TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TÊ

BÀI TỐN ỨNG DỤNG – THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG Nhóm 1: Bài tốn qng đường Câu Một cơng ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ đảo biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD B km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vng góc với bờ biển Khoảng biển 6km cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách A B' đoạn bằng: A 6.5km B 6km C 0km bờ biển 9km D.9km Hướng dẫn giải Đặt x  B ' C (km) , x [0;9] BC  x2  36; AC   x Chi phí xây dựng đường ống C( x)  130.000 x  36  50.000(9  x) (USD)  13x   5 Hàm C ( x ) , xác định, liên tục [0;9] C '( x )  10000   x  36  2 C '( x)   13x  x  36  169 x  25( x  36)  x  25 x 5 C(0)  1.230.000 ; C    1.170.000 ; C(9)  1.406.165 2 Vậy chi phí thấp x  2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Câu Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB  5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến M bờ biểnvới vận tốc km / h đến C với vận tốc km / h Vị trí điểm M cách B khoảng để người đến kho nhanh nhất? A 0km B km C km D 14  5 km 12 Hướng dẫn giải FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 HH1 A Đặt BM x(km) MC x(km) ,(0 7) x Ta có: Thời gian chèo đò từ A đến M là: t AM  Thời gian đi đến C là: t MC  Thời gian từ A đến kho t  Khi đó: t   x  25 (h) 7x (h) x  25  x  x  , cho t    x  x  25 Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh x Câu 5( km) Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Côn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000 USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km C Hướng dẫn giải Gọi BG  x(0  x  100)  AG  100  x Ta có GC  BC  GC  x2  3600 B A G Chi phí mắc dây điện: f (x)  3000.(100  x)  5000 x2  3600 Khảo sát hàm ta được: x  45 Chọn B Một ảnh chữ nhật cao 1,4 mét đặt độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ? ( BOC gọi góc nhìn) A AO  2,4 m B AO  2m C AO  2,6m D AO  3m Hướng dẫn giải FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 C 1,4 B 1,8 A O HH1 Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tanBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, tan AOC  tan AOB ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =  tan AOC.tan AOB AC AB  = OA OA AC AB 1 OA2 1,4 1,4 x x = = 3,2.1,8 x  5,76 1 x Xét hàm số f(x) = 1,4 x x  5,76 Bài tốn trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có f'(x) = 1,4 x  1,4.5,76 , f'(x) =  x =  2,4 (x  5,76)2 Ta có bảng biến thiên x 2,4 + f'(x) + _ f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Câu Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định D trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường h A C sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định B E phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Hướng dẫn giải Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = h h  tan  sin = v1 v2 AC CD AE  CE CD = =   v1 v2 v1 v2 =  h.cot h  v1 v2 sin FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 D A C B h E HH1 Xét hàm số cos  Câu t ( )   h.cot h Ứng dụng Đạo hàm ta t ( ) nhỏ  v1 v2 sin v2 v Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos  v1 v1 Hai tàu vĩ tuyến cách hải A lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, cịn tàu chạy vị trí B1  B  B1  B  d A1 tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? Hướng dẫn giải Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = A  d 85t  70t  25 A1 Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ t  (giờ), ta có d  3,25 Hải lý 17 Nhóm 2: Bài tốn diện tích hình phẳng Câu Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm2 ) Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? A 10cm  10cm B 20cm  5cm C 25cm  4cm D Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật là: x(cm) y(cm) (x , y  0) Chu vi hình chữ nhật là: P  2(x  y)  2x  2y Theo đề thì: xy  100 hay y  Đạo hàm: P '(x)   100 200 Do đó: P  2(x  y)  x  với x  x x 200 2x  200 Cho y '   x  10  x2 x2 Lập bảng biến thiên ta được: Pmin  40 x  10  y  10 Kết luận: Kích thước hình chữ nhật 10  10 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cô-Sy: P  2(x  y)  2.2 xy  100  40 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 HH1 Câu Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200m  200m B 300m  100m C 250m  150m D.Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x(m) y(m) ( x, y 0) Diện tích miếng đất: S xy Theo đề thì: 2(x y) 800 hay y Đạo hàm: S'(x) 2x 400 400 Cho y ' Lập bảng biến thiên ta được: Smax x Do đó: S x x(400 x) x2 400x với x 200 40000 x 200 y 200 Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200 200 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy Câu Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước 180 mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật rào có diện tích lớn bao nhiêu? A Smax  3600m2 B Smax  4000m2 C Smax  8100m2 D Smax  4050m2 Hướng dẫn giải Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu, theo ta có x 2y Ta có: y(180 y) y(180 y) Dấu '' '' xảy Vậy Smax Câu 2y 180 Diện tích miếng đất S 180 2y 4050m2 x y 90m, y (2 y 180 y)2 y(180 y) 180 4050 45m 45m Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương y dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới x hạn tiết diện này, - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) A x  S , y  S B x  S , y  FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 S HH1 C x  2S , y  S D x  2S , y  S Hướng dẫn giải Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy;  2y  x  ' 2S 2S  x Xét hàm số (x)   x Ta có x x (x) =  x2  2S   x  2S , y = S = x ' ( x) = x  2S 2S + = x2 x2 S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x  2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Câu 10 Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? 2a a A chiều rộng , chiều cao 4 4 B chiều rộng S1 S2 2x a 2a , chiều cao 4 4 C chiều rộng a(4   ) , chiều cao 2a(4   ) D Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , tổng ba cạnh hình chữ nhật a   x Diện tích cửa sổ là: S  S1  S2   x2  2x a   x  2x   a  ax  (  2)x  (  2)x(  x)  2 2 Dễ thấy S lớn x   a 2  x hay x  a (Có thể dùng đạo hàm đỉnh 4 Parabol) Vậy để S max kích thước là: chiều cao FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 a 2a ; chiều rộng 4 4 HH1 Câu 11 Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước a cho diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? a a a a A x  ; y  B x  ; y  3 C x  a 2a ;y  D Đáp án khác y x x Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung trịn Ta có chu vi cánh diều a  2x  y Ta cần tìm mối liên hệ độ dài cung trịn y bán kính x cho diện tích quạt lớn Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt S  hình quạt là: S S  R2  360 độ dài cung trịn  2 R , ta có diện tích 360 R Vận dụng tốn diện tích cánh diều là: xy x(a  x)   x(a  x) 2 Dễ thấy S cực đại  x  a  x  x  a a  y  Như với chu vi cho trước, diện tích hình quạt cực đại bán kính nửa độ dài cung trịn Câu 12 Có gỗ hình vng cạnh 200 cm Cắt gỗ có hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vng cạnh huyền số 120cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm C 80cm D 40 2cm Hướng dẫn giải Kí hiệu cạnh góc vng AB  x,0  x  60 Khi cạnh huyền BC  120  x , cạnh góc vng AC  BC  AB2  1202  240x Diện tích tam giác ABC là: S  x   x 1202  240 x Ta tìm giá trị lớn hàm số khoảng  0;60 Ta có S ,  x   1 240 14400  360 x 1202  240 x  x   S '  x    x  40 2 1202  240 x 1202  240 x Lập bảng biến thiên ta có: x 40 60 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 HH1 S'  x  0 S  40 S  x Tam giác ABC có diện tích lớn BC  80 Từ chọn đáp án C Câu 13 Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường trịn bán kính 10cm , biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường kính đường trịn B 100cm A 80cm C 160cm 2 D 200cm Hướng dẫn giải Gọi x (cm ) độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường trịn x 10 Khi độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường tròn là: 10 2 x 102 Diện tích hình chữ nhật: S 10 Ta có S S 2x 10 x x S x2 8x 10 2 10 2 S 10 2 x x2 2.10 2 x cm 4x2 thỏa không thỏa 40 Suy x 10 điểm cực đại hàm S x Vậy diện tích lớn hình chữ nhật là: S 10 10 10 2 100 cm Câu 14 Một máy tính lập trình để vẽ chuỗi hình chữ nhật góc phần tư thứ trục tọa độ Oxy , nội tiếp đường cong y=e-x Hỏi diện tích lớn hình chữ nhật vẽ cách lập trình A 0,3679 ( đvdt) B 0,3976 (đvdt) FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 HH1 C 0,1353( đvdt) D 0,5313( đvdt) Hướng dẫn giải Diện tích hình chữ nhật điểm x S = xe-x S '( x)  e x (1  x) S '( x)   x  Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax = e1 0,3679 x=1 Đáp án A Câu 15 Cho nhôm hình vng cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A cm E B x cm 3cm H F D A G C y cm B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có S EFGH nhỏ  S  S AEH  SCGF  S DGH lớn Tính 2S  x  y  (6  x)(6  y)  xy x 3y 36 (1) Mặt khác AEH đồng dạng CGF nên Từ (1) (2) suy S  42  (4 x  Biểu thức x  AE AH   xy  (2) CG CF 18 18 ) Ta có 2S lớn x  nhỏ x x 18 18  y  2 Vậy đáp án cần chọn C nhỏ  x   x  x x Nhóm 3: Bài tốn liên hệ diện tích, thể tích FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 HH1 Câu 16 (ĐMH)Có nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm) gấp nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hình hộp nhận tích lớn A x  C x  B x  D x  Hướng dẫn giải Độ dài cạnh đáy hộp: 12  2x Diện tích đáy hộp: (12  x)2 Thể tích hộp là: V  (12  2x)2 x  x  48 x  144 x với x(0;6) Ta có: V '(x)  12x  96 x  144 x Cho V '(x)  , giải chọn nghiệm x  Lập bảng biến thiên ta Vmax  128 x  Câu 17 Một Bác nông dân cần xây dựng hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ nhật tích 3200cm3 , tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A 1200cm2 C 1600cm2 B 160cm2 D 120cm2 Hướng dẫn giải Gọi x, y (x, y 0) chiều rộng, chiều dài đáy hố ga Gọi h chiều cao hố ga ( h ) Ta có suy thể tích hố ga : V xyh Diện S tích 2xh 2yh tồn xy Khảo sát hàm số y 4x 3200 phần 6400 x f (x ), x h x 1600 x 4x h y 2x 3200 xh 1600 x2 8000 x hố ga là: f (x ) suy diện tích tồn phần hố ga nhỏ 1200cm2 x 10 cm y 16cm Suy diện tích đáy hố ga 10.16 160cm2 Câu 18 Người ta phải cưa thân hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để xà hình khối chữ nhật hình vẽ Hỏi thể tích cực đại khối gỗ sau cưa xong bao nhiêu? FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 HH1 ... ĐỖ MẠNH HÙNG – 0989261685–NĂM 2017 D A C B h E HH1 Xét hàm số cos  Câu t ( )   h.cot h Ứng dụng Đạo hàm ta t ( ) nhỏ  v1 v2 sin v2 v Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos  v1 v1 Hai tàu... x2  R  8 4  x   4 R   27    2 R  x  6 (Lưu ý tốn sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải toán dài hơn) Câu 22 Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R  6m phải... Do đó, 10000 = 1000 ert suy t = ln10 10ln10   10log 10 nên chọn câu C r ln5 Nhóm 6: Bài tốn ứng dụng tích phân, mối quan hệ đạo hàm-nguyên hàm Câu 39 Một vật di chuyển với gia tốc a t   20