Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Bi toỏn vt lý Ta ó bit bi toỏn cht im chuyn ng thng cú phng trỡnh s=f(t) vi f(t) l hm s cú o hm Khi ú tc ti thi im t l v(t)=f(t) Trong thc t cú ta gp bi toỏn ngc l bit tc v(t) tỡm phng trỡnh chuyn ng s=f(t) T ú ta cú bi toỏn : Cho hm s f(x) xỏc nh trờn khong (a;b), tỡm hm s F(x) cho trờn khong ú: F(x)=f(x) &1 NGUYấN HM I Nguyờn hm v tớnh cht : II Nguyờn hm : a nh ngha: Hm s y = f(x) xỏc nh trờn K Hm s F(x) gi l nguyờn hm ca f(x) trờn K nu F(x) = f(x) vi mi x thuc K Hm s f(x) = 2x cú nguyờn hm l nhng hm s no a F(x) = x2 b F(x) = x2 + c F(x) = x2 - d Tt c cỏc hm s trờn Hóy chn phng ỏn ỳng Nhn xột Mi hm s dng F(x)=x2+C (C l hng s tựy ý) u l nguyờn hm ca hm s f(x)=2x Trờn R Mi hm s G(x)=tgx+C (C l hng s tỳy ý) u l nguyờn hm ca hm s cỏc khong xác định g( x ) = cos x Tng quỏt ta cú nh lý b.nh lý: Nu F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x) trờn khong K thỡ: *Vi mi hng s C, F(x) +C cng l mt nguyờn hm ca hm s f(x) trờn khong ú *Ngc li, mi nguyờn hm ca hm s f(x) trờn khong (a;b) u cú th vit di dng F(x)+C vi C l mt hng s F(x) + C (C thuộc R) gọi họ nguyên hàm f(x) kớ hiu : f ( x).dx = F ( x) + C 2.Tớnh cht ca nguyờn hm Tớnh cht : Tớnh cht : kf ( x ) dx = k f ( x ) + C ( k 0) Tớnh cht : f ( x)dx = f ( x) + C / [ f ( x ) g ( x )] dx = f ( x ) dx g ( x ) dx 3.S tn ti nguyờn hm nh lý : Mi hm s f(x) liờn tc trờn K u cú nguyờn hm trờn K Nguyờn hm ca mt s hm s thng gp x dx = C a x +C 5. a dx = ln a 2. dx = X + C 6. cos x.dx = Sinx + C +1 3. x dx = x + C sin x.dx = - Cosx + C +1 4. 1 dx = Tanx + C dx =ln x + C 8. cos x x 5. e dx = e + C x x 9. dx =- cotx + C sin x VD:Tớnh nguyờn hm 1. (3 x + )dx = x dx + x dx x = x + 2x + C 2, (2sin x )dx = sin xdx dx x +1 x x = cos x +C ln 3, 2sin x.cos xdx = 2( sin xdx + sin xdx) = cos x cos x + C Qua bi hc ta ó bit - nh ngha nguyờn hm t ú bit cỏch chng minh hm s l nguyờn hm ca hm s cho trc - Tỡm h cỏc nguyờn hm bng cỏch tỡm nguyờn hm ri cng thờm hng s C VD Chng minh Rng : tan x x + C tan x dx = Ta cú : tan x dx = (1 + tan x 1) dx = ( 1)dx = tan x x + C cos x Hm s F( x ) = cos x ữl nguyờn hm ca hm s no sau õy? a b f1 ( x ) = sin x ữ f2 ( x ) = sin x ữ c d f3 ( x ) = sin x ữ f4 ( x ) = sin x ữ Xỏc nh a hm s ax + F( x) = x f ( x) = a s mt nguyờn hm ca hm R \ { 1} ữ Ta cú trờn ( x 1) l a / F ( x) = = 2 ( x 1) ( x 1) Suy : - a = Vy a = - Cho f ( x ) = x +1 2x + v F ( x ) = ( ax + b ) x + Xỏc nh a, b F(x) l mt nguyờn hm ca f(x) trờn ; + GII: ữ F ( x) = a x + + (ax + b) x + a(2 x + 1) + ax + b 3ax + a + b = = 2x +1 2x +1 a= / Suy : 3a = a + b = b = Xỏc nh a, b, c cho hm s F(x)=(ax2+bx+c)e-x l mt nguyờn hm ca hm s f(x)=(2x2-5x+2)e-x trờn R Hm s F ( x ) = x l mt nguyờn hm ca hm s no sau õy? a f1 ( x ) = x b f2 ( x ) = 2x x c d f3 ( x ) = f4 ( x ) = 4x x 4x x Bi Tỡm F(x) bit F ( x ) = xdx v F(1)=3 Hng dn: F(x)=x2+C M F(1)=3 1+C=3C=2 Vy F(x)=x2+2 II.PHNG PHP TNH NGUYấN HM 1.Phng phỏp i bin s: a nh lý : nu v u = u(x) l hm s cú o hm liờn tc thỡ : b.Phng phỏp: B1: t u = u(x) B2: tớnh du = u(x)dx B3: tớnh f (u )dx = F (u ) + C f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C / f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C / VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau (2 x + 1) dx B1: t u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2 x + 1) dx = u 1 6 = u du = u + C = (2 x + 1) + C 12 12 5 VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau x B1: t B2: B3: x + 5.dx u = x +5 du = 3x dx du x dx = du x x + dx = u 3 3 2 2 = u du = u + C = ( x + 5) + C 9 Cỏch VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau x B1: t B2: B3: x + 5.dx u = x +5 u = x +5 2u.du 2u.du = x dx x dx = 2 2u.du x x + 5.dx = u 3 2 3 = u du = u + C = ( x + 5) + C 9 VD: tớnh cỏc nguyờn hm sau sin x cos x dx B1: t B2: u = sin x du = cos x.dx B3: sin x.(1 sin x) cos x.dx = u (1 u ).du = (u u )du u u sin x sin x = +C = +C 5 [...]... các nguyên hàm sau 1 (2 x + 1) dx ∫ 5 B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2 x + 1) dx = u ∫ ∫ 2 1 1 6 1 6 5 = ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C 12 2 12 5 5 VD: tính các nguyên hàm sau 2 x ∫ B1: đặt B2: B3: x + 5.dx 2 3 u = x +5 3 du = 3x dx 2 du ⇒ x dx = 3 2 du x x + 5 dx = u ∫ ∫ 3 3 1 3 2 3 2 2 2 2 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) 2 + C 9 9 9 2 3 Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau 2 x ∫ B1: đặt B2: B3:... đặt B2: B3: x + 5.dx 2 3 u = x +5 3 ⇒u = x +5 2 3 2u.du 2u.du = 3 x dx ⇒ x dx = 3 2 2 2u.du ∫ x x + 5.dx = ∫ u 3 3 2 2 3 2 3 2 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) 2 + C 3 9 9 2 3 VD: tính các nguyên hàm sau sin x cos x dx ∫ 2 3 B1: đặt B2: 3 u = sin x du = cos x.dx B3: ∫ sin 2 x.(1 − sin x) cos x.dx 2 = ∫ u (1 − u ).du = ∫ (u − u )du 2 3 2 5 2 4 u u sin x sin x = − +C = − +C 3 5 3 5 3 5 ... ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x 1 π   Hàm số F( x ) = cos  − 2 x ÷là nguyên 2 3  hàm của hàm số nào sau đây? a b π  f1 ( x ) = sin  2 x − ÷ 3  1 π  f2 ( x ) = − sin  − 2 x ÷ 2 3  c d 1 π  f3 ( x ) = sin  − 2 x ÷ 2 3  π  f4 ( x ) = sin  − 2 x ÷ 3  2 Xác định a để hàm số ax + 1 F( x) = x −1 f ( x) =  a số 1  một nguyên hàm của hàm R \ { 1}  ÷ Ta có trên 1 ( x − 1) là 2... một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? a f1 ( x ) = x b f2 ( x ) = 1 2x x c d f3 ( x ) = − f4 ( x ) = 1 4x x 1 4x x Bài tập Tìm F(x) biết F ( x ) = ∫ 2 xdx và F(1) =3 Hướng dẫn: F(x)=x2+C Mà F(1) =3 ⇒ 1+C =3 C=2 Vậy F(x)=x2+2 II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số: a Định lý 1 : nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : b.Phương pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3:... 3 Cho f ( x ) = x +1 2x + 1 và F ( x ) = ( ax + b ) 2 x + 1 Xác định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên  − 1 ; +∞    2 GIẢI: ÷  1 F ( x) = a 2 x + 1 + (ax + b) 2 x + 1 a(2 x + 1) + ax + b 3ax + a + b = = 1  2x +1 2x +1 a= / Suy ra : 3a = 1  a + b = 1  3 ⇒ b = 2  3 4 Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R 1 Hàm