Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
1,51 MB
Nội dung
TÀI LIỆU DẠY PHỤ ĐẠO MÔN TOÁN KHỐI 12 NĂM HỌC 2016-2017 CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG PHẦN 1: NGUYÊN HÀM A Các nguyên hàm thường gặp: ∫ a.dx = ax + C ∫ dx = x + C ∫ x dx = ln x α ∫ x dx = x ∫ a dx = x 1 (ax + b)α +1 α ( ) ax + b dx = + C , α ≠ −1 ∫ a α +1 ax +b ax + b ∫ e dx = a e + C aα x + β α x+ β a dx = +C ∫ α ln a x α +1 + C , α ≠ −1 α +1 ∫ e dx = e x ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C +C +C ax +C ln a ∫ sin x.dx = − cos x + C ∫ sin(ax + b).dx = − a cos(ax + b) + C ∫ cos x.dx = sin x + C ∫ cos(ax + b).dx = a sin(ax + b) +C ∫ cos x dx = tan x + C ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C ∫ sin x 1 ∫ sin dx = − cot x + C 1 dx = − cot(ax + b) + C a ( ax + b) B Các phương pháp tính nguyên hàm : 1) Dùng tính chất bảng nguyên hàm: Ví dụ : 6 5x + ) ( ( 5x + ) a ∫ ( 5x + ) dx = +C = +C 30 x4 b.∫ x − x + − dx = x c ∫ ( x + x ) dx d − x2 + ln x − 7x + C x5 + x − ∫ x dx e ∫ tan xdx 2) Phương pháp đổi biến số: Để tính ∫ f [u ( x)]u ( x)dx ta thực bước sau: / Bước : Đặt t = u ( x ) Ta có dt = u ′ ( x ) dx Bước : ∫ f [u ( x)]u ( x)dx = ∫ f (t )dt / Bước : Tìm nguyên hàm hàm số f ( t ) theo biến t Bước : Thế t = u ( x ) vào nguyên hàm hàm số f ( t ) Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số tính : a) I = ∫x 2 x dx ( đặt u = x2 + 1) +1 + Đặt u = x2 + ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du Trang - x du 1 1 dx = ∫ = ∫ du = ln u + C = ln x + + C 2 +1 u 2 u cos x b) I = ∫ e sin x.dx (đặt u = cosx) + Khi : I = ∫x + Đặt u = cosx ⇒ du = − sin x dx ⇒ sin x dx = −du + Khi đó: I = c) I = x2 ∫ ∫e cos x sin x.dx = ∫ eu ( − du ) = − ∫ eu du = −eu + C = −ecos x + C dx ( đặt u = x3 + ) d) I = ∫ x − x dx x +2 Chú ý 1: Các dạng tập sau thường dùng phương pháp đổi biến số DẠNG CÁCH ĐẶT a u ' ( x ) ∫ u (x ) dx ∫ a.u ' ( x ) n u ( x) dx Đặt u = u(x) ( hay u (x ) ∫e a.u ' (x )dx ∫ u (x ) a u ' (x )dx ∫ u (x ) a u ' (x )dx n e) I = ∫ cos x.dx u (x ) ) Đặt u = u(x) n α n Đặt u = u(x) ( hay n u ( x) ) 3) Phương pháp nguyên hàm phần: + Các dạng tập sau sử dụng phương pháp nguyên hàm phần để tính nguyên hàm, x Dạng ∫ P ( x).e dx ∫ P( x).cos xdx ∫ P( x).sin xdx ∫ P( x).ln xdx Cách u P(x) đặt dv exdx + Công thức nguyên hàm phần: P(x) cosxdx lnx P(x)dx P(x) sinxdx ∫ u.dv = u.v − ∫ vdu Ví dụ : a) Tính A= ∫ ln x dx u = ln x du = dx + Đặt: ⇒ x dv = dx v = x + Khi đó: A= ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x dx = x ln x − ∫ 1.dx = x ln x − x + C x b) Tính B= ∫ x cos xdx u = x du = dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x + Đặt: + B= ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx =x sin x + cos x + C u = x c) Tính C = ∫ x e x dx + Đặt: d) Tính D= ∫ x sin 2xdx x dv = e dx Tìm nguyên hàm hàm số thỏa điều kiện cho trước: * Phương pháp giải: + Tìm họ nguyên hàm hàm số cho + Dựa vào điều kiện cho tìm C + Thay C vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm * Vận dụng: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = + sin3x biết F( Trang - π )= ∫ (1 + sin 3x )dx = x − + Gọi F(x) = π + Do F( )= ⇔ + Vậy F(x) = x − C BÀI TẬP: cos 3x +C π −π − cos + C = ⇔ C = 6 π cos3x π π − thỏa F( )= 6 BÀI TẬP TRÊN LỚP BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số Bài tập 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: sau: x4 + a f(x) = x2 – 3x + a f(x) = x x2 b f(x) = x −1 x2 sin x cos2 x e −x c f(x) = ex(2 + ) cos2 x d f(x) = 4x + 3x Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số: b f(x) = cos 2x d f(x) = 2ax + 3x sin x cos x Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số: c f(x) = a f ( x ) = , biết F(1) = x − 4x 2 b f ( x ) = x − 5x + , biết F(0) = x +1 a f ( x ) = x − 10 , biết F(2) = x − 5x + b f ( x ) = , biết F(0) = -1 x − 5x + Bài tập 3: Tìm nguyên hàm sau: a dx ∫ (3 − x) ∫ (2 x + 1) xdx e ∫ x + 1.xdx c ∫ b ∫ f sin x g ∫ dx cos5 x dx m ∫ sin x 2 Bài tập 3: tìm nguyên hàm sau − 2xdx dx ∫ c ∫ (x x (1 + x )2 e h ∫ cot xdx dx b ∫ (2x + 1)7 xdx 2x −1 a d ∫ (x + 5)4 x 2dx 2 ∫ + 5) x dx d 3x2 m Bài tập 4: tìm nguyên hàm sau: a x sin xdx b ∫ (x + 1) cos 2xdx dx x dx +5 + x3 ∫ cos x dx f ∫ x e x +1dx g ∫ sin x cos xdx h n ∫ t an xdx ∫x n tan xdx x ∫ cos ∫ tan xdx Bài tập 4: tìm nguyên hàm sau a ∫ (2x + 3) sin xdx b x cos xdx ∫ c ∫ x.e dx d ∫ ln xdx e ∫ x ln xdx f ∫ e dx ∫ x c ∫ ln xdx d x ∫ ln xdx e ∫ x cos 2xdx x PHẦN 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NẮM: I Định nghĩa tính chất tích phân: b *ĐN: ∫ f (x )dx = F (x ) b a = F (b ) − F (a ) a a * Tính chất: + + ∫ a c a a b b f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ( x )dx , (a < c < b ) a b b a a ∫ f ( x )dx = + ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx + ∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx a b b c + b b b a a a ∫ f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx Trang - II Các phương pháp tính tích phân: 1)Phương pháp đổi biến số: b *Đổi biến số dạng 1: I = ∫ f (u ( x )).u / (x )dx = ? a + Đặt: t = u ( x ) ⇒ dt = u / ( x ) dx + Đổi cận: x = b ⇒ t = u(b) , x = a ⇒ t = u ( a ) u (b ) + Khi đó: I = ∫( )f (t )dt = F (t ) u (b ) u (a ) =? u a *Đổi biến số dạng 2: Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa: + π π a − x ⇒ Đặt: x = a sin t , t ∈ − ; 2 + x − a ⇒ Đặt: x = + x2 + a2 + x2 + a2 a π π , t ∈− ; cos t 2 π π ; 2 π π ⇒ Đặt: x = a.tan t , t ∈ − ; 2 ⇒ Đặt: x = a.tan t , t ∈ − 2)Phương pháp tính tích phân phần: b b a a * Công thức: I = ∫ u.dv = u.v ba − ∫ v.du *Các dạng tích phân phần thường gặp: b + ∫ P ( x ) sin xdx a b + ∫ P ( x ) cos xdx / a • Dạng 1: Ta đặt: u = P ( x ) ⇒ du = P ( x ) dx b + ∫ P ( x ) e x dx a b + ∫ P ( x ) a x dx a ( P ( x ) : đa thức ) b + • Dạng 2: ∫ P ( x ) ln xdx a b + ln x dx xn a ∫ / Ta đặt: u = ln x ⇒ du = ( ln x ) dx ( P ( x ) : đa thức ) Trang - B BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài tập 1: Tính tich phân sau: BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập 1: Tính tích phân sau: π π 2 ∫ a.Tính I = ∫ sin xdx a Tính I = cos xdx 0 π π 2 b Tính I = ∫ b Tính I = cos x.cos x.dx ∫π sin 3x cos 5x dx − x2 + x +1 dx x c Tính I = ∫ c Tính I = ∫ (x + x )dx 1 x + 3x + d Tính I = ∫ dx x −1 −1 x −1 e Tính I = ∫ dx x + 3x + e Tính I = Bài tập 2: tính π ∫ cos c b ∫ x − xdx x sin xdx π ∫ π e sin xdx cos x d ∫ dx + sin x b ln x dx x2 ∫ π /2 d ∫ x e dx g ∫ i ( x − 2)e x dx dx ∫ d + sin x cos dx π e ∫ e sin x cos xdx f x ∫ x sin xdx ∫ cos xdx π /2 a ∫ (x + 1)e 2xdx b ∫x x sin dx π /4 c ∫ ln(3x − 1)dx ∫ (3x − 2) cos xdx d 0 x x x2 + 1 0 2x ∫ ∫ ( x + 1)e dx ∫ x cos dx e c π/ e π Bài 3: Tính tích phân sau : a ∫ xe xdx b ∫ x − x dx π ln x f ∫ dx x 1 20 ∫ (1 − x) dx Bài 3: Tính tích phân sau: c a e 3x dx +x −2 Bài tập 2: Tính ∫ (2 x − 1) dx f Tính I = ∫ x x − 1dx ∫ cos x dx a ∫x −1 π f Tính I = x − 3x + ∫0 x + dx d Tính I = f ∫ xe x +1dx ∫ −π / π h ∫ x ln(2x + 1)dx π/ e x (x + sin x )dx g ∫ x(2 cos2 x − 1)dx 0 Trang - ∫ f (2 x + 7) ln( x + 1) dx e i ∫ (x + ) ln xdx x PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NẮM: Diện tích hình phẳng: a)Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b b tính theo công thức: S = ∫ f ( x ) dx a b)Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ), y = f ( x ) hai đường thẳng x = a, x = b b tính công thức: S = ∫ f ( x ) − f (x )dx a * Chú ý: Để tính diện tích ta làm sau: + Giải PT : f1 ( x ) − f ( x ) = đoạn (a; b) + Giả sử PT có nghiệm hai nghiệm c1 , c2 ∈ ( a; b), c1 < c2 c1 b c2 b c1 c2 + Khi đó: S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx + ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx + ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx a a c1 c2 a c1 = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx + b ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫ f ( x ) − f ( x ) dx 2 c2 Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: y = f (x ) , trục hoành, x = a, x = b b quay quanh trục Ox tính công thức: V = π ∫ f (x )dx a 3) Ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x, (P2) : y= x2 + đường thẳng x = ; x=2 Giải + Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 + Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1⇔ –2 x -1 = ⇔ x = -1/2 (loại) + Vậ y S = ∫ −2 x − 1dx = 2 ∫ ( −1 − x ) dx = ( − x − x ) = ( −2 − 22 ) − ( −0 − 02 ) = −6 = Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , (P2) y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x=2 Giải + Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 + Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1⇔ –2 x -1 = ⇔ x = -1/2 (nhận) −1 S = ∫ −1 −2x − 1dx + ∫ ( −2x − 1dx = −x − x −1 2 ) −1 ( + −x − x ) −1 −1 −1 2 −1 −1 2 = − − − −0 − 02 + −2 − 22 − − − ( = ) ( 1 −25 26 13 + −6 − = + = = 4 4 Trang - ) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x3 – x (P2) y= x - x2 Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Ví dụ 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau π π π quay xung quanh trục Ox: x =0 ; x = ; y = ; y = sinx Đs: V = ( − ) (đvtt) 4 B BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài 1: Tính diện tích hình phẳng : a y = x − x , y = 0, x = 0, x = 3 b y = x − x ,và trục Ox BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tính diện tích hình phẳng a y = x − x trục Ox b y = x + 1, x + y = x − x − trục Ox 2 c y = x − x + trục Ox c y = 2x +1 , trục Ox, x=1 x +1 e y = x − x, y = 4x - x f y = ln x, y = 0, x = e h y = x − tiếp tuyến với y = x − điểm c y = x + 2, y = 3x d y = d y = x − x + x + 1, y = x + f (C ) : y = x + 3x − 6x + tiếp tuyến ( C ) điểm có hoành độ A ( −1; −2 ) Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng (H) quay quanh trục Ox 2x +1 hình phẳng (H) quay quanh trục Ox a y = , trục Ox, x=1 a y = x +1 , y = 0, x = 0, x = - x−2 x +1 b y = 2x − x , y = b y = 2x − x , y = c y = x c y = x.e , y = 0, x = 0, x = d y = x(4 – x), y = e y = cosx, y = 0, x = 0, x = f y = x – x , y = 0, x = 0, x = 3 π π d y = sin x , y = 0, x = − , x = 2 π x e y = ln x , y = 0, x = 1, x = x e , y = 0, x = 1, x = f y = x − 1, y = 0, x = g y = sin2x ; y = ; x = ; x = π g y = − x , y = 0, x = −1, x = Câu hỏi trắc nghiệm phần nguyên hàm Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số A F ( x ) = e2 x B F ( x ) = f ( x ) = e2 x x e +C Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số C f ( x ) = sin 3x F ( x ) = cos 3x + C C F ( x ) = − cos x + C A là: F ( x ) = − e2 x + C là: B F ( x ) = − cos3x + C D F ( x ) = − cos x Trang - D F ( x ) = e2 x + C Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số A F ( x ) = x + C B F ( x ) = f ( x) = 1 x là: + C C F ( x ) = x + C D F ( x ) = − x x Câu 4: Tìm họ nguyên hàm sau ∫ dx : ( x + 1) 1 A ln x + B ln x + + C C − ln x + − C D ln x + + C 2 3x Câu 5: Tìm họ nguyên hàm sau ∫ dx : x +1 3x 3x A ∫ dx = − 3ln x + + C B ∫ x + dx = 3x − ln x + + C x +1 3x 3x C ∫ D ∫ dx = − ln x + + C dx = 3x − 3ln x + + C x +1 x +1 Câu 6: Tìm họ nguyên hàm sau ∫ x − + dx : 2 cos x sin x x x4 A F ( x ) = − tan x − 2cot x + C B F ( x ) = − tan x + 2cot x + C x4 x4 C F ( x ) = D F ( x ) = − tan x − 2cot x + C + tan x − 2cot x + C 4 Câu 7: Tìm họ nguyên hàm sau ∫ dx : x + 3x + A F ( x ) = ln x + + ln x + + C B F ( x ) = ln x + + ln x + + C x +1 C F ( x ) = ln +C D F ( x ) = ln x + − ln x + + C x+2 Câu 8: Tìm họ nguyên hàm ∫ dx , kết là: 3− x A F ( x ) = − x + C C B F ( x ) = − x + C F ( x ) = C − x Câu 9: Tìm họ nguyên hàm D F ( x ) = −2 − x + C 2x ∫ x + dx , kết là: A F ( x ) = ln x + C C F ( x ) = C.ln x + B F ( x ) = ln x + + C D F ( x ) = ln x + + C Trang - Câu 10: Tìm họ nguyên hàm C F ( x ) = A F ( x) = ∫x x + 3.dx , kết là: (x + 3) (x + 3) + C Câu 11: Tìm họ nguyên hàm B dx ∫1+ e x A x2 + B ∫ ex B F ( x ) = ln x +C e +1 8 C ( x − 2) 9 x +4 +C − f ( x ) = ( x − 1) ( x − ) 7 ( x − 2) ( x − 2) + + ln x Câu 15: Tìm họ nguyên hàm B F ( x ) = lne x − ln ( e x + 1) + C C x + C ( x − 2) ( x − 2) + + Câu 14: Một nguyên hàm hàm A D x dx , kết là: x2 + Câu 13: Một nguyên hàm hàm ( x − 2) A D + ( x − 2) ( x − 2) D x ln x x2 + + C là: ( x − 2) B f ( x) = ln x + ( x − 2) 5 ( x − 2) ( x − 2) + + 6 là: C − ln x D − 2.ln x ∫ x.cos x.dx , kết là: 1 − cos x − x.sin x + c 1 C − cos x + x.sin x + c 1 cos x + x.sin x + c 1 D cos x − x.sin x + c A Câu 16: Tìm họ nguyên hàm + 3) + C , kết sau sai : F ( x ) = ln e x + ln e x + + C Câu 12: Tìm họ nguyên hàm D Một kết khác ex A F ( x ) = ln x +C e +1 C (x F ( x) = B ∫ x.sin ( x + 1).dx , kết là: x x − cos ( x + 1) + sin ( x + 1) + c B − cos ( x + 1) − sin ( x + 1) + c 2 2 x x C cos ( x + 1) + sin ( x + 1) + c D − cos ( x + 1) + sin ( x + 1) + c 4 A Trang - − 4i bằng: 4−i 16 13 16 11 23 A − i B − i C − i 17 17 15 15 25 25 (2 − 3i)(4 − i) Câu 17: Điểm biểu diễn số phức z = có tọa độ + 2i A (1;-4) B (-1;4) C (1;4) Câu 16: Số phức z = D − i 5 D (-1;-4) Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn: (3 + 2i)z + (2 − i)2 = + i Hiệu phần thực phần ảo số phức z là: A B C D Câu 19: Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z2 + z + = Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z1 là: A M ( −1; −2 ) B M(−1; − 2i) C M(−1; − ) + 2i − i + ta được: − i + 2i 15 55 23 63 A z = + i B z = + i 26 26 26 26 Câu 21: Điểm biểu diễn số phức z = là: − 3i D M ( −1; ) Câu 20: Thu gọn số phức z = C z = + i 13 13 D z = 21 61 + i 26 26 3 D ; 13 13 Câu 22: Biết nghịch đảo số phức z số phức liên hợp nó, kết luận sau, kết luận đúng.? A ( 2; − 3) B ( 4; − 1) C ( 3; − ) D z số ảo Câu 23: Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z − z + = Tính P = z + z A 14 B 14i C –14 D -14i = − i có nghiệm là: z +1 A z = + 2i B z = - i C z = - 3i D z = + 2i Câu 25: Cho phương trình z + bz + c = Nếu phương trình nhận z = + i làm nghiệm b c (b, c số thực) : A b = -2, c = B b = 1, c = C b = 3, c = D b = 4, c = z − z là: Câu 26: Cho số phức z = a + bi Khi số 2i A Một số thực B C i D Một số ảo -1 Câu 27: Cho số phức z = a + bi ≠ Số phức z có phần thực là: Câu 24: Trong C, phương trình ( ) −b a C 2 a +b a + b2 Câu 28: Cho số phức z = a + bi Để z3 số ảo, điều kiện a b là: A a - b B a = vµ b ≠ B C 2 a ≠ vµ a = 3b Câu 29: Tập nghiệm phương trình (3 − i).z − = : A b2 = 3a2 A { − i 2 } B { − − i 2 } C Trang - 18 a ≠ vµ b = 2 b ≠ vµ a = b { − + i 2 } D a + b D ab = D { + i 2 } Câu 30: Tính z = + i 2017 2+i 3 − i B + i C − i 5 5 5 Câu 31: Cho số phức z = a + bi Để z số thực, điều kiện a b là: A D + i 5 b = vµ a bÊt k× b bÊt k× vµ a = A B C b2 = 5a2 D b = 3a 2 b = a b = 3a Câu 32: Cho số phức z = + 4i z số phức liên hợp z Phương trình bậc hai nhận z z làm nghiệm là: A z2 + z − 25 = B z2 − z + =0 C z2 − z + 25 = D z2 − z + i = Câu 33: Cho số phức z = + 4i Khi môđun z −1 là: A B 1 D C D 24 D a a + b2 C Câu 34: Cho số phức zthỏa mãn: z (1 + 2i) = + 4i Tìm mô đun số phức ω = z + 2i A 17 B 4 Câu 35: Cho số phức z = a + bi ≠ Số phức z −1 có phần ảo : A −b a + b2 B a2 - b2 Câu 36: Dạng z=a+bi số phức C a2 + b2 số phức đây? + 2i 3 3 + i B − + i C − − i D − i 13 13 13 13 13 13 13 13 Câu 37: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i (Trong a, b, a’, b’ khác 0) điều kiện a, b, z a’, b’ để số ảo là: z' A a + a’ = b + b’ B a + b = a’ + b’ C aa’ + bb’ = D aa’ - bb’ = 2 Câu 38: Trong ℂ , cho phương trình bậc hai az + bz + c = (*) (a ≠ 0) Gọi ∆ = b – 4ac Ta xét mệnh đề: 1) Nếu ∆ số thực âm phương trình (*) vô nghiệm 2) Néu ∆≠ phương trình có hai nghiệm số phân biệt 3) Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép Trong mệnh đề trên: A Có mệnh đề B Có hai mệnh đề C Cả ba mệnh đề D Không có mệnh đề A Câu 39: Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z2 − z + = Gọi M, N, P điểm biểu diễn z1 , z2 số phức k = x + iy mặt phẳng phức Khi tập hợp điểm P mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông P là: A Là đường tròn có phương trình x − x + y − = B Là đường tròn có phương trình x − x + y − = , không chứa M, N C Đường thẳng có phương trình y = x − D Là đường tròn có phương trình x − x + y − = , không chứa M, N Câu 40: Điểm M biểu diễn số phức z = A (3;-4) B (4;3) + 4i có tọa độ : i 2019 C M(4;-3) Trang - 19 D (3;4) Câu 41: Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z2 − z + = Gọi M, N điểm biểu diễn z1 z2 mặt phẳng phức Khi độ dài MN là: A MN = B MN = C MN = D MN = −2 1 Câu 42: Biết số phức z thỏa phương trình z + = Giá trị P = z2016 + 2016 là: z z A P = B P = C P = D P = Câu 43: Tập nghiệm phương trình z4 − z2 − = là: { } A ± ; ± 2i B {±2; ± 4i} C {±2; ± 4i} { } D ± 2i; ± Câu 44:Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z + = −1 Giá trị P = z13 + z23 là: z A P = B P = C P = D P = Câu 45: Tìm số phức z biết A z = 10 35 + i 13 26 B z = 1 = − z − 2i (1 + 2i)2 14 + i 25 25 C z = Trang - 20 10 14 − i 13 25 D z = 14 + i 25 25 CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I) KIẾN THỨC CẦN NHỚ a) Hệ tọa độ không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi vuông góc với vectơ đơn vị tương ứng i , j , k gọi hệ trục tọa độ vuông góc không gian Oxyz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi vuôing góc gọi mặt phẳng tọa độ b) Tọa độ vectơ điểm u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk Nếu A ( xA ; y A ; z A ) vµ B ( xB ; yB ; z B ) AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) Đặc biệt: x + x y + yB z A + z B M trung điểm AB ⇔ M = A B ; A ; 2 x +x +x y + yB + yC z +z +z G trọng tâm tam giác ABC ⇔ xG = A B C ; yG = A ; zG = A B C 3 c) Vectơ Tọa độ vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho u ( x1 ; y1 ; z1 ) vµ v ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó: x1 = x2 u = v ⇔ y1 = y2 z = z i u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) i ku = ( kx1 ; ky1; kz1 ) d) Hai vectơ phương: ( ) Hai vectơ u ( x1; y1; z1 ) vµ v ( x2 ; y2 ; z2 ) , v ≠ phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : u = kv hay e) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Cho u ( x1; y1; z1 ) vµ v ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó: ( ) u = u = x12 + y12 + z12 u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) cos u, v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x1 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 u ⊥ v ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = Trang - 21 x1 y1 z1 = = x2 y2 z2 f) TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ.: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u ( x1; y1; z1 ) v ( x2 ; y2 ; z2 ) Tích có hướng hai vectơ u vµ v véctơ , kí hiệu u , v , xác định bởi: y z z x x y u , v = 1 ; 1 ; 1 = ( y1 z2 − y2 z1 ; z1 x2 − z2 x1 ; x1 y2 − x2 y1 ) y2 z2 z2 x2 x2 y2 Tính chất : Véctơ u , v vuông góc với hai vectơ u vµ v g) CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CÓ HƯỚNG (NC) o Diện tích tam giác ABC: S ABC = AB, AC o Thể tích tứ diện: VABCD = AB, AC AD 6 o Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD = AB, AD o Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' = AB, AC AD h) MẶT CẦU • Mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R có phương trình là: 2 ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) • = R2 Phương trình : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , với a + b + c > d , p/trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) b/kính R = a + b + c − d II) CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM , VECTƠ VÀ ĐỘ DÀI CỦA VT Phương pháp: Sử dụng công thức : AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) ku = ( kx1 ; ky1 ; kz1 ) , ∀k ∈ R AB = Ví dụ 1: Cho ba véctơ : a ( 0; −2;7 ) , b (1; −3; −1) , c (1;3;9 ) Tính tọa độ véctơ sau a) u = a − b b) v = 2a + b − 3c c) w = a − b + 3c Ví dụ Trong không gian cho ba điểm A ( −1;0;3) ; B ( 2;1; −3) ; C (1; 2; ) a).Tính tọa độ độ dài véctơ AB; AC ; BC b).Tính tọa độ trung điểm cạnh cúa tam giác ABC c).Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC d).Cho M ( x;3; z ) Tìm x , z để ba điểm B, C, M thẳng hàng e).Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành *h).Tìm N thuộc mp(Oxy) cho NA + NB nhỏ Ví dụ 3: Trong không gian cho hai điểm A ( 2; −1;7 ) ; B ( 4;5; −2 ) a).Cho điểm M thỏa hệ thức MA = 2.MB Tìm tọa độ trung điểm đoạn AM b).Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) điểm G Tìm số k cho GA = k.GB Tìm tọa độ G Trang - 22 DẠNG : TÍCH VÔ HƯỚNG , TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Phương pháp :Sử dụng công thức : Với u ( x1; y1; z1 ) v ( x2 ; y2 ; z2 ) y z z x x y u , v = 1 ; 1 ; 1 y2 z2 z2 x2 x2 y2 ( ) u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) u, v = u v sin u, v u vµ v phương u , v = Ví dụ : Cho ba vectơ u ( −2;3;0 ) , v ( 0; 2; −3) , w ( 7;1; ) Tính ( a) u.v ; u v + w ) ( )( ) b) u + v c).Góc u; v ; v; w d) u ; v ; v ; u e) u ; w v Ví dụ Trong không gian cho điểm A ( −1; −2;0 ) ; B (1;0; −3) ; C ( −2; −1; −1) a).Tìm tọa độ điểm D thuộc trục Ox cho AD ⊥ AC b) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz cho góc vectơ AE ; AB 600 c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox cho M cách hai điểm A; B *e) Tìm tọa độ điểm F thuộc trục Ox cho ACF t.giác có diện tích Ví dụ Trong k/g cho điểm A ( −1; −2;0 ) ; B (1;0; −2 ) ; C ( −2; −1; −3) ; D ( −2;0;0 ) a).Chứng minh : A, B , C tạo thành tam giác Tính diện tích tam giác ABC b).Chứng minh : ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD c) Tìm điểm K thuộc trục Oz cho điểm A, B, C, K đồng phẳng DẠNG : LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Phương pháp 1:(Áp dụng cho dạng toán dễ tìm tâm bán kính) Tìm tâm I ( a; b; c ) bán kinh R mặt cầu 2 Khi đó, mặt cầu có phương trình : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Phương pháp 2: Giả sử mặt cầu có phương trình : x + y + z − Ax − By − 2Cz + D = Khi đó, dựa vào giả thiết tìm hệ số A, B, C D Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau a).Đi qua M (1; −2;1) có tâm I ( 2; −3;1) b).Có tâm I ( 2; −1; −5 ) có đương kính c).Có đường kính AB biết A (1; −2;3) ; B ( −5;3;5 ) d) Đi qua hai điểm C ( −2; −1; −1) ; D (1; 0; −3) có tâm thuộc trục Ox 2 *h) Có tâm O tiếp xúc với mặt cầu : ( S ) : ( x − ) + ( y + ) + ( z − ) = Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC , A ( −1; 0;0 ) ; B ( 0; 2; ) ; C ( 0; 0; −4 ) biết Ví dụ 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau : a) x + y + z + x + y − z − = b) x + y + z + x − y − = c) x + y + z + x − y − 12 z − 100 = Ví dụ : Chứng minh phương trình x + y + z − x + 12 z + = phương trình mặt cầu Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu Trang - 23 PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu : Cho (S) mặt cầu có phương trình: x + y + z − x + y + = Khi đó, bán kính (S) là: A B C.3 D 3 Câu : Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) tiếp xúc với mp(Oxz) là: A x + y + z - 2x - 4y - 6z + 10 = B x + y + z - 2x - 4y + 6z + 10 = C x + y + z + 2x + 4y + 6z - 10 = D x + y + z + 2x + 4y + 6z - 10 = Câu : Cho tứ giác ABCD hình: A.Thoi B Tứ diện C Chữ nhật D Vuông Câu : Cho bốn điểm A(1,1,-1) , B(2,0,0) , C(1,0,1) , D (0,1,0) Nhận xét sau B ABCD hình chữ nhật A ABCD hình thoi C ABCD hình bình hành D ABCD hình vuông Câu : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác O.ABC, biết A(3; 0;0), B(0;3; 0), C(0;0;3) Tìm chiều cao khối chóp O.ABC A h = B h = C h = D h = Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm A = ( 3; 2; −1) ; B = ( −2;0;1) Tìm tọa độ vectơ AB A AB = ( −5; −2;0 ) B AB = ( 5; 2; −2 ) D AB = ( −5; −2; ) C AB = ( −6; 0; −1) ( ) Câu Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a = ( 3; 2;1) ; b = ( −2;0;1) Tìm độ dài vectơ a + b A B 29 C.9 D 41 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2; −1;1) , B ( 5;5; ) C ( 3; 2; −1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 4 10 A G (10; 4; ) B G ; 2; 3 C G ( 5; 2; ) 4 10 D G − ; −2; − 3 Câu : Cho bốn điểm A(-1,1,1), B(5,1,-1) C(2,5,2) , D(0,-3,1) Nhận xét sau A Ba điểm A, B, C thẳng hàng B A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện C A, B, C, D hình thang D Cả A B Câu 10 : Cho Gọi điểm cho thì: A B C D Câu 11 : Cho hai điểm A(5,3,-4) điểm B(1,3,4) Tìm tọa độ điểm C ∈ (Oxy) cho tam giác ABC cân C có diện tích Chọn câu trả lời A C(-3-7,0) C(-3,-1,0) B C(3,7,0) C(3,-1,0) C C(3,7,0) C(3,1,0) D C(-3,-7,0) C(3,-1,0) Câu 12 : Cho hai điểm A(1; 0; -3) B(3; 2; 1) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A x + y + z - 4x - 2y + 2z = B x + y + z - 2x - y + z - 6= C x + y + z + 4x - 2y + 2z = D x + y + z - 4x - 2y + 2z + = Câu 13 : Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z2 − x + z − = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn 7 1 −1 −5 B D ; − ; − C D ; ; D D(1; - 1; 0) 3 3 3 Câu 14 : Cho bốn điểm A (1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D (1;1;1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? A D (1; 0;1) A.Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện C AB ⊥ CD B.Tam giác BCD D.Tam giác BCD vuông cân Trang - 24 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1).Khái niệm Vectơ pháp tuyến mặt phẳng • Véctơ n ≠ VTPT (α ) giá n vuông góc với mp (α ) Phương trình tổng quát mặt phẳng • Trong không gian Oxyz phương trình dạng : Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ phương trình tổng quát mặt phẳng 2) Tính chất • Mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) • Mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; x0 ) có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) có phương trình tổng quát : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Hoặc Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 3) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT nα = ( A; B; C ) mặt phẳng ( β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = có VTPT nβ = ( A '; B '; C ' ) Khi đó: • • • n = k nβ ⇔ α D = k D ' n = k nβ A B C D (α ) / / ( β ) ⇔ = = ≠ ⇔ α A' B ' C ' D ' D ≠ k D ' (α ) cắt ( β ) ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C ' ⇔ nα ≠ k.nβ (α ) ≡ ( β ) ⇔ A B C D = = = A' B ' C ' D ' 4) Phương Trình Mặt Phẳng Theo Đoạn Chắn Mặt phẳng (α ) không qua gốc tọa độ, cắt trục Ox, Oy , Oz A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) có phương trình theo đoạn chắn : x y z + + =1 a b c ( abc ≠ ) 5) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG Cho (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M ( x0 ; y0 ; z ) Khi đó: d ( M , (α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 6) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = vµ ( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = Gọi ϕ ( 00 ≤ ϕ ≤ 900 ) góc hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ( ) Khi đó: cos ϕ = cos nα ; nβ = AA '+ BB '+ CC ' A + B + C A '2 + B '2 + C '2 II) Bài Tập Vận Dụng Trang - 25 DẠNG 4: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α ) Phương pháp: Cách 1: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng (α ) Tìm vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) mặt phẳng (α ) A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Cách 2: Áp dụng cho toán liên quan đến khoảng cách góc Giả sử mặt phẳng cần tìm có phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = dựa vào giả thiết để tìm hệ số A , B , C, D Ví dụ Trong không gian với hệ Oxyz, cho điểm A ( −1; −2;0 ) ; B ( −3; −2; −2 ) ; C ( −2;0; −2 ) ; D ( −1; −1; ) mp( α ) có phương trình : −2 x + y − z − = a) Viết phương trình mặt phẳng qua B vuông góc với AC b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB c) Viết phương trình mặt phẳng qua D song song với mp( α ) d) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) e) Viết phương trình mặt phẳng qua C , song song với trục Ox BC f) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vuông góc với mp( α ) Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −1; −1) mặt phẳng ( P ) có phương trình : 2x − 3y − 6z +1 = a) Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A song song với mp ( P ) b) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc A mp(P) Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : (P): -x + 2y - 2z – = (Q): x + 2y – 3z + = a).Xét vị trí tương đối mp (α ) : x − y + z + = với mp(P) mp(Q) b).Viết phương trình mp(R) qua gốc tọa độ O ,vuông góc với (P) (Q) *Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(2 ; ; 1) cắt tia Ox ; Oy ; Oz A ; B C cho tứ diện OABC tích nhỏ PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu : Cho (S) mặt cầu tâm I(2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – 2y – z + = Khi đó, bán kính (S) là: A B C D 3 Câu : Gọi (α ) mặt phẳng cắt ba trục tọa độ điểm M (8; 0; 0), N(0; -2; 0) , P(0; 0; 4) Phương trình mặt phẳng (α ) là: x y z x y z A + B + + = C x – 4y + 2z = D x – 4y + 2z – = + =0 −2 4 −1 Câu : Cho điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0) Phương trình mặt phẳng (ABC) là: A 2x – 3y – 4z + = B 4x + 6y – 8z + = C.2x + 3y – 4z – = D 2x – 3y – 4z + = Câu : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0 Gọi C điểm (P) để tam giác ABC tọa độ điểm C là: − −2 − −1 −1 A C ( ; ; ) B C ( ; ; ) C C ( −3;1; 2) D C (1; 2; 2) 3 2 Câu : Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (P): x-3y+2z-1=0 (Q): 2x+y-3z+1=0 song song với trục Ox A x-3=0 B 7y-7z+3=0 C y-2z+1=0 D 7y+7z+1=0 Câu : Cho mặt phẳng (P) x-2y-3z+14=0 Tìm tọa độ M’ đối xứng với M(1;-1;1) qua (P) A M’(1;-3;7) B M’(-1;3;7) C M’(2;-3;-2) D M’(2;-1;1) Câu : Mặt phẳng sau chứa trục Oy? A -2x – y = B –y + z = C -2x + z =0 D -2x – y + z =0 Câu : Gọi (P) mặt phẳng qua M(3;-1;-5) vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x-2y+2z+7=0 (R): 5x-4y+3z+1=0 Phương trình mp(P) A 2x+y-2z+15=0 B 2x+y-2z-15=0 C x+y+z-7=0 D x+2y+3z+2=0 Khi đó, phương trình mặt phẳng là: Trang - 26 Câu : Tồn mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (α): x+y+z+1=0 , (β) : 2x-y+3z-4=0 cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) 26 A B C D Vô số Câu 10 : Mặt phẳng (α ) qua M (0; 0; -1) song song với giá hai vectơ a (1; −2;3) b (3; 0;5) Phương trình mặt phẳng (α ) là: A 5x – 2y – 3z -21 = B 5x – 2y – 3z + 21 = C 10x – 4y – 6z + 21 = D -5x + 2y + 3z + = BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG a).Khái niệm Vectơ phương đường thẳng • Véctơ u ≠ gọi vectơ phương đường thẳng d giá u song song trùng với d Phương trình tham số tắc đường thẳng • Đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương u ( a; b; c ) có: x = x0 + at o Phương trình tham số : y = y0 + bt z = z + ct x − x0 y − y0 z − z0 o Phương trình tắc : = = , với điều kiện abc ≠ a b c b) PHƯƠNG PHÁP XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG x = x1 + a1t x = x2 + a2t ' Cho hai đường thẳng d1 : y = y1 + b1t vµ d : y = y2 + b2t ' z = z + c t z = z + c t ' 1 2 d1 qua M có vectơ phương u1 d qua M có vectơ phương u2 Bước 1: Xét phương hai vecto u1 u2 TH1: u1 u2 phương Bước 2: Xét xem M có thuộc d không Nếu M ∈ d ⇒ d1 ≡ d Nếu M ∉ d ⇒ d1 / / d TH2: u1 u2 không phương x1 + a1t = x2 + a2t ' Bước 2:Xét hệ (I): y1 + b1t = y2 + b2t ' ( ẩn t ,t’ ) z + c t = z + c t ' 2 1 Hệ (I) có nghiệm ⇔ d1 d cắt Hệ (I) vô nghiệm ⇔ d1 d chéo Lưu ý: d1 ≡ d ⇔ Hệ (I) có vô số nghiệm d1 / / d ⇔ Hệ (I) vô nghiệm u1 , u2 phương c) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG x = x0 + at Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = , đương thẳng d : y = y0 + bt z = z + ct Trang - 27 Xét phương trình (ẩn t): A ( x0 + a.t ) + B ( y0 + b.t ) + C ( z0 + c.t ) + D = (1) P.trình (1) có vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α ) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ d / / (α ) P.trình (1) có nghiệm ⇔ d cắt (α ) Đặc biệt : d ⊥ (α ) ⇔ n , a phương ( n ; a VTPT VTCP ) d) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯƠNG THẲNG Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ Phương pháp: Lập phương trình mp (α ) qua M vuông góc với ∆ Tìm tọa độ giao điểm H mp (α ) d Kết luận : d ( M ; ∆ ) = MH Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ Nếu đường thẳng ∆ qua M có VTCP u : MA u d ( A ; ∆) = u e) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ∆1 VÀ ∆ Phương pháp: ( M ∈ ∆1 ) Lập phương trình mp (α ) chứa ∆ song song với ∆1 Khi : d ( ∆1 ; ∆ ) = d ( M ; (α ) ) f) Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP : u1 ( a1 , b1 , c1 ) & u2 ( a2 , b2 , c2 ) Gọi ϕ ( ≤ ϕ ≤ 900 ) góc d1 & d ( ) Khi : cos ϕ == cos u1 ; u2 = u1.u2 u1 u2 = a1a2 + b1b2 + c1c2 a1 + b12 + c12 a2 + b2 + c2 g) Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cho đường thẳng d có vectơ phương u ( a; b; c ) mp (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Gọi ϕ ( ≤ ϕ ≤ 900 ) góc d & (α ) ( ) Khi : sin ϕ = cos u ; n = u.n u.n = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c II) Bài Tập Vận Dụng Trang - 28 DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ∆ Phương pháp: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc đường thẳng ∆ Tìm vectơ phương u ( a; b; c ) đường thẳng ∆ x = x0 + at Khi đó, phương trình tham số ∆ : y = y0 + bt z = z + ct Chú ý:Đường thẳng ∆ vuông góc với giá hai vecto a ; b u = a ∧ b vecto phương ∆ Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; −2; −1) ; B ( 0;1; −2 ) mặt phẳng (α ) : x − y + z − = x −1 y + z + = = −3 a) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (α ) b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B c) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với ( Oxy ) d) Viết phương trình đường thẳng qua B song song với ∆ Ví dụ Trong không gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau : a) Đi qua M ( −4; −3; −1) cắt trục Oy A cho ∆OAM vuông A đường thẳng ∆ : b) Đi qua N ( 3; −2;6 ) vuông góc với hai đường thẳng có phương trình : x = + 3t x −1 y + z +1 ∆1 : = = vµ ∆ : y = 2t −2 z = + 1t c) Đi qua M ( 0;7;0 ) , song song với mp (α ) : x + y − z − = vuông góc với đường thẳng có phương x −1 y + z +1 = = −1 Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng : a) (α ) : x + y + z − = ( β ) : x − y + z − = trình : ∆: b) (α ) : x + y − 3z + = mp ( Oxy ) Ví dụ 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng x y +1 z + mặt phẳng (α ) : x − y + 3z + 10 = ∆: = = −1 Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α ) : − x + y + z − = cắt hai đường thẳng x = − 5t x y +6 z +8 ∆1 : = = vµ ∆ : y = −1 z = + t Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −1; −1;0 ) mặt phẳng ( P ) có phương trình : x + y − 2z − = a) Viết phương trình mp(Q) qua M song song với (P) b) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vuông góc với mp ( P ) Tìm tọa độ giao điểm H đường thẳng d với mặt phẳng ( P ) ( Đề tốt nghiệp THPT năm 2007 ) PHẦN TRẮC NGHIỆM Trang - 29 Câu : Cho đường thẳng d qua M(2; 0; -1) có vectơ phương a (4; − 6; 2) Phương trình tham số đường thẳng d là: x = + 2t x = −2 + 4t x = −2 + 2t x = + 2t A y = −6t B y = −3t C y = −6 − 3t D y = −3t z = −1 + t z = + 2t z = 1+ t z = + t Câu : Toạ độ điểm M’ hình chiếu vuông góc điểm M(2; 0; 1) là: A M’(1; 0; 2) B M’ (2; 2; 3) C M’(0; -2; 1) D M’(-1; -4; 0) Câu : Phương trình đường thẳng d qua điểm M(2;0;-1) có vecto phương a = (4; −6; 2) x + y z −1 x − y z +1 = = = = A B −3 −3 x + y z −1 x−4 y+6 z−2 = = = = C D −6 2 −3 x = + 2t x = + 4t Câu 4: Cho đường thẳng d : y = + 3t d : y = + 6t Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? z = + 4t z = + 8t A d1 ⊥ d B d1 / / d C d1 ≡ d D d1 , d chéo x − y +1 z = = Câu : Cho hai điểm A(2,0,3) , B(2,-2,-3) đường thẳng ∆ : Nhận xét sau A ∆ AB hai đường thẳng chéo B.A , B ∆ nằm mặt phẳng C Tam giác MAB cân M với M (2,1,0) D A B thuộc đường thẳng ∆ Câu 6: Cho d đường thẳng qua điểmA(1; 2; 3) vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + y − z + = Phương trình tham số d là: x = −1 + 8t x = + 4t x = −1 + 4t x = + 3t A y = − 3t B y = −2 + 6t C y = + 3t D y = −2 + 3t z = −3 − 14t z = − 7t z = −3 − 7t z = − 7t Câu 7: Cho điềm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) D(-1; 1; 2) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là: A ( x + 3) + ( y − 2) + ( z − 2) = 14 B ( x + 3) + ( y − 2) + ( z − 2) = 14 C ( x − 3) + ( y + 2) + ( z + 2) = 14 D ( x − 3) + ( y + 2) + ( z + 2) = 14 Câu 8: Hai mặt phẳng (α ) : 3x + 2y – z + = (α ' ) : 3x + y + 11z – = A Trùng B Vuông góc với C Song song với D Cắt không vuông góc với nhau; Câu 9: Cho điểm A(1; -2; 1), B(2; 1; 3) mặt phẳng (P) : x – y + 2z – = Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) điểm có tọa độ: A (0; −5;1) B (0;5;1) C (0; −5; −1) D (0;5; −1) Câu 10: Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 11 = mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 1) tiếp xúc với (P) H tọa độ tiếp điểm H A H(2;3;-1) B H(5;4;3) C H(1;2;3) D H(3;1;2) Câu 11: Cho điểm M(2;3;-1) đường thẳng d : x − = y − = z − tọa độ hình chiếu vuông góc M −2 (d) A H(4;1;5) B H(2;3;-1) C H(1;-2;2) D H ( 2;5;1) Câu 12: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 (Q): x+y+x-1=0 Phương trình tắc đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) là: x −1 y + z + x + y − z −1 = = = = A B −2 −3 x y − z +1 x y + z −1 = = C = D = −3 −3 −1 Trang - 30 Câu 13: Cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) mặt phẳng (P): 2x + y – z + =0 Tọa độ điểm M nằm (P) cho MA2 + MB2 nhỏ là: A M(-1;3;2) B M(1;-1;3) C M(-1;1;5) D M(2;1;-5) Câu 14: Gọi H hình chiếu vuông góc A(2; -1; -1) đến mặt phẳng (P) : 16x – 12y – 15z – = Độ dài đoạn thẳng AH là: 11 22 22 11 A B C D 25 25 Câu 15: Cho (P) : 2x – y + 2z – = A(1; 3; -2) Hình chiếu A (P) H(a; b; c) Giá trị a – b + c : 3 B C − D − A 3 2 2 Câu 16: Cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x + y + z − x − y − z − 11 = Bán kính đường tròn giao tuyến là: A B C D Câu 17: Cho điểm A(2; −1;1) Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn A 2x+y-z+6=0 B x + y + z − = C x − y + z + = D x − y + z − = x −1 y − z +1 = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 1 −4 cắt ∆ hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 12 A ( x + 3)2 + ( y + 4) + z = B ( x − 3) + ( y − 4) + z = 25 C ( x + 3)2 + ( y + 4) + z = 25 D ( x − 3) + ( y − 4) + z = Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác S.ABC, biết A(3; 0;0), B(0;3; 0), C(0;0;3) Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC 36 A S(9;9;9) S(7;7;7) B S(−9; −9; −9) S(−7; −7; −7) C S(−9; −9; −9) S(7;7;7) D S(9;9;9) S(−7; −7; −7) Câu 18: Cho điểm I(3,4,0) đường thẳng ∆ : Trang - 31 [...]... ) , v ≠ 0 cùng phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : u = kv hay e) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Cho u ( x1; y1; z1 ) vµ v ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó: 2 ( ) u = u = x12 + y12 + z12 u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) cos u, v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 2 x1 + y12 + z12 x2 2 + y2 2 + z2 2 u ⊥ v ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 Trang - 21 x1 y1 z1 = = x2 y2 z2 f) TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ.: Trong không gian Oxyz... 3 81 D S = π 35 Câu 17:Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh ox miền D được giới hạn bởi y = A S = 121 5 π 2 B S = 486 π 35 C S = 3330 π 35 Câu 18:Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (D) : y = x 2 − 4 x + 4 , y = 0, x = 0 quanh trục ox A S = 123 5 B V = 33π 5 C S = 33 5 D S = 123 π 5 Câu 19:Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 4 x ( C ) Gọi S là diện tích hình phẳng gới hạn bởi... quãng đường vật đi được sau 10s A v = 100m / s , s = 5000 m / s B v = 90m / s, s = 4455m / s C v = 100m / s, s = 500m / s D v = 90m / s, s = 495m / s e Câu 21:Tính tích phân I = ∫ 1 A 112 45 B 1 + 3ln x ln xdx x 56 135 C 112 15 D 116 135 Câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân Câu 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( e + 1) x và y = (1 + e x ) x 3 A S = e − 1 2 B S... của các mặt cầu có phương trình sau : a) x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 2 y − 4 z − 1 = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 4 = 0 c) 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 8 x − 4 y − 12 z − 100 = 0 Ví dụ 4 : Chứng minh phương trình 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 12 z + 2 = 0 là phương trình của một mặt cầu Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó Trang - 23 PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1 : Cho (S) là mặt cầu có phương trình:... thẳng d1 , d 2 lần lượt có VTCP : u1 ( a1 , b1 , c1 ) & u2 ( a2 , b2 , c2 ) Gọi ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 900 ) là góc giữa d1 & d 2 ( ) Khi đó : cos ϕ == cos u1 ; u2 = u1.u2 u1 u2 = a1a2 + b1b2 + c1c2 2 a1 + b12 + c12 a2 2 + b2 2 + c2 2 g) Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u ( a; b; c ) và mp (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Gọi ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 900 ) là góc giữa d &... dx = ∫ ( 2 − 4 )dx + ∫ ( 2 x − 4 ) dx x 0 0 2 2 1 2 −2 1 ∫ x 2 − 1 dx = ∫ ( x 2 − 1) dx + ∫ ( x 2 − 1) dx −2 Câu 11:Tính tích phân I = ∫ A D -5 dx 5− 2 ) C 5 ln 5 − 2 ln 2 D 2 C 3 − π D π − 3 π 2 Câu 12: Tính tích phân I = ∫ ( 2 x − 1) cos xdx 0 A π + 1 B −π − 1 1 Câu 13:Tính tích phân I = ∫ ( x − 2 ) e 2 x dx 0 A 3 − 2e 2 2 B 3 − 2e 2 4 C 5 − 3e 2 4 D 1 − 2e 2 2 π Câu 14:Tính tích phân I = ∫ x (1... − 3x 2 − 4 x )dx −1 3 4 4 3 ∫ (x − 3 x 2 − 4 x )dx −1 0 0 C S = 4 4 3 2 3 2 ∫ ( x − 3x − 4 x )dx − ∫ ( x − 3x − 4 x )dx D S = 0 ∫ (x 3 − 3 x 2 − 4 x )dx −1 x2 , y = 2, y = 4 quanh trục oy 2 248 C V = 12 D S = π 5 Câu 20:Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (D) : y = A S = 20π B S = 28 π 3 SỐ PHỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ − 1); a là phần thực, b là phần ảo của z CT 1) Số phức z = a + bi (a,... ) 2 − ( 2 + i ) 2 i a b) 2a2 + 3 c) 4a4 + 9b2d) 3a2 + 5b2 Bài Tập 2 Phân tích ra thừa số : a) a2 + 1 Bài Tập 3 Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : a) − 1 + 4 3.i b) 4 + 6 5.i c) − 1 − 2 6 i d) − 5 + 12. i e) Dạng 2: TÌM CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH SỐ PHỨC Trang - 15 Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC, TÌM SỐ PHỨC THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 4: BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC Dạng 5: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ... z' = z + z ' B z + z là số thực C (1 + i)10 = 210 i D 1 1 + là số thực 1+ i 1− i Câu 11: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z2 − 3z + 5 = 0 Tìm mô đun của sốphức: ω = 2 z − 3 + 14 A 17 B 4 C Câu 12: Cho số phức z = x + yi ≠ 1 (x, y ∈ R) Phần ảo của số A −2x ( x − 1) 2 +y 2 B −2y ( x − 1) 2 +y C 2 D 5 24 z +1 là: z −1 x+y ( x − 1) 2 +y 2 D xy ( x − 1) 2 + y2 Câu 13: Gọi z1 và z2 lần lượt là nghiệm... 53π A V = B V = C V = D V = 15 15 3 480 −3 x − 1 Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và các hệ trục tọa độ x −1 4 7 4 A S = 4 ln B S = 1 C S = D S = 4 ln − 1 3 4 3 Trang - 12 Câu 5: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi y = x.ln 2 x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = e A S = −e 2 1 + 4 4 B S = 2e 2 − 1 C S = 1 2 ( e − 1) 4 D S = 2 Câu 6: Tính diện tích hình ... v ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó: ( ) u = u = x12 + y12 + z12 u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) cos u, v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x1 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 u ⊥ v ⇔ x1 x2 + y1 y2... y = A S = 121 5 π B S = 486 π 35 C S = 3330 π 35 Câu 18:Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng (D) : y = x − x + , y = 0, x = quanh trục ox A S = 123 B V = 33π C S = 33 D S = 123 π Câu 19:Cho... s, s = 500m / s D v = 90m / s, s = 495m / s e Câu 21:Tính tích phân I = ∫ A 112 45 B + 3ln x ln xdx x 56 135 C 112 15 D 116 135 Câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân Câu 1: Tính diện