Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 định lý viét

ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÓM TĂT ĐỊNH LÝ VI-ET 1... Tìm a để phương trình có một nghiệm lớn hơn hai lần nghiệm kia một đơn vị... Tìm nghiệm kia... 1 Chứng tỏ rằng phương t

ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

TÓM TĂT ĐỊNH LÝ VI-ET

1 Định lý thuận

Phương trình bậc hai ax2 bxc 0có 2 nghiệm thì :

1 2

b

S x x

a c

P x x

a



   







2 Định lí đảo

, : x y S

x y

xy P

 











x,y là nghiệm của X2 SX P 0 (Với điều kiện S2  P4  0)

II.VẤN ĐỀ 1:

Tính các biểu thức đối xứng của hai nghiệm(Phương pháp dùng định lí Viét thuận):

Biểu thức f(x 1 ;x 2 ) gọi là đối xứng đói với x 1 , x 2 nếu f(x 1 ;x 2 ) = f(x 2 ;x 1 ) Tính chất : Mọi biểu thức đối xứng với hai biến đều có thể phân tích

được thành biểu thức mới chỉ chứa các hạng tử và nhân tử là tổng S hoặc tích P của hai biến đó

Phương pháp chung :

+ Xét đ/k có nghiệm của phương trình :   0

+ Tính S, P

+ Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P

Ví dụ: Cho phương trình x2  x2  1  0 Không tính nghiệm của phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức:

2 7

x

A 

b) B x1 x2

GIẢI: Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 vì ac 0

a) Ta có:    3 1 2

2 3 1 4 2 4 1 3 2 3

x

 x12 x22 x1x22  2x1x2 S2  2P

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 3

S(S2  3P)

2 2 1

2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 1

2 2 1 4 2 4

2 ) 2 (S  P  P



 S = 2, P = -1

Suy ra: x17 x72 S(S2  3P)((S2  2P)2  2P2) P3S

 2 ( 4  3 )(( 4  2 )2  2 )  2  866

Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2 1 2

x

2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

S2  4P  8

Suy ra B 8

Ví dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các nghiệm x1, x2 của phương trình x2 + mx + 1 = 0 thỏa mãn :

7

x x

x x 

Ví dụ 3 : Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình :

2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0

Tìm GTLN của biểu thức A x x1 2  2x1 2x2

Ví dụ 4 : Tìm m để phương trình :

3x 2 + 4(m - 1)x + m 2 - 4m + 1 = 0

có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : 1 2

2 x x

x  x  

III VẤN ĐỀ 2:

Tìm tham số biết hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức F(x 1 ,x 2 )=0

Phương pháp (dùng định lí Viét ):

- Tìm đ/k để phương trình có nghiệm x1, x2

- Lập hệ các điều kiện chứa nghiệm x1, x2 và m:

1 2

(1) (2)

b

a c

x x a

F x x























- Tìm m từ hệ trên

- Thử lại điều kiện   0 để kết luận tham số

Ví dụ 1: Cho phương trình x2  2 (m 4 )xm2  8  0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) x12  x 22  50

2 2

x    đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm các nghiệm đó

GIẢI

Điều kiện:  '  8m 4  0 m  3 (*)

a) Ta có:





















































) 3 ( 50

2

) 2 ( 8

) 1 ( 4

2

50 8

4 2

2 1

2 2 1

2 2 1

2 1

2 2

2 1

2 2 1

2 1

x x x

x

m x x

m x

x

x x

m x x

m x

x

Thay (1), (2) vào (3) ta nhận được m  1 m  15

- Với m = -1 phương trình trở thành x2  x6  7  0 có nghiệm

7 ,

1 2

x

- Với m  15 ,  '  8m 24  0( m=-15 bị loại)

Vậy m = -1 thỏa mãn bài toán lúc đó phương trình có nghiệm

7 ,

1 2

x

b) Ta có



























) 3 ( min

) 2 ( 8

) 1 ( 4

2

2 1 2 2 2 1

2 2 1

2 1

x x x x

m x x

m x x

Từ (1) và (2) :x12 x22 x1 x2  2y với ym2  15m 36(*)

Do (*) bài toán trở thành : Tìm min y với m  3 Vì parabol y quay lõm về phía trên có hoành độ đỉnh nhỏ hơn -3 nên:

Min y = y(-3) = 0, Vậy m = -3; GTNN = 0 x1  x2  1

Ví dụ 2: Cho phương trình 3x2  xa 1 Tìm a để phương trình có một nghiệm lớn hơn hai lần nghiệm kia một đơn vị

GIẢI

Biến đổi phương trình thành 3x2 xa 1  0

Giả sử x1  2 x2  1 ta có:































































27

3 30

3 3

3 1

3 3

3 2

1 2 2 1 3 1

2 1

2 1

2 1

2 1

a x x

x x

a x x

x x

27

3 30











27

3

30 



a thỏa bài toán

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x + m cắt trục hoành tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho OA =3OB

Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình

x 2 – (m + 2)x + m 2 + 1 = 0

có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức : 2 2

x x  x x

IV.VẤN ĐỀ 3:

Tìm tham số để hai phương trình bậc hai tương đương

Tóm tắt: Cho hai phương trình bậc hai

) 2 ( 0

) 1 ( 0

2 2 2 2

1 1 2 1













c x b x a

c x b x a

 (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi hai tập nghiệm của chúng

trùng nhau ( kể cả bằng Ø);

Phương pháp: Xét 2 trường hợp:

Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Trường hợp hai phương trình vô nghiệm:

Giải hệ:













 0

0

2 1

 Trường hợp hai phương trình đều có nghiệm:

Giải hệ:



























2 1

2 1 2

1

0 0

P P

S S

i i

i,S , P

 tương ứng với phương trình (i)

Ví dụ 1: Cho hai phương trình:

) 2 ( 0

1 2

) 1 ( 0

2

2 2













mx x

m x x

Định m để (1) và (2) tương đương

GIẢI

 Trường hợp cả 2 phương trình vô nghiệm

















0

0

2 1























8

1

m m

 Trường hợp cả 2 phương trình đều có nghiệm:

Điều kiện:





























































2 1 4

8 8

1 0

0

2 1

2 1 2 1

m m

m m

m

P P

S

Kết luận: Với 8 m  1 hai phương trình tương đương

Ví dụ 2: Tìm các tham số a và b để hai phương trình sau tương

đương:

) 2 ( 0

2 )

( 2

) 1 ( 0

2 ) ( 2

2 2 2

2 2 2





















b a x b a x

b a x b a x

GIẢI

 Trường hợp (1) và (2) vô nghiệm:

1

2



(*)

Do b=0 không là nghiệm của (*)  b2  0 Ta có:

2

(*)

1

2

a a

b b

      





   1  3

b a

 Trường hợp (1) và (2) có nghiệm

2 2

) ( 2 ) ( 2

0 2

0 2 2

2 2 2 2

2

2 2











































b a b a b a

b a b a

ab b

b ab a

a = b = 0 cả hai phương trình có nghiệm kép bằng 0

 Kết luận:   1  3

b

a

hoặc a = b = 0, (1) và (2) tương đương

Vấn đề 4: Tìm tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm đã

cho x = a Tìm nghiệm kia

Ví dụ: Cho phương trinh bậc hai: (m2  1 )x2  (m 1 )xm 3  0

Tìm m để phương trình có nghiệm x = -2 Tính nghiệm còn lại GIẢI: Đặt f(x)  (m2  1 )x2  (m 1 )xm 3

 Phương trình bậc hai m2  1 0 m  1

 m = -2 là nghiệm của phương trình  f(  2 )  0

 2  1(  2 )2   1(  2 )   3  0

1 4

3









 Với

4

3





m , phương trình:  7x2  4x 36  0

 Ta có:

















 2 7 36

1

2 1

x a

c x x

(định lý Viets)

7

18

2 

 x

Chú ý: Có thể tìm nghiệm còn lại như sau:

2 1

( 2)

2

b

x x

x a x



  





  



VI.VẤN ĐỀ 5:

Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm:   0

+ Tính S,P

+ Khử tham số giữa S và P để được một hệ thức chỉ còn S và P ThayS  x1x2,P x1x2 ta được một hệ thức độc lập với tham số

Ví dụ: Cho phương trình bậc 2

m 12x2  (m 1 )(m 2 )xm 0

Khi phương trình có nghiệm hãy tìm hệ thức của nghiệm độc lập với tham số

Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIẢI

Ta có: m 12  0 m 1 (do phương trình bậc 2)

  12( 2  4 )  0 ,   1

























) 2 ( 1

) 1 ( 1

2

2

m

m P

m

m S

3

1 1

1 1

1 1

3 ) 1



















m m

S m

m S

Từ (2) và (3):

2 2

2

3

1 3

1 )

1 (

1 1

1 )

1 (

1 ) 1 (











 





















m m

m

m P

Hệ thức:

0 2 7

9

1 3

1

2 1 2 1 2 2 2 1

2 2 1 2

1 2 1



























x x x x x x

x x x

x x x

VII.VẤN ĐỀ 6:

Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó

Phương pháp: (Sử dụng định lí Viét)

1) Tìm hai số x,y khi x + y = S và xy = P và x, y là nghiệm của phương trình bậc hai: X2 SX P 0

2) Lập phương trình khi biết hai nghiệm x1, x2 của nó:

+ Tính S, P

+ Phương trình: X2SX P 0

Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết hiệu và tích của chúng tương ứng bằng :

9, 90

GIẢI

Gọi hai số phải tìm là x,y:

































90 ) (

9 ) ( 90

9

y x

y x xy

y x

Đặt z y (  y z), bài toán trở thành: Tìm hai số x, z biết













 90

9

xz

z x

x, z là nghiệm của phương trình: X2  X9  90  0

Giải phương trình này :   212  X1   6 , X2  15

Ta có 2 cặp giá trị x = 15, x = -6  x = 15, y = 6

Hoặc x = -6 , z = 15  x = - 6, y = -15

Vậy hai số phải tìm là x = 15, y = 6 hoặc x = - 6, y = -15

Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa

1 2 1 2

1

1

x x x x

m









(*)

GIẢI

Ta tìm S  x1 x2,Px1x2

Hệ (*)

















































) 2 ( 1

1

) 1 ( 0

4 5 4

1

1 ) (

0 4 ) (

5 4

2 1 2 1

2 1 2 1

m S P

S P m

x x x x

x x x x

Nhân 2 vế của (2) với -4 cộng vào (1) ta có:

1

9 4 1

2 4



























m

m P m

m S

1

9 4 1

2 4

2



























m

m X m

m X

Hay m 1X2  4 (m 2 )X  4m 9  0 (m  1 )

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 1 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0

1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m

2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện : x12 x22 10

Bài 2 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0

1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m

2) Đặt  2 2

A  x x  x x

a) Chứng minh A = 8m2 – 18m + 9 b) Tìm m sao cho A = 27

3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Bài 3 : Cho phương trình có ẩn số x : 2x2 + 2(m + 2)x + m2 +4m + 3 = 0

1) A  x1 x2  3 x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

2)A  x12  x22  x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

3) Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc m

Bài 4 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0

1) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2

2) Chứng minh rằng các nghiệm x1,x2 thỏa mãn bất đẳng thức :

2 2

1

  

Bài 5 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – mx + m – 1 = 0

Gọi x1,x2 là các nghiệm của phương trình Với giá trị nào của m, biểu thức

Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2 2 1 2

x x R





   đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 6 : Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0

1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m

2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn :

x22  x22  4( x1  x2)

3) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn :

3









Bài 7 : Cho phương trình : (m + 2)x2 – 2(m – 1)x +3 – m = 0

1) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

2 2

2)Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc m

3) Viết một phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm là :

1 1

1

1 1

x y

x





 và

2 2 2

1 1

x y x







Bài 8 : Cho m là một số thực khác –1 Hãy lập một phương trình bậc hai có

hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức :

4x1x2 +4 = 5(x1 + x2) và (x1 – 1)(x2 – 1) = 1

1

m 

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =