CAU HOI ON TAP SO HOC

CÂU HỎI ÔN TẬP 1) Định nghĩa cho ví dụ trường định chuẩn 2) Phát biểu chứng minh tính chất đơn giản trường định chuẩn 3) Định nghĩa cho ví dụ trường định chuẩn không Acsimet 4) Phát biểu nêu ý nghĩa Định lý Ostropski Định nghĩa chuẩn p-adic p trường số hữu tỉ Q Cho a số hữu tỉ Chứng minh rằng, a số nguyên a p ≤ , với số nguyên tố p a) Xây dựng chuẩn 7-adic p trường số hu t Ô Tớnh: 35 , 2015 b) Xây dựng chuẩn ( x + 1) - adic x+1 trường hàm phân thức hữu t Ô ( x) Hóy tớnh: x2 + x ( x +1) Chứng minh rằng, trưòng số hữu tỉ có vơ hạn q đếm chuẩn tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối Chứng minh rằng, chuẩn ϕ trường K chuẩn không Acsimet ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ Nếu thay điều kiện ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ điều kiện ϕ (n0 ) ≤ , với n0 > số tự nhiên đó, khẳng định cịn khơng? Cho ϕ chuẩn trường K Chứng minh rằng: ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ ⇔ ϕ (2) ≤ Cho ϕ chuẩn trường K Chứng minh rằng, ϕ chuẩn không Acsimet K ϕ (3) ≤ Phát biểu chứng minh nguyên lý tam giác cân trường định chuẩn không Acsimet 10 Chứng minh rằng, hai hình cầu mở phân biệt trường định chuẩn không Acsimet không giao nhau, chứa 11 Cho ϕ chuẩn không tầm thường trường số hữu tỉ Q thoả mãn ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ Chứng minh rằng, tồn số nguyên tố p cho chuẩn ϕ tương đương với chuẩn p - adic 12 Cho p số nguyên tố, xây dựng chuẩn p-adic p trờn trng s hu t Ô Tớnh: 35 , 2015 13 Chứng minh rằng, chuẩn ϕ trường K chuẩn không Acsimet ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ Nếu thay điều kiện ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ điều kiện ϕ (2) ≤ khẳng định cịn khơng? 14 Cho ϕ chuẩn không tầm thường trường số hữu tỉ Q thoả mãn ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ Chứng minh rằng, tồn số nguyên tố p cho chuẩn ϕ tương đương với chuẩn p - adic 15 Chứng minh rằng: Mọi trường có đặc số chứa trường trường đẳng cấu với trường số hữu tỉ Q 16 Giả sử ϕ metric trường F Chứng minh rằng, mệnh đề sau tương đương: (a) ϕ ( a + b ) ≤ max ( ϕ ( a ) , ϕ (b ) ) , ∀ a, b ∈ F (b) { x ∈ F ϕ ( x) < } { x ∈ F ϕ ( x − 1) < } = ∅ Cho ϕ ,ψ chuẩn trường K Chứng minh rằng, ϕ ψ tương đkhi ∀x ∈ K (ψ ( x) < ⇔ ϕ ( x) < 1) 17 Chứng minh rằng, trường số hữu tỉ Q chuẩn p – adic q – adic không tương đương với nhau, với p q số nguyên tố phân biệt 18 Xây dựng cấu trúc tôpô Zariski trường định chuẩn không Acsimet 19 Chứng minh rằng, hình cầu mở (theo cấu trúc tơpơ Zariski) trường định chuẩn không Acsimet vừa tập mở vừa tập đóng 20 Cho p số nguyên tố Hãy tìm đa thức vành đa thức Zp[x] có đạo hàm đồng 21 Chứng minh rằng, tồn đa thức đơn hệ bất khả quy bậc ba trường Zp số nguyên modp 22 Phát biểu chứng minh nguyên lý tam giác cân trường định chuẩn không Acsimet 23 Dùng công cụ đặc số nguyên tố trường, chứng minh Định lý Fermat bé Nêu ứng dụng Định lý Fermat ví dụ cụ thể 24 Chứng minh rằng, đặc số trường tùy ý là số nguyên tố 25 Nêu tương tự số nguyên với đa thức bình luận ý nghĩa tương tự nghiên cứu Số học 26 Từ Định lý Mason suy tương tự Định lý Fermat lớn đa thức 27 Từ giả thuyết ABC suy Định lý Fermat tiệm cận 28 Chứng minh rằng, có vơ hạn số giả ngun tố sở 29 Từ Định lý Mason suy Định lý Davenport 30 Hãy diễn đạt chứng minh tương tự Định lý Davenport 31 Từ giả thuyết ABC suy Định lý Fermat tiệm cận 32 Tìm số tất đa thức đơn hệ bất khả quy bậc ba trường Z7 số nguyên mod7 33 Chứng minh rằng, tồn đa thức bậc hai đơn hệ bất khả quy trường Zp số nguyên modp 34 Cho p số nguyên tố, đa thức vành Zp[x] có đạo hàm đồng 0? 35 Từ Định lý Mason suy tương tự Định lý lớn Fermat đa thức 36 Chứng minh rằng, không tồn đa thức a, b, c với hệ số phức, khác số, nguyên tố cho a n + b n = c n ; (n ∈ ¥ , n ≥ 3) 37 Phát biểu chứng minh Định lý Fermat bé nêu ứng dụng Định lý việc xây dựng khái niệm số giả nguyên tố 38 Phát biểu Giả thuyết Hall Hãy nêu tương tự Giả thuyết Hall đa thức 39 Phát biểu Giả thuyết ABC Từ Giả thuyết ABC suy Định lý Fermat tiệm cận 40 Chứng minh rằng: a) Có vơ hạn số ngun tố b) Có vơ hạn số giả nguyên tố sở c) Có vô hạn đa thức bất khả quy trường tuỳ ý 41 Viết thuật toán kiểm tra số giả nguyên tố sở phần mềm Maple 42 Chứng minh rằng, có vơ hạn hợp số n cho 2n ≡ 2(mod n) Từ suy có vơ hạn số giả ngun tố sở 43 Nêu định nghĩa cho ví dụ số Carmichael Hãy tìm số Carmiachael nhỏ 44 Hãy định nghĩa quan hệ thứ tự không Acsimet trường hàm phân thức Q(x) 45 Hãy xây dựng trường số đại số bậc n Tìm sở trường số HƯỚNG DẪN ƠN TẬP Bài a) Định nghĩa cho ví dụ trường định chuẩn: Định nghĩa Trường K với ánh xạ ϕ : K → ¡ gọi trường định chuẩn điều kiện sau thoả mãn: i) ϕ(α) ≥ 0, ∀α∈K; ϕ(α) = ⇔ α = ii) ϕ(α + β) ≤ ϕ(α) + ϕ(β), ∀α, β ∈ K iii) ϕ(αβ) = ϕ(α)ϕ(β), ∀α, β ∈ K Ví dụ: 1) Các trường Q, R trường định chuẩn với chuẩn:  x nÕu x ≥ 0, ϕ ( x) = x =  - x nÕu x < 2) Trường số phức C trường định chuẩn với chuẩn môđun: ϕ (a + bi ) = a + bi = a + b b) Phát biểu chứng minh tính chất đơn giản trường định chuấn Cho (K, ϕ) trường định chuẩn, đó: 1) ϕ(1) = ϕ(-1) = 2) ϕ(a) = ϕ(-a), ∀a∈K 3) |ϕ(a) - ϕ(b)| ≤ ϕ(a-b), ∀a, b ∈ K n n i =1 i =1 4) ϕ (∑ ) ≤ ∑ ϕ (ai ) −1 −1 5) ϕ (a ) = ϕ (a) = ϕ (a) , ∀a ∈ K , a ≠ ϕ (a) −1 6) ϕ (ab ) = ϕ (b) , ∀a, b ∈ K , b ≠ Chứng minh 1) Ta có: ϕ(1)= ϕ(1.1)= ϕ(1) ϕ(1) ⇒ ϕ(1)( ϕ(1)-1) = ⇒ ϕ(1)-1=0 (Vì ϕ(1) lớn Ta có: 1=ϕ(1) = ϕ((-1)(-1))= ϕ ( −1)  , ϕ ( −1) ≠ nên ϕ ( −1) > ⇒ ϕ ( −1) = 2) ∀a ∈ K ta có: ϕ(-a)= ϕ(-1.a)= ϕ(-1) ϕ(a)=1 ϕ(a) =ϕ(a) 3) Đặt a = b + c ⇒ ϕ(a) = ϕ(b + c) ≤ ϕ(b) + ϕ(c) ⇒ ϕ(a) - ϕ(b) ≤ ϕ(c) ⇒ ϕ(a) - ϕ(b) ≤ ϕ(a - b) ⇒ ϕ(b) - ϕ(a) ≤ ϕ(b - a) = ϕ(a - b) Vậy |ϕ(a) - ϕ(b)| ≤ ϕ(a - b) n n i =1 i =1 4) Áp dụng ii) ϕ(α + β) ≤ ϕ(α) + ϕ(β), ∀α, β ∈ K Dề có ϕ (∑ ) ≤ ∑ ϕ (ai ) Chứng minh ý sử dụng pp quy nạp   −1 −1 5) ∀a ∈ K , a ≠ Ta có: = ϕ (1) = ϕ (a a ) = ϕ (a).ϕ  a ÷ = ϕ (a).ϕ ( a ) ⇒ ϕ ( a ) = ϕ a = ϕ ( a ) ( )   1 1 −1 ϕ ( a) −1 −1 6) ∀a, b ∈ K , b ≠ Ta có: ϕ (ab ) = ϕ (a).ϕ (b ) = ϕ (a) ϕ (b) = ϕ (b) ■ c) Định nghĩa cho ví dụ trường định chuẩn khơng Acsimet Định nghĩa Trường K với ánh xạ ϕ : K → ¡ gọi trường định chuẩn không Acsimet điều kiện sau thoả mãn: i) ϕ(α) ≥ 0, ∀α∈K; ϕ(α) = ⇔ α = ii) ϕ(α β) = ϕ(α) ϕ(β), ∀α, β ∈ K (iii) ϕ (α +β) ≤ max {ϕ(α), ϕ(β)} Ví dụ: - Các chuẩn p-adic (p số nguyên tố) trường số hữ tỷ Q chuẩn không Acsimet - Các chuẩn ϕ thỏa mãn ϕ(n) ≤ với sốtự nhiên n chuẩn không Acsimet d) Phát biểu nêu ý nghĩa Định lý Ostrowski α Các chuẩn ϕ ( x) = | x | với < α ≤ chuẩn p-adic p với tất số nguyên tố p nhận hết chuẩn không tầm thường trường số hữu tỉ Q Nói khác đi, chuẩn không tầm thường trường số hữu tỉ Q tương đương với hai chuẩn sau: (i) chuẩn giá trị tuyệt đối ∞ (ii) chuẩn p-adic p , với p số ngun tố Ý nghĩa Định lí Ostrowski khẳng định trường số hữu tỉ Q có kiểu chuẩn (sai khác tương đương) Do đó, có phương hướng mở rộng Q thành trường đầy đủ sau: - Nếu xuất phát từ Q theo chuẩn giá trị tuyết đối | | ∞ phương pháp Cantor người ta xây dựng trường số thực R bổ sung đầy đủ Q (R trường đầy đủ bé chứa Q) - Nếu xuất phát từ Q theo chuẩn p-adic | | p phương pháp Cantor người ta thu trường số p-adic Qp mở rộng đầy đủ Q Chẳng hạn trường: Q2, Q3, Q5 , Q7, Như vậy, trường số thực R bình đẳng với trường số p-adic Qp với tư cách mở rộng đầy đủ trường số hữu tỉ Q Bài Định nghĩa chuẩn p-adic p trường số hữu tỉ Q Cho p số nguyên tố cố định Với số hữu tỉ α ≠ 0, ta viết cách nhất: α = a n p ; a, b, n ∈ ¢ , với a, b khơng chia hết cho p b −n Định nghĩa: ϕ p (0) = 0, ϕ p (α ) = α p = p gọi chuần p-adic p trường số hữu tỉ Q Chứng minh thỏa mãn điều kiện chuẩn: i) Theo định nghĩa ta có với số hữu tủy x ta ln có ϕ p ( x) ≥ 0;ϕ p ( x) = ⇔ x = , ii) Với số hữu tủy x = a n c p ; y = pm b d a n c m adp n −m + bc m e k x+ y = p + p = p = p ,k ≥ m b d bd f với k ≥ { m, n} e , f không chia hết cho p ⇒ ϕ p ( x + y) = iii) x = e k p = p − k ≤ max { p − m , p − n } ≤ p − m + p − n = ϕ p ( x ) + ϕ p ( y ) f a n c ac n + m − n−m = p − n p − m = ϕ p ( x)ϕ p ( y ) p y = p m suy xy = p nên ϕ p ( x y ) = p b d bd Bài Cho a số hữu tỉ Chứng minh rằng, a số nguyên p-adic a p ≤ , với số nguyên tố p Giải : Xét a số nguyên ta chứng minh a p ≤ với số nguyên tố p Nếu a = hiển nhiên = = với số nguyên tố p Nếu a p = p = p p p0 Theo định nghĩa chuẩn ta suy ra: −a p = a p , a ≠ , suy a ≥ ta viết a = p1k p2k pnk với ki (i = 1, n) số nguyên dương, pi (i = 1, n) số nguyên tố khác n Vì p số nguyên tố tùy ý nên: +Nếu ta lấy p số pi (i = 1, n) , chuẩn pi-adic pi a a p = b pik1 i p = p−k i = ⇒ y ≥ , tồn số nguyên tố pn cho y = b pn k (k ∈ N , k > , b khơng chia hết cho p) k Vì ( x, y ) = ⇒ ( y, b pn ) = , mà pn số nguyên tố nên x không chia hết cho pn , chọn p = pn x Ta có a p = y n = pn x b pnk = pn x −k pn b pn = pnk > trái với giả thiết a p ≤ y=1 ■ Bài a) Xây dựng chuẩn 7-adic p trường số hu t Ô Tớnh: 35 , 2015 b) Xây dựng chuẩn ( x + 1) - adic x+1 trường hàm phân thức hữu t Ô ( x) Hóy tớnh: x2 + x ( x +1) Bài giải: a) Với số hữu tỷ α ≠0 ta viết cách dạng a α = n ; a, b, n ∈ ¢ , b ≠ , với a, b không chia hết cho b Định nghĩa: ϕ7 (0) = 0, ϕ7 (α ) = a n = − n gọi chuần 7-adic trường số b hữu tỉ Q −1 = −0 = 70 = Ta có : 35 = 5.7 = = , 2015 = 2015.7 7 b)Xây dng chun ( x+1) a dic trờn Ô ( x )  f ( x)  / f ( x ) , g ( x ) Ô [ x] , g ( x ) Ô ( x) =   g ( x)  Với u ( x ) Ô [ x ] khỏc ta viết dạng: u ( x) = g ( x) q ( x) ( x + 1) n f ( x ) , g ( x ) ∈ Q [ x ] ; f ( x ) , g ( x ) N ( x + 1) Ta định nghĩa sau : nêu u =  ε nêu u ≠ 0 m nên suy { } ϕ ( u + v ) ≤ ε k ≤ m ax ε m , ε n ≤ ε m + ε n = ϕ ( u ) + ϕ ( v ) + Chứng minh tương tự ta có: ϕ ( uv ) = ϕ ( u ) ϕ ( v ) Ta có : x + x ( x +1) = x( x + 1) ( x +1) = ε Nhận xét: Bằng cách tương tự ta xây dựng chuẩn T ( x) - adic T ( x ) trường hàm phân thức hữu t Ô ( x) vi T(x) l cỏc a thc bất khả quy trường số hữu tỷ Bài Chứng minh rằng, trưịng số hữu tỉ có vô hạn đếm chuẩn tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối α Bài giải: Xét hàm số ϕ ( x) = x với α số thực tuỳ ý thoả mãn điều kiện < α ≤ 1, chuẩn trường số hữu tỉ Q Ta chứng minh ϕ ( x) thỏa mãn định nghĩa trường định chuẩn: α + Với x ∈ Q (K trường) ta có: ϕ ( x) = x ≥ 0;ϕ ( x) = ⇔ x = +Với x, y ∈ Q ta chứng minh: ϕ(x +y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y), Thật vậy, giả sử |x| ≥ |y| x ≠ 0, đó: | x + y |α = | x |α |1 + y α | ≤ | x |α x α y  α  1+ | |  ≤ | x | x   y   α 1+ | | ÷ ≤ | x | x   y α  α α 1+ | | ÷ = | x | + | y | x   Vì vậy, ta có ϕ(x+y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) α α α + Với x, y ∈ Q ta chứng minh: ϕ ( xy ) = xy = x y = ϕ ( x).ϕ ( y ) Mặt khác với < α ≤ có vô hạn đếm số hữu tỷ α Như có vơ hạn q đếm đc chuẩn Q cho (anpha) ta có chuẩn trị tuyệt đối suy đpcm Bài Chứng minh rằng, chuẩn ϕ trường K chuẩn không Acsimet ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ Nếu thay điều kiện ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ điều kiện ϕ (n0 ) ≤ , với n0 > số tự nhiên đó, khẳng định cịn khơng? Bài giải: Định lí Chuẩn ϕ trường K chuẩn không Acsimet ϕ(n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ + 1) 43 Chứng minh Ta kí hiệu đơn vị K, ϕ (n) = ϕ (11+41 +2nL 1) Giả sử ϕ chuẩn khơng Acsimet, với số tự nhiên n có: ϕ (n) = ϕ (11+41 +2L + 1) ≤ max ( ϕ (1), , ϕ (1) ) = 43 n 2) Giả sử ϕ(n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ , ta chứng minh ϕ chuẩn không Acsimet Giả sử ϕ(n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ , ta chứng minh ϕ chuẩn không Acsimet Thật vậy, với ∀k = ,2, … với giả thiết ϕ(n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ , ta có: k k k i =0 i =0 i =0 ϕ ( a + b) k  = [ ϕ ( a + b) ] = ϕ (∑ Cki a k −i bi ) ≤ ∑ ϕ (Cki )ϕ ( a k −i bi ) ≤ ∑ ϕ ( a k −i )ϕ (bi ) ≤ ( k + 1) M k k k  ϕ ( a + b)  M = max(ϕ(a), ϕ(b)) Vậy ϕ (a + b)k ≤ (k + 1) M k hay  ÷ ≤ k +1  M  Sử dụng bổ đề với α = 1, β = 1, γ = ϕ ( a + b) ≤ ⇒ ϕ (a + b) ≤ max { ϕ (a), ϕ (b)} M suy điều phải chứng minh 3) Khi thay n n0 ≥ Ta chứng minh ϕ(n) ≤ với n Thật n ≥ nên viết n hệ g = n0 phân tức n = ak g k + ak −1 g k −1 + L + a1 g + a0 với ak ∈ { 0,1, 2,L , g − 1} , ak ≠ 0, ( k = 1, g ) ⇒ n ≥ ak g k k k −1 k k −1 Ta có: ϕ (n) = ϕ ( ak g + ak −1 g + L + a1 g + a0 ) ≤ ϕ ( ak g ) + ϕ ( ak −1 g ) + L + ϕ ( a1 g ) + ϕ ( a0 ) ( ) ( ) ( ) = ϕ ( ak ) ϕ g k + ϕ ( ak −1 ) ϕ g k −1 + L + ϕ ( a1 ) ϕ ( g ) + ϕ a0 ( ) ≤ ϕ ( ak ) + ϕ ( ak −1 ) + L + ϕ ( a1 ) + ϕ a0 ( ϕ ( gk ) ≤ 1) ≤ ( k + 1) M (với M= Max { ϕ (i )} i=1,2, g Suy ϕ (n) ≤ ( k + 1) M = Mk + M với n k Mặt khác: g ≤ n ⇒ k ≤ log g n ⇒ ϕ (n) ≤ M ( log g n + 1) với n ( ) ⇒ ( ϕ ( n) ) = ϕ (n m ) ≤ M log g n m + = m.M log g n + M nên theo m Bổ đề Nếu α, β, γ số thực dương γ k ≤ α k + β , ∀k = 1, 2, γ ≤ Khi α = M log g n; m = k ; β = M suy ϕ (n) ≤ ■ Bài Cho ϕ chuẩn trường K Chứng minh rằng: ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ ⇔ ϕ (2) ≤ Bài giải: 1) Nếu ϕ (n) ≤ 1, ∀n ∈ ¥ với n= ta ϕ (2) ≤ 2) Nếu ϕ (2) ≤ ta chứng minh ϕ (n) ≤ với n Xét n=0, ϕ (n) ≤ Xét n = , viết n hệ phân (nhị phân) tức n = ak 2k + ak −1 2k −1 + L + a1.2 + a0 với ak ∈ { 0,1} , ak ≠ 0, ( k = 1, n ) ⇒ n ≥ ak 2k k k −1 k k −1 Ta có: ϕ (n) = ϕ ( ak + ak −1 + L + a1 + a0 ) ≤ ϕ ( ak ) + ϕ ( ak −1 ) + L + ϕ ( a1 ) + ϕ ( a0 ) ( ) ( ) ( ) = ϕ ( ak ) ϕ 2k + ϕ ( ak −1 ) ϕ 2k −1 + L + ϕ ( a1 ) ϕ ( ) + ϕ a0 10 Ta có = ϕ ( 1) = ϕ ( x0 − ( − x ) ) ≤ max { ϕ ( x0 ) ,ϕ ( x0 − 1) } < ,vô lý • Giả sử (*) xảy ra, ta cần chứng minh: ϕ ( a + b ) ≤ max { ϕ ( a ) ,ϕ ( b ) } , ∀a, b ∈ K (**) Giả sử ngược lại bất đẳng thức (**) không xảy nghĩa ∃a, b ∈ K Sao cho ϕ ( a + b ) > max { ϕ ( a ) ,ϕ ( b ) } ϕ ( a + b ) > ϕ ( a ) ≥ ⇒ ϕ ( a + b ) > ϕ ( b ) ≥ Đặt x0 = a ∈ K (chú ý a + b ≠ ) a +b ϕ ( a)  a  ⇒ ϕ ( x0 ) = ϕ  ) Ta có: ψ(p) > (theo nhận xét trên) ϕ(p) δ Ta đặt ϕ (a ) = ϕ ( p ) ψ(a)= ψ(p)δ′ Ta chứng minh δ = δ′ Giả sử n k số nguyên cho ϕ ( p) n k n < δ , k > Khi đó, ta có: k < ϕ ( p )δ = ϕ ( a ) ⇒ ϕ ( p) n < ϕ (a) k ⇒ ϕ ( p n ) < ϕ (a k ) ⇒ ψ ( p n ) < ψ (a k ) ⇒ ψ ( p) n < ψ (a) k n ⇒ ψ ( p ) k < ψ ( a ) = ψ ( p )δ ′ ⇒ n