Nguyễn Danh Nghĩa – KSTN Điện Tử Truyền Thông K60 Ôn thi KSTN GSTT Group Đáp chi tiết đề thi thử lần Câu a) Phương trình cho tương đương: 3 4𝑥 √2 − 8𝑥 = 2𝑥 + √2 − 8𝑥 2𝑥 = 𝑢 Đặt { Khi đóta có: √2 − 8𝑥 = 𝑣 2𝑢𝑣 = 𝑢 + 𝑣 2𝑢𝑣 = 𝑢 + 𝑣 ⟺{ { 3 (𝑢 + 𝑣)((𝑢 + 𝑣)2 − 3𝑢𝑣) = 𝑢 +𝑣 =2 2𝑃 = 𝑆 𝑃=1 ⟺{ ⟺{ ⟺ { √2 − 8𝑥 = ⟺ 𝑥 = 2𝑃(4𝑃 − 3𝑃) = 𝑆=2 2𝑥 = 1 Vậy 𝑥 = nghiệm phương trình b) Ta có: Tập xác định: 𝐷 = (−∞; − ) ∪ (0; +∞) 𝑒 Tiệm cận đứng: +) lim𝑥→−1 𝑦 = +∞ Nên 𝑥 = − tiệm cận đứng đồ thị hàm số 𝑒 𝑒 +) lim𝑥→0 |𝑦| ≠ +∞ Nên 𝑥 = không tiệm cận đứng Tiệm cận ngang tiệm cận xiên: +) Ta có: 𝑦 1 lim = 𝑣à lim 𝑦 − 𝑥 = lim 𝑥(ln (𝑒 + ) − 1) = 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑒 +) Ta có: 𝑦 1 lim = 𝑣à lim 𝑦 − 𝑥 = lim 𝑥(ln (𝑒 + ) − 1) = 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥 𝑒 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là: 𝑦 = 𝑥 + 𝑒 Câu Chứng minh quy nạp ta có 𝑢𝑛 > 0, ∀𝑛 ≥ Ta có: 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛 = +1 𝑢𝑛 < Vậy suy 𝑢𝑛+1 < 𝑢𝑛 ⇒ dãy giảm Dãy 𝑢𝑛 giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử ∃ 𝑎 ≥ cho 𝑙𝑖𝑚𝑢𝑛 = 𝑎 Thay vào công thức truy hồi có 𝑎 = Câu ⃗⃗⃗⃗ + 𝑏𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = Khi điểm 𝐼 điểm cố định ( tâm tỉ cự) Gọi 𝐼 điểm cho 𝑎𝐼𝐴 Ta có: 2 ⃗⃗⃗⃗ ) + 𝑏(𝑀𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑘 𝑎𝑀𝐴2 + 𝑏𝑀𝐵2 = 𝑘 ⟺ 𝑎(𝑀𝐼 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑏𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑎𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ) + 𝑎𝐼𝐴2 + 𝑏𝐼𝐵2 = 𝑘 ⟺ (𝑎 + 𝑏)𝑀𝐼 + 2𝑀𝐼 ⟺ 𝐼𝑀2 = (𝑘 − (𝑎𝐼𝐴2 + 𝑏𝐼𝐵2 )) = 𝑚 𝑎+𝑏 Nếu 𝑚 < tập hợp điểm 𝑀 rỗng Nếu 𝑚 ≥ thi tập hợp điểm 𝑀 mặt cầu tâm 𝐼, bán kính √𝑚 Câu a) Ta có: sin4 𝑥 + cos 𝑥 = − sin2 𝑥 cos ≤ Mặt khác : 1 sin4 𝑥 + cos 𝑥 = − sin2 𝑥 cos = − sin2 2𝑥 ≥ 2 Vậy ≤ ≤ Vậy: 4 (sin 𝑥+cos 𝑥) 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 = ∫ 1𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑑𝑥 ≤ ∫ 2𝑑𝑥 = 2𝜋 4 0 sin 𝑥 + cos 𝑥 b) Xét hàm: 𝑔(𝑥) = 𝑥 2014 𝑒 𝑓(𝑥) − 𝑥 𝑔′ (𝑥) = 2014𝑥 2013 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝑥 2014 𝑓 ′ (𝑥) 𝑒 𝑓(𝑥) − Ta có 𝑔 liên tục [0; 1], khả vi (0; 1) có 𝑔(0) = 𝑔(1) = Theo định lý Rolle tồn 𝑐 ∈ (0; 1) cho: 𝑔′ (𝑐) = ⟺ 2014𝑐 2013 𝑒 𝑓(𝑐) + 𝑐 2014 𝑓 ′ (𝑐) 𝑒 𝑓(𝑐) = Hay là: 𝑐 𝑓(′𝑐) + 2014 = 2013 𝑓(𝑐) 𝑐 𝑒 Câu Đặt 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) Suy 𝑔(0) = Thay vào phương trình ban đầu ta có: 𝑥+𝑦 𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑦) 𝑔( , ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ )= 2 𝑥 𝑔(𝑥) Ở (2) thay 𝑦 = Ta có: 𝑔 ( ) = (2) Thay vào (2) ta có: 𝑔(𝑥 + 𝑦) = 𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Mặt khác 𝑓 liên tục nên 𝑔 liên tục Theo phương trình hàm Cauchy ta có ngay: 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Suy 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑏 = 𝑓(0) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình là: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 Câu Trên đường trịn lấy đường kính 𝐶𝐷 Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 𝐴𝑘 𝐶 + 𝐴𝑘 𝐷 ≥ 𝐶𝐷 = 2, ∀𝑘 , ≤ 𝑘 ≤ 1000 Cộng vế với vế 1000 bất đẳng thức ta có: (𝐴1 𝐶 + 𝐴2 𝐶 + ⋯ + 𝐴1000 𝐶) + (𝐴1 𝐷 + 𝐴2 𝐷 + ⋯ 𝐴1000 𝐷) ≥ 2000 Theo ngun lý Dirichlet ta có: (𝐴1 𝐶 + 𝐴2 𝐶 + ⋯ + 𝐴1000 𝐶) ≥ 1000 Hoặc (𝐴1 𝐷 + 𝐴2 𝐷 + ⋯ 𝐴1000 𝐷) ≥ 1000 Như điểm 𝑆 điểm 𝐶 ℎ𝑜ặ𝑐 𝐷 ... + 2