Đề thi chọn Học sinh Giỏi Toán 8

Đề thi chọn học sinh Giỏi Toán 8 Đề thi chính thức (Vòng 1) Bài 1: Chứng minh rằng 3 n n − chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Bài 2: Giải hệ phương trình: 4x 1 x 3 6 2x 3x y 1 2  − − + = −   − + =   Bài 3: a) Chứng minh rằng nếu m, n, p > 0 thì ( ) 1 1 1 m n p 9 m n p   + + + + ≥  ÷   . b) Áp dụng để chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 b c c a a b 2 + + ≥ + + + (với a, b, c > 0) Bài 4: Tìm các số nguyên dương x,y, z để thỏa mãn hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 x 5y 4z 4xy 4yz 125 0 x 3y 4z 4xy 4yz 75 0  + + + + − =   + − + − − =   Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và ba cạnh BC, AC, AB thỏa mãn điều kiện BC AC AB > > . Một hình vuông gọi là nội tiếp trong tam giác ABC nếu hình vuông có một cạnh nằm trên một cạnh của tam giác ABC và hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh kia của tam giác đó. Như vậy, trong tam giác ABC có ba hình vuông nội tiếp. Trong ba hình vuông đó, hình vuông nào có diện tích lớn nhất? Đề thi chính thức (Vòng 2) Bài 1: Cho biểu thức ( ) 2 2 2 4 2 4 2 a a x a x 1 A a x 2a x 2 − + + = + + + a) Chứng tỏ biểu thức trên không phụ thuộc vào a. b) Xác định x để A đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 2: a) Xác định số chữ số của số 2 100 b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho 2 2 2 a b c+ + cũng là số nguyên tố. Bài 3: Chứng mình rằng với mọi n N ∈ , ta đều có n n 1 n 1 n 2 + < + + . Vận dụng kết quả trên để chứng minh rằng: 1 3 5 99 1 . . . 2 4 6 100 10 < Bài 4: Xác định điểm M nằm trong tam giác ABC để cho tích các khoảng cách từ đó đến các cạnh của tam giác có giá trị lớn nhất. Đinh Vũ Hưng Page 1 . Đề thi chọn học sinh Giỏi Toán 8 Đề thi chính thức (Vòng 1) Bài 1: Chứng minh rằng 3 n n − chia. vuông nội tiếp. Trong ba hình vuông đó, hình vuông nào có diện tích lớn nhất? Đề thi chính thức (Vòng 2) Bài 1: Cho biểu thức ( ) 2 2 2 4 2 4 2 a a x a x 1