Số nguyên Trong toán học, số nguyên bao gồm các số tự nhiên dương (1, 2, 3, …), các số đối của chúng (−1, −2, −3,...) và số không Các số nguyên hợp thành một tập vô hạn đếm được Trong toán học, tập hợp gồm tất cả các số nguyên thường được ký hiệu bằng chữ Z in đậm, (hoặc ), đó là viết tắt của Zahlen (có nghĩa số trong tiếng Đức)
Lý Thuyết mật mã Giảng viên : Đỗ Trọng Tuấn Nhóm :6 Mã lớp học: 88833 Hà Nội-21/1/2016 Mục Lục I.Cơ sở toán học 1.Số nguyên 2.Ước số chung lớn 3.Số nguyên tố số nguyên tố 4.Khái niệm đồng dư 5.Không gian Zn Z*n II.Mật mã học cổ điển 1.Hệ thống mật mã 2.Các loại mật mã I.Cở sở toán học Số nguyên - Trong toán học, số nguyên bao gồm các số tự nhiên dương (1, 2, 3, …), các số đối của chúng (−1, −2, −3, ) và số không - Các số nguyên hợp thành tập vô hạn đếm - Trong toán học, tập hợp gồm tất số nguyên thường ký hiệu chữ Z in đậm, (hoặc ), viết tắt của Zahlen (có nghĩa "số" trong tiếng Đức) 10/20/16 Ước số chung lớn - Cho hai số nguyên a b( b>1) a = b.q + r, 0< r < b ( q = a div b ; r = a mod b) - Số nguyên d gọi ước số chung lớn a b d > 0, d ước số chung a b, ước số chung a b ước số d Kí hiệu: d= dcd(a,b) Ví dụ: gcd(5,10) = 10/20/16 Thuật toán Euclide gcd(a,0) = a gcd(a,b) = gcd(b,r) r = a mod b 10/20/16 Thuật toán Euclide mở rộng - Input: Hai số nguyên không âm a b , a≥b - Output: + d= UCLN(a,b) số nguyên x y thỏa mãn ax + by = d - (1) Nếu b = đặt d ←a, y ← 0, Kết_quả(d,x,y) (2) Đặt x2 ← 1, x1 ← 0, y2 ←0, y1 ←1 (3) Trong b > 0,thực hiện: - 10/20/16 (3.1) q = [a/b], r ← a – qb, x ← x2 – qx1, y ←y2 – qy1 (3.2) a ← b, b ← r, x2 ←x1 , x1 ← x, y2 ←y1, y1 ←y (4) Đặt d ←a, x ←x2, y ← y2 ,Kết_quả(d,x,y) Ví dụ: Với a=29, b=8, giải thuật trải qua bước sau: r r1 r2 q1 x x1 x2 y y1 y2 29 1 -3 1 -1 -3 1 -1 -3 -7 3 1 -1 -3 -7 11 2 Bước i d = 1; x= -3 ; y=11 10/20/16 Số nguyên tố số nguyên tố - Số nguyên tố số nguyên dương lớn chia hết cho - Hai số gọi nguyên tố ước số chung lớn chúng Định lý số nguyên tố: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố, phân tích không kể đến thứ tự thừa số Trong p1,p2, ,pm, số nguyên tố đôi khác Ta có n chia hết cho (k1+1)(k2+1) (km+1) số tự nhiên Ví dụ: 300 = 2^2.5^2.3 10/20/16 300 chia hết cho (2+1)(2+1)(1+1)=18 số tự nhiên Khái niệm đồng dư - Cho n số nguyên dương Nếu a b hai số nguyên ,khi a gọi đồng dư với b theo module n, viết a≡b(mod n) n│(a-b) n gọi module đồng dư Ví dụ: 24≡9(mod 5),17≡5(mod 3) Tính chất: a ≡ b(mod n),nếu a b trả số dư đem chia chúng cho n a ≡ a (mod n)(tính phản xạ) Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ a (mod n) Nếu a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n) a.b ≡ a1b1(mod n) Nếu a ≡ a1(mod n) b ≡ b1(mod n) a+b ≡ (a1+b1)(mod n) 10/20/16 Không gian Zn Z*n Không gian Zn - Là tập hợp số nguyên {0,1,2, ,n-1}.Các phép toán Zn cộng,trừ,nhân,chia thực theo module n Ví dụ: Z21 = {0,1,2,3,…,20} Không gian Z*n - Là tập hợp số nguyên a thuộc Zn,nguyên tố n Tức là: Z* n = { a € Zn│gcd(n,a) = 1},(n) số phần tử Z* n Nếu số nguyên tố :Z* n = { a € Zn│1≤a≤n-1} - Ví dụ: Z3={0,1,2} Z* 3={1,2} gcd(1,3)=1 gcd(2,3)=1 Định lý đồng dư thức - Đồng dư thức ax ≡ b (mod n) có nghiệm x € Zn với b € Zn gcd(a,n) = 10/20/16 10 II.Mật mã học cổ điển 1.Hệ thống mật mã(cryptosystem) • Định nghĩa: Là tham số (P,C,K,E,D) _Tập nguồn P : Tập hữu hạn tất tin cần mã hóa có _Tập đích C : Tập hữu hạn tất mẫu tin có sau mã hóa _Tập khóa K : Tập hữu hạn tất khóa sử dụng _Tập luật mã hóa E _Tập luật giải mã D • Tính chất hệ mật : ()=x,x€p 2 Các Loại mật mã 2.1 Phương pháp dịch chuyển • Thuật toán : Cho P=C=K=với khóa kK (x)=(x+k) mod n Ví dụ: Cho P=C=K=26(bảng chữ tiếng anh đáng số từ 0-25) Giả mã sau biết k=11: (x)=(x-k) mod n HPHTWWXPPELEXTOYTRSE Đ/s: wewillmeetatmidnight E={,kK} D={,k 2.1 Phương pháp dịch chuyển • Nhận xét: Cách giải mã nhanh chóng Là phương pháp mã hóa lâu đời Là thay đơn biểu Là phương pháp đơn giản với thao tác xử lý mã hóa giải mã nhanh chóng Tuy nhiên, phương pháp đẽ bị bẻ khóa không gian khóa không lớn 2.2 Phương pháp thay • Thuật toán: Cho P=C= K:là tập hợp tất hoán vị n phần tử 0,1, ,n-1 K =(x) =(y) :hoán vị ngược E={e, K} D={D, K} , Wtae Lt Pgt Qtxcv Piiprzts 2.2 Phương pháp thay • Ví dụ : Bảng chữ thường : a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Bảng chữ mật mã : P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O +) Văn mã hóa : XADKENDJ Văn ban đầu :I love you +) Văn ban đầu : DHBKHN Văn mã hóa : SWQZWC 2.2 Phương pháp thay • Nhận xét Mật mã thay Đặc điểm _Là phương pháp mã hóa từ lâu đời _Đơn giản, nhanh chóng _Thay đơn biểu Ưu điểm _Không gian K lớn lên khó giải mã mã dịch vòng Nhược điểm _Vẫn dễ bị bẻ khóa phương pháp thống kê 2.3 Phương pháp mật mã Vigenère • Thuật toán : Cho P=C=K= mã hóa mod n , mod n k={} truyền liệu Thông tin Giải mã mod n , mod n 2.3 Phương pháp mật mã Vigenère • Ví dụ :Mã hóa rõ meetmeat, từ khóa CIPHER (Đ/s : OMTAQVCB) • Nhận xét: Việc mã hóa giải mã phức tạp hơn,đa biểu Bẻ khóa phức tạp Không gian khóa k lớn (dù k bé) 2.4 Phương pháp hoán vị • Thuật toán : Cho P=C= K tập hợp hoán vị có K mã hóa m phần tử truyền Thông tin : hoán vị ngược Giải mã 2.4 Phương pháp hoán vị • Ví dụ : • Cho m=6, mã rõ Mã hóa: asencondclass (Đ/s: EOANCSLSDSAC) [...]...II .Mật mã học cổ điển 1.Hệ thống mật mã( cryptosystem) • Định nghĩa: Là một bộ 5 tham số (P,C,K,E,D) _Tập nguồn P : Tập hữu hạn tất cả các bản tin cần mã hóa có thể có _Tập đích C : Tập hữu hạn tất cả các mẫu tin có thể có sau mã hóa _Tập khóa K : Tập hữu hạn tất cả các khóa có thể sử dụng _Tập luật mã hóa E _Tập luật giải mã D • Tính chất hệ mật : ()=x,x€p 2 Các Loại mật mã 2.1 Phương... Bảng chữ cái mật mã : P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O +) Văn bản mã hóa : XADKENDJ Văn bản ban đầu :I love you +) Văn bản ban đầu : DHBKHN Văn bản mã hóa : SWQZWC 2.2 Phương pháp thay thế • Nhận xét Mật mã thay thế Đặc điểm _Là một trong những phương pháp mã hóa từ rất lâu đời _Đơn giản, nhanh chóng _Thay thế đơn biểu Ưu điểm _Không gian khá K lớn lên khó giải mã hơn mã dịch vòng... vòng Nhược điểm _Vẫn rất dễ bị bẻ khóa bằng phương pháp thống kê 2.3 Phương pháp mật mã Vigenère • Thuật toán : Cho P=C=K= mã hóa mod n , mod n k={} truyền dữ liệu Thông tin Giải mã mod n , mod n 2.3 Phương pháp mật mã Vigenère • Ví dụ :Mã hóa bản rõ meetmeat, từ khóa CIPHER (Đ/s : OMTAQVCB) • Nhận xét: Việc mã hóa và giải mã phức tạp hơn,đa biểu Bẻ khóa khá phức tạp Không gian khóa k lớn (dù k bé)... dụ: Cho P=C=K=26(bảng chữ cái tiếng anh đáng số từ 0-25) Giả mã sau khi biết k=11: (x)=(x-k) mod n HPHTWWXPPELEXTOYTRSE Đ/s: wewillmeetatmidnight E={,kK} D={,k 2.1 Phương pháp dịch chuyển • Nhận xét: Cách giải mã nhanh chóng Là phương pháp mã hóa lâu đời nhất Là thay thế đơn biểu Là một phương pháp đơn giản với thao tác xử lý mã hóa và giải mã nhanh chóng Tuy nhiên, đây là phương pháp đẽ bị bẻ khóa... phức tạp Không gian khóa k lớn (dù k bé) 2.4 Phương pháp hoán vị • Thuật toán : Cho P=C= K là tập hợp hoán vị có thể có của K mã hóa m phần tử truyền Thông tin : là hoán vị ngược của Giải mã 2.4 Phương pháp hoán vị • Ví dụ : • Cho m=6, bản mã 1 2 3 4 5 6 bản rõ 3 6 1 5 2 4 Mã hóa: asencondclass (Đ/s: EOANCSLSDSAC)