Đề thi chọn đội tuyển toán thi quốc gia

ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán, ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,

Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thông khiếu Đề thi chọn đội tuyển Toán Ngày thi thứ nhất: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài a) Chứng minh tồn số n chẵn, n > 2008 cho 2009.n – 49 số phương b) Chứng minh không tồn số nguyên m cho 2009.m – 147 số phương Bài Cho số nguyên dương n Có số chia hết cho 3, có n chữ số chữ số thuộc {3, 4, 5, 6} ? Bài Cho tam giác ABC có A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hình chiếu A lên d A' B A' C âm không đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB a) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM thuộc đường thẳng cố định b) Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyế đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Bài Cho f(x) = x2 + ax + b Biết phương trình f(f(x)) = có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 x1 + x2 = -1 Chứng minh b ≤ -1/4 Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thông khiếu Đề thi chọn đội tuyển Toán Ngày thi thứ hai: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài Giả sử P(x) = (x+1)p(x-3)q = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an, p, q số nguyên dương Chứng minh a1 = a2 3n số phương Bài a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức a2 + b2 + c2 8abc + ≥2 ab + bc + ca ( a + b)(b + c)(c + a ) c) Chứng minh tồn số thực dương a, b, c cho ab + bc + ca (a + b)(b + c )(c + a ) + AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB a) Chứng minh XY = AB/2 b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC) Bài Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi T n số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn Đề số Bài Giải hệ phương trình x + y + z = yz + 18 = xz − = xy + x y z Bài Cho số thực a dãy số thực {xn} xác định bởi: x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với n = 1, 2, 3, … Chứng minh dãy số {x n} có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô Bài Hai đường tròn có bán kính tỷ lệ 4:1 tiếp xúc với điểm M nằm hình chữ nhật ABCD cho đường tròn lớn tiếp xúc với cạnh AD, BC CD, đường tròn nhỏ tiếp xúc AB AD Tiếp tuyến chung M hai đường tròn cắt cạnh AD AB P Q Hãy tính tỷ số AP/PD AQ/QB Bài Cho a, b số nguyên dương cho a +1 b +1 + số nguyên Chứng b a minh (a, b) ≤ a + b Bài Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ a2 + b2 + c2 a b c Bài Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) đường thẳng d điểm chung với (O) Gọi H hình chiếu O lên d, gọi M điểm d (M không trùng với H) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) Gọi C, D hình chiếu H lên MA, MB Các đường thẳng CD, AB cắt OH I K Chứng minh I trung điểm HK Bài Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho ô trùng với vị trí ô bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Đề số Bài Giải hệ phương trình | y |=| x − |  (2 z − + y ) y = + y x + z − 4x =  Bài Cho dãy số {an} xác định công thức truy hồi a1 = 1/2, a n +1 = a n2 a n2 − a n + Chứng minh a1 + a2 + … + an < với số nguyên dương n Bài Các điểm A, B, C, D, E, F theo thứ tự nằm đường tròn k Tiếp tuyến đường tròn k điểm A D đường thẳng BF CE đồng quy điểm P Chứng minh đường thẳng AD, BC EF song song với nhau, đồng quy điểm Bài (a) Cho trước số nguyên dương n Chứng minh tồn số nguyên dương phân biệt x, y cho x + k chia hết cho y + k với k = 1, 2, …, n (b) Chứng minh với số nguyên dương x y ta có x + k chia hết cho y + k với số nguyên dương k x = y Bài Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn điều kiện P 2(x) = P(x2) – 2P(x) Bài Lục giác lồi ABCDEF có ABF tam giác vuông cân A, BCEF hình bình hành AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 Tính diện tích lục giác Bài Cho X = {1, 2, …, n} Tìm số tất cặp thứ tự (A, B) với A, B tập X cho A tập B B tập A Đề số Bài Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b + c ≥ minh a + b + c ≥ 1 + + Chứng a b c + a + b + c abc Bài Tìm tất hàm số f: R  R thoả mãn điều kiện: f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 với x, y thuộc R Bài Các đường chéo hình thang ABCD cắt điểm P Điểm Q nằm hai đáy BC AD chọn cho ∠AQD = ∠CQB Điểm P Q nằm khác phía cạnh CD Chứng minh ∠BQP = ∠DAQ Bài Tìm tất số nguyên dương n biểu diễn dạng n = [a, b] + [b, c] + [c, a] a, b, c số nguyên dương ([a, b] ký hiệu bội số chung nhỏ số nguyên dương a, b) Bài Tìm tất đa thức hai biến P(x, y) cho P(a,b).P(c,d) = P(ac+bd,ad+bc) với a, b, c, d thuộc R Bài Hãy xác định dạng tứ giác ABCD diện tích S, biết S tồn điểm O cho 2S = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 Bài Với số nguyên dương n > xét S = {1, 2, 3, …, n} Tô số S màu, u số màu đỏ v số màu xanh Hãy tìm số (x, y, z) thuộc S3 cho a) x, y, z tô màu; b) x + y + z chia hết cho n Bài đề Giải phương trình − x = 2x − + 2x − x Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa |x| ≤ Đặt x = cost, t ∈ [0, π] phương trình trở thành π t t sin   = cos(2t ) + sin( 2t ) ⇔ sin   = sin( 2t + ) 2 2  t/2 = 2t + π/4 + 2kπ ∧ t/2 = π - 2t - π/4 + 2kπ  t = -π/6 – 4kπ/3 ∧ t = 3π/10 + 4kπ/5 Do t thuộc [0, π] nên có giá trị t thoả mãn t = 3π/10 Vậy nghiệm phương trình x = cos(3π/10)  1 Bài đề Cho dãy {xn} xác định 1 +   n n + xn = e Chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Đáp số: 1/2 Hướng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức x – x2/2 < ln(1+x) < x – x2/2 + x3/3 dùng giới hạn kẹp Có thể chuyển sang hàm số dùng quy tắc L’Hopitale Bài đề Tìm tất đa thức f(x) với hệ số nguyên cho với n nguyên dương ta có f(n) ước 2n – Hướng dẫn Nếu f(x) đa thức không tồn n cho |f(n)| > Gọi p ước số nguyên tố f(n) Ta có p | f(n) | n-1 Mặt khác p | f(n+p) | n+p-1 Suy p | 2n+p-2n = 2n(2p-1) Do (2n-1, 2n) = nên từ suy p | p-1 Nhưng theo định lý Fermat p | 2p – Như từ suy p | Mâu thuẫn Vậy f(x) phải đa thức Đáp số f(x) ≡ 1, f(x) ≡ -1 Bài đề Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) cho a + 3b bình phương số nguyên Lời giải Giả sử 2m + 3n = a a số lẻ a = 2m + 3n ≡ (−1) m (mod 3) , a ≡ 0,1(mod 3) nên suy m phải số chẵn Tiếp theo, (−1)n ≡ 2m + 3n = a ≡ 1(mod 4) , nên n phải số lẻ, đặt n = 2k , k ≥ 2m = (a + 3k )( a − 3k ) , a + 3k = 2r , a − 3k = s ( r > s ≥ 0, r + s = m) Thì 2.3k = 2r − s ⇒ s = 1, vaäy 2r −1 + = 3k Vì r + = m suy r lẻ Nên:  r −1  r −1  k  2 − 1÷ 2 + 1÷ = Do hiệu hai nhân tử hai số không  ÷ ÷    r −1 chia hết 2 − = ⇒ r = nên k = Vậy cặp (m, n) = (4, 2) nghiệm phương trình Dễ thấy số thỏa mãn yêu cầu toán Bài đề Tại hội nghị có 100 đại biểu Trong số có 15 người Pháp, người quen với 70 đại biểu 85 người Đức, người quen với không 10 đại biểu Họ phân vào 21 phòng Chứng minh có phòng không chứa cặp quen Lời giải Mỗi người Pháp phải quen với 70 – 14 = 56 người Đức Suy số cặp (Pháp, Đức) quen 15 x 56 = 840 Gọi n số người Đức quen ≤ đại biểu người Pháp (gọi Đ1) ta có: 840 ≤ (85-n).10 + n.9 Suy n ≤ 10 Những người Đức lại (Đ 2) quen 10 đại biểu người Pháp, quen với người Đức Vì có 21 phòng có 15 người Pháp nên có phòng có toàn người Đức Vì có nhiều 10 người Đức quen nên theo nguyên lý Dirichlet, phòng có phòng có nhiều người Đức thuộc Đ1 Phòng phòng cần tìm Bài đề Cho < x0, x1, …, x669 < số thực đôi khác Chứng minh tồn cặp (xi, xj) cho < xi x j ( x j − xi ) < 2007 Hướng dẫn Sắp xếp số thực theo thứ tự tăng dần, sau áp dụng bất đẳng thức 3ab(b-a) < b3 – a3 với b > a Bài đề Cho dãy số {an} xác định a1 = 1, a2 = an+2 = 2an+1 – an + với n ≥ Chứng minh với m, amam+1 số hạng dãy số Lời giải Ta có an+2 = 2an+1 – an + Thay n n-1, ta an+1 = 2an – an-1 + Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – = có nghiệm bội x1,2,3 = nên ta có nghiệm tổng quát an có dạng an = an2 + bn + c Thay n = 1, 2, ta a+b+c=1 4a + 2b + c = 9a + 3b + c = Từ giải a = 1, b = -2, c = Vậy an = n2 – 2n + = (n-1)2+1 Do amam+1 = ((m-1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + = a_{m2-m+2} Bài đề Tìm tất hoán vị (a1, a2, …, an) (1, 2, …, n) cho 2(a1+… +ak) chia hết cho k+1 với k=1, 2, …, n Hướng dẫn Chứng minh quy nạp có hoán vị thoả mãn điều kiện (1, 2, 3…, n) (2, 1, 3, …, n) Bài Chứng minh đa thức P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 với n số nguyên dương lớn hay phân tích thành tích đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hay Hướng dẫn Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng sau Cho đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 ∈ Z[x] Giả sử tồn số nguyên tố p số nguyên dương k thoả mãn đồng thời điều kiện sau 1) an không chia hết cho p 2) a0 chia hết cho p không chia hết cho p2 3) a1, a2, …, an-k chia hết cho p Khi đó, P(x) = Q(x).S(x) với Q(x), S(x) đa thức với hệ số nguyên hai đa thức Q(x), S(x) có bậc nhỏ k Bài đề Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác Chứng minh ·AIO ≤ 900 AB + AC ≥ BC Kéo dài AI cắt đường tròn (O) D Ta có DB = DC , ra: B · B · · · DBI = DBC + = BAD + = DIB nên tam giác DBI cân D, nên DB = DI 2 Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác ABDC ta được: AD.BC = AB.DC + BD AC ⇔ AD.BC = BD( AB + AC ) ⇔ AD.BC = DI ( AB + AC ) AD Vậy ·AIO ≤ 90 ⇔ DI ≤ tương đương với AB + AC ≥ BC A O I C B D Bài đề Hình vuông chia thành 16 hình vuông nhau, thu tập hợp gồm 25 đỉnh Hỏi cần phải bỏ đỉnh tập hợp để đỉnh tập hợp lại đỉnh hình vuông với cạnh song song với cạnh hình vuông ban đầu? Hướng dẫn Chứng minh phản chứng  x( y + z ) = x +  Bài đề Giải hệ phương trình  y ( z + x) = y +   z ( x + y ) = z +  x( y + z − x) =  Ta có:  y ( z + x − y ) = , đặt  z( x + y − z) =  a+b a+c b+c a = − x + y + z; b = x − y + z; c = x + y − z ⇒ z = ,y = ,x = 2  15  15 a = a = − 5   a (b + c) = ab = 15  15    ∨ b = − Thay vào nhận được: b(c + a ) = ⇔ ac = ⇔ b = 3 ( a + b)c = bc =     c = 15 c = − 15     Từ ta có tập nghiệm là:  15 15 15   15 15 15  ( x, y , z ) =  , , ,− ,− ÷=  − ÷ 15 15     Bài đề Hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn điều kiện f (cot x) = sin x + cos x với x thuộc (0, π) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g :[−1,1] → ¡ , g ( x) = f ( x ) f (1 − x) Ta có f (cot x ) = f (t ) = t + 2t − t2 +1 cot x + cot x − cot x + , ∀t ∈ ¡ với x ∈ (0; π) , đặt t = cot x ta Khi g ( x) = f ( x ) f (1 − x ) = x (1 − x) + x (1 − x) − x (1 − x )2 − x(1 − x) + Xét [−1,1] , đặt 1  t + 8t − t = x(1 − x) ⇒ t ∈  −2,  , hàm số g ( x) thành h(t ) = Khảo sát hàm 4  t − 2t + 1  số t ∈  −2,  , ta được: 4  max h(t ) = − 34 h ( t ) =  1 −2,  25  −2,    4  g ( x) = − 34 g ( x) = Vậy max [ −1,1] −1,1 [ ] 25 Bài đề Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P2(x) – P(x2) = 2x4 Lời giải vắn tắt Đặt P(x) = anxn + R(x) với R(x) đa thức bậc r < n Khi P2(x) – P(x2) = (an2 – an)x2n + 2anxnR(x) + R2(x) – R(x2) Từ suy P2(x) – P(x2) có bậc 2n an ≠ có bậc n+r an = Từ suy ≤ n ≤ Hơn nữa, n = an = r = n = an = r = Từ đây, dùng phương pháp hệ số bất định, dễ dàng tìm nghiệm là: x 4+1, x3+x, 2x2 –x2 Ghi chú: Hãy mở rộng toán! Bài đề Cho tam giác cân ABC với AB = AC P điểm nằm hay nằm cạnh tam giác ABC Chứng minh PA + PB.PC ≤ AB2 Hướng dẫn Vẽ đường tròn (C) tâm A bán kính AB Nối BP cắt (C) C’ Khi BP.PC’ = AB2 – PA2 ta cần chứng minh PC ≤ PC’ xong Bài đề Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Lời giải Giả sử ta tìm n tập hợp thoả mãn yêu cầu đề Ta chứng minh phần tử a thuộc A thuộc không tập hợp số n tập hợp nói Thật vậy, giả sử có tập hợp chứa a {a, a 1, a2}, {a, a3, a4}, {a, a5, a6}, {a, a7, a8} khác a nên phải tồn i ≠ j cho = aj Không tính tổng quát giả sử i = Nếu j = {a, a 1, a2} có phần tử Mâu thuẫn Nếu j > 2, chẳng hạn j = {a, a 1, a2} ∩ {a, a3, a4} = {a, a1}, mâu thuẫn! Như phần tử thuộc không tập hợp Suy số lần xuất tất phần tử A tập chọn không x = 24 lần Vì tập có phần tử nên số tập không 24/3 = Suy n ≤ Ta chứng minh số lớn cách tập Điều làm dễ dàng thông qua bảng sau X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Bài đề Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện : x ≥ y ≥ z ≥  2 y + z ≥ 11x + 27 z ≥ 54  Tìm giá trị lớn P = 2008 2009 + + x2 y z Hướng dẫn Dùng công thức khai triển Abel Bài đề Cho dãy số thực {x n} xác định x0 = 1, x n +1 = + x n − + xn n i * với n ∈ N Ta xác định dãy {yn} công thức y n = ∑ xi , ∀n ∈ N Tìm i =1 công thức tổng quát dãy {yn} Lời giải Ta có x n +1 = + x n − + x n = ( + x n − 1) Từ tính x1 = Ta viết ( ) − , x =   2 ( ) n − 1 , , x n = 21 / −  x1 = + − 2 , x = + − 2.21 / x3 = + 21 / − 2.2.1 / x n = + 21 / n −1 − 2.21 / n Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22, đẳng thức thứ ba với 23 … đẳng thức thứ n với 2n cộng vế theo vế, ý đến giản ước, ta y n = + + + n + − n +1.21 / = n +1 (1 − 21 / ) + n n Bài đề Tìm tất số nguyên dương lẻ n cho tồn số nguyên lẻ x1, x2, …, xn thoả mãn điều kiện x12 + x22 + … + xn2 = n4 Lời giải tóm tắt Nếu x số nguyên lẻ x ≡ mod Từ đó, n số nguyên dương thoả mãn yêu cầu xét hai vế theo mô-đun 8, ta suy n đồng dư mô-đun 8, tức n = 8k + Với n = 8k+1, ta chọn x = n2 – 2, x2 = 2n – 1, 8k-1 số lại có 3k số 5k-1 số tổng bình phương xi (n2-2)2 + (2n-1)2 + 27k + 5k-1 = n4 Bài đề Tìm tất hàm số f: R  R thoả mãn điều kiện f(f(x) + y)) = f(f(x) – y) + 4f(x)y với x, y thuộc R Lời giải Thay y = f(x) ta f(2f(x)) = f(0) + 4f 2(x) Thay y 2f(y) – f(x) ta f(2f(x) – 2f(y)) = f(2f(y)) – 4f(x)(2f(y)-f(x)) = f(0) + 4f 2(y) + 4f(x)(2f(y)-f(x)) = f(0) + (2f(x)-2f(y))2 Nếu tồn x0 với f(x0) ≠ với x thuộc R ta có x = 2f(f(x0) + x/8f(x0)) – 2f(f(x0)-x/8f(x0)), nên f(x) = x2 + f(0) Bài đề Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB a) Chứng minh XY = AB/2 b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC) Hướng dẫn Dùng định lý Ptolemy Bài đề Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi T n số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn Hướng dẫn Có n tập tốt có phần tử Với tập tốt lại, ta bắt cặp chúng sau Các tập tốt phần tử {a, b} cho tương ứng với tập tốt phần tử {a, (a+b)/2, b)} Sẽ có tập tốt phần tử không “sinh ra” cách nêu trên, tức dạng {a, b, c} với b = (a+c)/2 Các tập lại cho tương ứng với tập tốt phần tử {a, b, c, (a+b+c)/3} … Bài đề Giải hệ phương trình x + y + z = yz + 18 = xz − = xy + x y z Bài đề Cho số thực a dãy số thực {xn} xác định bởi: x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với n = 1, 2, 3, … Chứng minh dãy số {x n} có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô Lời giải Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 cos x − sin x + sin x + cos x Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x − sin x |≤ , | sin x + cos x |≤ ta suy f ' ( x) = | f ' ( x) |≤ 3− = q < Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có f(x) – f(y) = f’(z)(x-y) Từ suy |f(x) – f(y)| ≤ q|x – y| với x, y thuộc R Áp dụng tính chất với m > n ≥ N, ta có |xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| ≤ q|xm-1-xn-1| ≤ …≤ qn-1|xm-n+1 – x1| ≤ qN-1|xm-n+1 – x1| Do dãy {xn} bị chặn q < nên với ε > tồn N đủ lớn để qN-1|xm-n+1 – x1| < ε Như dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy hội tụ Bài đề Vì a + b + a + b2 + a + b số nguyên, suy (a + b + a + b) + = b a ab chia hết cho ab (1) Đặt d = (a, b) , ab Md (2) a + b Md (2) Từ (1) (2) suy a + b + a + b Md (3) Từ (2) (3) suy a + b Md nên d ≤ a + b ⇒ d ≤ a + b (đpcm) Bài đề Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ a2 + b2 + c2 a b c Do + + ≥ 1 + + ab bc ca nên ta cần chứng minh: a b c 1 + + ≥ a + b + c ⇔ abc(a + b + c ) ≤ ab bc ca Đặt x = ab + bc + ca từ (ab + bc + ca ) ≥ 3abc(a + b + c) suy abc ≤ x2 Mặt khác: a + b + c = (a + b + c )2 − 2(ab + bc + ca ) = − x Do abc(a + b + c ) − ≤ x2 −( x − 3) (2 x + 3) (9 − x) − = ≤0 9 Bài đề Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho ô trùng với vị trí ô bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Lời giải vắn tắt Đánh số đường dọc từ trái sang phải từ 1-9, đánh số đường ngang từ xuống từ đến Một hình chữ nhật xác định cách hai cặp số (s, t), (u, v), s < t số đường dọc tương ứng với biên trái biên phải, u < v số đường ngang tương ứng với biên biên Từ số hình chữ nhật tạo ô 2 vuông đơn vị C C Bây giả sử ta bỏ ô (m, n) Ta đếm số hình chữ nhật số hình chữ nhật nói chứa ô Rõ ràng lúc u có n cách chọn v có 9-n cách chọn Tương tự, s có m cách chọn t có 9-m cách chọn Suy số hình chữ nhật chứa ô (m, n) n(9-n)m(9-m) Từ suy S (m, n) = C C − m(9 − m)n(9 − n) Đáp số: S(m,n)min = S(4, 4) = S(4, 5) = S(5, 4) = S(5, 5) S(m,n) max = S(1,1) = S(1, 8) = S(8, 1) = S(8,8) Bài đề a n +1 = Cho dãy số {an} xác định công thức truy hồi a = 1/2, n a a − an + n Chứng minh a1 + a2 + … + an < với số nguyên dương n Hướng dẫn Đặt bn = 1/an ta bn+1 = bn(bn-1) + Từ bn +1 − = 1 1 1 = − ⇒ = − bn (bn − 1) bn − bn bn bn − bn +1 − Suy n a1 + a + + a n = ∑ i =1 n  1   = − =∑  − xét S = {1, 2, 3, …, n} Tô số S màu, u số màu đỏ v số màu xanh Hãy tìm số (x, y, z) thuộc S3 cho a) x, y, z tô màu; b) x + y + z chia hết cho n Cách Gọi R tập số tô màu đỏ B tập số tô màu xanh Nếu x, y, chọn có cách chọn z = z x,y cho x + y + z chia hết cho n Suy có n (x, y, z) với x + y + z chia hết cho n Ta đếm (x, y, z) với x + y + z chia hết cho n số x, y, z xuất hai màu Nếu (x, y, z) hai màu có hai số màu đỏ, số màu xanh ngược lại Trong hai trường hợp, có cặp (x, y), (y, z) (z, x) thuộc tập hợp R x B Ta cho tương ứng cặp với (x, y, z) Ngược lại, với (x, y) thuộc R x B ký hiệu z = z x,y Vì x ≠ y nên (x, y, z), (y, z, x) (z, x, y) khác tương ứng với (x, y) Mặt khác, (x, y) cho tương ứng với ba ba ba nói Như cặp thuộc R x B cho tương ứng lần Từ suy số hai màu 3.u.v đáp số toán n2 – 3uv = (u+v) – 3uv = u2 – uv + v2 Cách Giả sử R = {a1, a2, …, au}, B = {b1, b2, …, bv} tương ứng tập hợp số tô màu đỏ màu xanh R ∪ B = S x a , Q( x ) = ∑ x b xét đa thức H(x) = P3(x) + Q3(x) Để ý Đặt P( x) = ∑ a∈R b∈B P ( x) = ∑x a +b + c ( a ,b , x )∈R , Q ( x) = ∑x a +b+c , ( a ,b , x )∈B Nên số (x, y, z) thuộc S cho x, y, z màu x + y + z chia hết cho n tổng hệ số xn, x2n, x3n H(x) Mặt khác, H(x) = P3(x) + Q3(x) = (P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x))(P(x) + Q(x)) = (P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x))(x + x2 + …+ xn) Giả sử G(x) = P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x) = a0 + a1x + … + amxm Chú ý với số tự nhiên k, tồn suy i thuộc (1, 2, …, n) cho k+i chia hết cho n Do tổng hệ số x n, x2n, x3n H(x) tổng hệ số G(x) G(1) = u2 – uv + v2 Vậy đáp số toán u2 – uv + v2 [...]... nói trên chứa ô này Rõ ràng lúc này u sẽ có n cách chọn và v sẽ có 9-n cách chọn Tương tự, s có m cách chọn và t có 9-m cách chọn Suy ra số hình chữ nhật chứa ô (m, n) là n(9-n)m(9-m) Từ đây suy ra S (m, n) = C 9 C 9 − m(9 − m)n(9 − n) Đáp số: S(m,n)min = S(4, 4) = S(4, 5) = S(5, 4) = S(5, 5) S(m,n) max = S(1,1) = S(1, 8) = S(8, 1) = S(8,8) 2 Bài 2 đề 6 a n +1 = 2 Cho dãy số {an} xác định bởi công thức... B ⊆ A}| = |{(A, B)| A = B}| = 2n k Để tính |{(A, B)| A ⊆ B}| ta lý luận như sau: Nếu |B| = k (k=0, 1, …, n) thì có C n cách chọn B Sau khi B được chọn, sẽ có 2k cách chọn A Từ đó n | {( A, B ) | A ⊆ B} |= ∑ C nk 2 k = 3 n k =0 Từ đó đáp số của bài toán là 4n – 2.3n + 2n Bài 1 đề 7 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b + c ≥ Chứng minh rằng a + b + c ≥ 1 a 1 b 1 c Ta có a + b + c ≥ + +... bài toán! Bài 6 đề 3 Cho tam giác cân ABC với AB = AC P là một điểm bất kỳ nằm trong hay nằm trên các cạnh của tam giác ABC Chứng minh rằng PA 2 + PB.PC ≤ AB2 Hướng dẫn Vẽ đường tròn (C) tâm A bán kính AB Nối BP cắt (C) tại C’ Khi đó BP.PC’ = AB2 – PA2 do đó ta chỉ cần chứng minh PC ≤ PC’ là xong Bài 7 đề 3 Cho A là một tập hợp gồm 8 phần tử Tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao... Từ đó suy ra nghiệm của bài toán là xn-1 cùng các đa thức đồng nhất hằng số P(x) ≡ 0 và P(x) ≡ - 1 Bài 6 đề 6 Lục giác lồi ABCDEF có ABF là tam giác vuông cân tại A, BCEF là hình bình hành AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 2 Tính diện tích lục giác Hướng dẫn Xét phép tịnh tiến biến B thành C, F thành E và A thành A’ Sau đó áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác A’CDE Bài 7 đề 6 Cho X = {1, 2, …, n} Tìm... r −1  r −1  k  2 2 − 1÷ 2 2 + 1÷ = 3 Do hiệu của hai nhân tử bằng 2 và cả hai số đều không  ÷ ÷    r −1 chia hết cho 3 nên 2 2 − 1 = 1 ⇒ r = 3 nên k = 1 Vậy cặp (m, n) = (4, 2) là nghiệm của phương trình Dễ thấy rằng các số này thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 7 đề 1 Tại một hội nghị có 100 đại biểu Trong số đó có 15 người Pháp, mỗi người quen với ít nhất 70 đại biểu và... cả các phần tử của A trong các tập con được chọn không quá 3 x 8 = 24 lần Vì mỗi một tập con có 3 phần tử nên số tập con không quá 24/3 = 8 Suy ra n ≤ 8 Ta chứng minh 8 là số lớn nhất bằng cách chỉ ra 8 tập con như vậy Điều này có thể làm được khá dễ dàng thông qua bảng sau 1 2 3 4 5 6 7 8 1 X X X 2 X 3 X 4 5 X X 6 7 X X X X X X X X X 8 X X X X X X X X Bài 1 đề 4 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều... n +1 (1 − 21 / 2 ) + 2 n n Bài 4 đề 4 Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n sao cho tồn tại các số nguyên lẻ x1, x2, …, xn thoả mãn điều kiện x12 + x22 + … + xn2 = n4 Lời giải tóm tắt Nếu x là số nguyên lẻ thì x 2 ≡ 1 mod 8 Từ đó, nếu n là số nguyên dương thoả mãn yêu cầu thì xét hai vế theo mô-đun 8, ta suy ra n đồng dư 1 mô-đun 8, tức là n = 8k + 1 Với n = 8k+1, ta chọn x 1 = n2 – 2, x2 = 2n – 1, còn... 2f(f(x0)-x/8f(x0)), nên f(x) = x2 + f(0) Bài 6 đề 4 Cho tam giác ABC có BC > AB > AC và cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét các điểm X thuộc BC và Y thuộc AC kéo dài về phía C sao cho BX = AY = AB a) Chứng minh rằng XY = AB/2 b) Gọi Z là điểm nằm trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa C sao cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC) Hướng dẫn Dùng định lý Ptolemy Bài 7 đề 4 Cho n là số nguyên dương lớn... bằng cách nêu trên, tức là không có dạng {a, b, c} với b = (a+c)/2 Các tập này lại được cho tương ứng với các tập tốt 4 phần tử {a, b, c, (a+b+c)/3} … Bài 1 đề 5 Giải hệ phương trình x 2 + y 2 + z 2 = yz + 8 2 18 = 2 xz − = 3 xy + x y z Bài 2 đề 5 Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi: x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng dãy số {x n} có giới hạn... vậy dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ Bài 4 đề 5 Vì a + 1 b + 1 a 2 + b2 + a + b là số nguyên, suy ra (a 2 + b 2 + a + b) + = b a ab chia hết cho ab (1) Đặt d = (a, b) , khi đó ab Md 2 (2) và a 2 + b 2 Md 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a 2 + b 2 + a + b Md 2 (3) Từ (2) và (3) suy ra a + b Md 2 nên d 2 ≤ a + b ⇒ d ≤ a + b (đpcm) Bài 5 đề 5 Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3 Chứng minh rằng 1 1