ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2014 2015 Môn TOÁN LẦN 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc NĂM HỌC 2014 - 2015 (Đề có 01 trang) Môn: Toán – Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x − 3x + ( 1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Với giá trị tham số m đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = Câu (1 điểm) Giải bất phương trình: e π Câu (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ π  ln 1+ sin ÷ 2  − log ( x + x ) ≥ sin x.cos x dx + cos x Câu (1 điểm) x a) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y = e ( x − 3) đoạn [ −2; 2] b) Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đôi Có cách chọn nhóm gồm học sinh số 50 học sinh nói dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm cặp anh em sinh đôi nào? Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y + = d : x + y − = Gọi A giao điểm d1và d2 Tìm tọa độ điểm B d1 tọa độ C d2 cho tam giác ABC có trọng tâm G (3;5) Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 25 , điểm A ( 7;9 ) , B ( 0;8 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho biểu thức P = MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu (1 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Biết góc (A’BC) (ABC) 30 0, tam giác A’BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Câu (1 điểm) Giải phương trình x − x − + x + + x + 11 = Câu (1 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a.b.c = ≤ c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 1 + + 2 + a + b + c2 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ CHUYÊN VĨNH PHÚC – Năm học 2014 – 2015 Câu a) y = − x − 3x + + Tập xác định: D =R + Sự biến thiên”  x = −2 -Chiều biến thiên: y ' = −3x − 6x, y ' = ⇔  x = Hàm số cho nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 0; +∞ ) , đồng biến khoảng ( −2;0 ) (0,25 đ) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0; yCD = y( 0) = Hàm số đạt cực tiểu x = −2; yCT = y( −2) = - Giới hạn: lim x →−∞ y = +∞;lim x →+∞ y = −∞ (0,25 đ) - Bảng biến thiên: (0,25 đ) + Đồ thị: Giám khảo thí sinh tự vẽ (0,25 đ) b) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu A(-2;0), điểm cực đại B(0;4) Phương trình đường thẳng nối hai cực trị đồ thị hàm số (1) là: ( AB ) : x y + =1 −2 ⇔ ( AB ) : x − y + = ( C ) : ( x − m) (0,25 đ) + ( y − m − 1) = có tâm I (m; m + 1) bán kính R = Đường thẳng (AB) tiếp xúc với đường tròn ( C ) ⇔ d ( I ; ( AB ) ) = R (0,25 đ) ⇔ 2m − ( m + 1) + + ( −1) 2 = (0,25 đ)  m = −8 ⇔ m+3 = ⇔  m = Vậy m = −8 m = (0,25 đ) Câu 2: x >  x < −3 Điều kiện: x + 3x > ⇔  Ta có: e π  ln 1+ sin ÷ 2  (0,25 đ) − log ( x + x ) ≥ ⇔ eln − log ( x + x ) ≥ ⇔ − log ( x + x ) ≥ (0,25 đ) ⇔ log ( x + 3x ) ≤ ⇔ x + 3x ≤ 2x ⇔ x + 3x − ≤ ⇔ −4 ≤ x ≤  −4 ≤ x ≤ − So điều kiện, bất phương trình có nghiệm:  0 < x ≤ (0,25 đ) (0,25 đ) Câu π π sin x.cos x sin x.cos x I =∫ dx = ∫ dx + cos x + cos x 0 dt = − sin xdx cos x = t −  Đặt t = + cos x ⇒  x = ⇒ t =  x = π ⇒ t =  I = −2 ∫ ( t − 1) t 2 dt = ∫  t2 =  − 2t + ln 2 ( t − 1) t (0,25 đ) (0,25 đ) 1  dt = ∫  t − + ÷dt t 1 (0,25 đ)  t ÷ = ln − 1 Câu x a) Hàm số y = e ( x − 3) liên tục đoạn [-2;2] y ' = e x ( x − 3) + e x x = e x ( x + x − ) ⇒ y ' = (0,25 đ)  x = 1∈ [ −2; 2] ⇔  x = −3 ∉ [ −2; 2] (0,25 đ) Ta thấy y ( 1) = −2e; y ( ) = e ; y ( −2 ) = e2 ⇒ max [ −2;2] y = y ( ) = e ; [ −2;2] y = y ( 1) = −2e (0,25 đ) b) có C503 cách chọn học sinh tùy ý từ 50 học sinh nói Chọn học sinh số 50 học sinh mà nhóm có cặp anh em sinh đôi, nghĩa học sinh chọn có cặp anh em sinh đôi => số cách chọn C41 C48 (0,25 đ) 1 Vậy đáp số toán C50 − C4 C48 = 19408 (cách) (0,25 đ) Câu 2 x − y + = x = ⇔ ⇒ A ( 1;1) 4 x + y − = y =1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ  (0,25 đ)  2t +  B ∈ d1 ⇒ B  t ; ÷; C ∈ d ⇒ C ( s;5 − s )   (0,25 đ) t + s +1  =3  Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇔  2t +  + − 4s + =5   (0,25 đ)   61 43   61 t = B  ; ÷    7  ⇒ Giải hệ ta   s = −5 C  −5 ; 55    7 ÷   (0,25 đ) Câu (C) có tâm I(1;1) bán kính R = Ta thấy IA = 10; IB = ⇒ A, B nằm đường tròn (C) (0,25 đ) 5  Gọi E, J trung điểm IA, IE =>E(4;5); J  ;3 ÷ 2  Gọi F trung điểm IM, tam giác IME cân I => EF = MJ Ta có P = MA + 2MB = 2EF + 2MB = (MJ + MB) ≥ 2BJ Dấu xảy M thuộc đoạn thẳng BJ (Vì B nằm đường tròn (C); J nằm đường tròn (C)) (0,25 đ) Do P nhỏ M giao điểm đường tròn (C) đoạn thẳng BJ BJ có phương trình 2x + y – = Tọa độ giao điểm BJ (C) nghiệm hệ  x =   x + y − = y = ⇔  2  x = ( x − 1) + ( y − 1) = 25    y = −2 (0,25 đ) + Vì M thuộc đoạn JB nên < xM < ⇒ M ( 1;6 ) Vậy M ( 1;6 ) Câu (0,25 đ)  AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( AA ' H )  AA ' ⊥ BC Goị H trung điểm BC ⇒  Tam giác AA’H vuông H ⇒ ·AHA ' < 900 < AHA ' góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) ⇒ ·AHA ' = 300 Đặt AB = a ( a > ) ⇒ AH = (0,25 đ) a AH ⇒ A' H = =a cos 300 (0,25 đ) S ∆A ' BC = ⇔ A ' H BC = 16 ⇔ a = 16 ⇔ a = (0,25 đ) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B 'C ' = AA '.S∆ABC = a a 64 = =8 (0,25 đ) Câu x − x − + x + + x + 11 = ( 1) 5 x + ≥ ⇔x≥− 7 x + 11 ≥ Điều kiện  ( 1) ⇔ x − x − − ( x + − ⇔ ( x2 − x − 2) − ) ( ) x + − x + − x + 11 = x2 − x − x2 − x − − =0 x + + x + x + + x + 11 (0,25 đ)  x2 − x − = ( 2) ⇔  1 + = ( 3)  x + + x + x + + x + 11  x = −1 Ta có ( ) ⇔  (thỏa mãn) x = x≥ (0,25 đ) −6 1 ⇒ + x + + x + x + + x + 11 ≤ 1 1 + < + (3) vô nghiệm  x = −1 Vậy nghiệm (1)  x = (0,25 đ) Câu Từ giả thiết ≤ c ≤ < a.b.c = Ta chứng minh 1 + = ( *) 2 + a + b + ab Thật ta có : 1 + = ⇔ ( + a + b ) ( + ab ) = ( + a ) ( + b ) 2 + a + b + ab ⇔ + 2ab + a + a 3b + b + ab3 = + 2a + 2b + 2a 2b ⇔ 2ab + a 3b + ab3 = a + b + 2a 2b ⇔ ( a − b ) ( − ab ) = ( **) (0,25 đ) (**) nên (*) a = b Dấu xảy   ab = Áp dụng (*) ta có Q Xét hàm f ( c ) = Ta có: 2c + = + + ab + c c + 1 + c2 2c + [ 1; 4] c + 1 + c2 (0,25 đ) f '( c) = ( c + 1) − (c 2c + 1) = ( c + 1) (c + 1) ( c − 1) ( c + c + 1) = 2 ( c + 1) ( c + 1) c − c3 − c + > [ 1; 4] =>f(c) đồng biến [1; 4] f ( c ) = f ( 4) = 141 + = 17 85 (0,25 đ)   a = b =    c =  c =   Dấu xảy abc = ⇔   a=b   a = b = −      ab =  c =   a = b =  c = 144 Vậy max P = đạt  85   a = b = −   c =  (0,25 đ)