Bài giảng: Vật lý chất rắn

VẬT LÝ CHẤT RẮN TS Ngô Văn Thanh Viện Vật Lý Hà Nội - 2016 Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Tài liệu tham khảo [1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds (John Wiley & Sons, 2005) [2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007) [3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984) [4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007) [5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP HCM, 2002) Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/ Email : nvthanh@iop.vast.ac.vn Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 CHƯƠNG CÁC VÙNG NĂNG LƯỢNG Mô hình điện tử gần tự Hàm Bloch Mô hình Kronig-Penney Phương trình sóng điện tử tuần hoàn Số lượng quỹ đạo vùng Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Mô hình điện tử gần tự  Mô hình điện tử tự  Năng lượng nhận giá trị liên tục từ đến   Điều kiện biên tuần hoàn  Hàm sóng điện tử tự • Mang xung lượng  Phản xạ Bragg nguyên nhân hình thành khe lượng  Khe lượng dấu hiệu để xác định chất rắn vật dẫn hay điện môi • Điều kiện phản xạ Bragg thứ nhất: • Các điều kiện khác : Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Mô hình điện tử gần tự  Giải thích vùng cấm  Xét chất rắn có số mạng a  Điều kiện nhiễu xạ Bragg vector sóng trường hợp chiều • vector mạng đảo, n số nguyên • Để ý : khoảng giá trị từ đến không gian vector sóng vùng Brillouin thứ  Khi điều kiện phản xạ Bragg thỏa mãn hàm sóng có dạng sóng đứng Hướng sóng đảo ngược lại bị phản xạ  Sóng đứng biểu diễn qua sóng chạy  Các sóng đứng  (+) (-) thể tính chẵn/lẻ hàm sóng (khi thay đổi dấu x) Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Mô hình điện tử gần tự  Nguồn gốc vùng cấm  Hai sóng đứng tích tụ điện tử miền khác nhau, hai sóng khác trường ion tinh thể => nguyên nhân hình thành vùng cấm  Mật độ xác suất tìm thấy hạt :  Trường hợp sóng chạy : • Mật độ điện tích không đổi (constant)  Trường hợp sóng đứng • Cho thấy điện tử tụ tập quanh ion dương vị trí thấp Thế điện tử âm Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Mô hình điện tử gần tự  Đối với sóng đứng (-) • Sóng làm cho điện tử tập trung xa lõi ion  Độ lớn sóng  Sóng đứng (-) cao (B)  Sóng đứng (+) thấp (A)  Độ rộng vùng cấm : Eg Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Mô hình điện tử gần tự  Độ rộng vùng cấm  Tại biên vùng Brillouin, hàm sóng  Giả thiết điện tử tinh thể có dạng  Độ lệch lượng bậc hai trạng thái sóng đứng  Độ rộng vùng cấm thành phần Fourier tinh thể Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Hàm Bloch  Hàm sóng  Nghiệm phương trình Schödinger tuần hoàn có dạng  hàm tuần hoàn theo chu kỳ mạng tinh thể  Định lý Bloch: • Hàm riêng phương trình sóng với tuần hoàn tích sóng phằng có dạng hàm tuần hoàn theo mạng tinh thể  Hàm sóng điện tử gọi hàm Bloch  Các hàm Bloch tập hợp lại để tạo thành bó sóng điện tử mà truyền tự trường lõi ion  Chứng minh:  Điều kiện : hàm sóng không suy biến  Xét N nút mạng đồng xếp vòng xuyến có độ dài • a : số mạng • Thế tuần hoàn với chu kỳ a : , s số nguyên Na Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 10 Hàm Bloch  Dựa vào tính đối xứng vòng xuyến, nghiệm phương trình sóng có dạng: • Sau vòng kín  Mặt khác, ta có điều kiện hàm sóng phải đơn trị • C phải số N nghiệm đơn với  Từ ta có: => thòa mãn điều kiện cho nghiệm phương trình sóng • Chứng tỏ hàm tuần hoàn theo chu kỳ a Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 11 Mô hình Kronig-Penney  Xét phương trình sóng  • Có dạng giếng hình vuông  Trong miền < x < a  Thế  Hàm sóng có dạng tổ hợp tuyến tính sóng truyền sang phải sang trái  Năng lượng :  Trong miền -b < x <  Hàm sóng rào có dạng  Với lượng Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 12 Mô hình Kronig-Penney  Xác định hàm sóng đầy đủ  Miền a < x < a + b : nghiệm phải có dạng miền -b < x < • Vector sóng k đóng vai trò số nhãn cho nghiệm  Các hệ số A, B, C, D xác định từ điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm bậc x = x = a • Bài toán điều kiện biên x = • Tại x = a • Hệ phương tình phải có định thức 0, suy Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 13 Mô hình Kronig-Penney  Thay đổi mốc tính b = U0 = ; đặt Q2ba/2 = P • Trong giới hạn • suy  Đồ thị phương trình điều kiện với  Khoảng lượng cho phép điện tử :  Những khoảng mà hàm Bloch nghiệm vùng cấm Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 14 Mô hình Kronig-Penney  Sơ đồ lượng  Vùng cấm giá trị  Vector sóng k số quan trọng hàm Bloch Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 15 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Tổng quát hóa  Thế tuần hoàn hàm tuyến tính theo số mạng • Bất biến phép biến đổi tịnh tiến • Thế khai triển thành chuỗi Fourier theo vector mạng đảo G  Trên thực tế, hệ số UG giảm nhanh tăng G • Trường hợp Coulomb :  Thiết lập biểu thức dạng hàm số thực  Giả thiết thêm tinh thể đối xứng qua x =  Phương trình sóng Bloch quỹ đạo có nghiệm gọi hàm riêng hàm Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 16 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Phương trình gần điện tử • Quỹ đạo điện tử chuyển động trường tạo lõi ion trung bình điện tử khác vùng dẫn  Khai triển hàm sóng theo chuỗi Fourier == tổng hàm sóng thỏa mãn điều kiện biên • k : số thực nhận giá trị thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn đoạn L • n : số nguyên (âm dương) • Tính chất tịnh tiến hàm sóng hàm Bloch  Chú ý: giá trị vector sóng k tập hợp đưa vào chuỗi Fourier • Nếu vector sóng k có mặt hàm sóng • Dẫn đến tất vector sóng khác khai triển Fourier hàm sóng k+G • G : vector mạng đảo có dạng: Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 17 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Gán nhãn k cho hàm sóng dạng số  Ví dụ : xét vòng xuyến L = 20 ô tối giản • thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn • Vector mạng đảo ngắn :  Các giá trị vector sóng cho phép có mặt khai triển Fourier Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 18 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Giải phương trình sóng  Thành phần động  Thành phần  Thay vào ta có :  Hai vế phương trình phải có hệ số Fourier => Phương trình trung tâm với Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 19 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Trình bày lại định lý Bloch  Biểu diễn hàm sóng theo tổng số G  Biểu diễn lại biểu thức hàm sóng  Trong : • Là chuỗi Fourier theo vector mạng đảo • Bất biến phép tịnh tiến  Kiểm chứng :  Để ý Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 20 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Xung lượng tinh thể điện tử  Các tính chất vector sóng dùng làm số hàm Bloch  Tịnh tiến mạng tinh thể Ta có ý : • : thừa số pha, phần thêm vào hàm Bloch sau tịnh tiến mạng  Nếu ta bỏ qua phần năng, phương trình trung tâm có dạng:  Suy tất giá hệ số ngoại trừ hệ số  => hàm Bloch số  => hàm sóng có dạng điện tử tự  Xung lượng tinh thể điện tử :  Vector sóng có mặt định luật bảo toàn liên quan đến trình chạm tinh thể  Ví dụ trình va chạm với phonon, điện tử hấp thụ vector sóng • Quy tắc lựa chọn: • Ta nói : điện tử bị tán xạ từ trạng thái Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 21 Phương trình sóng điện tử tuần hoàn  Nghiệm phương trình trung tâm  Đây hệ phương trình tuyến tính, có nghiệm định thức zero  Ký hiệu g vector mạng đảo ngắn nhât  Giả thiết : có thành phần chuỗi Fourier  Định thức  Tại giá trị k, nghiệm  Phương trình định thức có nghiệm • k : số gán nhãn cho hệ số C nằm vùng lượng khác , với n số thứ tự lượng Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 22 Số lượng quỹ đạo vùng  Xét tinh thể tuyến tính dựng N ô tối giản  N số chẵn, số mạng a  Điều kiện biên áp dụng cho toàn chiều dài tinh thể  Giá trị cho phép vector sóng điện tử vùng Brillouin thứ  Chú ý: biên vùng Brillouin thứ • Điểm cuối chuỗi  Trong vùng lượng, ô tối giản đóng góp giá trị độc lập vector sóng k  Nếu ta xét đến định hướng độc lập spin tổng số quỹ đạo vùng lượng 2N  Vùng lượng lấp đầy nửa (1/2) • Chỉ có nguyên tử đơn vùng hóa trị (nằm ô tối giản)  Vùng lượng lấp đầy hoàn toàn • Một nguyên tử đóng góp điện tử hóa trị vào vùng lượng • Có nguyên tử vùng hóa trị (trong ô tối giản) Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 23 Số lượng quỹ đạo vùng  Kim loại chất cách điện  Điện môi :  Chỉ số vùng hóa trị lấp đầy  Số điện tử hóa trị ô tối giản số chẵn  Có hai trường hợp cần xét có số chẵn điện tử • Không có chồng phủ vùng lượng => Điện môi • Nếu có chồng phủ => kim loại • Mực độ chồng phủ => bán kim loại  Kim loại kiềm  Mỗi ô tối giản có điện tử hóa trị  Kim loại kiềm thổ  Mỗi ô tối giản có điện tử hóa trị  Có chồng phủ vùng lượng  Một số chất bán dẫn  Si, Ge… có điện tử hóa trị ô tối giản ... đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984) [4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007) [5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, ... định chất rắn vật dẫn hay điện môi • Điều kiện phản xạ Bragg thứ nhất: • Các điều kiện khác : Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Mô hình điện tử gần tự  Giải thích vùng cấm  Xét chất rắn có... Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 Tài liệu tham khảo [1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds (John Wiley & Sons, 2005) [2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà