Chinh phục kỳ thi THPT quốc gia môn toán 2017 quyển b

LỜI NÓI ĐẦU Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thức cho áp dụng kiểm tra trắc nghiệm khách quan cho môn Toán Vì biên soạn sách này, cố gắng đề số câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp với chương trình sách giáo khoa GIẢI TÍCH lớp 12 Ban Cơ bản; qua giúp em học sinh lớp 12 phát huy khả tự học tự giải tập hệ cách có hệ thống, đồng thời giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan cách nhanh gọn Quyển sách gồm chuyên đề trình bày với nội dung sau: Kiến thức bản: tóm tắt kiến thức chương, dạng chuyên đề, chủ đề gồm: khái niệm, định nghĩa, định lí, công thức để giải tập Kỹ bản: trình bày phương pháp giải dạng toán thường gặp, kỹ giải tập cần thiết có theo kỹ sử dụng máy tính cầm tay Casio f(x) 570VN Plus Bài tập trắc nghiệm: dựa vào chương trình, biên soạn số câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, câu hỏi có bốn phương án lựa chọn, có lựa chọn Các câu hỏi biên soạn theo tinh thần đề trắc nghiệm khách quan Bộ Giáo dục Đào tạo Hệ thống câu hỏi chủ đề xếp theo mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng thấp sang vận dụng cao Qua câu hỏi trắc nghiệm khách quan này, chắn học sinh hiểu phương pháp kiểm tra trắc nghiệm khách quan từ có phương pháp học tập phù hợp giúp cho kết kỳ thi THPT Quốc gia 2017 em đạt tốt Điều đặc biệt kèm sách toàn câu hỏi trắc nghiệm khác quan để ngân hàng trắc nghiệm online website Toán học Bắc Trung Nam địa chỉ: http://www.toanhocbactrungnam.vn mục “Trắc nghiệm Online” Các em tự kiểm tra đánh giá kết việc học Chúng hy vọng rằng, với nội dung trình bày sách sã tài liệu cần thiết, điểm tựa cho em phát huy khả tự học Chúng xin chân thành gửi lời tri ân đến tất quý thầy cô thành viên Page Toán học Bắc Trung Nam hoàn thành sách Chúc quý thầy cô, anh em bạn hữu tận tình học sinh thân yêu Trong trình biên soạn không tránh khỏi sai sót Rất mong chia sẻ đóng góp để tài liệu hoàn thiện Mọi liên hệ xin gửi email: toanhocbactrungnam@gmail.com BAN QUẢN TRỊ TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM Chuyên đề http://toanhocbactrungnam.vn/ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn  Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2   Hàm số y  f ( x ) nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm khoảng K  Nếu hàm số đồng biến khoảng K f   x   0, x  K  Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f   x   0, x  K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm khoảng K  Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến khoảng K  Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến khoảng K  Nếu f   x   0, x  K hàm số không đổi khoảng K  Chú ý  Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục đoạn   a; b có đạo hàm f   x   0, x  K khoảng  a; b  hàm số đồng biến đoạn  a; b Nếu f   x   0, x  K ( f   x   0, x  K ) f   x   số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P ( x ) , giá trị x làm biểu thức P ( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P ( x ) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y   f ( x ) Bước Tìm nghiệm f ( x ) giá trị x làm cho f ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 1|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng  a; b  cho trước Cho hàm số y  f ( x, m ) có tập xác định D, khoảng ( a; b)  D :  Hàm số nghịch biến ( a; b)  y '  0, x  ( a; b )  Hàm số đồng biến ( a; b)  y '  0, x  ( a; b ) ax  b y  ax  b : cx  d  Hàm số nghịch biến ( a; b)  y '  0, x  ( a; b )  Chú ý: Riêng hai hàm số: y   Hàm số đồng biến ( a; b)  y '  0, x  ( a; b ) * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x)  ax  bx  c (a  0) a  a) g ( x)  0, x       a  c) g ( x)  0, x       a  b) g ( x)  0, x       a  d) g ( x)  0, x        Chú ý: Nếu gặp toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b) :  Bước 1: Đưa bất phương trình f ( x )  (hoặc f ( x )  ), x  ( a; b ) dạng g ( x )  h( m ) (hoặc g ( x )  h( m ) ), x  ( a; b )  Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x ) ( a; b)  Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình: Đưa phương trình, bất phương trình dạng f ( x)  m f ( x)  g (m) , lập bảng biến thiên f ( x) , dựa vào BBT suy kết luận C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K   Khẳng định sau khẳng định đúng? A Nếu f ( x )  0, x  K hàm số tăng K B Nếu f   x   hàm số đồng biến khoảng K C Nếu f ( x )  0, x  K , f ( x )  số hữu hạn điểm K hàm số tăng K D Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Câu Cho hàm số y  x 1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1 x A Hàm số nghịch biến khoảng  ;1  1;   B Hàm số đồng biến khoảng  ;1  1;   C Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   2|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ D Hàm số đồng biến khoảng  ;1 1;   Câu Cho hàm số y   x3  3x  3x  Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến  B Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   C Hàm số đồng biến khoảng  ;1 nghịch biến khoảng 1;   D Hàm số đồng biến  Câu Cho hàm số y   x  x  10 khoảng sau:       (I) ;  ;(II)  2;0 ;(III) 0; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) Câu B (I) (II) C (II) (III) D (I) (III) 3x  Khẳng định sau khẳng định đúng? 4  x A Hàm số nghịch biến  B Hàm số nghịch biến khoảng xác định Cho hàm số y  C Hàm số đồng biến khoảng  ;   2;   D Hàm số nghịch biến khoảng  ;    2;   Câu Câu Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến  ? A h( x)  x  x  B g ( x)  x3  x  10 x  4 C f ( x)   x5  x3  x D k ( x)  x  10 x  cos x Cho hàm số y  A ( ; 4) (2;  ) B  4;  C  ; 1  1;   D  4; 1  1;  Cho hàm số y  A (5;  ) Câu x  3x  Hỏi hàm số nghịch biến khoảng ? x 1 Cho hàm số y  A ( ; 0) x3  3x  x  Hỏi hàm số nghịch biến khoảng nào? B 1;6  C  ;1 D  2;3 x  x  x  Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? B  C (0; 2) D (2;  ) Câu 10 Cho hàm số y  ax3  bx  cx  d Hỏi hàm số đồng biến R nào?  a  b  0, c  A   a  0; b  3ac   a  b  0, c  C   a  0; b  3ac   a  b  0, c  B   a  0; b  3ac  a  b  c  D   a  0; b  3ac  Câu 11 Cho hàm số y  x3  x  x  15 Khẳng định sau khẳng định sai? Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 3|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ A Hàm số nghịch biến khoảng  3;1 B Hàm số đồng biến  C Hàm số đồng biến  9; 5 D Hàm số đồng biến khoảng  5;   Câu 12 Cho hàm số y  x  x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng  0;2  B Hàm số đồng biến khoảng  ;0  ;  2;3 C Hàm số nghịch biến khoảng  ;2  ;  2;3 D Hàm số nghịch biến khoảng  2;3 Câu 13 Cho hàm số y  x  sin x, x  0;   Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào?  7   11  A  0; ;     12   12   7 11 B  ;  12 12  7   7 11  C  0; ;     12   12 12   7 11   11  D  ; ;     12 12   12     Câu 14 Cho hàm số y  x  cos x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến       B Hàm số đồng biến   k ;   nghịch biến khoảng  ;  k  4          C Hàm số nghịch biến   k ;   đồng biến khoảng  ;  k  4    D Hàm số nghịch biến  Câu 15 Cho hàm số sau: ( I ) : y  x3  x  3x  ; ( IV ) : y  x3  x  sin x ; x 1 ; x 1 (V ) : y  x  x  ( II ) : y  ( III ) : y  x  Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C D Câu 16 Hỏi hàm số sau nghịch biến toàn trục số ? ( I ) : y   x3  3x  3x  ( II ) : y  sin x  x A (I), (II) x2 1 x C (I), (II) (IV) ( IV ) : y  ( III ) : y   x  B (I), (II) (III) D (II), (III) Câu 17 Xét mệnh đề sau (I) Hàm số y  ( x  1)3 nghịch biến  (II) Hàm số y  ln( x  1)  4|THBTN x đồng biến tập xác định x 1 Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ x (III) Hàm số y  đồng biến  x 1 Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Câu 18 Cho hàm số y  x   x   Khẳng định sau khẳng định sai? 1  A Hàm số nghịch biến khoảng  1;   2 B Hàm số nghịch biến khoảng ( ; 1) 1  C Hàm số đồng biến khoảng ( ; 1)  ;   2  1  1  D Hàm số nghịch biến khoảng  1;  đồng biến khoảng  ;    2 2  Câu 19 Cho hàm số y  x   2  x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2  đồng biến khoảng  2;  B Hàm số đồng biến khoảng  ; 2  nghịch biến khoảng  2;  C Hàm số đồng biến khoảng  ;1 nghịch biến khoảng 1;  D Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 đồng biến khoảng 1;     Câu 20 Cho hàm số y  cos x  sin x.tan x, x    ;  Khẳng định sau khẳng  2 định đúng?    A Hàm số giảm   ;   2    B Hàm số tăng   ;   2    C Hàm số không đổi   ;   2       D Hàm số đơn điệu   ;  ( vừa tăng, vừa giảm   ;  )  2  2 Câu 21 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  khoảng mà xác định ? A m  3 B m  3 Câu 22 Tìm tất giá trị C m  thực tham xm2 giảm x 1 D m  số m cho hàm số y   x3  mx  (2m  3) x  m  nghịch biến  ? A 3  m  B m  Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan C 3  m  D m  3; m  5|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 23 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  (m  1)  2m  tăng xm khoảng xác định nó? A m  B m  C m  D m  Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  f ( x )  x  m cos x đồng biến  ? A m  B m  C m  D m  Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  ( m  3) x  (2 m  1) cos x nghịch biến  ? A 4  m  Câu 26 Tìm tất m  C  m  B m  giá trị thực tham D m  m số cho hàm số y  x  3( m  2) x  6( m  1) x  3m   đồng biến  ? A B –1 C D Câu 27 Tìm giá trị nhỏ tham số m cho hàm số y  biến  ? A m  5 B m  x3  mx  mx  m đồng C m  1 Câu 28 Tìm số nguyên m nhỏ cho hàm số y  khoảng xác định nó? A m  1 B m  2 (m  3) x  nghịch biến xm C m  Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   ;1 ? A 2  m  B 2  m  1 D m  6 C 2  m  1 D Không có m mx  giảm khoảng xm D 2  m  Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  x  mx  đồng biến khoảng  0;   ? A m  C m  B m  12 D m  12 Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  2(m  1) x  m  đồng biến khoảng (1;3) ? A m  5;  B m  ;2 C m   2,   D m   ; 5 1 Câu 32 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  mx  2mx  3m  nghịch biến đoạn có độ dài 3? A m  1; m  B m  1 C m  D m  1; m  9 6|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/  sin x Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  nghịch biến sin x  m   khoảng  0;  ?  6 1 A m  B m  0;  m  C m  D m  0;  m  2 Câu 34 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y    khoảng  0;  ?  4 A  m  Câu 35 Tìm tất B m  0;1  m  giá trị thực tan x  đồng biến tan x  m D m  C m  tham số m mx  mx  14 x  m  giảm nửa khoảng [1;  ) ? 14  14  14     A  ;   B  ;   C  2;   D 15  15  15     y  f ( x)  cho hàm số  14    15 ;   Câu 36 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   x  (2m  3) x  m nghịch  p p biến khoảng 1;   ;  , phân số tối giản q  Hỏi tổng q q  p  q là? A B C D Câu 37 Hỏi có giá trị nguyên tham số m cho hàm số y  đồng biến khoảng xác định nó? A Hai B Bốn C Vô số x  2mx  m  xm D Không có Câu 38 Hỏi có giá trị nguyên dương tham số m cho hàm số x  (1  m) x   m đồng biến khoảng (1;  ) ? xm A B C y Câu 39 Tìm tất giá trị thực tham số B C D  cho hàm số x  (sin   cos )x  x sin  cos    giảm  ? 2    k     k , k     12  5  k     k , k     12 12     k , k     5   k , k     12 y  f ( x)  A  D Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 7|THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 40 Tìm mối liên hệ tham số a b cho hàm số y  f ( x )  x  a sin x  bcosx tăng  ? A 1   a b B a  2b  C a  b  D a  2b  1 D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN C D A D B C D D B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 8|THBTN Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM A y  1 x B y  x  http://toanhocbactrungnam.vn/ 1  y   x  C  y   x 1  1  y  x  D  y  x 1  Câu 19 Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x giao điểm đồ thị với trục Ox ? A B C D Câu 20 Cho hàm số y   x  3x  có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C ) với trục hoành có phương trình là: A y  9 x  18  y0 B   y  9 x  18 C y  9 x  18 Câu 21 Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y   y0 D   y  9 x  18 x5 giao điểm A (C) trục x  hoành Khi đó, phương trình đường thẳng d 5 5 A y  x  B y   x  C y  x  D y   x  4 4 4 4 Câu 22 Tại giao điểm đồ thị (C) hàm số y  x  x  trục Oy ta lập tiếp tuyến có phương trình A y  x  B y  6 x  C y  x  Câu 23 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y   (C) với trục tung  y  2 A  B y  y  x  3x  giao điểm M C y  2 Câu 24 Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y   y  2 D  y  2x  giao điểm A (C ) x3 trục tung Khi đó, phương trình đường thẳng d 7 A y  x  B y   x  C y   x  9 Câu 25 Tiếp tuyến đồ thị hàm số (C ) : y  D y  6 x  D y  x x3  x  3x  song song với đường thẳng y  3x  2016 có phương trình  y  3x  A    y  3x   y  3x  B    y  3x   y  3x  C   y  3x    y  3x  D    y  3x  x3  x  3x  A song song với đường thẳng x  B song song với trục hoành C có hệ số góc dương D có hệ số góc 1 2x Câu 27 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  điểm có tung độ x 1 A x  y   B x  y   Câu 26 Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 75 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ D x  y   C x  y   Câu 28 Cho đường cong (C ) : y  x  3x Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm thuộc (C ) có hoành độ x0  1 A y  9 x  B y  x  C y  x  D y  9 x  Câu 29 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  3x  x  x  điểm A  0;1 A y  x  B y  7 x  C y  D y  Câu 30 Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị (C ) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm có hoành độ A y  45 x  276 B y  45 x  174 C y  45 x  276 D y  45 x  174 Câu 31 Cho hàm số y  x  3x  x  có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ có phương trình A y  3x  B y  3x  C y  3x  D y  3x  Câu 32 Cho hàm số y   x  x  3x  có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn có phương trình A y  15 x  55 B y  15 x  C y  15 x  D y  15 x  55 Câu 33 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến  B Trên (C) tồn hai điểm A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) cho hai tiếp tuyến (C) A B vuông góc C Tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ có phương trình y  x  D Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm Câu 34 Đường thẳng y  ax  b tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm M 1;0  Khi ta có A ab  36 B ab  6 C ab  36 D ab  5 Câu 35 Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A B C 3 Câu 36 Cho hàm số y  D 3x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với trục hoành góc 600 có x 1 phương trình  y   3x  A   y  x  y  3x  B   y  3x  y   3x  C   y   x  y   3x  D   y   x 76 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 37 Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  (1) , m tham số Kí hiệu (Cm ) đồ thị hàm số (1) K điểm thuộc (Cm ) , có hoành độ 1 Tập tất giá trị tham số m để tiếp tuyến (Cm ) điểm K song song với đường thẳng d : 3x  y  A 1   C  ; 1 B    D  mx  m  có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ –1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x  y   Khi giá Câu 38 Cho hàm số y  x  m A m  1 B m  C m   13 D m   11 Câu 39 Cho hàm số y  x  có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến d đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng y  3x  2017 Hỏi hoành độ tiếp điểm d (C) bao nhiêu? A  B C D – Câu 40 Cho hàm số y  3x  x có đồ thị (C) Từ điểm M 1; 3 kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ? A B C D D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM B D C A A A A B I – ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D B D B A C C C D D B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D C C A B D B B D B A B A D C B A C C Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 77 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Bài toán tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y  f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?  Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B  Am  Bm  C  o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A  A    B   B   C   o Bước 3: Kết luận  Nếu hệ vô nghiệm họ đường cong (Cm ) điểm cố định  Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên  Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải toán III Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D Trên đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ  Phương pháp giải:  Gọi M  a, Aa  Ba  Ca  D  , N  b, Ab3  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua gốc tọa độ a  b   Ta có  3 2  A(a  b )  B  a  b   C  a  b   D  78 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/  Giải hệ phương trình tìm M, N Bài toán 2: Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI )  Phương pháp giải:  Gọi M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab3  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua điểm I a  b  xI  Ta có  3 2  A(a  b )  B  a  b   C  a  b   D  yI  Giải hệ phương trình tìm M, N Bài toán 3: Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y  A1 x  B1  Phương pháp giải:  Gọi M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab3  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua đường thẳng d  (1)  I  d  Ta có:    (với I trung điểm AB u d vectơ phương  MN u d  (2) đường thẳng d  Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P  x1 ; y1  ; Q  x2 ; y2   PQ   x2  x1    y2  y1  2 Cho điểm M  x0 ; y0  đường thẳng d : Ax  By  C  , khoảng cách từ M đến d h  M ; d   Ax0  By0  C A2  B Loại Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận đứng x  a h  x0  a Loại Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận ngang y  b h  y0  b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng công thức, ta cần phải tìm tọa độ chúng (tìm điều kiện tồn điểm đó)  Ghi nhớ: o Nhớ điều kiện tồn hai điểm cực trị cho hàm phân thức hàm đa thức o Khi tìm giao hai đường: Lập phương trình hoành độ giao điểm, sau tìm điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 79 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ Các toán thường gặp: Bài toán 1: Cho hàm số y  f  x  (bậc bậc nhất) có đồ thị  C  Hãy tìm (C ) hai điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn  Phương pháp giải:  Giả sử  C  có tiệm cận đứng x  a tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Nên gọi hai số  ,  hai số dương  Nếu A thuộc nhánh trái xA  a  xA  a    a ; y A  f ( xA )  Nếu B thuộc nhánh phải xB  a  xB  a    a ; yB  f ( xB )  Sau tính AB   xB  x A    yB  y A    a      a       yB  y A  2 2  Khi bình phương độ dài AB có dạng AB  g  a  b  ;    ;     Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy), ta tìm kết Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số  C  có phương trình y  f ( x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  Phương pháp giải:  Gọi M  x; y  tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d  x  y  Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trục tung  Sau xét tổng quát, điểm M có hoành độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại không xét đến  Những điểm lai ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y  f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy  Phương pháp giải:  f  x   kx  y  kx   Theo đầu ta có y  k x    y  kx  f  x   kx ax  b Tìm tọa độ cx  d điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận) Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f ( x)   Phương pháp giải: d a ; tiệm cận ngang y  c c  d a  ;  hai tiệm cận  Ta tìm tọa độ giao điểm I   c c  Tiệm cận đứng x   Gọi M  xM ; yM  điểm cần tìm Tính khoảng cách IM cách 2   d a d   a d a    IM   xM  ; yM    IM   xM   y  ;    M   g  xM ; c c c   c c c    80 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/  Sử dụng phương pháp tìm GTLN-GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f ( x) đường thẳng d : Ax  By  C  Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn  Phương pháp giải  Gọi I thuộc (C )  I  x0 ; y0  ; y0  f ( x0 )  Khoảng cách từ I đến d g ( x0 )  h  I ; d   Ax0  By0  C A2  B  Khảo sát hàm số y  g ( x) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  (m  1) x   m luôn qua điểm M cố định m thay đổi Tìm tọa độ điểm M A M (0;3) B M (1; 2) Câu Câu D M (1;0) C M 1; 2  D M 1; 4  Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  x  2mx  luôn qua điểm M cố định m thay đổi Tìm tọa độ điểm M A M  1;1 B M 1;  Câu 1 5 C M  ;  2 4 Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  x  x  mx  m luôn qua điểm M cố định m thay đổi Tìm tọa độ điểm M A M  1;  B M  1; 4  Câu D M (0;1) Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  x  2mx  m  luôn qua điểm M cố định m thay đổi Tìm tọa độ điểm M 1 3 A M  0;1 B M  ;  2 2 Câu C M (1; 2) C M  0; 2  D M  0;3 (m  1) x  m  m   luôn qua điểm M cố định xm m thay đổi Tìm tọa độ điểm M 1  A M  1;   B M  0;1 C M  1;1 D M  0; 1 2  Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  Cho hàm số y  x3  3mx  x  3m có đồ thị (Cm ) Hỏi m thay đổi đồ thị hàm số (Cm ) qua điểm cố định? A Câu B C D 2x 1 có đồ thị  C  Tọa độ tất điểm M  C  cho x 1 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là:  5 A M  0;1 , M  2;3 B M  0;  C M  2;3 D M  3;   2 Cho hàm số y  Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 81 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM Câu http://toanhocbactrungnam.vn/ Cho hàm số y  (1  2m) x  3mx  m  có đồ thị (Cm ) Hỏi m thay đổi đồ thị hàm số (Cm ) qua điểm cố định? A Câu B C D Hàm số y  x  có đồ thị  C  Tìm điểm  C  có tổng khoảng cách x 1 tiệm cận đến  C  A  4;3  ,  2;1 B  2;5  ,  0; 1 C  2;5  ,  0; 1 ,  4;3  ,  2;1 D  2;5  ,  4;3  x  (1  m) x   m (m  2) luôn qua điểm x  m cố định m thay đổi Tính xM  yM Câu 10 Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  M  xM ; y M  A xM  yM  1 B xM  yM  3 C xM  yM  D xM  yM  2 Câu 11 Cho hàm số y   x3  mx  x  4m có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có hoành độ âm (Cm ) Tìm tham số thực m để tiếp tuyến A (Cm ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m  3 Câu 12 Cho hàm số y  B m  6 C m  D  2 có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ số x2 nguyên A B C D Câu 13 Cho đồ thị  C  : y  x  x  x  Trên đồ thị  C  có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ A Câu 14 Cho hàm số y  nguyên dương A Câu 15 Cho hàm số y  số nguyên? A B C D 3 có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ số 2x 1 B C D có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ 3x  B C Câu 16 Gọi x1 , x2 hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số y  D x4  x  x1.x2 có giá trị A 82 | T H B T N B C D 2 Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM Câu 17 Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ số 4x 1 nguyên? A Câu 18 Cho hàm số y  B B B C 10 D C D 5x  có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ 3x  số nguyên? A Câu 21 Cho hàm số y  D x2 có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ số 2x 1 nguyên? A Câu 20 Cho hàm số y  C x  10 có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ số x 1 nguyên? A Câu 19 Cho hàm số y  http://toanhocbactrungnam.vn/ B C D x  11 có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ 4x  số nguyên A B C D x2 cho tổng khoảng x2 cách từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số cho đạt giá trị nhỏ A M (4; 3) B M (2; 2) C M (1; 3) D M (0; 1) Câu 22 Tìm điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y  Câu 23 Cho hàm số  C  : y  x  x  Có tất cặp điểm thuộc đồ thị hàm số  C  đối xứng với qua điểm I  2;18  ? A B C D 3x  có đồ thị (C ) Trong tất điểm thuộc (C ) có tọa độ x 1 số nguyên, hỏi có điểm có hoành độ lớn tung độ A B C D x2 Câu 25 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi I tâm đối xứng  C  Biết tọa độ điểm x 1 M  xM ; yM  có hoành độ dương đồ thị  C  cho MI ngắn Khi giá trị Câu 24 Cho hàm số y  xM  yM ? A C B D 2 Câu 26 Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C ) Tìm (C ) cặp điểm đối xứng qua điểm I (2;18) A (1; 2) (3;34) Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan B (3; 2) (1;34) 83 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM C (0; 2) (4;74) http://toanhocbactrungnam.vn/ D (1; 2) (1; 6) Câu 27 Cho hàm số y  x3  x  x  có đồ thị (C ) Tìm (C ) cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O A (3; 22) (3; 22) B (2;14) (2; 14) C (1;10) (1; 10) D (0; 4) (4; 40) Câu 28 Cho hàm số y  x  x có đồ thị (C ) Tìm (C ) cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y   x A 1;   2; 10  B  2; 1  2;1 C 1; 2   1;  D 1;   1; 2  x 1 có đồ thị  C  Tọa độ điểm M  C  cho khoảng cách từ x2 M đến tiệm cận ngang là: A M  3;  B M  5;  Câu 29 Cho hàm số y  1  5  D M  4;  , M  0;   2  2  C M  5;  , M  1;0  Câu 30 Cho hàm số y  x3  3x  m có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị thực m để đồ thị (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A 1  m  B m  Câu 31 Cho đồ thị hàm số (C ) : y  C m  3 D m  x 1 Gọi M điểm tùy ý thuộc  C  Tích khoảng cách từ x 1 M tới hai tiệm cận A B C D x 1 Gọi M điểm tùy ý thuộc  C  Tiếp tuyến M cắt x 1 hai tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI A B C D Câu 32 Cho đồ thị hàm số (C ) : y  x7 Tìm hoành độ điểm M  C  cho khoảng cách x 1 từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Câu 33 Cho đồ thị hàm số  C  : y  A x  x  C x  1 x   D x  x   B x  1 x  x2  5x  Tìm hoành độ điểm M  C  cho x3 khoảng cách từ M đến trục Ox hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy Câu 34 Cho đồ thị hàm số  C  : y  A x  3 x  2 C x  x  84 | T H B T N B x  3 x  D x  x  2 Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ 11 Câu 35 Cho hàm số y   x  x  x  có đồ thị (C ) Tìm (C ) cặp điểm đối xứng 3 qua trục tung 16  16     16   16  A  3;    3;   B  3;   3;  3 3 3    3  11  11  11   11     C  2;   2;  D  2;    2;   3 3 3  3    Câu 36 Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  x  15 Có điểm M  C  cách x3 Ox, Oy A C B Có vô số điểm M thỏa yêu cầu D Không có điểm M thỏa yêu cầu Câu 37 Cho hàm số y  có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có tọa độ x  2x  2 số nguyên A B C D Câu 38 Biết đồ thị hàm số (Cm ) : y  x  3(m  1) x  3mx  luôn qua hai điểm M  xM ; yM  N  xN ; y N  cố định m thay đổi Tính yM  yN A yM  yN  1 B yM  yN  C yM  yN  D yM  yN  2x 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị cho khoảng cách từ x 1 I (1; 2) tới tiếp tuyến  C  M lớn Câu 39 Cho đồ thị hàm số (C ) : y   B M  1  C M  1  D M  1     , M  1   , M  1   , M  1   3;2  3 3;2  3 ; 2   A M 1  ;  , M 1  ;  3;2  3;2  3;2  2 x  4mx  5m có đồ thị (Cm ) Tập hợp tất giá trị thực m để x2 đồ thị (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ Câu 40 Cho hàm số y    A  0;     B   ;0  \    13 C 1;    1  D  ;0    ;    \ 2    C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN B C B D B C A B C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A A A D C D D D A B Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 85 | T H B T N TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B A A A C D C D B A D B B C C B C D MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức B Kỹ C Bài tập trắc nghiệm D Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm Chủ đề 1.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A Kiến thức B Kỹ C Kỹ sử dụng máy tính 11 D Bài tập trắc nghiệm 11 E Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 17 Chủ đề 1.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ .18 A Kiến thức 18 B Kỹ 18 C Bài tập trắc nghiệm 19 D Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 22 Chủ đề 1.4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 23 A Kiến thức .23 B Kỹ 23 C Kỹ sử dụng máy tính 24 D Bài tập trắc nghiệm 26 E Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 31 Chủ đề 1.5 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ .32 A Kiến thức .32 B Kỹ 35 C Bài tập trắc nghiệm 36 D Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 50 CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Chủ đề 2.1 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ .51 A Kiến thức 51 B Kỹ 51 C Bài tập trắc nghiệm .60 D Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 64 CHỦ ĐỀ 2.2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .65 A Kiến thức 65 B Kỹ 65 C Bài tập trắc nghiệm 73 D Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 77 Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG .78 A Kiến thức 78 86 | T H B T N Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM http://toanhocbactrungnam.vn/ B Bài tập trắc nghiệm 81 C Đáp án hướng dẫn giải tập trắc nghiệm 85 Quyển B - Khảo sát hàm số & Các toán liên quan 87 | T H B T N TỔNG BIÊN TẬP BAN QUẢN TRỊ TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM Trần Quốc Nghĩa, tranquocnghia@gmail.com Nguyễn Hữu Hiếu, hieunew@gmail.com Trần Hoàng Long, tranxichlong@gmail.com Nguyễn Duy Chiến, tcngduychien2006@gmail.com Lê Bá Bảo, lebabaodanghuytru2016@gmail.com Trần Văn Tài, trantai.gvt@gmail.com Lưu Công Hoàn, lchoansp2@gmail.com Đinh Tiến Nguyện, dinhtiennguyen.bk@gmail.com BIÊN SOẠN Nguyễn Hoàng Kiệt, tracnghiemtoanthaykiet@gmail.com Nguyễn Văn Sơn, detaipascal@gmail.com Hồ Tân Thành, hotanthanhbmt@gmail.com Trần Văn Toàn, trantoangdtx@gmail.com Nguyễn Đoàn Quốc Khánh, quockhanh87.mdc@gmail.com Nguyễn Khắc Thành, nguyenkhacthanh.hp@gmail Lê Quân, anhquan14@gmail.com Đặng Thị Nguyễn Việt, rose99vn2005@gmail.com Lê Đức Huy , duchuy0987750456@gmail.com 10 Nguyễn Mạnh Dũng, nguyenmanhdungmta.bka@gmail.com 11 Phạm Văn Nghiệp, vannghiepdtmd@gmail.com 12 Lại Văn Thiết, lvthiet2013@gmail.com 13 Nguyễn Văn Toàn, nguyenToanLG1@gmail.com 14 Nguyễn Thị Thu Hiền, hienbnpht@gmail.com 15 Nguyễn Thị Tình, nguyentinh050690@gmail.com 16 Nguyễn Thị Bình Yên, namdinh81@gmail.com 17 Nguyễn Trung Hiếu, hieunt.toan@gmail.com 18 Tống Văn Ký, tvksp2@gmail.com 19 Nguyễn Văn Rin, rinnguyen1991@gmail.com 20 Quách Thị Mỹ Ngọc, quachthimyngoc49@gmail.com 21 Phạm Thành Trung, trungthuong2009@gmail.com 22 Trần Anh Tuấn, anhtuan030791@gmail.com 23 Nguyễn Đăng Tuấn, dangtuan09@gmail.com 24 Dương Công Tạo, taonamky@gmail.com 25 Đoàn Hoài Hận, doanhoaihangtd@gmail.com 26 Đặng Công Vĩnh Bửu, dangcongvinhbuu@yahoo.com.vn 27 Trần Minh Nhựt, tmnhutc3ct@gmail.com 28 Trần Thị Huyền, tthuyenthd@quangbinh.edu.vn 29 Trần Quốc Khang, tranquockhang.dhsp@gmail.com 30 Ninh Công Tuấn, tuantkn84@gmail.com 31 Đoàn Trúc Danh, trucdanh1988@gmail.com 32 Trần Chung, chungtran1211@gmail.com 33 Hoàng Phi Hùng, phihungdb@gmail.com 34 Nguyễn Thị Linh Đa, tram.anh060114@gmail.com 35 Đào Ngọc Anh, ngocanh298.hnue@gmail.com 36 Đặng Hoàng Liên Quang Trung, dhlquangtrung111993@gmail.com 37 Nguyễn Hữu Hiếu, hieunew@gmail.com 38 Nguyễn Hồng Điệp, hongdieptg@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Bạch Ngọc- Đoàn Quỳnh- Đặng Hùng Thắng: Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục , 2009 Nguyễn Hải Châu - Nguyễn Thế Thạch - Phạm Đức Quang – Hà Đức Vượng, Hướng dẫn ôn tập thi Tốt nghiệp THPT- Năm học 2009 – 2010 – môn Toán , NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan- Trần Phương Dung-Nguyễn Xuân Liêm-Đặng Hùng Thắng: Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 Nguyễn Văn Cơ, Giới thiệu Đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng toàn quốc – Năm học 2001 – 2002 đến năm học 2005 – 2006, NXB Đại học Sư phạm, 2005 Vũ Thế Hựu - Nguyễn Vĩnh Cận – Dương Đức Kim - Đỗ Duy Đồng, Bộ đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, 2010 Bùi Văn Nghị - Nguyễn Tiến Trung- Nguyễn Sơn Hà, Hướng dẫn ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, 2009 Trần văn Hạo, Chuyên Đề luyện thi vào Đại học - Khảo sát hàm số, NXB Giáo dục, 2002 Trần văn Hạo – Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2009 Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Thu Nga - Phạm Thu - Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất, Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2009 10 Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn Giải dạng tập từ đề thi Quốc gia, NXB Đại học Quốc gia, 2009 11 Lâm Hồng Liên, Giải tích 12 - Trọng Tâm Kiến Thức dạng toán thường gặp kì thi, NXB Đại học Quốc gia, 2010 12 Đoàn Quỳnh, Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất GD, 2009 13 Trần Văn Hạo, Giải tích 12, Nhà xuất GD, 2009 14 Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất GD, 2008 15 Vũ Tuấn, Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất GD, 2008