ScanGate document LOOGARIT NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG I ĐỀ BÀI TỪ NĂM 1970 ĐẾN 1993 ĐỀ THI NĂM 1994 ĐỀ THI NĂM 1995 ĐỀ THI NĂM 1996 ĐỀ THI NĂM 1997 ĐỀ THI NĂM 1998 ĐỀ THI NĂM 1999 ĐỀ THI NĂM 2000[.]
Trang 1bE THINAM 1996
Bai 104
Tìm nghiệm củo phương trình:
sin'x + cos"x = cos2x
thod man bốt phương trình: 3 I+log;(2+x~-x”)>0 “ Dai hoc Bach khoa Hà Nội (1996) GIẢI
Giải phương trình: sinx + cos'x = cos2x a)
Trang 3(Œx-Ð(x+t+l)=0 (2) Vì t>O và x>0nên x+t+ 1 > 1, từ (2) ta có: X-t=0;x=t Khiđó: x +t=a+x hay x’-x-a=0 A=l+4a>0 Phương trình có hai nghiệm: |x=1 2Ï - (a>0) va x= vite 0 (loai) Vậy phương trình có nghiệm số duy nhất: ve nh Sa với 0<a# 1 Bai 106
log, x+ log, y + log, z=2 GiGi hé phuong trinh: 4 log; y + logg z + logg x =2
log, z+ logig x + logyg y=2
Dai hoc Giao théng (1996)
GIẢI
logs x + logy y + logy z=2 log; y + logy z+ logy x=2 logs 2 + logis x + logyg y=2
Điều kiện: x, y,Z>0
Tacó: logax= log , x= 2log,x = log,x’
4
logyy = log ¡ y= 2logay = log,y” 92
Tương tự:
Trang 4log,z= log, 2= 2log,z = logygz”
162
Do đó hệ phương trình đã cho trở thành: logy x? +logyy+logy z=logy4°
logo y? + logo Z + logo x = logo 9° 2 2 logig 2” + logyg x + logyg y = logy, 167 x?yz=4? a © Jy?zx=9ˆ 2) © xty4z4 =(4.9.16) 7 xy =167 (3) (4) 2 Từ (1) và (4) suy ra: —*“ ~ xyz Ầ 2: Tir (2) va (4) suy ra: 2 ° xyz L3 3 Từ (3) và (4) suy ra: “—`Ÿ xyz « Bai 107
Chúng minh rằng, với mọi số tụ nhiên a, b, c ta cé:
a+b+c abe apbic 1d
Anh <a*b°c° Dếu '=' xỏy rd khi nào?
Học viện Kỹ thuột Quên sự (1996)
GIẢI
a+b+c ˆ
Giả sử: Gai <a*bĐe€ qa)
Do a, b, c € N’, logarit hai vé với cơ số e, ta có:
Trang 6log, , (3 - | — x|) = log,,yvVx+3 ° 3-|l—x|=x+3 ° xX ~ 3x + 7-61 —x/=0 (2) Xét hai trường hợp # Với ~2 < x < l từ (2) ta suy ra: x+3x+1=0 _-3+5 ° “72 ~3-V5 2 * Với 1<x<4từ (2) ta có: x?~9x+13=0 9+20 2 = x= 9- (20 2 (loại) >4 (loại) - Š an ig Di dials hay x=” v2 Vậy, phương trình có nghiệm: x = Bai 109 Gidi phuong trinh: 2
dog, 36 - log, 4+ log, 81= logy 3* ~4*-15
Trang 8Bồi †11 Tìm y để bốt phương trình sou đôêy có nghiệm đúng với moi x: (2-He, 2}! ~a{1 +100) * y ao} {110 35 }>0
2 y+l 2y+l zy+l
Trang 9
Bai 112
Giải phương trình:
xlog jp 16loga xP ex? 415
Trang 11=nl3 + xinx| + C Vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: fins + xInx|+C l Bai 115 Gidi b&t phuong trình; 3 “lous Yk -2 logy Vx >1 GIẢI 3 Flees Vx ~2hogy Vx >I (1) Điều kiện: x>0 3 1 4
Từ (1) ta suy ra: Gloga x? -2log,2 x7 >I
Trang 12x<I-vI-m Điều kiện: {#-x+m>o © 4hoặậc x>l+v1-m véi msl Từ (1) ta suy ra: lop, (2 ~2x-+m)> log 8 3 2 x'~2x+m<®8 x'~2x+m-8<0 (2) A=l-(m-8)=9-m>0 => ms9 Với m >9 thì (2) vô nghiệm suy ra (1) vô nghiệm Với m<9 thì (2) có các nghiệm: 1-J9-m <x<14+/9-m (3)
Trang 13log,
Vi x>O nén x £0
Chia hai vé cla (1) cho x'đ2 ta duoc:
T-logy Đ , topy J+lopy 5
XP ORDD yg BRI ED? | 3 ° vi08227l025 2 es " 2 3 logy logy Ầ x Sax Set (2) 4 b log, 4 Biết a'°ÉcP ~p'Èe? nên từ (2) ta có: 292% (292A Gi) (3) “| #)
Vế trái của (3) là hàm nghịch biến, vế phải là hằng số ta suy r: (1) chỉ có một nghiệm số duy nhất log,x = 1 hay x =2
Giả sử x2 ta có hai trường hợp / - - /2\|982x /3\92% 3 * Với O<x<2thi: |= S 5 va |= 5 <= 5 2398X /4\98X 23g nên = += <=+—=l 5 5 3 5
* VGi x >2, tương tự ta suy ra (2) vô nghiệm Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x =2
Bòi 118
Cho ham sé: y= -x” + 3x — Ì
1 Khao sốt sự biến thiên vò vẽ đồ thị hàm số
Trang 15Néu log, m>l <> O<m< : phương trình có một nghiệm 3 : m < 0 phương trình không xác đỉnh Bai 119 Tinh dao hòm cốp n cla ham $6: y = In(2x + 1) Dai hoc Giao théng (1996) GIẢI Đạo hàm bậc nhấ ao ham bậc nhất "= — l3 dã emt 2x+1 2x+1 we 22 y, = (x +1)" 20x41) 232 2 22 y”= Ox+ÐD =cp*1 P (đạo hàm cấp n của y) ql) Với n= I,2, 3 thì (1) hiển nhiên đúng Giả sử (1) đúng Vn < k nghĩa là: ys CÐĐ*!2*@&-ÐI Qx+n*
Dao ham bac k + 1:
y#*Ð =(~1)F12*&- DICk).2(2x + I8
= (-1)"'(-1).28* (ck = Dt (2x + 1"
= (12 a -piax+n*
Trang 16at ĐỀ2 27th (2x +ụtt Ở (1) nếu ta thay n = k + 1 ta cũng có: ye CŨ 2F &+1= DI pki (ox +1)" ax +k"! Vậy đẳng thức (1) đúng Vn e N* (2) Bai 120 Tìm những gió trị của œ > 1 để bết phương trình: Ig(2x +a —1) Ig(a? +a)-lgx
nghiệm đúng với mọi x thoẻ mỡn điều kiện 0<x<2
Dai hoc Thuong mai <1 178 GIẢI Gets) 21 () lg(a“ +a)— lgx l-a 2x+a-1>0 -= Điều kiện: 4x>0 © 4x>0 Oo), av +a#x x>0
Iga? +a)—Igx #0 a?+a#x
Trang 20Tir bat phuong trình (1) ta suy ra:
log V2x? -2x-1 <log 2 p¥xo-x +1 (2) x —xr xo xd] Cơsố x°-x+l> 2 nên hàm số logarit đồng biến, từ (2) la c6: 2x? - 2x-1<x-x+] © x -x-2<0 ° -1<x<2
Kết hợp với điều kiện x< 4 =a hoặc x> 1+V3 ta có các
Trang 21tog |x| + log>|y|=4 log,-1 |ị- log „~¡ ly|=2 loga |x| + loga|y|= 4 Q) ( logs |x| + logz|y|=2 @) Cộng (2) và (3) từng vế ta có: 2logaly| = 6 <> logsly| = 3
suyra: |y|=2°=8 <> y=+8
Trang 23Điều kiện: { O<x#l Dat Ip’x=t > 120 Do đó (1) trở thành y=t+ t+2 >0vớit>0 Đạohàm y'=l~ 5 (+2)ˆ
Vì y“ >0, hàm số y luôn đồng biến, do đó giá trị nhỏ nhất
của ylà: y„„=y(O)= s khí t=0 lgx=0 © x=l Giá trị nhỏ nhất của y là 1 Chú ý: Nếu vận dụng bất đẳng thức Côsi ở (1) ta có: lgˆx+2 cm) y>2 |ldqg°x+2)— -2=2~2=0 Ig" x+2
Vậy y có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi Ig?x + 2 = 1 hay Ig”x= —1
Trang 26Điều kiện logx>O <> x>I
Từ (1) ta suy ra: log,3 + log,x -3 flog, x +1=0
log,x -3 flog, x +2=0 (2)
t
Đặt NI x =ttacé: P-314+2=0 © \
* V6i t=1 thì flog, x =1 suyra |x=3 * V6i t=2 thi ylogyx =2 suyra [x
Trang 28Vậy nghiệm của bất phương trình 1a: ]0 <x <— ĐỀ THỊ NĂM 1997 Bởi 132
Với những gid tri nao của m thì bốt phương trình sau đêy
được nghiệm đúng với mọi gió trị của x: log,(7x’ + 7) 2 log,(mx’ + 4x +m) Dai hoc An ninh (1997) GIẢI log,(7x? + 7) > log;(mxỶ + 4x + m) @) Điều kiện: mx?+4x+m>0 (2) Từ (1)tasuyra: = mx? + 4x +m<7x°+7 (3)
Để bất phương trình (1) đúng với mọi x thì (2) và (3) cũng phải nghiệm đúng với Vx Để (2) đúng với mọi x ta cần có: m>0 > = { m>2 A'=4-m“ <0 Từ (3)tacó: (m- 7)x+4x+m-7<0 (với Vx) m-7<0 nên cần có điều kiện: 3 rc ms5 A'=4-(m~7)” <0 Do đó, để bất phương trình (1) đúng với mọi x thì m phải thoả mãn điều kiện: 2<mss
Chứ ý: Tam thức bậc hai ax” + bx + c, khi A < 0 thì tam
thức luôn đồng dấu với a
Trang 29
Bởi 133 Tìm miền xức định của hờm số: y=, flog (_! tL ol 1+x Đợi học An ninh Cỏnh sat (1997) GIẢI = loạ:| ĐÁ y 8a l-x l+x 1-x#0 Điều kiện: {1+x #0 1 1 —-—21 1 l-x [4X ® "Từ (1) ta có: NT 3 1x 2 e I-K” =*_-1>0 ?+2x-—1 2 xen 20 1-x? Bang xét dau: x -I-2 _ -l -l+/2 1 x+2x-l | + 0 - - 0 + + 1-x - 0 - O + 0 + 0- x? 42x -1 - 0 +o - O + A= 1-x?
Bảng xét dấu cho biết miễn xác định của y là:
D=Ei-Z, -1) hoặc Li+vz, )
Trang 31[logz(x+1)<0 0<x+l<l = © -l<x<0 Heac | ` x” -3x-4<0 x7 -3x-4.<0 Vy các nghiệm số của bất phương trình: [x>4] và [_1<x<0) Bởi 135 —- Cho
Tìn giớ trị của m để hèm số xóc dinh véi moi gid tri cua x
Trang 32min (f(x) = x — 2x + 3m-1)>0 «S5 minf(x)=-2+3m>0 2 > m>— 3 Bai 136 log, (3x +2y) =2
Giỏi hệ phương trình BẾP p ma +3y)=2 :
Trang 33Suyra y=5 * V6i x+y-1=0 hayy=1-x Thế y = I - x vào (3) ta được: xÌ—x—2=0 =1 (loại) °
Trang 34f(x) = TT bSreÐ (x)= x?— 6x +5 t(x)>0 Vx (1,4) x = 1 5 +20 f(x) + 0 - 0 + 34 f ⁄Z 3 ଠ⁄Z ng 2 — = 3
Trang 35*<an4244-n) Cao đẳng Sư phgm Hà Nội (1997) GIẢI v= esa -x+2 +43) (1) te ye x” -3x+2>0 Điều kiện: lva „—3x+2+4-x>1 t hoặc x>2 yx" -3x+22x-3 (2)
* V6i x<1 va 2<x <3 thi vé phai cua (2) <0, vé tdi > 0
nên (2) luôn thoả mãn
* Với x > 3 bình phương hai vế của (2) ta được: x°-3x+2>x°—6x+9 3x 27 xa? 3 Kết hợp với x > 3, ta có nghiệm x > 3 Vậy miền xác định của hàm số y là:
(x<1)U(2<x¢3)U(x>3) hay (x <1) U(x>2)
Trang 39phương trình là <= 2x-8x-l020 hay xÌ-4x-5 >0 @<I c> - x25
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: |=26 <x<~1
# Với a> 1, từ (2) ta suy ra:
x -4x-5<0
Phuong trinh nay cé nghiém x: -1 <x <5
Kết hợp với điều kiện x < 4 ta suy ra nghiệm của bất -l<x<4 Bai 143 Biết rằng x = 1 lò một nghiệm của bết phương trình: log„(2x? + x + 3) < logm(3x2 - x)
Hỏy giỏi bốt phương trình trên
Trang 40Bai 144 Giỏi hệ phương trình: [ened a resets 202 logi+x(+2y)+ loại y +2x)= 2 Dai hoc Quéc gia TP HCM (1997, Kinh té) GIẢI 2 2 log I-2y+y“)+l 1+2x+x”)=4
Hệ phương trinh:] "8x — 2Ý #Ÿ )‡ l6Ei-y( #2 +x”)
logi+y(1 + 2y) + logi_y(1 + 2x) =2 1 0zx>-— 2 0<l+xzl ; 0<1-y#zl * Điều kiện: <= 4y#0 1+2x>0 ; I+2y>0 1 _=<y<l
Hệ phương trình có thể biến đổi thành:
logi,„(1= y)” +logi_y(L+x)” =4
Trang 41© 5x'+2x=0 (3) x=0 (loai vi x #0) Phương trình (3) có các nghiệm: 5 x=-= Š Vậy hệ có nghiệm duy nhất: Bởi 145 Giỏi và biện luận bốt phương trình sau theo thơm số a:: x Ba (aX) >(ax)* Đợi học Quốc gia Hà Nội (1997, A) GIẢI xÌ9a(99 >(ay)4 (1) 0<a# Điều kiện: { ““Â i ° 0e) ° ax >0 x>0
Logarit hai vế của (1) với cơ số a, ta được:
Trang 43x 2t 3 6 sin” — fas = >2f 3-x RS x+2 2 at " 6 1 1—cost “in ng nh TtX+2 2 0 1 T =~—.——(t-sinU) 4® X+2 0 = nh
mattis Ion xua - sin œ) (0— 0—sin0 sin0”) xua (2) 2
Giải (2) ta được các nghiệm: |x <-2] và ;< <3 Bồi 147 Giỏi phương trình: logs đhị-4 logalx| -5=0 Cao đng Sư phạm Hò Nội GIẢI logs vhị-4 loga|x|=S=0 qd) log¿|x|>0 ||>1 x#0 x#0 Điều kiện: | Ầ | ° { |x} 21
Biết logls|= log ; |x|= I0:
và log, v= logs |2 =+tog, lx|
Do đó (1) trở thành:
Trang 45Cơ số z< 1 nén ham s6 logarit nghich bién Tir (1) ta c6: V5-x >3-x o 5-x>(3-xy ô x~5x+4<0 câ 1<xx<3 (2) b./T (2) ta suy ra: 1+1<x+1<3+} 3 3 Đểx+ ; là số nguyên thì chỉ có hai trường hợp: x# 25 * 1 “Ca II x+ 3 > x Wl le " tw | 20 Các số x thoả mãn hai điều kiện a và b là ; va : Bởi 149
Tìm miền xóc định của hàm số: y=.Íloga(3x + 4)
Trang 47GIẢI log, (n> ~ 18x +16) >2 (1) a Jocxe : oo \o<xV341 ng Điều kiện: / ` oe yg S ~ 18x +16 >0 P <~ hoặc x>2 ie Từ (1) ta có: 8 2
log, ROX” = t8 +16)>loy, c§/3Ƒ (2)
* Với O< x < = © 0< x43< I thì hàm số logarit
Trang 48Bai 152 Gidi phuong trinh: logs x +(x-I)log, x +2x-6=0 Dai hoc Thuy san (1995) GIẢI log3 x +(x~ 1)loga x +2 =6=0 () Điều kiện: x>0 Đặt log;x =t thì (1) là phương trình bậc hai đối với logx, ta CỐ: Ủ+(x—1)Ut+2x—6=0 (2) A=(x- 1) ~ 4(2x - 6) =x?- 10x +25 =(x- 5) Phuong trình (2) có các nghiệm: _ L-k- G9): tạ= 2 3-x * Với t=-2 tacó: log,x = -2 xả~1 4
* Với t,=3-x tacó: logx=3-x (3)
Vế trái của (3) là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch
biến, suy ra (3) có nghiệm số duy nhất x = 2
Trang 49Gidi bat phương tr inh: Bai_153 log,,64 + log » 16 x Đợi học 'Ý Hồ Nội (1997) GIẢI log,,64 +4 log ) 16 23 x (d) Bah 0<2x#1 KHẢ Điều kiện: © _ Ox #1 x#> 5 x#l Từ (1) ta suy ra: loga, 2 + lop 2" >3 an x ja,” 2>3 > Glogs, 2+ 2 logy 2> 3 2 © 6 +——>3 log, 2x log, x 2 ° “=5 (2)
logy 2+ logy x log, x
Trang 50Do đó: ~1 <log,x < a & texst và 0 <log,x <2 © lI<x<d Bai 154 Cho bốt phương trình: 2 2 logy x +log, x7 <0 (l) 2 4 x°+mx +m°+6m<0 (2) q./ Giỏi bốt phương trình (1) b./ Xác định cóc gié trị của m để mọi nghiệm củơ (1) cũng lò nghiệm của (2) Đợi học Y Thới Bình (1997) GIẢI a./ Bất phương trình: 2 2 log] x +log, x" <0 (1) 2 4 Điều kiện: x>0 Đưa về logariL cơ số 2, từ (1) ta có: log2_¡x+log ; x”<0 25-1 „-2 (-logz x)" ~ log, x <0 Dat log;x =t, ta có: -t<0 suyra 0<t<]l & 0<log;x< | © ll<x<2 b./Ta cần tìm : x°+mx +mỶ+6m<0 (2) Tìm m để mọi nghiệm của (2) chứa hết khoảng 1 < x< 2
x= I và x =2 đều là nghiệm của (2), nên:
Trang 52
© logd( + 1) = log;6 logget
©_ log¿(t+ 1) + logạt = log;6 logat
=> — log.(t + 1) = loggt (log,6 — 1) (3)
* Với 0<t< 1 thì vế trái của (3) lớn hơn 0, còn vế phải của (3) nhỏ hơn 0 nên (3) vô nghiệm
* Với t> I, từ (3) ta suy ra:
lops(t +1)
logøt
° log(t + 1) = log,3 (4)
Xét vé tdi cla (4) 1a ham s6 chat
Trang 53Từ (5) ta suy ra f() = log(t+ 1) 1a ham nghịch biến khi t >1
Do đó (4) có nghiệm duy nhất t=2 hay Yx = 2 <> x= 16 Thế x= I6 vào (2) ta được: sint +1 4n ———<l~t0$— cost © -l<14+1 © -1<2 — thod man (1) Vậy hệ phương trình có một nghiệm lax = 16 Bai 156
Cho bết phương trình: ] + log,(X” + 1) > log(mx? + 4x + m)
Tìm tốt cả cóc gió trị của thơm số m để bốt phương trình được nghiệm đúng với mọi x
Trang 54Tacó: f(x)= :Ƒ(Œ&)=0 khi x=+l eal of Bảng biến thiên x | -« =i 1 + (x) + 0 - 0 Faso f(x) _7 we ; 7 Bang trên cho biết giá trị nhỏ nhất của f{x) là 3 Xét hàm số: g(x)= =" 4] 4x74 Dao ham: g'(x) = 7X; 9'(x) =O khix = 41 k + iP Bảng biến thiên X —œ =I 1 +00 g@œ) + 0 - 0 + 2(x) 7 2 Ny Ị 7
Bảng trên cho biết giá trị lớn nhất của g(x) 1a2