[toanmath.com] - Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Nguyễn Bảo Vương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng :   a Định nghĩa : Cho đường thẳng  Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)   giá n vng góc với  Nhận xét :   - Nếu n VTPT  kn  k   VTPT  b Phương trình tổng quát đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) có VTPT n  (a;b)     Khi M (x ; y )    MM  n  MM n   a(x  x )  b(y  y )   ax  by  c  (c  ax  by ) (1) (1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng  Chú ý :  - Nếu đường thẳng  : ax  by  c  n  (a;b) VTPT  c) Các dạng đặc biệt phương trình tổng quát   song song trùng với trục Ox   : by  c    song song trùng với trục Oy   : ax  c    qua gốc tọa độ   : ax  by    qua hai điểm A  a; , B  0;b    : x y   với ab   a b GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]  Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y  kx  m với k  tan  ,  góc hợp tia Mt  phía trục Ox tia Mx Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1x  b1y  c1  0; d2 : a2x  b2y  c2   d1 cắt d2 a1 b1 0 a2 b2  d1 / /d2 a1 b1 b1 c1 a1 b1   ,  a2 b2 b2 c2 a2 b2 c1 a1 0 c2 a2  d1  d2 a1 b1 b1 c1 c1 a1   0 a2 b2 b2 c2 c2 a Chú ý: Với trường hợp a2 b2 c2  + Nếu a1 a  hai đường thẳng cắt b1 b2 + Nếu a1 a c   b1 b2 c2 hai đường thẳng song song + Nếu a1 a c   b1 b2 c2 hai đường thẳng trùng B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp giải:  Để viết phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ pháp tuyến n a;b   Khi phương trình tổng qt  a  x  x   b  y  y   GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Chú ý: o Đường thẳng  có phương trình tổng qt ax  by  c  0, a  b  nhận  n a;b  làm vectơ pháp tuyến o Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng o Phương trình đường thẳng  qua điểm M  x ; y  có dạng  : a  x  x   b  y  y   với a  b  ta chia làm hai trường hợp + x  x : đường thẳng song song với trục Oy + y  y  k  x  x  : đường thẳng cắt trục Oy x y  1 a b Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A  2; , B  0; , C (1; 3) Viết phương trình tổng quát o Phương trình đường thẳng qua A a; , B  0;b  với ab  có dạng a) Đường cao AH A x  2y   B x  y   C x  y   D x  y   B x  y   C x  y   D x  y   B 2x  y   C 2x  y   D 2x  y   b) Đường trung trực đoạn thẳng BC A x  y   c) Đường thẳng AB A 2x  y  14  d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB A 2x  y   B 2x  y   C 2x  y   D 2x  y   Lời giải GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM]  a) Vì AH  BC nên BC vectơ pháp tuyến AH   Ta có BC  1; 1  suy đường cao AH qua A nhận BC vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt  x     y    hay x  y    b) Đường trung trực đoạn thẳng BC qua trung điểm BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Gọi I trung điểm BC x I  1 7 x B  xC y  yC  , yI  B   I  ;  2 2  2    1 7 Suy phương trình tổng quát đường trung trực BC  x     y    2 2   hay x  y   c) Phương trình tổng quát đường thẳng AB có dạng x y   hay 2x  y    d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT n  2;1  đường thẳng cần tìm song  song với đường thẳng AB nên nhận n  2;1  làm VTPT có phương trình tổng quát  x     y    hay 2x  y   Cách 2: Đường thẳng  song song với đường thẳng AB có dạng 2x  y  c  Điểm C thuộc  suy 2.1   c   c  5 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng qt 2x  y   Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x  2y   điểm M  1;2  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  biết: a)  qua điểm M có hệ số góc k  A 3x  y   B 3x  y   C 3x  y   D 3x  y   b)  qua M vng góc với đường thẳng d GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] A 2x  y   B 2x  y   C 2x  y   D 2x  y   c)  đối xứng với đường thẳng d qua M A x  2y   B x  2y   C 2x  2y   D x  2y   Lời giải: a) Đường thẳng  có hệ số góc k  có phương trình dạng y  3x  m Mặt khác M      1   m  m  Suy phương trình tổng quát đường thẳng  y  3x  hay 3x  y   b) Ta có x  2y    y  x  hệ số góc đường thẳng d kd  2 Vì   d nên hệ số góc  k kd k  1  k  2 Do  : y  2x  m , M     2  1   m  m  2 Suy phương trình tổng quát đường thẳng  y  2x  hay 2x  y   c) Cách 1: Ta có 1  2.2   M  d đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d qua M song song với đường thẳng d suy đường thẳng  có  VTPT n  1; 2  Ta có A  1;2   d , gọi A ' đối xứng với A qua M A '   Ta có M trung điểm AA ' xA   x M    yA  yM    xA'  x A '  2x M  x A   1    3    A '  3;2   yA '  2yM  yA  2.2    yA '  Vậy phương trình tổng quát đường thẳng   x     y    hay x  2y   Cách 2: Gọi A  x ; y  điểm thuộc đường thẳng d , A '  x ; y  điểm đối xứng với A qua M GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Khi M trung điểm AA ' suy    x  x  x  1  x  x  x  2  x M  2         y   y y0  y y0  y   yM   2   2 Ta có A  d  x  2y   suy  2  x     y     x  2y   Vậy phương trình tổng quát  đối xứng với đường thẳng d qua M x  2y   Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x  y  x  3y   , tọa độ đỉnh hình bình hành  2;2  Viết phương trình cạnh cịn lại hình bình hành A x  y   B x  3y   C x  3y   D x  y   Lời giải Đặt tên hình bình hành ABCD với A  2;2  , tọa độ điểm A không nghiệm hai phương trình đường thẳng nên ta giả sử BC : x  y  , CD : x  3y    Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD  1;  làm VTPT có phương trình  x     y    hay x  3y    Tương tự cạnh AD nhận nBC  1; 1  làm VTPT có phương trình  x     y    hay x  y   Ví dụ 4: Cho điểm M  1;  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox , tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ A 4x  y   B 4x  y   C 4x  y   D 4x  y   Lời giải: GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] Giả sử A  a; , B  0;b  với a  0, b  Khi đường thẳng qua A, B có dạng x y   Do M  AB nên   a b a b 1  ab Mặt khác SOAB  OAOB 2 Áp dụng BĐT Cơsi ta có  Suy SOAB nhỏ 4  2  ab  16  SOAB  a b ab 4    a  2;b  a b a b Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x y   hay 4x  y    DẠNG 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : a1x  b1y  c1  0; d2 : a2x  b2y  c2  a x  b1y  c1  Ta xét hệ  (I) a2x  b2y  c2   + Hệ (I) vô nghiệm suy d1 / /d2 + Hệ (I) vô số nghiệm suy d1  d2 + Hệ (I) có nghiệm suy d1 d2 cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Chú ý: Với trường hợp a2 b2 c2  + Nếu a1 b  hai đường thẳng cắt a2 b2 + Nếu a1 b c   a2 b2 c2 hai đường thẳng song song GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] + Nếu a1 b c   a2 b2 c2 hai đường thẳng trùng Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) 1 : x  y   0; 2 : 2x  y   A 1 cắt 2 B 1 trùng 2 C 1 / /2 D Không xác định b) 1 : x  2y   0; 2 : 2x  4y  10  A 1 cắt 2 B 1 trùng 2 C 1 / /2 D Không xác định c) 1 : 2x  3y   0; 2 : x   A 1 cắt 2 B 1 trùng 2 C 1 / /2 D Không xác định d) 1 : 2x  3y   0; 2 : 4x  6y  A 1 cắt 2 B 1 trùng 2 C 1 / /2 D Không xác định Lời giải: a) Ta có 1  suy 1 cắt 2 b) Ta có 1 2   suy 1 trùng 2 10 c) Ta có  suy 1 cắt 2 3 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] d) Ta có 4 6   suy 1 / /2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC ,CA AB : 2x  y   ; BC : 3x  2y   ; CA : 3x  y   Xác định vị trí tương đối đường cao kẻ từ đỉnh A đường thẳng  : 3x  y   A cắt B trùng C Song song D Không xác định Lời giải  2x  y    x  1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ     A  1;   3x  y    y    Ta xác định hai điểm thuộc đường thẳng BC M  1;1 , N  1; 2   Đường cao kẻ từ đỉnh A vng góc với BC nên nhận vectơ MN  2; 3  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  x    3y  hay 2x  3y   Ta có 1  suy hai đường thẳng cắt 3 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 : (m  3)x  2y  m   2 : x  my  (m  1)2  a) Xác định vị trí tương đối xác định giao điểm (nếu có) 1 2 trường hợp m  0, m  A 1 cắt 2 B 1 trùng 2 C 1 / /2 D Không xác định GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM] b) Tìm m để hai đường thẳng song song với A m  B m  C m  D m  Lời giải:  3x  2y    x  a) Với m  xét hệ  suy 1 cắt 2 điểm có tọa độ    x    y     1;2   2x  2y   x  Với m  xét hệ  suy 1 cắt 2 gốc tọa độ    x  y   y   b) Với m  m  theo câu a hai đường thẳng cắt nên không thỏa mãn Với m  m  hai đường thẳng song song m 3 m2    m2 1 m  m  1 Vậy với m  hai đường thẳng song song với Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ đỉnh tam giác trường hợp sau a) Biết A  2;2  hai đường cao có phương trình d1 : x  y   ; d2 : 9x  3y    13  A B  2;  C  1;     22  B B  0;2  C  2;     2 C B  1;  C   ;    3   31  D B  1;1  C  3;    b) Biết A(4; 1) , phương trình đường cao kẻ từ B  : 2x  3y  ; phương trình trung tuyến qua đỉnh C  ' : 2x  3y  GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 ... VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp giải:  Để viết phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ pháp. ..  ) vectơ phương phương trình x  x0 y  y0 gọi phương trình tắc  a b đường thẳng  B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng Phương pháp giải:... 0;6  suy phương trình đường thẳng BC  x    y  1  6t   DẠNG Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [BIÊN