HE PT 2016 PHAN 1

Nguyễn Thành Hiển HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 (PHẦN 1) TOÁN HỌC Đà Nẵng, 23/11/2015 (Tài liệu lưu hành nội bộ) LỚP TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH 11a Nguyễn Trường Tộ www.nhomtoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (2016) Chuyên đề : HPT PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHÂN TỬ Ví dụ Giải hệ phương trình x + = (3y (1) √ − x)(y + 1) √ √ √ x 2y − + x + 12 = 12 − 2y + − x Ví dụ Giải hệ phương trình xy + 4y + 8√ = x(x + 2) (1) x + y + = 2y − (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x4 + x√ y − y = y + x2 y + x2 (1) 2y − − 2x2 − = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình y + 5y√− 2xy(y − 1) = 4x2 + 10x (1) x2 − 2x + + 18 = y (2) Ví dụ Giải hệ phương trình (x + y)(x + 4y + y) + 3y = (1) x + 2y + − y + y + = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ x − + y − = (1) 2x2 − 3xy + y = y − 2x (2) Ví dụ Giải hệ phương trình y√2 − (x2 +√2)y + 2x2 = (1) √ x + + x − − y − 16 = 2x − 12 (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 4x √ + 4xy + y2 + 2x + y − = (1) − 2x + y − = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình x2 − 2y + + y = 2x (1) x3 + 2x2 = (x2 + 3x − y)y (2) Ví dụ 10 Giải hệ phương trình xy + x − = (1) 2x3 − x2 y + x2 + y − 2xy − y = (2) (2) Ví dụ 11 Giải hệ phương trình y = (x + 8)(x2 + 2) (1) y − (8 + 4x)y − 5x2 + 16x + 16 = (2) Ví dụ 12 Giải hệ phương trình x2 + 2y + + 2y − = (1) 2(x3 + 2y ) + 3y(x + 1)2 + 6x2 + 6x + = (2) Ví dụ 13 Giải hệ phương trình (x2 + 9)(x2 + √ 9y) = 22(y − 1) (1) x − = 4y y + (2) Ví dụ 14 Giải hệ phương trình x√ + y + xy + x2 y + 3x + 3y = 3x2 + 3y + 2xy + (1) √ 3 x − − x = 2y − − 2y + (2) Ví dụ 15 Giải hệ phương trình   x2 + y − y = (2x + 1)(y − 1) (1) √ √ (2)  3x − − y = x + y − 12 Ví dụ 16 Giải hệ phương trình 3 x 14 (1) √ − y − 6y √ + 3(x −35y) = − x + y + = x + y − (2) Ví dụ 17 Giải hệ phương trình √ √ x 2y − y 3x + = 2(x − y) (1) 3x2 + 2y − 5xy + x − y = (2) Ví dụ 18 Giải hệ phương trình 2 8(x √ + y) − 3xy √ = 2y + 2x (1) − x + − y = 2x − y + (2) Ví dụ 19 Giải hệ phương trình (xy + 1)x2 + (x +√1)2 = x2 y + 5x (1) 4x3 y + 7x2 + 2x2 y + = 2x + (2) Ví dụ 20 Giải hệ phương trình   2xy x2 + y = − (1) x+y √  x + y + y = x2 (2) Ví dụ 21 Giải hệ phương trình √ √ 3x − + 4(2x + 1) = y − + 3y (1) (x + y)(2x − y) + = −6x − 3y (2) Ví dụ 22 Giải hệ phương trình √ x√ − y + (x − 1) y + = (1) y x2 − 4x + + (2 − x) y + = (2) Ví dụ 23 Giải hệ phương trình √ √ x + y = 4y + 2x √+ y (1) 2y − 2y = x + + x + (2) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Ví dụ Giải hệ phương trình √ (x + x2 + 1)(y + y + 1) = (1) (x2 + y )2 = 4(x − y) + x4 y (2) Ví dụ Giải hệ phương trình √ 2(2x − 1) + 2x = (2y − 1) √ y−1+1 √ √ 4x − + 2y − = 2 Ví dụ Giải hệ phương trình √ 2y + + 2x2 y − = 3x + − 2x − x2 (1) √ 2x3 y − x2 = x4 + x2 − 2x3 y 4y + (2) Ví dụ Giải hệ phương trình x y − 3y + (1) √ − 3x = √ x − + y − = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 2x(x2 + 3) − y(y + 3) = 3xy(x − y) (1) (x2 − 2)2 = 4(2 − y) (2) Ví dụ Giải hệ phương trình √ 3x2 − 2x − + 2x x2 + = 2(y + 1) x2 + 2y = 2x − 4y + (2) Ví dụ Giải hệ phương trình y + 2y + (1) √ √ x + + x − − y + = y (1) x2 + 2x(y − 1) + y − 6y + = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ √ √ √ √ x + + x + + x + = y − + y − + y − (1) x + y + x2 + y = 80 (2) Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ 2y + y + 2x − x = − x (1) √ 2y + + y = + x + (2) Ví dụ 10 Giải hệ phương trình √ √ 2 x √ − y + 1√= 2( y − x + − x) (1) x + + y − + x − y = (2) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ Giải hệ phương trình x4 − 4x2 + y − 6y + = (1) x2 y + x2 + 2y − 22 = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình x2 + 3y − y + 8x − = (1) x(x + 8) + y(y + 3) − 13 = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình    9(x2 + y ) + 2xy +   2x + = 13 (1) (x − y)2 = (2) x−y Ví dụ Giải hệ phương trình   2x + y 3x + + = (1) 4x + 2y + x−1  12x + 4y = 5(x − 1)(2x + y + 1) (2) Ví dụ Giải hệ phương trình  √  + xy + xy = x (1) 1 √ √  √ + y y = √ + y (2) x x x Ví dụ Giải hệ phương trình x2 y + 4x2 y − 3xy + x2 + y = 12xy + 3x − 4y + (1) 3x2 − 2y = 9x + 8y + (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 10x − xy − y = (1) 30x2 − xy − 2xy − x − y = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ √x + + √y − = (1) x + + y + = (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 2x2 (4x + 1) + 2y (2y + 1) = y + 32 (1) x2 + y − x + y = (2) Ví dụ 10 Giải hệ phương trình xy + x − = 3y (1) x2 y − x = 2y (2) Ví dụ 11 Giải hệ phương trình 7x + y + 3xy(x √ √ − y) − 12x + 6x = (1) 4x + y + + 3x + 2y = (2) Ví dụ 12 Giải hệ phương trình √ (3x + y)(x + 3y) xy = 14 (1) (x + y)(x2 + y + 14xy) = 36 (2) Ví dụ 13 Giải hệ phương trình √ 12x xy = 16 (1) √ + 3y − √ 4x + + y + = (2) Ví dụ 14 Giải hệ phương trình x2 + + y(x + y) = 4y (1) (x + y − 2)(x2 + 1) = y (2) Ví dụ 15 Giải hệ phương trình = y + (1) x+y   x2 + y + = xy + (2) (x + y)2    2x + Ví dụ 16 Giải hệ phương trình x2 − x − 4y = y − (1) √ √ x + y + x − y − x2 − y = (2) Ví dụ 17 Giải hệ phương trình   x2 y2 + = (1) (y + 2)2 (x + 1)2  8x + 4y + 3xy + = (2) Ví dụ 18 Giải hệ phương trình 10 + = (1) 2x + 3y xy 124   − 2 = (2) 2 4x + 9y xy    Ví dụ 19 Giải hệ phương trình  2  x + y = + xy (1) x y  + y+1 x+1 = (2) Ví dụ 20 Giải hệ phương trình x2 − 6xy + 4y = (1) x + = y(x + 2) (x + 2)(y − 1) (2) Ví dụ 21 Giải hệ phương trình    x2 + y + x3 y + xy + xy = − (1)   x4 + y + xy(1 + 2x) = − (2) Ví dụ 22 Giải hệ phương trình (2x + y) + 6x − 3y = −6 (1) √ − y + 2)(2x √ 2x + + y − = (2) Ví dụ 23 Giải hệ phương trình  x y   x + y + + = (1) y x x y2   x+y+ + = (2) y x Ví dụ 24 Giải hệ phương trình √ √ 3y = (1) √x + y − √ x − + y = (2) Ví dụ 25 Giải hệ phương trình   x2 + xy + y x2 + y + = x + y (1)  √ x 2xy + 5x + = 4xy − 5x − (2) Ví dụ 26 Giải hệ phương trình x4 + 4x2 + y − 4y = (1) x2 y + 2x2 + 6y = 23 (2) Ví dụ 27 Giải hệ phương trình √ x + y + x − y = (1) x3 + x2 y − xy − y = 12 (2) √ Ví dụ 28 Giải hệ phương trình √ x + 2y + 4x + y = (1) 2(x + 3) = 46 − 2y(3 + 8x + 8y) (2) Ví dụ 29 Giải hệ phương trình  √ √ 2y −   (x + y − 3) 2x − = (1) √   (x − y) 2y − = 2y − (2) Ví dụ 30 Giải hệ phương trình √ √ √ √ x + + xy + x) = x (1) (2x + y − 1)( √ √ ( x + + xy)2 + xy = 2x(6 − x) (2) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Câu Giải hệ phương trình x√ + x x5 y√− y + = 3x x + y = − y Câu Giải hệ phương trình √ 2x + y = x2 + xy + + y √ √ − x − y + − y = x2 + y + y Câu Giải hệ phương trình x2 − y x2 + x + √ x+y− x2 − y = x xy − xy − x2 + y = y + 3y Câu Giải hệ phương trình 3x2 + 7x = (4x + 1)y + x2 + y √ 3x + x + x2 − y − = 4y Câu Giải hệ phương trình 2(y + 2x3 + 2y) = x(6 + x + 4y + 2xy) 2x = y + + x2 − y − HỆ TỔNG HỢP - 2015 Câu Giải hệ phương trình x + y + x2 − y = 12 (1) y x2 − y = 12 (2) Câu Giải hệ phương trình   1 + = (1) y y  3 x y + x2 y + xy + = 4y (2) Câu Giải hệ phương trình x(x + 1) + √ 4x3 + x + (y√ − 3) − 2y = (1) 4x2 + y + − 4x = (2) Câu Giải hệ phương trình √ √ (1 − y) x − y + x = 2√+ (x − y −√1) y (1) 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − (2) Câu Giải hệ phương trình  √  y − 2x + y − x + = (1) √ xy  √ − xy + x2 − y = (2) Câu Giải hệ phương trình  2(x3 + y ) 3(x2 + y ) √   − + 5(x + y) = xy (1) √ xy xy √ √   5x − + − y = 5x + y (2) Câu Giải hệ phương trình x2 + 3xy − 3(x − y) = (1) x4 + 9y(x2 + y) − 5x2 = (2) Câu Giải hệ phương trình  2   (x + 2) + 4(y − 1) = 4xy + 13 (1) x2 − xy − 2y √  + x+y = (2)  x−y x2 − y Câu Giải hệ phương trình  x2 − y   (y − 1) √ = (1) √ x2 − + y − √ √   (x + 4y) x2 − + = x2 − 1 + (x2 − 1)(y − 1) (2) Câu 10 Giải hệ phương trình 10x2 + 5y − 2xy − 38x − 6y + 41 = (1) x3 + xy + 6y − y + x2 − = (2) Câu 11 Giải hệ phương trình  x+y 2(x − y)   + xy = √ (1) √ +√  xy xy x+ y 1    √ − √ + x + y = (2) y x Câu 12 Giải hệ phương trình √ x+3 y √ = (1) 4y + 2x + y 1   √ −√ = − (2) 3x − 4y − y−1    Câu 13 Giải hệ phương trình √ (x + x2 + 2)(y + y + 3) =√ (1) √ 8y + 28xy + 48x + (72 − 24x) 3x + + 24(2 − x) x = 181 (2) Câu 14 Giải hệ phương trình √ x − x −√y + = (1) x + y + 2y x − y x = (2) √ Câu 15 Giải hệ phương trình 4xy + (2 − x)(2 + y) + x = 14 (1) x2 + y + 2x − = (2) Câu 16 Giải hệ phương trình  √  2x − + 6y + = 3x + + y + 8y (1) √ x  2x3 x + 3y + = 3x2 + y (2) Câu 17 Giải hệ phương trình √ 3x + y = (2x + 1) x + y (1) 4x2 (x2 − xy + y ) + 3x2 + 3x = 6y − 12y + (2) Câu 18 Giải hệ phương trình √ √ x2 − 9y√+ = 2(9y√ y − − x x − 1) (1) √ xy + y x − = y x + + xy − x + 7y − (2) Câu 19 Giải hệ phương trình 2x2 − 5xy − y = (1) y( xy − 2y + 4y − xy) = (2) Câu 20 Giải hệ phương trình x3 + y = xy 2(x2 + y ) (1) √ √ x + x2 − = 9(y − 1) 2x − (2) Câu 21 Giải hệ phương trình x3 + y = xy 2(x2 + y ) (1) √ √ x + x2 − = 9(y − 1) 2x − (2) Câu 22 Giải hệ phương trình     x y √ +3 + √ + x + 3y = + xy (1) y x xy √ x + 3y   = + − 3x − y (2)  x + 3y + x Câu 23 Giải hệ phương trình x(4y√ + 3y + 5y − x2 ) = y (x2 + 4y + 8) (1) √ x + 12 − 2x = 2y − y − (2) Câu 24 Giải hệ phương trình x3 + 3x2 + 3x = 2y + 6y + 6y x2 + y = y x (x + y) + x y (y − x) Câu 25 Giải hệ phương trình √ √ y + 2x − + − y = y + √ x x = y (x − 1) + x2 − y Câu 26 Giải hệ phương trình √ x 12 − y + y√ (12 − x2 ) = 12 x3 − 8x − = y − Câu 27 Giải hệ phương trình y + y x4 + y = x3 + x √ 3 x − y + (xy+x√yx−y)2 = xy Câu 28 Giải hệ phương trình √ (x + 1)y 2014 = x √ 2x + = x − y 2015 (x, y ∈ R) Câu 29 Giải hệ phương trình √ 4x3 + y + y 2x − y = 3y x √ x + 4x2 + y + y + = 3xy Câu 30 Giải hệ phương trình √ x+4 y2 + − √ x+4 =y y− x2 (y − 1) − 2x + = Câu 30 Giải hệ phương trình √ √ x+3 x2 + 6y − 17 √ x + y + + (x + y)2 + √ 2y = 2x + + 3(x + 1)2 + x2 √ 2xy + 2x − + 5x2 + 6x − = x + 2y Câu 31 Giải hệ phương trình x2 + y 2√+ (xy)2 = x y + + y x2 + = (x + y) Câu 32 Giải hệ phương trình   x y+ y + = y (x2 + 1) √ (x + 2) y + y + = x2 + Câu 33 Giải hệ phương trình √ y2 + = √ √ 3y + + 3x + = 12x + 12 + y x+ Câu 34 Giải hệ phương trình x2 + y+ √ xy + x + y + y = (2x + y − 1) 3x + x2 + 2xy + 3x = y + 4y + Câu 35 Giải hệ phương trình  √ √  8y x + − x + (1 − y)2 − = 12x + 7( x − + y − 2) √ √ √ √  √ (2 x + y) xy = 4y y − x x Câu 36 Giải hệ phương trình x3 − √ y + 3y − 3x = (1) 2 x + − x − 2y − y = −2 (2) Câu 37 Giải hệ phương trình √ x+y−4 = 2√ x2 − 2x − (1) 4y − 24y + 49y − 90 = 14 − x3 − 4x3 (2) Câu 38 Giải hệ phương trình √ y − 3y + 4y = +√x2 x2 − 1√ √ x + y − = 27 2(x − 1)2 x − Câu 39 Giải hệ phương trình √ x √1 − y + y − x2 = x2 + y √ √ = y x2 x + y y  √ =0  x(4x2 + 1) − y 2y − x Câu 40 Giải hệ phương trình +2 =0  −2x2 + xy + 3x − x√ − 5x = y − 5y − x2 + 2x2 − y = √ 2(x − 2) x + = − y √ √ √ Câu 42 Giải hệ phương trình (x − 2) y + = y + x2 − 4x + √  √ √ + xy) = 2(xy + y x − 1)  x − 1(1 − 2y √ √ Câu 42 Giải hệ phương trình − 2x  x− + √ =2− y x−1 Câu 41 Giải hệ phương trình Câu 43 Giải hệ phương trình Câu 44 Giải hệ phương trình Câu 45 Giải hệ phương trình: Câu 46 Giải hệ phương trình: x2 + x2 − xy + y = y + 2y √ 8x2 + x x − y + (x + y + 1)(4x2 + 1) = 12x + √ √ 2x − y = xy + y − y − x √ √ √ + y − x − + 7y + = x + 2x √ √ 21 x + (y − 7x2 ) y = 315 xy + = (x + 1) (y − 7x − 14) √ x2 + x + y + = √ √ 3y + + 3x + = 12x + 12 + y y+ Câu 47 Giải hệ phương trình  x(2y − 1) − (y − 1)  √ x−1= y2 − y + √  y(y + x − 1) + x − = Câu 48 Giải hệ phương trình y x2 − y = 2x + √ √ x + y + x − y = + (x − y − 1)2 Câu 49 Giải hệ phương trình √ (x + 1)2 + (1√− 2x) x + = − 2y (x + y)(y + x + 1) = Câu 50 Giải hệ phương trình x2 + 2x + (xy − 1)2 = 2x2 y (1) x3 y + 3xy − 7y = (2) Câu 51 Giải hệ phương trình √ x2 + 4y(x − 5) − 1√= 4y − x + 2y (1) 4y(x − 4) + x = x − (2) Câu 52 Giải hệ phương trình √ − y − 4x = y − x x2 + 2x + 2y = (2) x2 − y + √ 2x2 − 2x (1) √ 2xy + y (1) Câu 53 Giải hệ phương trình 4y − 2x − + y = 2y x2 − y + (x + 1)2 = y(2y − 2x + 1) (2) Câu 54 Giải hệ phương trình  √ √   x−1+2 y+1=y+ x−1 y+1  +√ =  √ y+1+1 x−1+1 (x, y ∈ R ) Câu 55 Giải hệ phương trình xy − x − y = (1) 4x3 + y − 12x2 + 9x − 6y = (2) (x, y ∈ R ) Câu 56 Giải hệ phương trình √ 2y(√ x − + x) = x2 √(1) 4x x − + (2x − 5y) x + = x2 (2) (x, y ∈ R ) Câu 57 Giải hệ phương trình √ 2y( √ x − + x) = x2 (1) 2x(2 x − + y) = x2 + 5y (2) (x, y ∈ R ) Câu 58 Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + = 3y √ √x + (1) √ √ x + 5x + + 2y x + + 2x + = x 5x + 15 + y 5x + (2) (x, y ∈ R ) Câu 59 Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + 1√= 3y x +√2 (1) √ 8x + 14 + 2y x + = x 5x + 10 + y 5x + (2) Câu 60 Giải hệ phương trình  √  x y + − y x2 − y = x2 − y (1) √ x2 + √  y y + + x x2 − y = √ − y + (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu 61 Giải hệ phương trình √ √ √ xy + (x − y)( xy − 2) + x = y + y (1) √ (x + 1) y + xy + x(1 − x) = (2) (x, y ∈ R ) Câu 62 Giải hệ phương trình   x 3x2 y2 + +  √ 4x + + y = (1) + x2 − y = x + (2) 3y (x, y ∈ R ) Câu 63 Giải hệ phương trình 36x2 + 64x + 36y = (1) √ (7x + 2) x + y = x2 + (2) (x, y ∈ R ) Câu 64 Giải hệ phương trình √ x3 + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (1) 2x3 + 2y 2x + y = 2y + xy + 3x + (2) (x, y ∈ R ) Câu 65 Giải hệ phương trình √ √ x( x + + y√+ 1) = (x + 1)(y + 1) (1) √ x(3 y + − x + 1) = 2x2 + y − x (2) (x, y ∈ R ) Câu 66 √ √ √ √ x3√ ( x + 2y − x + 1) + y(x − 6) = xy + y − √ 8( x + + 1) = x2 ( x + 2y − x) (2) xy + 2y + 8x (1) (x, y ∈ R ) Câu 67 Giải hệ phương trình 8x6 + 12x4 + 30x2 + 71x √ + y + 57 = (1) 2x + 4x + = (x + 1)( 2x + y − 1) (2) (x, y ∈ R ) Câu 68 Giải hệ phương trình √ √ (x + 3) x + y + 5√− (y + 1) x + 11 = xy − (1) √ 3y x + y + + x x + 11 = x2 + 6y + 6x + 3y (2) Câu 69 Giải hệ phương trình √ √ √ x( x + − y − x − 1) = 3(x2 + y x + 1) (1) √ 9x2 − 6xy + 9y = 2x y − x − + y (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu 70 (Thi thử lần - LQĐ - Đà nẵng)Giải hệ phương trình √ √ 2y + 1) (1) x(x + y) + x + y = 2y( √ x2 y − 5x2 + 7(x + y) − = xy − x + (2) (x, y ∈ R ) Câu 71 (THPT Đô Lương - Nghệ An - 2015) Giải hệ phương trình √ 5x + + −9y + 24y = (1) x + y + xy − 3x − 4y + = (2) (x, y ∈ R ) Câu 72 Giải hệ phương trình x2 − xy − 2y − + √(x − 1)y = (1) x3 − 5x2 + 7y + = 3y − (2) Câu 73 Giải hệ phương trình   2x + y 3x + + = (1) 4x + 2y + x−1  12x + 4y = 5(x − 1)(2x + y + 1) (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu 74 Giải hệ phương trình  √ − 2y = (2y − 3)x2 − (1)  x2 − 2x − 2(x2 − x) √ √ 2x2 + x3 + x +  − − 2y = (2) 2x + (x, y ∈ R ) Câu 75 Giải hệ phương trình √ x2 y(2 + 4y + 1) = x√+ x2 + (1) x2 (4y + 1) + 2(x2 + 1) x = (2) (x, y ∈ R ) Câu 76 Giải hệ phương trình x2 + y + 2y(1 √ − x) = x + + (x − y)(y − x − 2) = (2) √ x − (1) Câu 77 Giải hệ phương trình √ √ √ x x − +√2 2y = x √ 2x − + y − + (1) x(x − y + y − 1) = 2y x − (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHÂN TỬ √ √ √ √ Ví dụ Hướng dẫn : (1) ⇔ y + − 3y − x (3 y + + 3y − x) = Thay vào (2), dùng tính đơn điệu, suy nghiệm Đs : (4; 5/2) Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ (x + 4)(y − x + 2) = Khi x = y + 2, thay vào (2) y + y + = (y − y + 1) + (2y − 1) + > (2y − 1) + √ Đs : (−4; 10 + 10) 5(2y − 1) 2y − ⇔ Vô lý 2 2 Ví dụ Hướng √ dẫn :(1) ⇔ √ (x − y − 1)(x + y ) Thay x = y + vào (2), xét hàm, suy nghiệm Đs : ( 2; 1); (− 2; 1) Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − y)(2x + y + 5) = 0, suy y = 2x, thay vào (2) √ √ x2 + 18 = 2x + 2x + ⇔ (x − 2)2 + ( 2x + − 3)2 = Đs : (2; 4) √ √ − 13 Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ (x + y + y )(x + y + 3y ) = Đs : (−4 + 13; ); (−2; −1); (−4 − √ √ + 13 ) 13; Ví dụ Hướng dẫn :(2) ⇔ y − (3x + 1)y + 2x2 + 2x = ⇔ y = x + 1; y = 2x Đs : (1; 2) Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2; y = x2 Đs : (5; 25) Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x + y − 1)(2x + y + 2) = Đs : (0; 1); (1/2; −3) Ví dụ Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(x2 + 2x − y) = Đs : (1; 1) √ √ √ + − √ Ví dụ 10 Hướng dẫn : (2) ⇔ (x2 − y)(2x − y + 1) = Đs : (1; 1); (− ; − 5); (− ; 5) 2 Ví dụ 11 Hướng dẫn : (2) ⇔ (y − 5x − 4)(y + x − 4) = Đs : (0; 4); (−2; 6); (−5; 9); (19; 99) Ví dụ 12 Hướng dẫn : (2) ⇔ (x + + 2y)(2(x + 1)2 − y(x + 1) + 2y ) = Đs : (−14/9; 5/8) √ Ví dụ 13 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x2 − 2y + 11)(x2 + 11y − 2) = Đs : (± 2; 0) Ví dụ 14 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y − 2)(x2 + y − x − y + 1) = Đs : (2; 0) Ví dụ 15 Hướng dẫn : (1) ⇔ y = x + 1, thay vào (2) suy : √ 3x − − √ x+1− = Đạo hàm, 2x − 11 lập bảng suy hai nghiệm Đs : (3; 4); (8; 9) Ví dụ 16 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y − 2)[x2 + x(y + 2) + (y + 2)2 + 3] = Đs : (−1; −3); (2; 0) Ví dụ 17 Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(2y − 3x − 1) = Đs : (0; 0); (1; 2) Ví dụ 18 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y)(x + 2y − 8) = Do x 2; y x = 2; y = 3, suy hệ vô nghiệm ! Đs : (1; −1); (−2; 2) ⇒ x + 2y 8, nên x + 2y = ⇒ Ví dụ 19 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)(x2 y + 2x − 1) = Khi x2 y + 2x − = ⇒ y = suy (x − 1)2 − 2x2 x−1 = Đs : (1; −1); (−1; 3); (1/3; 3) x − 2x , thay vào (2), x2 Ví dụ 20 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + y − 1)(x2 + y + x + y) = Đs : (1; 0); (−2; 3) Ví dụ 21 Hướng dẫn : (2) ⇔ (x + y + 1)(2x − y + 4) = Đs : (4; 12) √ √ Ví dụ 22 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x− y + 5)(1+ y + 5) = ⇔ x2 = y +5 Thay vào (1) ⇔ √ √ y + 13 −3 + 13 Đs : ( ; ) 2 y2 + √ Ví dụ 23 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 4y) − √ y + 2x + y √ √ √ 3); (8 + 3; + 3) x−2 (x − 2)2 + = √ = 0, suy x = 4y Đs : (4 − 3; − PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Ví dụ Đs : (x; y) = {(0; 0); (; )} Ví dụ Hướng dẫn ; pt(1) xét hàm, thay vào pt(2) suy nghiệm (1; 2) 1 1 Ví dụ Hướng dẫn :(2) ⇔ 2y + 2y 4y + = + + Xét hàm, suy 2y = , thay vào (1), đặt x x x x √ √ a = x + 1; b = − x Đs : (−3/5; −5/6); (0; t) t ∈ R Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 − 3(y − 1) Xét hàm, suy x = y − Đs : (2; 3) √ 3 Ví dụ √ Hướng dẫn :(1) ⇔ x + 3x = (y − x) + 3(y − x), xét hàm, suy y = 2x Đs : (−1 + 3; −2 + √ √ 3); (−1 − 3; −2 − 3) √ Ví dụ Hướng dẫn :(1) − (2) ⇔ x2 + x x2 + = (y + 1)2 + (y + 1) (y + 1)2 + 1, xét hàm, suy x = y + Đs : (−1; −2); (5/3; 2/3) Ví dụ Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ x = y + Đs : (1; 0); (2; 1) √ √ 5−7 5+5 ; ) Ví dụ Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ x + = y − Đs : ( 2 √ Ví dụ Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ y = − x Thay vào (2) suy đồng - nghịch ! Đs : (−3; 2) √ √ Ví dụ 10 Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1) ⇒ x + = y Đs : (3; 4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ √ √ Ví dụ Hướng dẫn : Đặt a = x2 −2; b = y−3, suy (a; b) = {(2; 0); (0; 2)} Đs : (2; 3); (−2; 3); ( 2; 5); (− 2; 5) Ví dụ Hướng dẫn : Đặt a = x2 + 3y; b = y + 8x, ⇒ (a; b) = (2; 3) Đs : (1; 1); (−5; −7) Ví dụ Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = x − y + ⇒ (a; b) = {(1; 2); (5/3; 4/5)} Đs : (1; 1) x−y Ví dụ Hướng dẫn :(2) ⇔ + = , đặt a = 2x + y + x − 2x + y ;b = 4x + 2y + 3x + Đs : (5; −10) x−1 √ Ví dụ Hướng dẫn :Chia (1) cho x, đặt a = √ ; b = y Đs : (1; 0) x 2 Ví dụ Hướng dẫn :(1) ⇔ (x2 − 3x + √ 1) = 2; (2) ⇔ 3(x − 3x) − 2(y + 4y) = Đặt √ 1)(y + 4y + + 13 − 13 ; 0); ( ; 0); a = x2 − 3x; b = y + 4y Đs : ( 2 ; b = y + Đs : (1; 4); (1/5; 0); (1/2; 2); (1/3; 1) x √ √ √ √ Ví dụ Hướng dẫn :(1) + (2); (1) − (2), đặt a = x + + x + 2; b = y + + y − Đs : (2; 6) Ví dụ Hướng dẫn :(1) chia x; (2) chia x2 Đặt a = Ví dụ Hướng dẫn :(2) ⇔ x− 2 + y+ 2 1 = 1, đặt a = x − ; b = y + Thay vào (1) 2 (1) ⇔ (4a2 + 11a + 15)(a − 1) + 2b2 (b − 1) = (3) Dựa vào điều kiện suy V T (3) ⇒ a = 1; b = Đs : (3/2; 1/2) √ √ x Ví dụ 10 Hướng dẫn :(1) chia cho y, (2) chia cho y đặt a = x− ; b = Đs : (1± 2; 1± 2); (2; 1); (−1; −1/2) y y √ √ Ví dụ 11 Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x−1)3 = (x−y)3 , thay vào (2), đặt a = 3x + 2; b = x + ⇒ a = 2; b = Đs : (2; −1) √ Ví dụ 12 Hướng dẫn :Đặt a = x + y; b = xy, suy hệ đẳng cấp theo a, b √ √ √ √ 3−2 3+2 3+2 3−2 Đs : ( ; ); ( ; ) 2 2 Ví dụ 13 Hướng dẫn :Đặt a = 4x + y; b = 4xy,rút thế, suy a = 8; b = 16 Đs : (1; 4) Ví dụ 14 Hướng dẫn :Chia (1); (2) cho y, đặt a = Ví dụ 15 Hướng dẫn :Đặt a = x − y; b = x + x2 + ; b = x + y Đs : (1; 2); (−2; 5) y , suy hệ theo a; b, suy (a; b) = (1; 2); (2; 1) Đs : x+y (1; 0); (3/2; 1/2) Ví dụ 16 Hướng dẫn :(1) ⇔ x2 − y − x − = 0, đặt u = Ví dụ 17 Hướng dẫn :(2) ⇔ 8(x + 1) + 4y(x + 1) = xy ⇔ √ x + y; v = √ x − y Đs : (5; 4) x y x y = 4, đặt u = ;v = Đs : y+2 x+1 y+2 x+1 (−8/3; −10/3) Ví dụ 18 Hướng dẫn :(1).(2x + 3y); (2).(4x2 + 9y ), đặt u = 2x − ; v = 3y − Đs : ?? x y x y x y + , đặt u = ;v = Đs : (0; 1); (1; 0) y+1 x+1 y+1 x+1 √ √ Ví dụ 20 Hướng dẫn :Đặt a √ = x + 2; b = xy√+ 2y, pt(2) suy a + = b b − a ⇒ b − a = Đs : √ √ (−3; 0); (0; 3/2); (1/2(5 − 89); 1/4(−5 − 89)); (1/2(5 + 89); 1/4(−5 + 89)) Ví dụ 19 Hướng dẫn :(1) ⇔ Ví dụ 21 Hướng dẫn :Đặt a = x2 + y; b = xy Đs : ( 5/4 − 25/6); (1; −3/2) Ví dụ 22 Hướng dẫn :Đặt a = √ 2x + 1; b = √ y − 1; (1) ⇔ 4(a − b)(a2 + b2 + 3) = Đs : (3/2; 5) x2 + y Đs : (1; 1) xy √ √ √ √ Ví dụ 24 Hướng dẫn :Cộng - trừ - liên hợp, đặt a = x + x − 3; b = y + y − Đs : (4; 4) Ví dụ 23 Hướng dẫn :Đặt a = x + y; b = x2 + xy + y x2 + y ;b = ; ⇒ a = b ⇒ x = y Thay vào (2) : Ví dụ 25 Hướng dẫn :Đặt a = √ √ √ x 2x2 + 5x + = 4x2 − 5x − Đs : (3; 3); ((5 − 109)/14; (5 − 109)/14) Ví dụ 26 Hướng dẫn :(1) ⇔ (x2 + 2)2 + (y − 2)2 = 10; Đặt a = x2 + 2; b = y − Đs : (1; 3); (−1; 3) √ √ Ví dụ 27 Hướng dẫn :Đặt :a = x + y; b = x − y Đs : (650; 646); (26; 10) √ Ví dụ 28 Hướng dẫn :Bình phương (2); suy 4(x + 2y)2 + 6(4x + y) = 10 Đặt :a = x + 2y; b = 4x + y Đs : (3/7; −5/7) √ √ Ví dụ 29 Hướng dẫn :Đặt√:a = 2x √ − 3; b = √ 2y − 3, suy √ hệ đẳng cấp 12 + 27 12 + 3 + + Đs : (3/2; 3/2); ( ; ); ( ; ) 8 Ví dụ 30 Hướng dẫn :Dấu hiệu hệ số trội : (1) chia √ x, (2) chia x, đặt a = 2x + y; b = x+3 √ + y, suy x a = b = 3.Đs : (1; 1) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Câu Hướng dẫn : Ta có (1) ⇔ (x+2)(x−1) +x √ suy x = Đs : (1; −7/2 + 17/2) (x5 − 1)y = 0, mà (x+2)(x−1)2 √ Câu Hướng dẫn : Ta có (1) ⇔ y(1 − x) = (x − 1)2 + y ⇔ (x − 1)2 y(1 − x) suy x + y = Đs : (1; 0) x (x5 − 1)y 0, (y + − x)2 ⇔ x+y 1, Câu Hướng dẫn : Cách - nhóm đẳng thức phương trình, suy nhân tử x2 + x − 2y = Cách : sử dụng Côsi Đs : (0; 0) Câu Hướng dẫn : Từ (2) suy 4y−3x suy 3x − 4y 0 Từ (1), sử dụng BĐT : x2 + y (3x − 4y)2 + (3y + 4x)2 , 2 Câu Hướng dẫn : Từ (2) suy 2x − Từ (1),√ suy (2x √y − √ √− y − 1)(x − y) = −(x − y − 3)(2x − y), suy 2x − y − Đs : (1 − 3; − 3); (1 + 3; + 3) HỆ TỔNG HỢP - 2015 Câu Hướng dẫn : Đặt t = y + x2 − y , suy (x; t) = (5; 7) Đs : (5; 4); (5; 3) 1 Câu Hướng dẫn : (2) chia cho y , đặt a = x + ; b = x2 + Đs : (1; 1) y y Câu Hướng dẫn : Đặt a = : (1/2; 2) √ − 2y, suy 2x = a ⇒ y = − 4x2 , xét hàm suy nghiệm Đs √ √ 1 5+1 5−1 Câu Hướng dẫn : (1) ⇔ (y − 1)(x − y − 1) √ +√ = Đs : (3; 1); ( ; ) y+1 x−y+1 2 √ √ √ √ Câu Hướng dẫn : (1) ⇔ ( y − x)( y + x + 1) = Đs : (1; 1) √ Câu Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = xy, (1) suy a = 2b Đs : (1; 1) Câu Hướng dẫn : (1) ⇔ x2 + 3y = 3x − 3xy; (2) ⇔ (x2 + 3y)2 + 3x2 y − 5x2 = 0, thay (1) vào (2) Đs : (0; 0); (1; 1/3) Câu Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 2y − 1)(x − 2y + 5) = Đs : (1; 0) √ √ √ √ Câu Hướng dẫn : Đặt a = x2 − 1; b = y − 1, suy hệ đẳng cấp Đs : ( 10; 2); (− 10; 2) Câu 10 Hướng dẫn : Xem (1) bậc hai theo x, suy y = Đs : (2; 1) √ √ √ Câu 11 Hướng dẫn : (1) ⇔ ( y − x + xy)2 = ⇒ x + y = x2 y + xy, thay vào (2) suy xy = Đs : √ √ 3+ 3− ( ; ) 2 Câu 12 Hướng dẫn : (1) ⇔ x = 4y Đs : (8; 2) √ √ + ⇒ 12x2 + 28xy + 8y = 25, thay vào (1) : x2 + x(x − Câu 13 Hướng dẫn : (1) ⇔ 4y + 7x = −5 x √ √ √ √ √ √ x − 2) + 13 = 2(3 − x) 3x + 1√⇔ ( 3x + + x − 3)2 + 3x + x(x − x − 2) + = Đặt a = x suy a = Đs : (1; 1/4(−7 − 3)) √ √ Câu 14 Hướng dẫn : Đặt a = x; b = x − y + 1, thay (1) vào (2), suy (b + 1)(−2b2 + 5b + 7) = Đs : (9/4; 3) √ √ Câu 15 Hướng dẫn : Từ (2) suy : x < 2; y < Khi (1) ⇔ 4(xy +y −1) = ( − x−2 + y)2 ; (2) ⇔ − xy − y = (x − y + 1)2 , suy xy + y = Đs : (−2; −1) √ Câu 16 Hướng dẫn : (2) ⇔ 2x3 − 3x2 + = −3( y − 1)2 2x3 − 3x2 + = (2x + 1)(x − 1)2 0, nên x = y = Đs : (1; 1) √ √ Câu 17 Hướng dẫn : (1) ⇔ ( x + y − 2x)( x + y − 1) = Đs : (1/2; 1/2); (−1/2; 3/2) √ √ √ √ x+ x−1 x+7 √ ; (1) ⇔ x2 + 2x x − − = 9(y − + 2y y − 1), sử Câu 18 Hướng dẫn : (2) ⇔ = y y+ y−1 dụng dãy tỷ số ! Đs : (2; 1); (; ) 2 Câu 19 Hướng dẫn : (1) √− (2)√⇔ 2x − 5xy − y − y( xy − 2y + x = 3y Đs : (3/ 2; 1/ 2) 4y − xy) = 0, chia hai vế cho y , suy Câu 20 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x3 + y )2 = 2x2 y (x2 + y ) ⇔ (x − y)2 = Đs : (5/3; 5/3) Câu 21 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x3 + y )2 = 2x2 y (x2 + y ) ⇔ (x − y)2 = Đs : (5/3; 5/3) 1 √ Câu 22 Hướng dẫn : (1) ⇔ xy = 3y + x + 1, thay vào (2), chứng minh + √ x xy : (1/4; 1/4) Câu 23 Hướng dẫn : (1) ⇔ 3xy + x 5y − x2 − 8y = (xy − 2y )2 hai vế cho x2 , suy y = 2x Đs : (?; ?) Câu 24 Hướng dẫn :2 y (0; 0) x (x + y) − x y (y − x) = xy +x3 y x2 +y 2 ⇔ 3xy + x = 2xy ⇒ 4y ∀ 3x + y 5y − x2 Đs 8y , chia x (x + y) = (x + y)2 Đs : Câu 25 Hướng dẫn : √ x2 − y = xy − y − y−x √ x √ ⇒ xy − y = y−x √ x √ +x x = x2 −x+y √ x ⇒ y (x2 − x) = x2 − x + y ⇒ (y − x2 + x) = Đs : (1; 0) √ Câu 26 Hướng dẫn : x 12 − y − y (12 − x2 ) = x2 (12−y)−y (12−x2 ) √ √ x 12−y+ y(12−x2 ) √ = x2 − y ⇒ 2x 12 − y = x2 − y + 12 ⇒ 4x2 (12 − y) = (x2 + (12 − y)) ⇒ (x2 + y − 12) = Đs : (3; 3) √ 1 = Đs : ( √ ; √ ) 42 √ Câu 28 Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + 1)y 2014 = x ≤ x + ⇒ y 2014 ≤ ⇒ y ∈ [−1; 1].,từ (2) suy √ √ √ :0 = 2x − x + + y 2015 ≥ 2x − x + − = 2( x − 1) ≥ Đs : (1; −1) Câu 27 Hướng dẫn : (2) ⇔ x−y xy + (1+ √ x−y ) xy Câu 29 Hướng dẫn : (1) ⇔ y = 2x Đs : (x; y) = − √ 1√ ; − √ 2√ 3 √ y (y −x−3) (y2 −x−3) x+4 Câu 30 Hướng dẫn : (1) ⇔ √ √ = y+√x+3 , thay vào (2), xét hàm f (t) = t3 + t Đs : y +1+ x+4 √ √ 2 + (x + y) Câu 30 Hướng dẫn : (1) ⇔ x + y + √ √ + 2(x + y) = 2x + + + (2x + 1) + 2(2x + 1), xét hàm suy y = x + Đs :(x; y) = ( − 1; 5) Câu 31 Hướng dẫn : (1) ⇔ − x2 y = x2 + y ≥ 2xy ⇔ (xy)2 + 2xy − ≤ ⇔ −3 ≤ xy ≤ 1, √ √ (2) ⇔ x y + − +y x2 + − = x+y, suy x+y = x2 + + y2 + + = 3xy (vn) Đs :(x; y) = (?; ?) Câu 32 Hướng dẫn : Chia vế theo vế : (x+2)x√x2 +1 = y, thay vào (1) ⇔ x √ √ x x2 +1 Đs :(x; y) = (−1/2; −2 5/15) (x+2) x √ (x+2) x2 +1 + x2 (x+2)2 (x2 +1) +1 = Câu 33 Hướng dẫn : (1) ⇔ y = −x Đs :(x; y) = (1; −1) Câu 34 Hướng dẫn : Đặt = x + y; b = y + 1; c = c) − 2b2 = Đs :(x; y) = (?; ?) √ √ Câu 35 Hướng dẫn : (2) ⇔ x− y Câu 36 Hướng dẫn : √ + 3x, suy ab = (2a − b)c , hay : (a + c)2 − b(a + a2 + c2 = 2b2 √ x + xy + 4y = Đs :(x; y) = (2; 2) Từ (2) : đặt x = sin a; y − = sin b ⇔ sin a = sin b √ Câu 37 Hướng dẫn : pt(2) biến đổi suy hàm f (t) = 2t3 + t; suy y − = 14 − x2 Thay vào pt(1) : √ √ (1) ⇔ 14 − x2 + x = + x2 − 2x − √ Đặt a = − x; b = x2 − 2x − ⇒ b = Câu 38 Hướng dẫn : : (1) xét hàm f (t) = t3 + t; (2): nhân hai vế cho √ √ 2, chia x − 1, đặt t = x+1 , x−1 suy t = Câu 39 Hướng dẫn : Câu 40 Hướng dẫn : x = 1/2 √ − y ) + y(y − − x2 ) = ⇔ x = y = 0; x2 + y = √ √ : (1) ⇔ (2x)3 + 2x = ( 2y − 1)3 + 2y − Xét hàm, thay vào (2), suy nghiệm : (1) ⇔ x(x − Câu 41 Hướng dẫn : : Dùng Buniacopxki cho (2) : = y < Xét hàm (1) suy x = y √ √ 2 − 2x2 + 2x2 − y √ − y ⇒ Câu 42 Hướng dẫn : : Xét hàm pt (2), suy y + = (x − 2)2 , thay vào (1) suy nghiệm x = √ √ √ 2x − 2 Câu 42 Hướng dẫn : đặt a = x − √ ;b = − √ Giải tiếp pt (x − 2) x − − 2x + = y x−1 √x − √ √ − − > y = x − − − > (y − + 1)(y − y− = 2) = x + y ⇔ x y, điều kiện suy Câu 43 Hướng dẫn : (1) ⇔ y − x2 + 2y = x2 − xy + y √ kết hợp √ √ √ ± 161 ± 161 x = y Thay vào (2), đặt a = 4x2 + 1; b = 2x + Đs : (x; y) = ( ; ) 8 √ √ Câu 44 Hướng dẫn : (1) ⇔ x + − xy + y √ = ( y−x− 0, suy x + y Kết hợp điều kiện √1) suy x + = y Thay vào (2) : (3 − x) + ( 7x + 15 − 2x) ⇔ x = Đs : (x; y) = (3; 4) √ √ Câu 45 Hướng dẫn : Thay y = 7x2 + 21x + 21 vào (1): ⇒ x + (x2 + x) 7x2 + 21x + 21 = 15 Đs : (x, y) = (1, 49) √ 2 a2 +1 Câu 46 Hướng dẫn : Đặt a = x + x2 + 1; b = y + y + 1; (1) ⇔ a 2a−1 + b 2b+1 + b 2b−1 = ⇔ 2a ab = √ √ √ √ Câu 47 Hướng dẫn : (1) ⇔ ( x − − y)( √ x − − y + 2) = 0, đặt t = x − 1, hệ viết lại √ x − − 2y thành t − y t.y Đs : (2; 1); ((19 − 13)/8; (3 + 13)/4) √ √ Câu 48 Hướng dẫn : Đặt a = x − y; b = x − y; a, b Hệ tương đương (a2 − b2 )ab = 2(a2 + b2 ) + (1) a + b − = (b2 − 1)2 (2) Phương trình (1) ⇔ (ab + a2 + 2)(b2 + − ab) = ⇔ a = 2(b − 1)2 = b2 + Thay vào (2) b b2 − √ √ x + Suy a − b = x − x√+ ⇒ (a − b)2 = Câu 49 Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = y + √ √ x2 + x + − 2x x + Phương trình (1) viết lại (x2 + x + − 2x x + 1) + (x + x + + 2y) = ⇒ (a − b)2 + (a + b) = ⇒ (a + b)2 − 4ab + (a + b) = ⇒ (a + b)2 + (a + b) = 12 Câu 50 Hướng dẫn : Đặt a = xy Khi (1) ⇔ a = x + Thay vào (2) ⇔ x6 + 3x5 + 6x4 − 18x2 − 21x − − x3 = √ √ Đs :x = 1/2(1 − 5); x = 1/2(1 + 5) √ √ √ √ 5−2 3−2 5+2 3+2 Câu 51 Hướng dẫn : Lấy (1)−(2), suy nhân tử chung Đs :(x; y) = ( ; ); ( ; ) 4 √ √ √ √ 5−2 3−2 5+2 3+2 Câu 52 Hướng dẫn : Lấy (1)−(2), suy nhân tử chung Đs :(x; y) = ( ; ); ( ; ) 4 √ √ √ √ 5−2 3−2 5+2 3+2 Câu 53 Hướng dẫn : Lấy (1)−(2), suy nhân tử chung Đs :(x; y) = ( ; ); ( ; ) 4 Câu 54 Hướng dẫn : Đặt a = √ √ x − 1; b = y + 1, hệ suy    a = b2 − 2b + a2 b2   + = (∗) b+1 a+1 (x, y ∈ R ) Thay a (∗), suy (2b − 1)2 48(b4 − 5b3 + 7b2 ) + (216b2 − 652b + 531) = ⇔ b = Đs : (x; y) = (5/4; −3/4) Câu 55 Hướng dẫn : Từ (1) ⇒ x = y+1 Thay vào (2), ta có y−1 4(1+y)3 +y (y−1)3 −12(1+y)2 (y−1)+9(1+y)(y−1)2 −(y−1)3 (6y+7) = ⇔ (y −y−4)2 (y −y+2) = √ √ Đs : (x; y) = (; 1/2(1 − 17)); (; 1/2(1 + 17)) Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 Hướng dẫn : √ x2 − y y+2 x2 + = = √ y+1 x (y + 1) y + + x x2 − y √ x2 + 2) Từ (2) ⇔ = √ (y + 1) y + + x x2− y √ √  √  y = ( 13 − 5) y+2= √ 3(y + 1) 3) Vậy ⇔ √  x − y = 3x  x = 1 − 13 Bài tương tự : √ √ x + = 3y xy + x √ √x + (1) √ √ (x, y ∈ R ) • x2 + 5x + + 2y x + + 2x + = x 5x + 15 + y 5x + (2) √ √ xy + x x + 1√= 3y x +√2 (1) √ (x, y ∈ R ) • 8x + 14 + 2y x + = x 5x + 10 + y 5x + (2) 1) Dễ thấy x = y = 1, từ (1) ⇔ Câu 61 Hướng dẫn : Từ (2), ta chứng minh y + √ xy Liên hợp pt (1) suy x = y Câu 62 Hướng dẫn : Từ (1), suy x 3y + x2 + y 3x2 + y = 3y + x2 3x2 + y (3) Mặt khác x = y = ko nghiệm hệ, ta có : x 3y + x2 −y 3x2 + y2 = x4 − y 3x2 + y 3y + x2 (4) Lấy (3) + (4), suy x(3y + x2 ) 3x2 + y = 2x4 + 5x2 y + y (∗) y2 Dễ thấy x > 0, chia (∗) cho x4 đặt a = , ta x √ (3a + 1) + a = + 5a + a2 ⇔ a4 + a3 − 4a2 + a + = ⇔ (a − 1)2 (a2 + 3a + 1) = ⇔ a = √ √ Thay vào (2) : 4x + + − x2 = x + 4, suy x4 + 8x3 + 28x2 − 96x = Đs : (x; y) = (2; 2) Câu 63 Hướng dẫn : (2x + 1)(x + 1) y(x + 2y) 2x2 + 2y + xy + 3x + √ = = Câu 64 Hướng dẫn : (1) ⇔ √ = x2 (x + 1) y y + 2x y 2x + y + x3 + Câu 65 Hướng dẫn : Câu 66 Hướng dẫn : Câu 67 Câu 68 Hướng dẫn : Câu 69 Hướng dẫn: √ √ Câu 70 Hướng dẫn: Điều kiện x + y 0; y (1) ⇔ (x2 + xy − 2y ) + ( x + y − 2y) = ⇔ x = y Thay vào (2) √ x3 − 5x2 + 14x − = x2 − x + (∗) - Cách : (∗) ⇔ (x3 − 5x2 + 14x − 4)3 − 63 (x2 − x + 1) = ⇔ (x − 1)(x8 − 14x7 + 103x6 − 454x5 + 1304x4 − 2272x3 + 2200x2 − 608x + 280) = ⇔ x = 6x - Cách : (∗) ⇔ (x − 1) x2 − 4x + 10 − = Gọi biểu thức √ 2 (x − x + 1) + x2 − x + + ngoặc lớn (∗∗) +Xét x < 1, (∗∗) > (x2 − 4x + 10) − 6x = x2 + 10(1 − x) > 6x = x2 − 6x + 10 = (x − 3)2 + > + Xét x > 1, (∗∗) > (x2 − 4x + 10) − - Vậy (∗∗) vô nghiệm Đs : (x; y) = (1; 1) Câu 71 √ Hướng dẫn: Điều kiện x + 3x −9y + 24y −5/3; y 8/3 Từ (1) suy Đs (x; y) = (4/3; 4/3) x 4/3; y 7/3 Dễ thấy Câu 72 Hướng dẫn: Câu 73 Hướng dẫn: Câu 74 Câu 75 Câu 76 √ √ √ √ Câu 77 1; (1) ⇔ (x x − − y − − 2) = 2(x x − − 2y) (3) Dễ thấy với √ - Điều kiện : x, y x x − − 2y√= suy ra√ y = 1; x = √ √ x+2 x−1 x+ y−1 x x−1−2 y−1−2 √ - (2) ⇔ = = (4) x y x x − − 2y √ √ √ √ x+2 x−1 x+ y−1 √ -Từ (3) (4) suy : = = Hay x = + + 14 + 10 2; y = x y