Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 ;x 2 của phơng trình bậc hai.. + Phương trình có hai nghiệm không âm khi D ³ 0;S³ 0; P³ 0 + Phương trình có hai nghiệm trái
Trang 1Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng :
A Tóm tắt lý thuyết
1 Định lý viét:
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx + c = 0 (a ≠0 ) thì :
1 2
1 2
b
a c
x x a
+ = −
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hhai nghiệm của phơng trình :
X 2 – SX + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2 – 4P 0≥
Các dạng toán :
Dạng 1 Không giải phơng trình , tính tổng và tích các nghiệm số
Phơng pháp giải :
* Tính ∆ ≥0để phơng trình có nghiệm
* áp dụng định lí vi-ét: S = x1 x2 b ; P x x1. 2 c
Dạng 2 : Giải phơng trình bằng phơng pháp nhẩm nghiệm :
Phơng pháp giải :
áp dụng định lí vi-ét: x1 x2 b ; x x1. 2 c.
* Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 = c
a .
* Nếu a – b + c = 0 Thì x 1 = -1 ; x2 = - c
a
*Nhẩm nếu có 2 số m,n để m+n = S, m.n = P thì phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 ;x 2 của phơng trình bậc hai.
*)Biểu thức giữa x1;x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không thay đổi
*)Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P(tổng và tích các nghiệm)
1
1
1 2
1 2 1 2
2
1 2
1 1
)
2 )
+
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2:
ax 2 + bx + c = 0 (a≠0).
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi : P = c 0
a <
(Hoặc ac < 0)
+)Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi :
D ³ 0; P>0
+) Phương trỡnh có hai nghịệm âm khi :
D ³ 0;S<0; P> 0
+)Phương trình có hai nghiệm dương khi :
0;S 0; P 0
D ³ > >
Trang 2+) Phương trình có hai nghiệm không âm khi
D ³ 0;S³ 0; P³ 0
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm
d-ơng khi:P<0 và S < 0
……
* Chỳ ý: Nếu bài toán yêu cầu có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện nào đó thì cần có
Δ > 0
Dạng5: Xác định tham số ( m chẳng hạn) để phương trình bậc
hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện (T) cho trước.
Phơng pháp giải:
Bớc 1- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x1;x2 :
0 0
a ≠
≥
V (*)
Bớc 2-áp dụng định lý Vi-ét ta đợc tính S = x1+x2; P = x1.x2
Bớc 3- Từ ĐK (T) và S tính x1,x2 theo m thế vào P để tìm m thử lại điều kiện (*) rồi kết luận
Ví dụ 1:Cho phơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phơng trình (1) với m = 3
b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
2
(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh)
LG:
a)Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0
⇔ 4x2 - 4x + 1 = 0
⇔ (2x 1) − 2 = 0 (Hoặc tính đợc ∆ hay ∆')
Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2
b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì m 1 02
' m 2m 1 (m 1)(m 2) 0
+ ≠
∆ = − + − + − >
m 1 02 2
+ ≠
(*)
− + > ≠ −
Mà theo ĐL Vi-ét ta có: 1 2 2(m 1) 1 2 m 2
Từ
x + x = 2 ta có: 1 2
1 2
2(m 1) m 2 3
:
m 1 m 1 2
2(m 1) m 1 3
.
m 1 m 2 2
⇔ 2(m 1) 3
− ⇔ 4m 4 3m 6 − = − ⇔ = − m 2 thoả mãn (*) Vậy m phải tìm là -2
Dạng 6 * :thức liên hệ giữa các nghiệm x 1 ;x 2 của phơng
trình bậc hai ax2+ + = bx c 0( a ≠ 0) không phụ thuộc tham số.
(Giả sử tham số là m)
Bớc1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2:
Bớc 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2
Bớc3 Khử m từ bước 2 bằng phương pháp thế (Rút m theo x thế vào S hoặc P) hoặc cộng đại
số ta sẽ được biểu thức cần tìm
Trang 3Ví dụ1:Cho phơng trình x2 - mx + 2m - 3 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Giải:
+)Phơng trình trên có nghiệm khi: ∆ =m2 - 8 m + 12 ≥ 0
⇔(m- 2)(m-6) ≥ 0⇔ ≤m m≥62
+)Theo hệ thức Vi-ét ta đợc : 1 2
1 2
(1)
2 3(2)
+ =
+)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta đợc : x1x2=2(x1+x2) - 3
Cách 2:Nhân cả hai vế của(1) với 2 rồi trừ vế với vế cho (2) ta đợc:
3 =2(x1+x2)- x1x2
Ví dụ 2:Cho phơng trình: (m - 1)x2- 2(m - 4 )x +m - 5 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Giải:
Trớc hết ta cần tìm m để pt có 2 nghiệm x1;x2 :
,
1 0
2 11 0
m
m
− ≠
1 11 2
m m
≠
≤
11 1
2
m
≠ ≤
Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1;x2. Theo hệ thức Vi-ét ta đợc :
1 2
1 2
2( 4)
1 5
1
m
m
m
x x
m
−
+ =
⇔ 1 2
1 2
6 2
1 4 1
1
m
x x
m
+ = −
Từ đó ta đợc: 2(x1+x2) - 3 x1x2=1
Ví dụ 3:Cho phơng trình: m x2- (2m + 3 ) x+ m - 4= 0
a)Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Giải:
a)Phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
0
(2 3) 4 ( 4) 0
m
≠
0
28 9 0
m m
≠
0 9 28
m m
≠
> −
Vậy với 0 9
28
m
≠ > − thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt
b)Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: 1 2
1 2
2 3 4
m
m m
x x
m
+
+ =
1 2
3 2 4 1
m
x x
m
+ = +
1 2
12 4( ) 8
12
3 3
m
x x
m
Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
4(x1+x2) +3 x1x2=11 Đây chính là hệ thức cần tìm
Ví dụ 4 :Giả sử x1;x2 là nghiệm của phơng trình:
x2- 2 (m - 1 ) x+m 2 - 1= 0
Trang 4Tìm hệ thức giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m
Giải:
Phơng trình có nghiệm
⇔ ∆ =, (m−1)2−(m2− = −1) 2m+2≥ 0⇔ m 1≤
áp dụng hệ thức Vi-ét ta đợc: 2(2 1)(1)
1(2)
P m
Từ (1)suy ra m= 2
2
S+ Thay vào (2) ta đợc:
P =
2
2 1 2
S+
⇔ 4P = S
2+4S Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 +4(x1+x2 =) 4 x1x2
Phơng pháp giải : Trong một phơng trình có hai ẩn số Ta xem 1 ẩn là tham số rồi giải phơng này theo ẩn còn lại phơng pháp giải này đợc gọi là “Đặt tham số mới “
Bài 34 : CMR Chỉ có một cặp số duy nhất thoa mãn phơng trình :
x − x y+ − y+ =
Cách 1 : đặt tham số mới : Xem x là ẩn , y là tham số (y ≥0) ta có
3 0
y− ≤ PT chỉ có nghiệm khi
Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số duy nhất thoả mãn PT đã cho
Cách 2: (Tổng bình phơng )
(1) ( )2 ( )2 2 0 2
9
3 0
y y
− =
Dạng 7 So sánh nghiệm của phơng trình bậc 2 với một số a.
Bớc 1: Xét dấu hiệu các nghiệm của pt với a
Bớc 2: Xét dấu của tổng hoặc tích hoặc cả tổng và tích các hiệu ở bớc 1
Bớc 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết quả của bớc 2 theo tham số
Bớc 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm và kết luận
Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1:
x2 – (m – 1)x – m = 0 ( Bài 16 trong bộ đề)
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 3:
2x2 – 4x + 5(m – 1) = 0
Chú ý: Nếu tìm x đơn giản có thể tìm x theo m rồi so sánh
Bài 3*: Tìm giá trị của m để phơng trình: x2 + mx + m – 1 = 0 có 2 nghiệm lớn hơn m
Bài 4*: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có một nghiệm lớn hơn 2:
mx2 – (2m+1)x + (m+1) = 0
Trang 5Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CHỨA THAM SỐ
A.Ki ế n th ứ c c ầ n ghi nh ớ
1 Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc
tham số m, ta xét 2 trường hợp:
a) Nếu a = 0
Khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể :
- Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a ≠0
Lập biệt số ∆= b2 – 4ac hoặc ∆/ = b/2 – ac
• ∆ < 0 (∆/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm
• ∆ = 0 (∆/ = 0 ): phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -
a
b
2 (hoặc x1,2 = - a
b/
)
Trang 6• ∆ > 0 (∆/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt:
x1 =
a
b
2
∆
−
− ; x
2 =
a
b
2
∆ +
−
(hoặc x1 =
a
b/ − ∆/
− ; x
2 =
a
b/ + ∆/
2 Định lý Viột.
Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thỡ
S = x1 + x2 = -
a b
p = x1x2 =
a c
Đảo lại: Nếu cú hai số x1, x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của
ph-ơng trình bậc 2:
x 2 – S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng trình Ta có các kết quả sau:
Hai nghiệm x 1 và x 2 trái dấu( x 1 < 0 < x 2 ) ⇔ p < 0
Hai nghiệm cùng dơng( x 1 > 0 và x 2 > 0 ) ⇔
>
>
≥
∆
0 0 0
S p
Hai nghiệm cùng âm (x 1 < 0 và x 2 < 0) ⇔
<
>
≥
∆
0 0 0
S p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x 2 > x 1 = 0) ⇔
>
=
>
∆
0 0 0
S p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x 1 < x 2 = 0) ⇔
<
=
>
∆
0 0 0
S p
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 =
a c
• Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = -1 , x 2 = -
a c
• Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và ∆≥0 thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ,x 2 của nó
Cách làm :
- Lập tổng S = x1 + x2
- Lập tích p = x1x2
Trang 7 - Phơng trình cần tìm là : x 2 - S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho
tr-ớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
x1+ x2 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
2 1
2 1 2 1
1 1
x x
x x x x
+
=
p S
2 1
2 2
2 1 1
2 2
1
x x
x x x
x x
p
p
S2 −2
(x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
2 2
1
2 1 2
1
2 )
)(
(
2 1
1
a aS p
a S a
x a x
a x x a x a
−
=
−
−
− +
=
−
+
−
(Chú ý : Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện ∆≥0)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2
• Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:
Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: ∆≥0(hoặc ∆/ ≥0) (*)
Thay x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2:
Không cần lập điều kiện∆≥0 (hoặc ∆/ ≥0) mà ta thay luôn x = x1 vào
ph-ơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
∆ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc
• Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1:
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách
2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3:
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2
Áp dụng
Bài 1/ Cho phương trỡnh: x2 – 4x + m – 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trỡnh khi m = -20
b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú
Bài 2/ Cho phương trỡnh: x2 – (m - 2)x + m – 5 = 0.(x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Chứng tỏ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m
b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
Bài 3/ Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 – 5x + 2 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú
Cách giải:
Trang 8b/ Định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 4/ Cho phương trình: (m – 4)x2 – 6x + 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = 3
Bài 5/ Cho phương trình: x2 – (m – 4)x + m – 6 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Bài 6/ Cho phương trình: x2 – (m – 3)x + m – 4 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 4
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c/ Định giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm kia
Bài 7/ Cho phương trình: 5x2 – 2x + m = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -16
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó c/ Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
Bài 8/ Cho phương trình: x2 – (m – 2)x + m – 4 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nhiệm đối nhau
Bài 9/ Cho phương trình: 3x2 – 3 x + 3 – 3 = 0
Không giải phương trình hãy tính:
a/ 2
2
2
1 x
1
2 2
1
x
x x
x
+
Bài 10/ Cho phương trình: x2 – 9x + m – 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -9
b/ Tính giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 11/ Cho phương trình: mx2 – 4x + 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m =
2 1
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
Bài 12/ Cho phương trình: x2 – (m – 5)x + m – 7 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
Bài 13/ Cho phương trình: (m – 1)x2 – (2m + 1)x + 1 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 3 Tính nghiệm còn lại
Bài 14/ Cho phương trình: x2 – 5x + m – 2 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 2; m = 8
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
c/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm kia
Bài 15/ Cho phương trình: x2 – 8x + m – 2 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
Trang 9a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 10 Tính nghiệm còn lại b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm kia
Bài 16/ Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + m – 5 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại c/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Bài 17/ Cho phương trình: x2 – 4x + m – 3 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -3
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm còn lại c/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
d/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm kia
Bài 18/ Cho phương trình: x2 – 3x + m – 3 = 0 (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -7
b/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
2
5
1
2 2
1 + =
x
x x x
Bài 19/ Cho phương trình: x2 – 2mx – 4m – 11 = 0; (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
5
1
1 1
2 2
−
+
x x
x