) c gi l kớch thc ca A Khi m = 1, ta gi: A = (a11 a12 a1n ) l ma trn dũng Chng Ma trn nh thc ổa ỗỗ 11 ữữ ữ Khi n = 1, ta gi A = ỗỗỗ ữữ l ma trn ct ỗỗ ữữữ ỗốam ữứ Khi m = n = 1, ta gi: A = (a11 ) l ma trn gm phn t Ma trn O = (0ij )mn cú tt c cỏc phn t u bng c gi l ma trn khụng Tp hp cỏc ma trn A trờn c ký hiu l M m ,n ( ) , cho gn ta vit l A (aij ) mn Chng Ma trn nh thc Ma trn vuụng Khi m = n , ta gi A l ma trn vuụng cp n Ký hiu l A = (aij )n ng chộo cha cỏc phn t a11, a22 , , ann c gi l ng chộo chớnh ca A = (aij )n , ng chộo cũn li c gi l ng chộo ph ổ1 ỗỗ ỗỗ5 ỗỗ ỗỗ7 ỗỗ ỗố3 4ửữ ữ 8ữữữ ữ 4ữữữ ữ 0ữữứ 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc Cỏc ma trn vuụng c bit Ma trn vuụng cú tt c cỏc phn t nm ngoi ng chộo chớnh u bng c gi l ma trn chộo (diagonal matrix) Ký hiu: diag(a11, a22 , , ann ) ổ ỗỗ-1 0ữữ ỗỗ 0ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ 0 0ữữữ ố ứ Ma trn chộo cp n gm tt c ổ1 ỗỗ cỏc phn t trờn ng chộo ỗ chớnh u bng c gi l I = ỗỗ0 ỗỗ ma trn n v cp n (Identity ỗố0 matrix) Ký hiu l: I n 0ửữ ữữ 0ữữ ữữ 1ữứữ Chng Ma trn nh thc Ma trn ma trn vuụng cp n cú tt c cỏc phn t nm phớa di (trờn) ng chộo chớnh u bng c gi l ma trn tam giỏc trờn (di) ổ 0ử ổ1 -2ử ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ ữữ ữ ỗ ỗ ữ = B A = ỗỗ0 -1 ữ ỗỗ ữữ ữ ỗỗ ỗỗ ữữ ữữ 0 ữứ ỗố ỗố ứữ Ma trn vuụng cp n cú tt c cỏc cp phn t i xng qua ng chộo chớnh bng (aij = a ji ) c gi l ma trn i xng ổ -1ử ữữ ỗỗ ỗỗ ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ-1 ữữữ ố ứ Chng Ma trn nh thc b) Ma trn bng Hai ma trn A = (aij ) v B = (bij ) c gi l bng nhau, ký hiu A = B , v ch chỳng cựng kớch thc v aij = bij , "i, j ổ1 -1ử ổ1 x y ữữ ữữ ỗỗ VD Cho A = ỗỗỗ v B = ữ ỗỗ2 u ữữ ỗốz t ữứ ố ứ Ta cú: A = B x = 0; y = -1; z = 2; u = 2; t = 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc 1.2 Cỏc phộp toỏn trờn ma trn a) Phộp cng v tr hai ma trn Cho hai ma trn A = (aij )mn v B = (bij )mn , ta cú: A B = (aij bij )mn ổ-1 ổ2 2ử ổ1 ữữ ỗ ữ ỗ ữ VD ỗỗỗ ữữ + ỗỗ5 -3 1ữữữ = ỗỗ7 -3ữữữ; ốỗ ứ ốỗ ứ ỗố ứ ổ-1 ổ2 2ử ổ-3 0 ữữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗỗ ỗỗ -4ữữ - ỗỗỗ5 -3 1ữữ = ỗỗỗ-3 -5ữữ ố ứ ố ứ ố ứ Nhn xột Phộp cng ma trn cú tớnh giao hoỏn v kt hp Chng Ma trn nh thc b) Phộp nhõn vụ hng Cho ma trn A = (aij )mn v l ẻ , ta cú: lA = (laij )mn VD ổ-1 -3 ỗỗỗ ốỗ-2 ổ2 ỗỗ ỗỗ-4 ố ửữ ổỗ3 ữ=ỗ -4ữữứ ốỗỗ6 ổ1 4ửữ ữữ = ỗỗ ỗỗ-2 8ữứ ố ửữ ữ; 12ữữứ 2ữử ữ 4ữữứ -3 Chỳ ý Phộp nhõn vụ hng cú tớnh phõn phi i vi phộp cng ma trn Ma trn -1.A = -A c gi l ma trn i ca A Chng Ma trn nh thc c) Phộp nhõn hai ma trn Cho hai ma trn A = (aij )mn v B = (bjk )np , ta cú: AB = (cik )mp n Trong ú, cik = aijbjk j =1 (i = 1, m; k = 1, p) ổ-1ử ỗỗ ữữ ữ VD Thc hin phộp nhõn ỗỗỗ ữữ ỗỗ ữữữ ỗố-5ữứ ổ-1ử ỗỗ ữữ ữ Gii ỗỗỗ ữữ = (-1 + - 15) = (-12) ỗỗ ữữữ ỗố-5ữứ ( ( ) ) 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc ổ -1 0ử ữữ VD Thc hin phộp nhõn ỗỗỗ ữ ỗố-1 3ữứ ổ -1 0ử ữữ Gii ỗỗỗ ữ = -1 -1 ỗố-1 3ữứ ( ( ) ) ( ) Chng Ma trn nh thc ổ ửữ ổ 1 -1ử ỗỗ ữữ ữữ ỗ ỗ VD Tớnh ỗỗ ỗỗ -1ữữ ữ ữữ ỗố-2 ữứ ỗỗ ỗố-1 ữữứ ổ ữử ổ ổ 1 -1ử ỗỗ -4ữử ữữ ữữ ỗ ỗ ữ Gii ỗỗ ỗỗ -1ữữ = ỗỗỗ ữ ữữ ỗố-7 ứữữ ỗố-2 ữứ ỗỗ ỗố-1 ữữứ Chng Ma trn nh thc Tớnh cht Cho cỏc ma trn A, B,C ẻ M m ,n () v s l ẻ Gi thit cỏc phộp nhõn u thc hin c, ta cú: 1) (AB )C = A(BC ) ; 2) A(B + C ) = AB + AC ; 3) (A + B )C = AC + BC ; 4) l(AB ) = (lA)B = A(lB ); 5) AI n = A = I m A ổ1 -1ử ổ-1 -2 1ử ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ VD Cho A = ỗỗ2 -2 ữ v B = ỗỗ -3 1ữữ ữ ữữ ỗỗ ỗỗ ữ ỗố3 -3ữứữ ỗố -1 0ữứữ Thc hin phộp tớnh: a) AB ; b) BA 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc VD Thc hin phộp nhõn: ổ -1 2ửổ ửổ -1 ửổ -1ử ỗỗ ữữữ ỗỗ ữữữ ỗỗ ữữữ ỗỗ ữữữ A = ỗỗỗ -3 0ữữ ỗỗỗ-1 -2 ữữ ỗỗỗ1 -2ữữ ỗỗỗ ữữ ữữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗ ữữ ỗỗ ỗ ữứố ữ ỗỗ3 ữ ỗỗ-2ữứữ ốỗ-1 4ữữứốỗ -1 -3ữứố Nhn xột Phộp nhõn ma trn khụng cú tớnh giao hoỏn Chng Ma trn nh thc Ly tha ma trn Cho ma trn vuụng A ẻ M n () Ly tha ma trn A c nh ngha theo quy np: A0 = I n ; A0 = A ; Ak +1 = Ak A, "k ẻ Nu $k ẻ \ {0; 1} cho Ak = (0ij )n thỡ A c gi l ma trn ly linh S k ẻ , k nht cho Ak = (0ij )n c gi l cp ca ma trn ly linh A VD Ma trn A 0 l ly linh cp 0 Chng Ma trn nh thc Tớnh cht 1) (0n )k = 0n ; (I n )k = I n , "k ẻ 2) Ak +m = Ak Am , "A ẻ M n (), "k, m ẻ 3) Akm = (Ak )m , "A ẻ M n (), "k, m ẻ Chỳ ý 1) Nu A = diag (a11, a22 , , ann ) ẻ M n () thỡ: k k k Ak = diag(a11 , a22 , , ann ) 2) Nu A, B ẻ M n () tha AB = BA (giao hoỏn) thỡ cỏc hng ng thc quen thuc cng ỳng vi A , B Khi AB BA thỡ cỏc hng ng thc ú khụng cũn ỳng na 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc ổ1 -1ử ữ VD 10 Cho f (x ) = 2x - 4x v A = ỗỗỗ ữữ ỗố0 ữứ Tớnh f (A) + I ổ2 0ử ữữ 2011 VD 11 Cho A = ỗỗỗ ữữ , giỏ tr ca (I - A) l: ỗố ứ ổ-1 -1ử ổ-1 1ử ổ -1ử ổ-1 0ử ữữ ữữ ữữ ữữ ; B ỗỗỗ ; C ỗỗỗ ; D ỗỗỗ A ỗỗỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1ứ ỗố ỗố-1 0ứ ỗố-1 ứ ỗố-1 1ữứ Chng Ma trn nh thc VD 12 Tỡm ma trn D = (ABC )5 , ú: ổ-2 1ử ổ3 ổ0 1ử ữữ ữữ ữữ A = ỗỗỗ , B = ỗỗỗ , C = ỗỗỗ ữ ữ ữ ỗố 0ữứ ỗố8 -1ữứ ỗố1 2ữứ ổcos a - sin aử ữữ VD 13 Cho ma trn A(a) = ỗỗỗ ữ ỗố sin a cos a ữứ n Hóy tỡm ma trn ộởờA(a)ựỷỳ , "n ẻ ? Chng Ma trn nh thc VD 14 Cho A = (aij ) l ma trn vuụng cp 40 cú cỏc phn t aij = (-1)i + j Phn t a25 ca A2 l: A a25 = ; B a25 = -40 ; C a25 = 40 ; D a25 = -1 VD 15 Cho A = (aij ) l ma trn vuụng cp 100 cú cỏc phn t aij = (-1)i j Phn t a 34 ca A2 l: 35 (1 - 3100 ); 35 C a 34 = (3100 - 1); A a 34 = 35 100 (3 - 1); D a 34 = (1 - 3100 ) B a 34 = 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc d) Phộp chuyn v (Transposed matrix) Cho ma trn A = (aij )mn Khi ú, AT = (a ji )nm c gi l ma trn chuyn v ca A (ngha l chuyn tt c cỏc dũng thnh ct) ổ1 ửữ ỗ ữ ổ1 3ử ữữ AT = ỗỗỗ ữữ ỗ ỗ VD 16 Cho A = ỗ ữữ ữ ỗ 6ứữ ỗỗ ỗố4 ữ ỗố ữữứ Chng Ma trn nh thc Tớnh cht 1) (A + B )T = AT + BT ; 2) (lA)T = l.AT ; 3) (AT )T = A ; 4) (AB )T = BT AT ; 5) AT = A A l ma trn i xng Chng Ma trn nh thc ổ -1ử ữữ ỗỗ ổ -2ử ữ ữ ữữ, B = ỗỗỗ VD 17 A = ỗỗỗ ữữ ỗố-1 -3ữứ ỗỗ ữữữ ỗố-3 -2ữứ a) Tớnh (AB )T b) Tớnh BT AT v so sỏnh kt qu vi (AB )T 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc 1.3 Phộp bin i s cp trờn dũng ca ma trn (Gauss Jordan) Cho ma trn A = (aij )mn (m 2) Cỏc phộp bin i s cp (PBSC) dũng e trờn A l: di ôdk ắ A 1) (e1 ) : Hoỏn v hai dũng cho A ắ ắ d ld i i ắắ A 2) (e2 ) : Nhõn dũng vi s l , A ắắ 3) (e3 ) : Thay dũng bi tng ca dũng ú vi ln di di +ldk dũng khỏc, A ắắ ắ ắắ A Chỳ ý di mdi +ldk ắắắ B 1) Trong thc hnh ta thng lm A ắắ 2) Tng t, ta cng cú cỏc phộp bin i s cp trờn ct ca ma trn Chng Ma trn nh thc VD 18 Dựng PBSC trờn dũng a ma trn ổ ổ1 - ửữ ỗỗ2 -1ữữ ỗỗ ữữ ữữ ỗ ỗ A = ỗỗ1 -2 ữ v B = ỗỗ0 -7 / 5ữữ ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ ữữứ ỗố3 -1 ữữứ ỗố0 Chng Ma trn nh thc 1.4 Ma trn bc thang Mt dũng ca ma trn cú tt c cỏc phn t u bng c gi l dũng bng (hay dũng khụng) Phn t khỏc u tiờn tớnh t trỏi sang ca dũng ma trn c gi l phn t c s ca dũng ú Ma trn bc thang l ma trn khỏc khụng cp m n (m, n 2) tha hai iu kin: 1) Cỏc dũng bng (nu cú) phớa di cỏc dũng khỏc 0; 2) Phn t c s ca dũng bt k nm bờn phi phn t c s ca dũng phớa trờn dũng ú 1/5/2016 Chng Ma trn nh thc VD 19 Cỏc ma trn bc thang: ổ1 ữữ ỗỗ ỗỗ0 3ữữ, ữữ ỗỗ ỗỗ0 0ữữữ ố ứ ổ ữữ ổ0 3ử ỗỗ ữữ ỗỗ ỗỗ ữữ ỗỗ0 5ữữ, ữ ỗ ỗỗ ữữữ I n = ỗỗ ữữữ ữữ ỗỗ ỗỗ0 0 1ữữ ố ứ ỗỗ 0 ữữ ố ứ Cỏc ma trn khụng phi l bc thang: ổ0 0ử ổ0 ổ1 ữữ ữữ ữữ ỗỗ ỗ ỗ ỗỗ3 4ữữ, ỗỗỗ0 4ữữ, ỗỗỗ0 4ữữ ữữ ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ữ ỗỗố0 5ữữứ ỗỗố0 5ữữứ ỗỗố2 3ữữứ Chng Ma trn nh thc Ma trn bc thang rỳt gn Ma trn bc thang rỳt gn l ma trn bc thang cú phn t c s ca mt dũng bt k u bng v l phn t khỏc nht ca ct cha phn t ú ổ1 0ử ổ0 3ử ữữ ữữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ VD 20 I n , A = ỗỗ0 0ữ , B = ỗỗ0 2ữữ ữ ữữ ỗỗ ỗỗ ữ ỗố0 0 1ữứữ ỗố0 0 0ữứữ l cỏc ma trn bc thang rỳt gn ổ1 3ử ữữ Ma trn C = ỗỗỗ ữ khụng l bc thang rỳt gn ỗố0 1ữứ Chng Ma trn nh thc 1.5 Ma trn kh nghch a) nh ngha Ma trn A ẻ M n () c gi l kh nghch nu tn ti ma trn B ẻ M n () cho: AB = BA = I n Ma trn B c gi l ma trn nghch o ca A Ký hiu B = A-1 Khi ú: A-1A = AA-1 = I n ; (A-1 )-1 = A Chỳ ý Nu B l ma trn nghch o ca A thỡ B l nht v A cng l ma trn nghch o ca B 10 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Đ2 A DNG TON PHNG V DNG CHNH TC 2.1 Dng chớnh tc ca mt dng ton phng nh ngha Trong n , xột dng ton phng (vit tt l DTP) Q Ta núi Q c a v dng chớnh tc nu ta ch c mt c s B m c s ny, ma trn ca Q cú dng ng chộo Ngha l: Q(x ) = [x ]TB A[x ]B = l1x 12 + l2x 22 + + ln x n2 A = [ f ]B = diag(l1, l2 , , ln ), [x ]B = (x x n )T Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng ổ1 ữ VD Dng chớnh tc cú ma trn A = ỗỗỗ ữữ l: ỗố0 -2ữứ Q(x ) = Q(x 1, x ) = [x ]T A[x ] = x 12 - 2x 22 VD Trong , dng chớnh tc Q(x ) = x 12 - 5x 22 ổ1 0ử ữữ ỗỗ ữ ỗ cú ma trn A = ỗỗ0 -5 0ữữ ữữ ỗỗ ỗố0 0ứữữ Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Ma trn ca dng ton phng Q(x 1, x ) = x 12 - 2x 1x + 6x 22 c s B = {(1; 1), (-1; 1)} l: ổ5 5ửữữ ổ 5ửữữ ; B AB = ỗỗỗ A AB = ỗỗỗ ữ ữ; ốỗ5 9ữứ ốỗ-5 9ữứ ổ5 -5ửữữ C AB = ỗỗỗ ữ; ỗố5 ữứ ổ5 ửữữ D AB = ỗỗỗ ữ ỗố5 -9ữứ 62 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 2.2 a dng ton phng v dng chớnh tc 2.2.1 Phng phỏp bin i trc giao a) nh ngha Ma trn vuụng P c gi l ma trn trc giao nu: P T = P -1 Nu cú ma trn trc giao P lm chộo húa ma trn A thỡ ta núi P chộo húa trc giao ma trn A Chỳ ý Nu P = (aij )n l ma trn trc giao thỡ n ồa i =1 ij =1 (tng bỡnh phng mi ct ca P bng 1) Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Ma trn no sau õy l ma trn trc giao ? ổ -2 ỗỗ ỗỗ A ỗ ỗỗỗ ỗố- ửữữ ữữ ữữ; ữữ ữữứ ổ ỗỗ ỗỗ B ỗ -2 ỗỗỗ ỗố- ửữữ ữữ ữữ; ữữ ữữứ ổ ỗỗ ỗỗ -2 C ỗ ỗỗỗ ỗố- ửữữ ữữ ữữ; ữữ ữữứ ổ ỗỗ ỗỗ D ỗ- -2 ỗỗỗ ỗố ửữữ ữữ ữữ ữữ ữữứ Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng b) Thut toỏn Xột dng ton phng Q(x ) n cú ma trn l A Ta i tỡm ma trn trc giao P cho i bin [x ] = P [y ] thỡ D = P T AP cú dng chộo Khi ú, Q = [y ]T D[y ] cú dng chớnh tc theo bin y : Q(y ) = l1y12 + l2y22 + + ln yn2 vi li , i = 1,2, , n l cỏc tr riờng ca A Bc Tỡm cỏc tr riờng li ca A v vector riờng c s ui ca khụng gian riờng ng vi li , i = 1, n Bc Trc chun húa Gram Schmidt cỏc vector ui thnh wi (xem chng 3, Đ5, 5.3) 63 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Bc Ma trn trc giao l: P = ([w1 ] [w2 ] ẳ [wn ]) Ma trn ca Q c s mi l: D = P T AP = diag(l1, l2 , , ln ) VD Trong , cho dng ton phng: Q(x ) = -3x 22 + 4x 1x ổ0 ữữ Q(x ) cú ma trn A = ỗỗỗ ữ c s chớnh tc ỗố2 -3ữứ Ma trn A cú tr riờng v vector riờng tng ng l: l1 = 1, u1 = (2; 1); l2 = -4, u2 = (1; -2) Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Trc chun húa u1, u2 ta c: 1 w1 = 2; v w1 = (1; -2) 5 Ma trn P ca phộp chuyn t c s chớnh tc sang ổỗ2 ửữữ ỗỗ c s trc chun {w1, w2 } l P = ữ ỗố1 -2ữứ i bin [x ] = P [y ]: 1 x1 = y1 + y2 , x = y1 y2 5 5 Thay x 1, x cụng thc i bin trờn vo Q(x ), ( ) ta c dng chớnh tc Q(y ) = y12 - 4y22 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , cho dng ton phng Q(x 1, x ) = 3x 22 + 4x 1x Bng phộp i bin trc giao [x ] = P[y ], ổỗ-2 1ửữữ ỗỗ vi P = ữ, ta a Q v dng chớnh tc l: ỗố 2ữứ A Q = -y12 + 4y22 ; B Q = y12 - 4y22 ; C Q = 4y12 - y22 ; D Q = -4y12 + y22 Chỳ ý Cỏc tr riờng ca A ng vi vector ct ca P 64 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , cho ma trn A ca DTP Q(x ) cú cỏc tr riờng v vector riờng c s tng ng l: l1 = 3, u1 = (1; 1; 1); l2 = 6, u2 = (-1; -1; 2) v l3 = 8, u = (-1; 1; 0) Tỡm ma trn trc giao P v dng chớnh tc ca Q ? VD a dng ton phng sau v dng chớnh tc bng bin i trc giao: Q(x ) = 3x 12 + 6x 22 + 3x 32 - 4x 1x + 8x 1x + 4x 2x Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 2.2.2 Thut toỏn Lagrange Xột dng ton phng: n Q(x ) = aii x i2 + i =1 1Êi < j Ên aij x i x j a) Trng hp (cú h s aii ) Bc Gi s a11 , ta tỏch tt c cỏc s hng cha x Q(x ) v thờm hoc bt cú dng: Q(x ) = a11x + + a1n x n ) + Q1(x , , x n ), ( a11 vi Q1(x , , x n ) cha ti a n - bin Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng i bin: ( ) y1 = a11x + a12x + + a1n x n , yi = x i i = 2, n i bin ngc: x1 = (y - a12y2 - - a1nyn ), x i = yi i = 2, n a11 ổ ỗỗ - a12 - a1n ữữ ỗỗ a11 a11 ữữữ ỗỗ ữ ữữữ Ta cú ma trn P1 = ỗỗ ữ ỗỗ ữữ ỗỗ ữữ ỗỗ ữữ ố ứ ( ) 65 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Vi bin mi thỡ Q = y + Q1(y2 , , yn ) a11 Bc Tip tc lm nh bc cho Q1(y2 , , yn ), Sau k bc thỡ Q cú dng chớnh tc Ma trn i bin P = P1 Pk v [x ] = P[y ] b) Trng hp (h s aii = 0, i = 1, , n ) Gi s a12 , ta i bin: x = y1 + y2 , x = y1 - y2 , x i = yi (i = 3, , n ) Khi ú, Q = 2a12y12 - 2a12y22 + cú h s ca y12 l 2a12 Ta tr li trng hp Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , cho dng ton phng: Q (x 1, x , x ) = x 12 + 2x 22 + 2x 32 + 2x 1x - 2x 2x Dựng thut toỏn Lagrange a Q (x ) v dng chớnh tc ta t y1 = x + x , y = x - x , y = x Ma trn i bin P l: ổ1 ữữ ỗỗ ữ ỗ A ỗỗ0 - 1ữữ; ữ ỗỗ ữ ỗố0 ữữứ ổ 0ử ữữ ỗỗ ữ C ỗỗỗ- 1 0ữữ; ữữ ỗỗ ỗố- 1 1ữứữ ổ1 ỗỗ B ỗỗỗ1 ỗỗ ỗố0 - ổ1 - ỗỗ D ỗỗỗ0 ỗỗ ỗố0 0ữử ữữ 0ữữ; ữữ 1ữữứ - 1ửữ ữữ ữữ ữữ ữứữ Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Gii Ta cú: ỡùy = x + x ỡùx = y - y - y ùù ù 1 2 ùớy = x - x ùùớx = y + y 3 ùù ùù ùùy = x ùùx = y ợ ợ Vy ta chn D 66 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD 10 Trong , cho dng ton phng: f (x 1, x ) = -7x 12 - 2x 22 - 8x 1x Dựng thut toỏn Lagrange vi ma trn i bin ổ 0ử ữ P = ỗỗỗ ữữ, ta a f v dng chớnh tc l: ỗố-2 1ứữ A f (y1, y2 ) = 2y12 - y22 ; B f (y1, y2 ) = -2y12 + y22 ; C f (y1, y2 ) = y12 - 2y22 ; D f (y1, y2 ) = -y12 + 2y22 VD 11 Dựng thut toỏn Lagrange a DTP sau v dng chớnh tc v tỡm ma trn i bin P : Q(x ) = -x 22 + 4x 32 + 2x 1x + 4x 1x Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD 12 Dựng thut toỏn Lagrange a DTP sau v dng chớnh tc v tỡm ma trn i bin P : f (x ) = 2x 1x + 2x 1x - 6x 2x Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 2.2.3 Thut toỏn Jacobi (tham kho) nh thc chớnh Cho ma trn vuụng A = (aij )n a11 a1k nh thc: Dk = (1 Ê k Ê n ) ak akk c gi l nh thc chớnh ca A Thut toỏn Cho dng ton phng Q(x ) cú ma trn A = (aij )n tha cỏc nh thc Dk 0, k = 1, , n 67 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Vi j > i , ta t D j -1, i l nh thc ca ma trn cú cỏc phn t nm trờn giao cỏc dũng 1,2,ẳ, j - v cỏc ct 1,2,ẳ, i - 1, i + 1,ẳ, j (b ct i ) ca A i bin theo cụng thc: ỡ ù x = y1 + b21y2 + b31y + b41y + + bn 1yn , ù ù ù y2 + b32y + b42y + + bn 2yn , ùx = ù , ù ù ù x = yn ù ù ợ n D j -1, i Trong ú, bji = (-1)i + j D j -1 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng ổ b b ỗỗ 21 n1 ữ ữ ỗỗ b ữữ ữữ n Khi ú, P = ỗỗ v ỗỗ ữữữ ữữ ỗỗ ỗố 0 ữứ D D D Q = D1y12 + y22 + y 32 + + n yn2 D1 D2 Dn -1 VD 13 Dựng thut toỏn Jacobi a DTP sau v dng chớnh tc: Q(x ) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 3x 1x + 4x 1x Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 2.2.4 Thut toỏn bin i s cp ma trn i xng (tham kho) Bc Bin i s cp dũng ca ma trn A I n v ( ) ng thi lp li cỏc bin i cựng kiu trờn cỏc ct ca A I n a A v dng chộo diag(l1, , ln ) ( ) Khi ú, I n s tr thnh P T Bc i bin [x ] = P [y ], ta c: Q(y ) = l1y12 + l2y22 + + ln yn2 VD 14 Dựng thut toỏn bin i s cp, a DTP Q(x ) = 2x 1x - 4x 1x + 6x 2x v dng chớnh tc 68 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Đ3 LUT QUN TNH XC NH DU CA DNG TON PHNG 3.1 Lut quỏn tớnh a) Dng chun tc Trong n , mi dng ton phng bt k u cú th a v dng chớnh tc mt c s chớnh tc: Q = l1x 12 + l2x 22 + + lr x r2 (l1l2 lr 0) (1) Dng chớnh tc (1) c gi l dng chun tc nu: li = 1, "i = 1,2, , r Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Khụng lm mt tớnh tng quỏt, gi s: l1, l2 , , ls > v ls +1, ls +2 , , lr < a (1) v dng chun tc, ta i bin: ỡ ù ù xi = yi , i = 1,2, , s ù ù li ù ù ù ù ù y j , j = s + 1, s + 2, , r ớx j = ù -lj ù ù ù ù x k = yk , k = r + 1, r + 2, , n ù ù ù ù ợ Khi ú, Q = x 12 + x 22 + + x s2 - x s2+1 - - x r2 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , cho dng chớnh tc: Q(x ) = 2x 12 - 3x 22 + 4x 32 ỡù ùùx = y , ùù ùù 1 ùùx = y2 = y2 , ù i bin: -(-3) -3 ùù ùùx = y = y , ùù 3 ùù ùùợx = y Trong c s mi, ta c dng chun tc: Q(y ) = y12 - y22 + y 32 69 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng b) nh lý (Lut quỏn tớnh Sylvester) S s cỏc s hng mang du + v s p cỏc s hng mang du dng chớnh tc l nhng i lng bt bin, khụng ph thuc vo phộp bin i tuyn tớnh khụng suy bin a dng ton phng v dng chớnh tc Chỳ ý S s c gi l ch s dng quỏn tớnh ca DTP S p c gi l ch s õm quỏn tớnh ca DTP S s - p c gi l ch s (hay ký s) ca DTP Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , cho dng ton phng: Q(x ) = x 12 - 3x 22 - 2x 1x Cỏch Bin i: Q(x ) = (x - x )2 - 4x 22 i bin y1 = x - x , y2 = x , ta c: Q(y ) = y12 - 4y22 Cỏch Bin i: Q(x ) = - (x + 3x )2 + x 12 3 i bin z1 = x + 3x , z = x , ta c: Q(z ) = - z12 + z 22 3 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 3.2 Tớnh xỏc nh du ca dng ton phng nh ngha Trong n , cho dng ton phng Q(x ) Q(x ) c gi l xỏc nh dng nu: Q(x ) > 0, "x ẻ n \ {q} Q(x ) c gi l xỏc nh õm nu: Q(x ) < 0, "x ẻ n \ {q} Q(x ) c gi l na xỏc nh dng (õm) nu: Q(x ) 0, "x ẻ n (Q(x ) Ê 0, "x ẻ n ) Q(x ) c gi l khụng xỏc nh du nu nú nhn c giỏ tr dng ln õm 70 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , ta cú: Q(x ) = x 12 + 3x 22 - 2x 1x l xỏc nh dng vỡ Q(x ) = (x - x )2 + 2x 22 > 0, "x ẻ \ {q} f (x ) = -4x 12 - x 22 + 4x 1x l na xỏc nh õm vỡ f (x ) = -(2x - x )2 Ê 0, "x ẻ g(x ) = x 12 - x 22 + x 1x l khụng xỏc nh du vỡ g(1, - 1) = -1 < v g(1, 1) = > Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 3.3 Cỏc tiờu chun xỏc nh du a) nh lý DTP n l xỏc nh dng v ch tt c cỏc h s dng chớnh tc ca nú u dng DTP n l xỏc nh õm v ch tt c cỏc h s dng chớnh tc ca nú u õm H qu Dng ton phng Q(x ) l xỏc nh dng v ch ma trn ca nú cú tt c cỏc tr riờng dng Dng ton phng Q(x ) l xỏc nh õm v ch ma trn ca nú cú tt c cỏc tr riờng õm Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , xột tớnh xỏc nh du ca DTP sau: Q(x ) = 4x 12 + x 22 + 5x 32 - 2x 1x + 6x 1x VD Trong , xột tớnh xỏc nh du ca DTP sau: f (x ) = 7x 12 + 2x 22 - x 32 + 5x 1x 71 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng b) nh lý (nh lý Sylvester) Trong n , dng ton phng l xỏc nh dng v ch ma trn ca nú cú tt c cỏc nh thc chớnh u dng Ngha l: Dk > 0, k = 1, n Trong n , dng ton phng l xỏc nh õm v ch ma trn ca nú cú cỏc nh thc chớnh cp chn dng, cp l õm Ngha l: (-1)k Dk > 0, k = 1, n Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Trong , dựng nh lý Sylvester xột tớnh xỏc nh du ca dng ton phng sau: Q(x ) = -2x 12 - 4x 22 - 3x 32 + 4x 1x VD Trong , dựng nh lý Sylvester xột tớnh xỏc nh du ca dng ton phng sau: f (x ) = 7x 12 + 2x 22 - x 32 + 5x 1x Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Đ4 RT GN CONIC QUADRATIC (Nhn din ng v mt bc hai) 4.1 ng bc hai mt phng ta Oxy a) nh ngha Trong mt phng Oxy , ng bc hai l hp tt c cỏc im M (x ; y ) cú ta tha phng trỡnh: ax + by + 2cxy + 2dx + 2ey + f = (1) Trong ú, a + b + c > VD Trong , ng (C ) cú phng trỡnh sau l ng bc hai: x + 4y - 4xy + 4x - 3y - = 72 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng b) Phõn loi cỏc ng conic Cỏc dng chớnh tc ca ng conic x y2 1) + = (ng elip); a b x y2 2) - = (ng hyperbol); a b 3) y = px hoc x = py (parabol) Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Phõn loi Trong Oxy , xột ng (C ) cú phng trỡnh (1): ax + by + 2cxy + 2dx + 2ey + f = ổa c d ữữ ỗỗ ổa c ữữ ỗỗc b e ữữ t hai ma trn Q = ỗỗỗ v Q = ữữ ữ ỗỗ ỗốc b ữứ ỗỗd e f ữữữ ố ứ Ta cú (C ) l ng conic detQ Khi (C ) l ng conic thỡ: 1) (C ) l ng elip detQ > ; 2) (C ) l ng hyperbol detQ < ; 3) (C ) l ng parabol detQ = Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Chỳ ý Nu detQ = thỡ (C ) khụng phi l conic (cú th l tớch ca hai ng thng) c) Rỳt gn ng conic Bng cỏch xoay trc ta v tnh tin, ta s a (1) v dng chớnh tc Bc a dng ton phng ax + by + 2cxy v dng chớnh tc a(x Â)2 + b(y Â)2 (kh tớch chộo xy ) bng phộp bin i trc giao (phộp quay) Bc t x  = x  + a Â, y  = y  + b  (tnh tin h ta ) mt cỏch thớch hp phng trỡnh (C ) cú dng chớnh tc 73 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Xỏc nh dng ca ng bc hai (C ) : x + 4y - 4xy + 4x - 3y - = VD Xỏc nh dng ca ng bc hai (C ) : x - 4y - 4x + 8y = VD Trong Oxy , vit phng trỡnh chớnh tc ca conic (C ) : 5x + 8y + 4xy - 32x - 56y + 80 = Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng 3.2 Mt bc hai khụng gian ta Oxyz a) nh ngha Trong khụng gian Oxyz , mt bc hai l hp tt c cỏc im M (x , y, z ) cú ta tha phng trỡnh: ax + by + cz + 2dxy + 2exz + fyz + 2gx + 2hy + 2kz + l = (2) Trong ú a, b, c, d, e, f khụng ng thi bng VD Trong , mt (S ) cú phng trỡnh sau l mt bc hai: 3x + 3y + 10xy - 2x - 14y - 13 = Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Cỏc dng chớnh tc ca mt bc hai 1) x + y + z = R (mt cu); x2 a2 x2 3) a x2 4) a x2 5) a 2) y2 b2 y2 + b y2 + b y2 + b + z2 c2 z2 - c z2 - c z2 - c + = (mt elipsoid); = (hyperbolic tng); = -1 (hyperbolic tng); = (nún eliptic); 74 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng x y2 + = 2z (parabolic eliptic); a b2 x y2 7) - = 2z (parabolic hyperbolic); a b x y2 8) + = (mt tr eliptic); a b x y2 9) - = (mt tr hyperbolic); a b 10) y = px hoc x = py (mt tr parabolic) 6) Chỳ ý Cỏc dng 8), 9), 10) l cỏc mt bc hai suy bin Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng b) Phõn loi mt bc hai Cho (S ) l mt bc hai cú phng trỡnh: ax + by + cz + 2dxy + 2exz + fyz + 2gx + 2hy + 2kz + l = ổa d e g ữữ ỗỗ ổa d e ữ ỗỗ ỗỗd b f h ữữ ữữ ữ t Q = ỗỗỗd b f ữữ v Q = ỗỗ ữữữ ữ ỗ e f c k ỗỗ ữ ữữ ỗỗ ỗốe f c ữứữ ỗỗg h k l ữữ ố ứ Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng Ta cú, (S ) khụng suy bin detQ Khi ú: 1) (S ) l mt elipsoid (k c elipsoid o) v ch Q xỏc nh dng hoc xỏc nh õm 2) (S ) l mt hyperpolic (1 tng hoc tng) v ch ch s s - p ca Q l 3) (S ) l mt parabolic eliptic (hay parabolic hyperpolic) v ch detQ = 75 1/5/2016 Chng Dng song tuyn tớnh Ton phng VD Xỏc nh dng ca mt bc hai (S ) : 4x + 4y - 8z - 10xy + 4xz + 4yz - 16x - 16y - 8z + 72 = VD Xỏc nh dng ca mt bc hai sau õy ri vit phng trỡnh chớnh tc: (S ) : 22x + 28y + 15z + 8xy - 112x - 184y - 30z + 343 = 76