Dãy số_chuyên Lý tự trọng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ NHÓM THỰC HIỆN: Bùi Tấn Phương Trần Mỹ Hoa Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh Trần Thị Thanh Huyền Lê Thanh Tú Nguyễn Anh Lộc Dương Minh Quân Bùi Tuấn Anh Tống Trung Thành Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh -1- Chuyên đề gồm phần: : Định nghĩa định lý dãy số Các dạng dãy số đặc biệt Một số phương pháp xây dựng dãy số Phương trình sai phân tuyến tính Dãy số vấn đề liên quan đến giới hạn -2- PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ I)Các định nghĩa dãy số: Dãy số: hàm số f : S → ¡ S= { 1; 2;3; ; n} dãy hữu hạn S= ¥ dãy vô hạn bắt đầu số S= ¥ * dãy vơ hạn bắt đầu số Với dãy f: S → ¡ n a f (n) Ký hiệu: ( un ) ; { un } ; với un= f(n) Trong đó: + u0 hay u1 được gọi số hạng đầu + un được gọi số hạng tổng quát +n được gọi số của số hạng Dãy sớ có thể được cho theo cách sau đây: 1)Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát: VD: Cho dãy số ( un ) với un = n + 10 2n − 2)Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi: u1 = 20 VD:  un = 2un + 95(n ≥ 2) 3)Cho dãy số bởi phương pháp liệt kê phần tử VD: dãy 0;1;2;3;4;5;…… II)Tính chất: 1)Dãy số tăng, dãy số giảm: Dãy số ( un ) được gọi dãy số tăng với n ta có: un < un +1 Dãy số ( un ) được gọi dãy số giảm với n ta có: un > un +1 Dãy số tăng hay dãy số giảm được coi dãy đơn điệu VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: un= n + ( Giải: ∀n ∈ ¢ + Ta có: un+1- un= (1- n ) với ∀n ∈ ¢ + 1 > ⇒ (un) dãy tăng n ) + 2n+1 2)Dãy số bị chặn: -3- * Dãy số ( un ) được gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: ∀n ∈ ¥ , un ≤ M Số M nhỏ được gọi cận của ( un ).Ký hiệu sup un * Dãy số ( un ) được gọi dãy số bị chặn tờn số m cho: ∀n ∈ ¥ , un ≥ m Số m lớn được gọi cận của ( un ).Ký hiệu inf un Dãy số ( un ) được gọi dãy số bị chặn nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức tồn số m số M cho ∀n ∈ ¥ * m ≤ un ≤ M VD: Xét tính bị chặn của dãy số sau: un= (-1)n + cos n, ∀n ∈ ¢ + Giải: un= (-1)n + cos n, ∀n ∈ ¢ +; -1 ≤ cos n ≤ ⇒ -2 ≤ (-1)n + cos n ≤ Ta có: Vậy (un) bị chặn Chú ý: Mọi dãy số ( un ) giảm bị chặn bởi u1 Mọi dãy số ( un ) tăng bị chặn bởi u1 3) Dãy dãy tuần hoàn: Dãy con: Cho dãy (un) ∀n ∈ ¢ + Lập dãy (V nk ) với số hạng: V n1 , V n2 ,… , V nk ,…… Trong đó dãy (nk) số tự nhiên tăng vô hạn Dãy (V nk ) được gọi dãy của (un) Nhận xét: (un) dãy của nó với nk=k VD: Cho dãy (un) xác định bởi: 0 ≤ u1 < với ∀n ∈ ¢ +  u = u ( u − 1) n n  n +1 CMR: dãy (u2n+1) dãy giảm dãy (u2n) dãy tăng Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy đpcm Dãy tuần hoàn: Dãy tuần hoàn cộng tính: Dãy (un) được gọi tuần hồn cộng tính ∃l ∈ ¢ + cho un+l = un ∀n ∈ ¢ + Số l được gọi chu kì sở của dãy (un) Đặc biệt: (un) tuần hoàn cộng tính, chu kì l=1 dãy -4- VD: Dãy số (un) xác định bởi u0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 với n = 1,2,3,…… tuần hoàn với chu kì 6: 1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,…… Dãy tuần hồn nhân tính: Dãy (un) được gọi tuần hồn nhân tính ∃l ∈ ¢ +, l>1 cho un.l = un ∃n ∈ ¢ + Số l được gọi chu kì sở của dãy (un) Bài tập: 1) Cho dãy (un) với un= n(n + 2) , n ∈ ¥ dãy (xn) xác định bởi xn= u1.u2.u3…un (n + 1) a) CMR dãy (un) tăng, (xn) giảm b) CMR xn= n+2 2(n + 1) 2) Dãy (un) xác định bởi: u1 = u2 = u3 = , ∀n ≥  un = un −1 + un −3 CMR: dãy (un) tăng ∀n ≥ 3) Xét tính bị chặn của dãy un: un= (1+ n ) ∀n ∈ ¢ + n 4) Dãy (un) xác định bởi: 0 < un <   + CM: dãy (un) tăng bị chặn u (1 − u ) > ∀ n ∈ ¢ n + n  5) Dãy (un) xác định bởi: u1 =  + un  un +1 = + u n  với ∀n ≥ CM: dãy (u2n+1) tng v dóy (u2n) gim 6) Cho k Ô \ ¢ CMR dãy (un) xác định bởi: u0 =  u1 = −1 u = ku − u ∀n ∈ ¥ * n n −1  n +1 -5- Khơng dãy tuần hồn -6- PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: Định nghĩa: Dãy được gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi Số không đổi được gọi công sai Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai Nhận xét: - Dãy ( xác định bởi: số thực) cấp số cộng Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: CSC có Chứng minh: … -7- Suy ra: Nhận xét: mà: (Thường dùng chứng minh CSC): Tổng của n số hạng đầu tiên: cấp số cộng đặt: Có Hay Chứng minh: Có Nhận xét: Ví dụ: Chứng minh theo thứ tự lập thành cấp số cộng tự lập thành cấp số cộng (giả sử Giải: -8- ) theo thứ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tức theo thứ tự lập thành cấp số cộng Cấp số nhân: Định nghĩa: Dãy được gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nó nhân với số không đổi Số không đổi được gọi công bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội Nhận xét: - - ( Dãy xác định bởi: số thực khác không) cấp số nhân Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: -9- CSN có Chứng minh: … Suy ra: Nhận xét: mà: Tởng của n số hạng đầu tiên: cấp số nhân đặt: Có Chứng minh: Có Tổng số hạng của CSN lùi vô hạn: CSN được gọi lùi vô hạn công bội Dãy CSN lùi vô hạn với công bội - 10 - thỏa ... định bởi: được gọi dãy Fibonacci Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê: 1.2 Các định lý: Định lý 1: Cho dãy dãy Fibonacci: Khi đó: - 13 - lập Định lý 2: (Công thức Binet) Cho dãy Fibonacci: Số hạng... hồn cộng tính: Dãy được gọi dãy tuần hồn cộng tính Số nhỏ được gọi chu kì sở của dãy Đặc biệt: tuần hồn cộng tính, chu kì - 21 - dãy cho Dãy tuần hồn nhân tính: Dãy được gọi dãy tuần hồn... TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ I)Các định nghĩa dãy số: Dãy số: hàm số f : S → ¡ S= { 1; 2;3; ; n} dãy hữu hạn S= ¥ dãy vơ hạn bắt đầu số S= ¥ * dãy vô hạn bắt đầu số Với dãy f: S → ¡ n a f