Phương trình nghiệm nguyên

Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể... Cách 2: Dùng tính chất chia hết... Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của h

Chuyên Đề: Giải Phơng trình nghiệm nguyên I-Ph ơng trình nghiệm nguyên dạng :

ax + by = c (1) với a, b, c ∈ Z

1.Các định lí:

a Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ớc của c

b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phơng trình ax + by = c thì nó có vô

số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) đợc cho bởi công thức:













−

=

+

=

t d

a y

y

t d

b x

x

0

0

Với t є Z, d = (a,b)

2.Cách giải:

Bớc 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)

Bớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y

Bớc 3: Thay y vào x sẽ tìm đợc nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên:

2x + 5y =7 Hớng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 ⇔ x = 7−25y

⇔ x = 3 – 2y +1 y−2

Do x, y nguyên ⇒ 1 y−2 nguyên Đặt

2

1 y−

= t với (t є Z )

⇒ y = 1 – 2t ⇒ x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình là:

x = 5t + 1

y = -2t +1 (t є Z )

Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên

6x - 15y = 25

Hớng dẫn:

Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25

Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.

5x + 7y = 112 Hớng dẫn:

Ta có 5x + 7y = 112

⇒ x = 1125−7y = 22 - y + 2−52y

Do x, y nguyên ⇒ 2−52y nguyên hay (2 – 2y) 5 ⇔ 2(1-y)  5; (2 , 5) = 1 ⇒ (1-y)  5 hay (y-1)5 Đặt y-1 = 5t (t є Z )

⇒ y = 5t +1

thay y vào x ta có x = 21 – 7t

lại có x > 0; y > 0 ⇒ 5t + 1 > 0 t >

-5 1

21 – 7t > 0 t < 3 ⇒ t = {0 ; 1 ; 2}

Nếu t = 0 ⇒ x = 21; y = 1 Nếu t = 1 ⇒ x = 14; y = 6

Nếu t = 2 ⇒ x = 7; y = 11

II Ph ơng trình nghiệm nguyên đ a về dạng

g (x1, x2, , xn) h (x1, x2, , xn) = a (3) Với a є Z 1.Cách giải:

Đặt g (x1, x2, , xn) = m (với m là ớc của a)

⇒ h(x1, x2, , xn) =

a m

Giải hệ: g (x1, x2, , xn) = m

h(x1, x2, , xn) =

a m

tìm đợc x1, x2, , xn thử vào (3) ta đợc nghiệm của phơng trình

2.Chú ý:

-Nếu a = 0 ta có g (x1, x2, , xn) = 0

h(x1, x2, , xn) = 0 -Nếu a = pα với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2, , xn) = pα

1 h(x1, x2, , xn) = pα

2 Với α1 + α2 = a

Ví dụ 4: Tìm x, y є Z biết x - y + 2xy = 6

⇒

Hớng dẫn: Ta có x – y + 2xy = 6 ⇔ 2 x – 2y + 4 xy = 12

⇔ 2 x – 2y + 4 xy –1 = 11 ⇔ (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11⇔ (2x – 1) (2y + 1) = 11

Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1)

Ta có 2y + 1 = 1 ⇒ (x; y) = (6; 0)

2x – 1 = 11 2y + 1 = -1 ⇒ (x; y) = (-5; -1) 2x – 1 = -11

2y + 1 = 11 ⇒ (x; y) = (1, 5) 2x – 1 = 1

2y + 1 = -11 ⇒ (x; y) = ( 0; -6) 2x – 1 = -1

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 + x + x 2 + x 3 = 2 y

Hớng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y ⇔ (1 + x) (1 + x2) = 2y

⇒ 1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y – m (m nguyên dơng)

⇒ x = 2 m – 1 ⇒ x2 = 22m – 2 m +1 + 1

x2 = 2y – m - 1 x2 = 2y – m – 1

⇒ 22m – 2m + 1 + 1 = 2 y – m - 1

⇒ 2 y – m – 22m + 2m +1 = 2

Nếu m = 0 ⇒ x = 0 ; y = 0 (t/m)

Nếu m > 0 ⇒ 2 y – m – 1 – 22m – 1 + 2m = 1 mà 22m – 1và 2m đều là số chẵn nên:

⇒ 2 y – m – 1 lẻ ⇒ 2 y – m – 1 = 1 ⇒ y – m – 1 = 0 ⇒ y = m + 1

⇒ 2 m - 22m – 1 = 0 ⇒ 2 m = 22m – 1 ⇒ m = 2m – 1 ⇒ m = 1

⇒ y = 2 ; x = 1

Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2)

III Ph ơng trình nghiệm nguyên đ a về dạng

[g1 (x1, x2, , xn)] 2 + [g2 (x1, x2, , xn)] 2 + + [gn (x1, x2, , xn)] 2 = 0

1.Cách giải:Ta thấy vế trái của phơng trình là các số hạng không âm, tổng của chúng

bằng 0 nên mỗi số hạng phải bằng 0

g1 (x1, x2, , xn) = 0

Do vậy có: g2 (x1, x2, , xn) = 0

gn (x1, x2, , xn) = 0

Giải hệ này ta đợc x1 , x2 , , xn

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + y 2 -2xy + 2y - 6x + 5 = 0

Hớng dẫn:

(Dùng phơng pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái của phơng trình)

Ta có 2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0

⇔ y 2 – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (y – x + 1)2 + (x – 2 )2 = 0

Vậy y – x + 1 = 0 hay x = 2

x – 2 = 0 y = 1 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là x = 2 ; y = 1

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : (x -1) (y+1) = (x+ y) 2

Hớng dẫn: Ta có (x-1) (y+1) = (x+ y)2

⇔ (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2

⇔ [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = 0

⇔ (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = 0

⇔ [(x-1) + 21(y+1)]2 + 43(y+1)2 = 0

⇔ y + 1 = 0 ⇔ y = -1

(x-1) +

2

1 (y+1) = 0 x = 1 Vậy nghiệm của phơng trình là ( x = 1 ; y = -1)

IV- Ph ơng trình nghiệm nguyên mà các ẩn có vai trò bình đẳng

Khi làm toán ta thờng gặp một số bài toán mà trong đó các ẩn bình đẳng với nhau Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể ở đây ta nghiên cứu đến 1 phơng pháp giải toán này:

Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần rồi tiến hành giải

Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: xy1 + yz1 +

xz

1

+ xyz9 = 1 Hớng dẫn: Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ x2≤ xy ≤ xz ≤ yz ≤ xyz

⇒ 1 = xy1 + yz1 +xz1 + xyz9 ≤ 2

1

x + 2

1

x + 2

1

x + 2

9

x

⇔ 1 ≤ 2

12

x ⇒ x2 ≤ 12 ⇒ x є 1, 2,3

Nếu x = 1 ⇒ 1y + yz1 +

z

1 + yz9 = 1

⇒ z + 1 + y + 9 = yz ⇒ yz – z – y + 1 = 11

(y- 1) (z - 1) = 11 ⇒ y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12

Nếu x = 2 ⇒ 21y + yz1 +

z

2

1 + 29yz = 1

⇒ (2y - 1) (2z-1) = 23 ⇒ y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1

Nếu x = 3 ⇒ (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm

Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị

Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên

Không có phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên nhng để giải nó ngời ta thờng áp dụng một số phơng pháp sau hoặc kết hợp các phơng pháp tuỳ theo từng bài cụ thể Sau đây là một số phơng pháp thờng dùng

I- Ph ơng pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 9: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y 2 - 2x 2 = 1

Hớng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình

(2x + 5y + 1)( x

2 + y + x 2 + x) = 105 Hớng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( 2x + y + x 2 + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

x

2 + y + x2 + x = x

2 + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2x lẻ ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phơng trình ta đợc

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y =

5

26

−

( loại) Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phơng trình

II Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp phân tích

Thực chất là biến đổi phơng trình về dạng: g1 (x1, x2, , xn) h (x1, x2, , xn) = a

Ví dụ 11: Tìm x, y nguyên sao cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố.

Ta có ( x + y ) P = xy với xy – Px – Py = 0

⇔ x ( y – P ) – ( Py – P2) = P2

⇔ ( y- P ) ( x- P ) = P2

Mà P nguyên tố ⇒ P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P)

⇒ Các cặp số (x,y ) là:

(P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) và các hoán vị của chúng

III- Ph ơng pháp loại trừ ( ph ơng pháp 3 )

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1! + 2! + + x! = y2

Hớng dẫn: Với x≥ 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

⇒ 1! + 2! + + x! có tận cùng là 3, không là số chính phơng (loại)

Vậy x < 5 mà x nguyên dơng nên:

x = {1 ; 2 ; 3 ; 4}

Thử vào phơng trình ta đợc (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn

IV.Ph ơng pháp 4 : Dùng chia hết và có d

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 – 2y2 = 5

Hớng dẫn:

Xét x  5 mà x2 – 2y2 = 5 ⇒ 2y2  5 ⇒ y2  5

(2,5) = 1 5 là số nguyên tố ⇒ y2  25 ⇒ x2 – 2y2  25

lại có x 5 ⇒ x2  25 5 25 loại

Xét x  5 ⇒ y  5

và x2 chia cho 5 có các số d 1 hoặc 4

y2 chia cho 5 có các số d 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 chia cho 5 d 2 hoặc 3

⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 d ±1 hoặc ± 2(loại)

Vậy phơng trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm

Ví dụ 14: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn: x 2 + 3y

= 3026 Hớng dẫn: Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025

mà x є N ⇒ x = 55

Xét y > 0 ⇒ 3y

 3, x2 chia cho 3 d 0 hoặc 1⇒ x2 + 3y

chia cho 3 d 0 hoặc 1

mà 3026 chia cho 3 d 2 (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)

V Ph ơng pháp 5 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố

Ví dụ 15: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: xy + 1 = z

Hớng dẫn: Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3

Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2

Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)

Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k є N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2 4k + 1 = z

Có 4 chia cho 3 d 1 ⇒ (2.4k+1)  3 ⇒ z 3 (loại)

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

Ví dụ 16 : Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phơng

Hớng dẫn: đặt 4p + 1 = x2 (x є N)

⇒ x lẻ đặt x = 2k + 1 (k є N)

⇒ 4p + 1 = (2k + 1)2 ⇔ 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1 ⇔ p =k(k+1)

⇔ k(k + 1) chẵn ⇒ p chẵn, p nguyên tố ⇒ p = 2

VI Ph ơng pháp 7 : Đa về dạng tổng

Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 + y 2 - x - y = 8

Hớng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = 8

⇔ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32 ⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34

⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34

Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phơng 32 và 52

Do đó ta có 2x− 1 = 3 hoặc 2x− 1 = 5

1

2y− = 5 2y− 1 = 3 Giải ra ta đợc (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó

Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - 4xy + 5y 2 = 169

Hớng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169

⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169

Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

⇒ x 2− y = 0 hoặc x 2− y = 13

y = 13 y = 0 hoặc x 2− y = 5 hoặc x 2− y = 12

y = 12 y = 5 Giải ra ta đợc (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0)

VII

Ph ơng pháp 7 : Dùng bất đẳng thức

Ví dụ 19: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 -xy + y 2 = 3

Hớng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x-

2

y

)2 = 3 -

4

3y2

Ta thấy (x-

2

y

)2 ≥ 0 ⇒ 3 -

4

3y2 ≥ 0 ⇒ -2 ≤ y ≤ 2

⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phơng trình tìm x

Ta đợc các nghiệm nguyên của phơng trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

Bài tập luyện tập rèn t duy sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

2x + 3y = 11

Cách 1 : Ta thấy phơng trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1

Vì 2.4 + 3.1 = 11

⇒( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0

⇔ 2(x-4) + 3(y-1) = 0

⇒ 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1

Đặt x – 4 = 3k và y – 1 = 2k với ( k ∈ Z)

Vậy nghiệm tổng quát của pt là : x = 4 – 3k

y = 1+ 2k ( k ∈ Z)

*Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) của

ph-ơng trình vô định ax + by = c

Nếu phơng trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn

Cách 2: Dùng tính chất chia hết.

Ta có 2x + 3y = 11

⇒ x= 11−23y= 5-

y-2

1

−

y

Do x, y nguyên ⇒ y2−1 nguyên

đặt

2

1

−

y

= k ⇒ y = 2k +1 ⇒ x = 4- 3k (k ∈ Z)

y = 2k +1 (k ∈ Z)

Vậy nghiệm tổng quát:

x = 4- 3k

Bài 2: Tìm cặp số nguyên dơng (x,y) thoả mãn phơng trình: 6x 2 + 5y 2 = 74

Hớng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74

⇔ 6x2 –24 = 50 – 5y2

⇔ 6(x2 – 4) = 5(10 – y2)

⇒ 6(x2 – 4)  5 ⇒ x2 – 4 5

(6, 5) = 1

⇒ x2 = 5t + 4 (t ∈N)

Thay x2 – 4 = 5t vµo ph¬ng tr×nh ⇒ y2 = 10 – 6t

l¹i cã x2 > 0 ⇔ t >

5

4

−

y2 > 0 t <

3 5

⇒ t = 0 hoÆc t = 1

víi t = 0 ta cã x2 = 4, y2 = 10 (lo¹i)

Víi t = 1 ta cã x2 = 9 ⇔ x = ± 3

y2 = 4 y = ± 2

mµ x, y ∈ Z+ ⇒ x = 3, y = 2 tho¶ m·n

C¸ch 2: Sö dông tÝnh ch½n lÎ vµ ph¬ng ph¸p chÆn

Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 lµ sè ch½n ⇒ y ch½n

l¹i cã 0< 6x2⇒ 0< 5y2 < 74 ⇔ 0 < y2 < 14 ⇒ y2 = 4 ⇒ x2 = 9

CÆp sè (x,y) cÇn t×m lµ (3, 2)

C¸ch 3: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75 ⇒ x2 + 1  5

mµ 0 < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = 4 hoÆc x2 = 9

Víi x2 = 4 ⇒ y2 = 10 lo¹i

Víi x2 = 9 ⇒ y2 = 4 tho¶ m·n

cÆp sè (x,y) cÇn t×m lµ (3, 2)

Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 2 + y 2 = 2x 2 y 2

Híng dÉn:

C¸ch 1 : §Æt x2 = a, y2 = b

Ta cã a + b = 2 ab ⇒ a b ⇒ a = b ⇒ a = ± b

b a NÕu a = b ⇒ 2a = 2a2 ⇒ a= a2 ⇒ a= 0, a= 1⇒ (a,b) = (0, 0); (1, 1) NÕu a = - b ⇒ 2 b2 = 0 ⇒ a = b = 0 ⇒ (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)

⇒ (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)

C¸ch 2: Ta cã x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2≥ 0

Ta gi¶ sö x2 ≤ y2 ⇒ x2 + y2 ≤ 2 y2 ⇒ 2x2 y2 ≤ 2y2

NÕu y = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (0;0)

NÕu y ≠ 0⇒ x2 ≤ 1 ⇒ x2= 0 hoÆc x2 = 1

⇒ y2 = 0 (lo¹i) hoÆc y2 = 1 ⇒ (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1)

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)

C¸ch 3: Cã x2 + y2 = 2x2y2

⇔ 2x2 + 2y2 = 4 x2y2 ⇔ 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1

2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1 ⇔ (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1

Mµ 1 = 1.1 = (-1)(-1) ⇒ (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)

⇒ (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1)

Bµi 4: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh: x 2 -3xy + 2y 2 + 6 = 0

Hớng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phơng trình

Ta coi phơng trình x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính ∆y= y2 – 24

Phơng trình có nghiệm tự nhiên thì ∆y là số chính phơng

⇒ y2 – 24 = k2 ⇒ (y – k)(y + k) = 24 (k∈N)

mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y – k cùng chẵn

⇒ y+ k = 6 ⇒ y = 5 hoặc y+ k = 12 ⇒ y = 7

y – k = 4 y – k = 2

Thay vào ta tìm đợc (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5)

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

2x 2 + 2y 2 - 2xy + y + x - 10 = 0 Hớng dẫn: C1: Ta có phơng trình đã cho ⇔ 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0

Coi x là ẩn y là tham số ta có phơng trình bậc 2 ẩn x

Xét ∆y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81

Để nghiệm x nguyên thì ∆y là số chính phơng

Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 ⇒ k2 + 3(2y + 1) = 84

⇒ (2y + 1)2 = 28 -

3

2

k

≤ 28; (2y + 1)2 lẻ ⇒ (2y + 1)2 = 1, 9, 25

⇒ y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phơng trình ta tìm đợc các cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn

C2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y ∈ Z ⇒ a, b ∈ Z

phơng trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0

⇔ 2a2 – 4b + a – 10 = 0⇔ 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0

⇔ (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0 ⇔ (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21

lại có (x+ y)2≥ 4 xy ⇒ a2 ≥ 4b

⇒ 8b + 21 ≤ 2a2 + 21 ⇒ (a+ 1)2 + 3a2≤ 2a2 + 21 ⇒ (a+ 1)2≤ 21

mà (a+ 1)2 là số chính phơng ⇒ (a+ 1)2 ∈ {1, 4, 9, 16}⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3}

Với a = 0 ⇒ 12 + 3 0 = 8b + 21 ⇒ 8b = 20 loại

Với a = 1 ⇒ (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ⇒ 8b = -14 loại

Với a = 2 ⇒ (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ⇒ 8b = 0 ⇒ b = 0

Với a = 3 ⇒ (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ⇒ 8b = 22 loại

Vậy đợc a = 2, b = 0 ⇒ xy = 0

x + y = 2 ⇒ (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn

Bài 6 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng x, y sao cho : x 2 + 4x - y 2 = 1

Hớng dẫn:

Cách 1 : Ta có x2 + 4x – y2 = 1 ⇔ (x + 2)2 - y2 = 5 ⇔ (x + 2+ y)(x+ 2-y) = 5

mà x, y nguyên dơng ⇒ (x + 2+ y) > (x+ 2-y)

⇒ x+ 2 + y = 5 ⇒ x = 1, y = 2

x + 2 – y = 1

Vậy nghiệm của phơng trình là x = 1, y = 2

Cách 2 : Ta có x2 + 4 x – y2 = 1⇔ x2 + 4 x – (y2 + 1) = 0

'

y

∆ = 4 + y2 + 1 ⇒ x =

1

y

∆

±

−

Để phơng trình có nghiệm thì '

y

∆ là số chính phơng ⇒ 4 + y2 + 1 = k2

⇔ (k- y) (k+ y) = 5 ⇒ y = 2

thay vào phơng trình tìm đợc x = 1

Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x = 1; y = 2

Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi

đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ.

Hớng dẫn: Gọi x, y lần lợt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dơng )

Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y)

Đây là phơng trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau

Cách 1 : Có xy = 4(x + y) ⇔ xy – 4x – 4y + 16 = 16 ⇔ (x-4) (y - 4) = 16

mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4

lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ

⇒ x – 4 = 1 ⇔ x = 5 hoặc x = 20

y-4 = 16 y = 20 y = 5

Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x≤ y

Ta có x, y nguyên dơng xy = 4 (x + y) ⇔ x4+ 4y = 1

lại có

x

4

≥ 4y ⇔ 4x+

y

4

≤ 8x ⇔ 8x ≤ 1 ⇒ x ≤ 8 ⇒ x= 5, 6, 7, 8

Mà

x

4

≤ 1 ⇒ x > 4 Thử trực tiếp ta đợc x = 5, y = 20 (thoả mãn)

Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ

Bài 8: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đờng cứu

n-ớc thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3.

Hớng dẫn: Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất là 11

tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19

Gọi năm sinh của Bác là 18 xy (x, y nguyên dơng, x, y ≤ 9)

Theo bài ra ta có: 1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3

⇔ 11x + 2y = 99 ⇒ 2y  11 mà (2, 11) = 1 ⇒ y 11

mà 0≤ y ≤ 9 ⇒ y = 0 ⇒ x = 9 Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890

Bài 9: Tìm tất cả các số nguyyên x, y thoả mãn phơng trình x2 xy y2

y x

+

−

+

=

7 3

Hớng dẫn: Ta có x2 xy y2

y x

+

−

+

= 7 3

⇔ 7 (x+ y) = 3 (x2 – xy + y2)