ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÓM TĂT ĐỊNH LÝ VI-ET Định lý thuận Phương trình bậc hai ax bx c có nghiệm : b S x1 x2 a P x x c a Định lí đảo x y S x, y : x,y nghiệm X SX P xy P (Với điều kiện S P ) II.VẤN ĐỀ 1: Tính biểu thức đối xứng hai nghiệm(Phương pháp dùng định lí Viét thuận): Biểu thức f(x1;x2) gọi đối xứng đói với x1, x2 f(x1;x2) = f(x2;x1) Tính chất : Mọi biểu thức đối xứng với hai biến phân tích thành biểu thức chứa hạng tử nhân tử tổng S tích P hai biến Phương pháp chung : + Xét đ/k có nghiệm phương trình : + Tính S, P + Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P Ví dụ: Cho phương trình x x Không tính nghiệm phương trình tính giá trị biểu thức: a) A x17 x 27 b) B x1 x GIẢI: Phương trình có nghiệm x1 , x2 ac a) Ta có: A x13 x 23 x14 x 24 x13 x 23 x1 x x12 x 22 x1 x 2 x1 x S P x13 x 23 x1 x x12 x1 x x 22 x1 x ( x1 x ) x1 x S (S 3P) x14 x 24 x12 x12 x 22 x 22 ( S P) P 2 x12 x 22 x12 x 22 x12 x 22 S = 2, P = -1 Suy ra: x17 x 27 S ( S 3P)((S P) P ) P S 2(4 3)((4 2) 2) 866 Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: b) Ta có: B x1 x ( x1 x ) 2 2 x1 x x1 x1 x x ( x1 x ) x1 x S 4P Suy B Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để nghiệm x1, x2 phương trình x2 + mx + = thỏa mãn : x12 x22 7 x22 x12 Ví dụ : Gọi x1, x2 nghiệm phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm GTLN biểu thức A x1 x2 x1 x2 Ví dụ : Tìm m để phương trình : 3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 4m + = có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : 1 ( x1 x2 ) x1 x2 III VẤN ĐỀ 2: Tìm tham số biết hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức F(x1,x2)=0 Phương pháp (dùng định lí Viét ): - Tìm đ/k để phương trình có nghiệm x1 , x2 - Lập hệ điều kiện chứa nghiệm x1 , x2 m: b x1 x2 a c x1 x2 a F ( x1 , x2 ) (1) (2) (3) - Tìm m từ hệ - Thử lại điều kiện để kết luận tham số Ví dụ 1: Cho phương trình x 2(m 4) x m Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: a) x 12 x 22 50 b) x12 x 22 x1 x đạt giá trị nhỏ Tìm nghiệm GIẢI Điều kiện: ' 8m m 3 (*) x1 x 2m x1 x 2m 2 a) Ta có: x1 x m x1 x m x x 50 x x 2 x x 50 2 (1) ( 2) (3) Thay (1), (2) vào (3) ta nhận m 1 m 15 Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: - Với m = -1 phương trình trở thành x x có nghiệm x1 1, x Với m 15, ' 8m 24 ( m=-15 bị loại) Vậy m = -1 thỏa mãn toán lúc phương trình có nghiệm x1 1, x x1 x 2m b) Ta có x1 x m x x x x 2 (1) ( 2) (3) Từ (1) (2) : x12 x 22 x1 x y với y m 15m 36 (*) Do (*) toán trở thành : Tìm y với m 3 Vì parabol y quay lõm phía có hoành độ đỉnh nhỏ -3 nên: Min y = y(-3) = 0, Vậy m = -3; GTNN = x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình x x a Tìm a để phương trình có nghiệm lớn hai lần nghiệm đơn vị GIẢI Biến đổi phương trình thành x x a Giả sử x x ta có: 2 x x x 3 a 1 1 x2 x1 x 3 x x 1 30 a 27 Thử lại a 30 30 thỏa toán a 27 27 Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x + m cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho OA =3OB Ví dụ 4: Tìm m cho phương trình x2 – (m + 2)x + m2 + = có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức : x12 x22 3x1 x2 IV.VẤN ĐỀ 3: Tìm tham số để hai phương trình bậc hai tương đương Tóm tắt: Cho hai phương trình bậc hai a1 x b1 x c1 a x b2 x c (1) (2) (1) (2) tương đương hai tập nghiệm chúng trùng ( kể Ø); Phương pháp: Xét trường hợp: Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: Trường hợp hai phương trình vô nghiệm: Giải hệ: Trường hợp hai phương trình có nghiệm: 1 Giải hệ: S S P1 P2 i , S i , Pi tương ứng với phương trình (i) Ví dụ 1: Cho hai phương trình: x 2x m x mx (1) (2) Định m để (1) (2) tương đương GIẢI Trường hợp phương trình vô nghiệm m 1 m 1 m Trường hợp phương trình có nghiệm: m 1 1 m m Điều kiện: (vô nghiệm) m4 S S m P1 P2 Kết luận: Với m 1 hai phương trình tương đương Ví dụ 2: Tìm tham số a b để hai phương trình sau tương đương: x 2(a b) x 2a b x 2(a b) x a 2b (1) (2) GIẢI Trường hợp (1) (2) vô nghiệm: ' (a b)2 (2a b ) a 2ab 2b (*) 2 2 '2 (a b) (a 2b ) b 2ab Do b=0 không nghiệm (*) b Ta có: a a a a 1 1 b b b (*) b 1 a a b b Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a 1 b Trường hợp (1) (2) có nghiệm a 2ab 2b b 2ab Điều kiện: ab0 2(a b) 2(a b) 2a b a 2b a = b = hai phương trình có nghiệm kép Kết luận: a 1 a = b = 0, (1) (2) tương đương b Vấn đề 4: Tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm cho x = a Tìm nghiệm Ví dụ: Cho phương trinh bậc hai: (m 1) x (m 1) x m Tìm m để phương trình có nghiệm x = -2 Tính nghiệm lại GIẢI: Đặt f ( x ) (m 1) x (m 1) x m Phương trình bậc hai m 1 m 1 m = -2 nghiệm phương trình f (2) m (2) m 1(2) m m m (loại) Với m , phương trình: x x 36 c 36 18 Ta có: x1 x a (định lý Viets) x x1 2 Chú ý: Có thể tìm nghiệm lại sau: b 18 x1 x2 a x2 (2) 7 x1 2 VI.VẤN ĐỀ 5: Tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số Phương pháp: + Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm: + Tính S,P + Khử tham số S P để hệ thức S P Thay S x1 x2 , P x1 x2 ta hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình bậc m 12 x (m 1)(m 2) x m Khi phương trình có nghiệm tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: GIẢI Ta có: m 12 m (do phương trình bậc 2) m 1 (m 4) 0, m m2 (1) S m m (2) P m 12 Từ (1): S (m 1) S S 1 1 m 1 m 1 m 1 Từ (2) (3): P (3) (m 1) 1 S 1 S 1 2 m (m 1) (m 1) 2 x x x1 x 1 x1 x Hệ thức: 2 x1 x x1 x x1 x VII.VẤN ĐỀ 6: Tìm hai số biết tổng tích chúng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Phương pháp: (Sử dụng định lí Viét) 1) Tìm hai số x,y x + y = S xy = P x, y nghiệm phương trình bậc hai: X SX P 2) Lập phương trình biết hai nghiệm x1 , x nó: + Tính S, P + Phương trình: X SX P Ví dụ 1: Tìm hai số biết hiệu tích chúng tương ứng : 9, 90 GIẢI Gọi hai số phải tìm x,y: x y x ( y ) xy 90 x( y ) 90 Đặt z y ( y z ) , toán trở thành: Tìm hai số x, z biết x z xz 90 x, z nghiệm phương trình: X X 90 Giải phương trình : 212 X 6, X 15 Ta có cặp giá trị x = 15, x = -6 x = 15, y = Hoặc x = -6 , z = 15 x = - 6, y = -15 Vậy hai số phải tìm x = 15, y = x = - 6, y = -15 Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 , x2 thỏa Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 4 x1 x2 5( x1 x2 ) (*) ( x1 1)( x2 1) m (m 1) GIẢI Ta tìm S x1 x2 , P x1 x2 4 x1 x 5( x1 x ) P 5S Hệ (*) x1 x ( x1 x ) m P S m (1) (2) Nhân vế (2) với -4 cộng vào (1) ta có: 4m m 2 S 4 P m 1 m 1 m 2 4m Phương trình cần lập: X 4 0 X m 1 m 1 (m 1) Hay m 1X 4(m 2) X 4m BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – – m = 1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện : x12 x22 10 Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – – m = 1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2 2) Đặt A x1 x2 x1 x2 a) Chứng minh A = 8m2 – 18m + b) Tìm m cho A = 27 3) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm Bài : Cho phương trình có ẩn số x : 2x2 + 2(m + 2)x + m2 +4m + = 1) A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn 2 2) A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 3) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc m Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m + 4)x + m2 – = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 2) Chứng minh nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức : 3m 10m 2 2 Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x – mx + m – = Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Với giá trị m, biểu thức Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh Chuyên đề: R ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI x1 x2 x12 x22 2(1 x1 x2 ) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài : Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn : x22 x22 4( x1 x2 ) 3) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn : y1 y2 x1 x2 y2 y1 1 y y Bài : Cho phương trình : (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + – m = 1) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x12 x22 x1 x2 2)Lập hệ thức x1 x2 không phụ thuộc m 3) Viết phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm : y1 x1 x2 y2 x1 x2 Bài : Cho m số thực khác –1 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức : 4x1x2 +4 = 5(x1 + x2) (x1 – 1)(x2 – 1) = m 1 ===================== Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ... tương ứng : 9, 90 GIẢI Gọi hai số phải tìm x,y: x y x ( y ) xy 90 x( y ) 90 Đặt z y ( y z ) , toán trở thành: Tìm hai số x, z biết x z xz 90 x, z nghiệm... tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: - Với m = -1 phương trình trở thành x x có nghiệm x1 1, x Với m 15, ' 8m 24 ( m=-15 bị loại) Vậy m = -1 thỏa mãn toán. ..ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: b) Ta có: B x1 x ( x1 x ) 2 2 x1 x