Phương trình nghiệm nguyên

Chuyên Đề: Giải Phơng trình nghiệm nguyên I-Phơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c Z 1.Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để phơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên phơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) đợc cho công thức: b x = x + t d y = y a t d Với t Z, d = (a,b) 2.Cách giải: Bớc 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) Bớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bớc 3: Thay y vào x tìm đợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Hớng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 x = x = 2y + 5y y Do x, y nguyên y y nguyên Đặt =t 2 với (t Z ) y = 2t x = 2(1- 2t) + t = 5t + Vậy nghiệm tổng quát phơng trình là: x = 5t + y = -2t +1 (t Z ) Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên 6x - 15y = 25 Hớng dẫn: Ta thấy( 6,15 ) = mà 3/25 Vậy không tồn x,y nguyên cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình 5x + 7y = 112 Hớng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 x= 112 y 2y = 22 - y + 5 Do x, y nguyên 2y nguyên hay (2 2y) 2(1-y) 5; (2 , 5) = (1-y) hay (y-1) Đặt y-1 = 5t (t Z ) y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 7t lại có x > 0; y > 5t + > 21 7t > t>- t y m 22m + 2m = mà 22m 1và 2m số chẵn nên: y m lẻ y m = y m = y = m + m - 22m = m = 22m m = 2m m = y=2;x=1 Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2) III Phơng trình nghiệm nguyên đa dạng [g1 (x1, x2, , xn)]2 + [g2 (x1, x2, , xn)]2 + + [gn (x1, x2, , xn)]2 = 1.Cách giải:Ta thấy vế trái phơng trình số hạng không âm, tổng chúng nên số hạng phải g1 (x1, x2, , xn) = Do có: g2 (x1, x2, , xn) = gn (x1, x2, , xn) = Giải hệ ta đợc x1 , x2 , , xn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + y -2xy + 2y - 6x + = Hớng dẫn: (Dùng phơng pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái phơng trình) Ta có Vậy 2x2 + y 2xy + 2y 6x + = y 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 4x + = (y x + 1)2 + (x )2 = yx+1=0 hay x=2 x2=0 y=1 Vậy nghiệm nguyên phơng trình x = ; y = Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên phơng trình : (x -1) (y+1) = (x+ y)2 Hớng dẫn: Ta có (x-1) (y+1) = (x+ y)2 (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2 [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = [(x-1) + y+1=0 (x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = (y+1) = y = -1 x=1 Vậy nghiệm phơng trình ( x = ; y = -1) IV- Phơng trình nghiệm nguyên mà ẩn có vai trò bình đẳng Khi làm toán ta thờng gặp số toán mà ẩn bình đẳng với Để giải toán có nhiều cách giải khác tuỳ thuộc vào loại cụ thể ta nghiên cứu đến phơng pháp giải toán này: Ta giả sử ẩn xảy theo trật tự tăng dần tiến hành giải Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x y z x2 xy xz yz xyz Hớng dẫn: Giả sử 1 + + + =1 xy yz xz xyz 1 1 = xy + yz + + xyz + + + x x x xz x 12 x2 12 x x2 1, 2,3 1 Nếu x = y + yz + + yz = z z + + y + = yz yz z y + = 11 (y- 1) (z - 1) = 11 y = ; z = 12 z =2 ; y = 12 Nếu x = y + + + =1 yz yz 2z (2y - 1) (2z-1) = 23 y = 1; z = 12 y = 12; z = Nếu x = (3y 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) hoán vị Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Không có phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên nhng để giải ngời ta thờng áp dụng số phơng pháp sau kết hợp phơng pháp tuỳ theo cụ thể Sau số phơng pháp thờng dùng I- Phơng pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 9: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 - 2x2 = Hớng dẫn: Ta có y2 2x2 = y2 = 2x2 +1 y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + x2 = k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Hớng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + lẻ 5y chẵn y chẵn x x + y + x + x = + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn x lẻ x = x = Thay x = vào phơng trình ta đợc (5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y 104 = y = y = 26 ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phơng trình II Phơng pháp : Phơng pháp phân tích Thực chất biến đổi phơng trình dạng: g1 (x1, x2, , xn) h (x1, x2, , xn) = a Ví dụ 11: Tìm x, y nguyên cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố Giải Ta có ( x + y ) P = xy với xy Px Py = x ( y P ) ( Py P2) = P2 ( y- P ) ( x- P ) = P2 Mà P nguyên tố P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P) Các cặp số (x,y ) là: (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) hoán vị chúng III- Phơng pháp loại trừ ( phơng pháp ) Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị lại ẩn Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 1! + 2! + + x! = y Hớng dẫn: Với x x! có tận 1! + 2! + 3! + 4! Có tận 1! + 2! + + x! có tận 3, không số phơng (loại) Vậy x < mà x nguyên dơng nên: x = {1;2;3;4} Thử vào phơng trình ta đợc (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mãn IV.Phơng pháp 4: Dùng chia hết có d Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 2y2 = Hớng dẫn: Xét x mà x2 2y2 = 2y2 y2 (2,5) = y2 25 số nguyên tố x2 2y2 25 lại có x x2 25 25 loại Xét x y x2 chia cho có số d y2 chia cho có số d 2y2 chia cho d x2 y2 chia cho d 2(loại) Vậy phơng trình x2 2y2 = vô nghiệm Ví dụ 14: Tìm x, y số tự nhiên thoả mãn: x2 + y = 3026 Hớng dẫn: Xét y = x2 + 30 = 3026 x2 = 3025 mà x N x = 55 Xét y > y 3, x2 chia cho d x2 + y chia cho d mà 3026 chia cho d (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) V Phơng pháp : Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ 15: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: xy + = z Hớng dẫn: Ta có x, y nguyên tố xy + = z z > Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn x=2 Xét y = 22 + = nguyên tố z = (thoả mãn) Xét y> y = 2k + (k N) 22k+1 + = z 4k + = z Có chia cho d (2.4k+1) z (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = thoả mãn Ví dụ 16 : Tìm số nguyên tố p để 4p + số phơng Hớng dẫn: đặt 4p + = x2 (x N) x lẻ đặt x = 2k + (k N) 4p + = (2k + 1)2 4p + = 4k2 + 4k + p =k(k+1) k(k + 1) chẵn p chẵn, p nguyên tố p = VI Phơng pháp 7: Đa dạng tổng Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 + y2 - x - y = Hớng dẫn: Ta có x2 + y2 x y = x2 + y2 x 4y = 32 (4x2 4x +1) + (4y2 4y + 1) = 34 (2x 1)2 + (2y 1)2 = 34 Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phơng 32 52 Do ta có x = 2y = 2x = 2y = Giải ta đợc (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hoán vị Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 - 4xy + 5y2 = 169 Hớng dẫn: Ta có x2 4xy + 5y2 = 169 (x 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 x 2y = y = 13 x 2y = x y = 13 y =0 x y = 12 y = 12 y =5 Giải ta đợc (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) VII Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 19: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2-xy + y2 = Hớng dẫn: Ta có x2 xy + y2 = (xTa thấy (x- y 3y2 ) =32 y 3y2 ) 03 -2 y 2 y= 2; 1; thay vào phơng trình tìm x Ta đợc nghiệm nguyên phơng trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Bài tập luyện tập rèn t sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x + 3y = 11 Hớng dẫn Cách 1: Ta thấy phơng trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = Vì 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) (2.4 + 3.1) = 2(x-4) + 3(y-1) = 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = Đặt x = 3k y = 2k với ( k Z) Vậy nghiệm tổng quát pt : x = 3k y = 1+ 2k ( k Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) phơng trình vô định ax + by = c Nếu phơng trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta có 2x + 3y = 11 11 y y = 5- y2 y Do x, y nguyên nguyên y đặt = k y = 2k +1 x = 4- 3k x= Vậy nghiệm tổng quát: (k Z) y = 2k +1 (k Z) x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dơng (x,y) thoả mãn phơng trình: 6x2 + 5y2 = 74 Hớng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 6x2 24 = 50 5y2 6(x2 4) = 5(10 y2) 6(x2 4) x2 (6, 5) = x2 = 5t + (t N) Thay x = 5t vào phơng trình y2 = 10 6t lại có x2 > 5 t< t> y2 > t = t = với t = ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = ta có x2 = x=3 y =4 y=2 + mà x, y Z x = 3, y = thoả mãn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phơng pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn y chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74 < y2 < 14 y2 = x2 = Cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 x2 + mà < x2 12 x2 = x2 = Với x2 = y2 = 10 loại Với x2 = y2 = thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 + y2 = 2x2y2 Hớng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta có a + b = ab a b a = b a=b b a Nếu a = b 2a = 2a a= a2 a= 0, a= (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b b2 = a = b = (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 Ta giả sử x2 y2 x2 + y2 y2 2x2 y2 2y2 Nếu y = phơng trình có nghiệm (0;0) Nếu y x2 x2= x2 = y2 = (loại) y2 = (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = x2y2 x2y2 2x2 2y2 + = 2x2 (2y2 - 1) (2y2 - 1)= (2x2 1) (2y2 - 1) = Mà = 1.1 = (-1)(-1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình: x2 -3xy + 2y2+ = Hớng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) nghiệm phơng trình Ta coi phơng trình x2 3xy + 2y2 + = ẩn x ta tính y = y2 24 Phơng trình có nghiệm tự nhiên y số phơng y2 24 = k2 (y k)(y + k) = 24 (kN) mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k y k chẵn y+ k = y=5 y+ k = 12 yk=4 yk=2 Thay vào ta tìm đợc (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x2 + 2y2 - 2xy + y + x - 10 = y=7 Hớng dẫn: C1: Ta có phơng trình cho 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y 10 = Coi x ẩn y tham số ta có phơng trình bậc ẩn x Xét y = (2y 1)2 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên y số phơng Đặt k2= -12y2 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84 k2 (2y + 1) = 28 28; (2y + 1)2 lẻ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phơng trình ta tìm đợc cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn C2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y Z a, b Z phơng trình 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y 10 = 2a2 4b + a 10 = 4a2 8b + 2a 20 = (a+ 1)2 + 3a2 8b 21 = (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2 xy a2 4b 8b + 21 2a2 + 21 (a+ 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a+ 1)2 21 mà (a+ 1)2 số phơng (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3} Với a = 12 + = 8b + 21 8b = 20 loại Với a = (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 loại Với a = (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = b = Với a = (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại Vậy đợc a = 2, b = xy = x + y = (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn Bài :Tìm tất nghiệm nguyên dơng x, y cho : x2 + 4x - y2 = Hớng dẫn: Cách 1: Ta có x2 + 4x y2 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2+ y)(x+ 2-y) = mà x, y nguyên dơng (x + 2+ y) > (x+ 2-y) x+ + y = x = 1, y = x+2y=1 Vậy nghiệm phơng trình x = 1, y = Cách 2: Ta có x2 + x y2 = x2 + x (y2 + 1) = 10 ' y = + y2 + x = ' y Để phơng trình có nghiệm y số phơng + y2 + = k2 (k- y) (k+ y) = y = thay vào phơng trình tìm đợc x = Vậy nghiệm nguyên dơng phơng trình x = 1; y = Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biết số đấu thủ đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ ' Hớng dẫn: Gọi x, y lần lợt số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dơng ) Theo ta có xy = (x + y) Đây phơng trình nghiệm nguyên ta giải cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy 4x 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ x4=1 x=5 x = 20 y-4 = 16 y = 20 y=5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không tính tổng quát ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dơng xy = (x + y) lại có 4 + y=1 x 4 4 8 + y y x x x x x8 Mà x > x x= 5, 6, 7, Thử trực tiếp ta đợc x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy đội có đấu thủ đội có 20 đấu thủ Bài 8: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đờng cứu nớc tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hớng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên dơng, x, y 9) Theo ta có: 1911 - 18 xy = + + x + y = 11x + 2y = 99 2y 11 mà (2, 11) = y 11 mà y y = x = Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 x+ y Bài 9: Tìm tất số nguyyên x, y thoả mãn phơng trình x xy + y = x+ y Hớng dẫn: Ta có x xy + y = (x+ y) = (x2 xy + y2) 11 Đặt x + y = p , x y = q p, q nguyên x = p+q pq ;y= thay vào phơng trình 2 + có dạng 28 p = (q2 + q2) p > p đặt p = 3k (k Z ) 28k = 3(3k2+ q2) k k có dạng 3m (m Z+) 28 m = 27m2 + q m( 28 27m) = q2 m = m = Với m = k = q = x = y = (loại) Với m = k = 3; p = 28 = 27 + q2 q = Khi p = 9, q = x = 5, y= p = 9, q = 1- x = 4, y= Vậy nghiệm phơng trình (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bài 10: Hãy dựng tam giác vuông có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đợc đơn vị Hớng dẫn: Giả sử cạnh đo đợc đơn vị cạnh huyền (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2 b 7; c (vì số phơng chia hết cho d 0, 1, 4, 2) lại có 0[...]...' y = 4 + y2 + 1 x = 2 ' y 1 Để phơng trình có nghiệm thì y là số chính phơng 4 + y2 + 1 = k2 (k- y) (k+ y) = 5 y = 2 thay vào phơng trình tìm đợc x = 1 Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x = 1; y = 2 Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết... 1 và đội 2 (x, y nguyên dơng ) Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y) Đây là phơng trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy 4x 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ x4=1 x=5 hoặc x = 20 y-4 = 16 y = 20 y=5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dơng xy =... nguyên dơng, x, y 9) Theo bài ra ta có: 1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3 11x + 2y = 99 2y 11 mà (2, 11) = 1 y 11 mà 0 y 9 y = 0 x = 9 Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890 x+ y 3 Bài 9: Tìm tất cả các số nguyyên x, y thoả mãn phơng trình x 2 xy + y 2 = 7 x+ y 3 Hớng dẫn: Ta có x 2 xy + y 2 = 7 (x+ y) = 3 (x2 xy + y2) 7 11 Đặt x + y = p , x y = q p, q nguyên x = p+q pq ;y= thay vào phơng trình. .. x = y = 0 (loại) Với m = 1 thì k = 3; p = 9 28 = 27 + q2 q = 1 Khi p = 9, q = 1 thì x = 5, y= 4 khi p = 9, q = 1- thì x = 4, y= 5 Vậy nghiệm của phơng trình là (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bài 10: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên và có cạnh đo đợc 7 đơn vị Hớng dẫn: Giả sử cạnh đo đợc 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2 7 b 7; c 7 (vì số ... (3y 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) hoán vị Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Không có phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên nhng để giải ngời... Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2-xy + y2 = Hớng dẫn: Ta có x2 xy + y2 = (xTa thấy (x- y 3y2 ) =32 y 3y2 ) 03 -2 y 2 y= 2; 1; thay vào phơng trình tìm x Ta đợc nghiệm nguyên phơng trình. .. Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình: x2 -3xy + 2y2+ = Hớng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) nghiệm phơng trình Ta coi phơng trình x2 3xy + 2y2 + = ẩn x ta tính y = y2 24 Phơng trình có nghiệm tự