Giáo án dạy toán học lớp 9 theo chuẩn (10)

Chuyên đề hệ thức viét ứng dụng : A Tóm tắt lý thuyết Định lý viét: Nếu x1; x2 hai nghiệm phơng trình ax2 +bx + c = (a ) : b x1 + x2 = a x x = c a 2.Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số có tổng S tích P hai số hhai nghiệm phơng trình : X2 SX + P = Điều kiện để có hai số S2 4P Các dạng toán : Dạng Không giải phơng trình , tính tổng tích nghiệm số Phơng pháp giải : * Tính để phơng trình có nghiệm b c * áp dụng định lí vi-ét: S = x1 + x2 = ; P = x1.x2 = a a Dạng : Giải phơng trình phơng pháp nhẩm nghiệm : Phơng pháp giải : b c áp dụng định lí vi-ét: x1 + x2 = ; x1.x2 = a a c * Nếu a + b + c = Thì x1 = ; x2 = a c * Nếu a b + c = Thì x = -1 ; x2 = a *Nhẩm có số m,n để m+n = S, m.n = P phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm x1;x2 phơng trình bậc hai *)Biểu thức x1;x2 gọi đối xứng ta thay x1 x2 x2 x1 biểu thức không thay đổi *)Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P(tổng tích nghiệm) +) x1 + x22 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = S P +) 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 P +) x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3PS 2 x1 x2 x1 + x2 S P +) + = = x2 x1 x1 x2 P Dạng 4: Xét du nghim ca phng trình bc 2: ax2 + bx + c = (a0) +) Phng trình có hai nghim trái du : P = (Hoặc ac < 0) +)Phng trình có hai nghim du : D 0; P > +) Phng trỡnh có hai nghệm âm : D 0;S < 0; P > +)Phng trình có hai nghim dng : D 0;S > 0; P > c m + m m < (*) 2 ' = m 2m + m + m + > m + > m Mà theo ĐL Vi-ét ta có: Từ 1 + = x1 x 2 x1 + x = ta có: 2(m 1) m2 ; x1x = m +1 m +1 x1 + x = x1x 2 2(m 1) m + 2(m 1) m : = = m +1 m +1 m +1 m 2 2(m 1) = 4m = 3m m = thoả mãn (*) m2 Vậy m phải tìm -2 Dạng 6*:thức liên hệ nghiệm x1;x2 phơng trình bậc hai ax + bx + c = 0(a 0) không phụ thuộc tham số (Giả sử tham số m) Bớc1: Tìm điều kin phng trình có hai nghim x1; x2: Bớc 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2 Bớc3 Kh m t bc bng phng pháp th (Rút m theo x th vào S hoc P) hoc cng i s ta s c biu thc cn tìm Ví dụ1:Cho phơng trình x2 - mx + 2m - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: +)Phơng trình có nghiệm khi: =m2 - m + 12 m (m- 2)(m-6) m x + x = m(1) +)Theo hệ thức Vi-ét ta đợc : x1 x2 = 2m 3(2) +)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta đợc : x1x2=2(x1+x2) - Cách 2:Nhân hai vế của(1) với trừ vế với vế cho (2) ta đợc: =2(x1+x2)- x1x2 Ví dụ 2:Cho phơng trình: (m - 1)x2- 2(m - )x +m - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: Trớc hết ta cần tìm m để pt có nghiệm x1;x2 : m m 11 , 11 m = 2m 11 m Khi phơng trình có nghiệm x1;x2 Theo hệ thức Vi-ét ta đợc : 2(m 4) x1 + x2 = m x1 + x2 = m Từ ta đợc: 2(x1+x2) - x1x2=1 m x x = x x = 1 2 m m Ví dụ 3:Cho phơng trình: m x2- (2m + ) x+ m - 4= a)Tìm m để pt có nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: a)Phơng trình có nghiệm phân biệt khi: m m m = (2m + 3) 4m(m 4) > 28m + > m > 28 Vậy với m > pt có nghiệm phân biệt 28 2m + x1 + x2 = m x1 + x2 = + m b)Khi pt có nghiệm thoả mãn: x x = m x x = m m 12 4( x + x ) = + m Cộng vế pt ta đợc: 12 x x = m 4(x1+x2) +3 x1x2=11 Đây hệ thức cần tìm Ví dụ :Giả sử x1;x2 nghiệm phơng trình: x2- (m - ) x+m - 1= Tìm hệ thức x1;x2 không phụ thuộc vào m Giải: Phơng trình có nghiệm , = (m 1) (m 1) = 2m + m S = 2(m 1)(1) áp dụng hệ thức Vi-ét ta đợc: P = m 1(2) S +2 Từ (1)suy m= Thay vào (2) ta đợc: 2 S + P= ữ 4P = S +4S Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) +4(x1+x2 =) x1x2 Phơng pháp giải : Trong phơng trình có hai ẩn số Ta xem ẩn tham số giải phơng theo ẩn lại phơng pháp giải đợc gọi Đặt tham số Bài 34 : CMR Chỉ có cặp số thoa mãn phơng trình : x x + y y + 13 = Cách : đặt tham số : Xem x ẩn , y tham số (y ) ta có ( ) ( / = y y + = y ) Vì - ( ) y PT có nghiệm / = y = y = Khi phơng trình có nghiệm kép x = -2 Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số thoả mãn PT cho Cách 2: (Tổng bình phơng ) x = x = 2 (1) ( x ) + y = y = y = Dạng So sánh nghiệm phơng trình bậc với số a Bớc 1: Xét dấu hiệu nghiệm pt với a Bớc 2: Xét dấu tổng tích tổng tích hiệu bớc Bớc 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết bớc theo tham số Bớc 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm kết luận Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt nhỏ 1: x2 (m 1)x m = ( Bài 16 đề) Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt nhỏ 3: 2x2 4x + 5(m 1) = Chú ý: Nếu tìm x đơn giản tìm x theo m so sánh Bài 3*: Tìm giá trị m để phơng trình: x2 + mx + m = có nghiệm lớn m Bài 4*: Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm lớn 2: mx2 (2m+1)x + (m+1) = ( ) Chuyờn : PHNG TRèNH BC HAI CHA THAM S A.Kin thc cn ghi nh bin lun s cú nghim ca phng trỡnh : ax2 + bx + c = (1) ú a,b ,c ph thuc tham s m, ta xột trng hp: a) Nu a = Khi ú ta tỡm c mt vi giỏ tr no ú ca m ,thay giỏ tr ú vo (1).Phng trỡnh (1) tr thnh phng trỡnh bc nht nờn cú th : - Cú mt nghim nht - hoc vụ nghim - hoc vụ s nghim b)Nu a Lp bit s = b2 4ac hoc / = b/2 ac < ( / < ) thỡ phng trỡnh (1) vụ nghim b b/ = ( / = ): phng trỡnh (1) cú nghim kộp x1,2 = (hoc x1,2 = - ) 2a a > ( / > ) : phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit: b b+ x1 = ; x2 = 2a 2a (hoc x1 = b / / a ; x2 = b / + / ) a nh lý Viột Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) thỡ b S = x1 + x = a c p = x1x2 = a o li: Nu cú hai s x1, x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) phơng trình bậc 2: x2 S x + p = 3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phơng trình Ta có kết sau: Hai nghiệm x1 x2 trái dấu( x1 < < x2 ) p < Hai nghiệm dơng( x1 > x2 > ) p > S > Hai nghiệm âm (x1 < x2 < 0) p > S < > Một nghiệm nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) p = S > > Một nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p = S < 4.Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) c a Nếu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 = Nếu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c a Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phơng trình có nghiệm x1 = m , x2 = n x1 = n , x2 = m b) Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phơng trình cần tìm : x2 - S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi): x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22 x + x2 S 1 + = = x1 x x1 x p 2 x1 x x1 + x S2 2p = + = x x1 x1 x p (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2 x1 + x 2a 1 S 2a + = = x1 a x a ( x1 a )( x a ) p aS + a (Chú ý : Các giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện ) d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thứ Cách giải: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: (hoặc / ) (*) Thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: / Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai có < kết luận giá trị tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên) +) Cách : Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ +) Cách 3: Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghiệm thứ p dng Bi 1/ Cho phng trỡnh: x2 4x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = -20 b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú Bi 2/ Cho phng trỡnh: x2 (m - 2)x + m = 0.(x: l n, m: l tham s) a/ Chng t phng trỡnh cú nghim vi mi m b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du Bi 3/ Cho phng trỡnh: (m 1)x2 5x + = (x: l n, m: l tham s) a/ nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú b/ nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du Bi 4/ Cho phng trỡnh: (m 4)x2 6x + = (x: l n, m: l tham s) a/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim b/ Gii phng trỡnh m = Bi 5/ Cho phng trỡnh: x2 (m 4)x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li b/ Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m Bi 6/ Cho phng trỡnh: x2 (m 3)x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = b/ Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m c/ nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim ny gp ba nghim Bi 7/ Cho phng trỡnh: 5x2 2x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = -16 b/ Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú c/ Tớnh giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim cựng dng Bi 8/ Cho phng trỡnh: x2 (m 2)x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nhim i Bi 9/ Cho phng trỡnh: 3x2 x + = Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh: x1 x + a/ x12 + x 22 ` b/ x x1 Bi 10/ Cho phng trỡnh: x2 9x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = -9 b/ Tớnh giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim ny gp ụi nghim Bi 11/ Cho phng trỡnh: mx2 4x + = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú Bi 12/ Cho phng trỡnh: x2 (m 5)x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li b/ Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m c/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim cựng dng Bi 13/ Cho phng trỡnh: (m 1)x2 (2m + 1)x + = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = b/ Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m c/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li Bi 14/ Cho phng trỡnh: x2 5x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = 2; m = b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú c/Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim ny gp bn nghim Bi 15/ Cho phng trỡnh: x2 8x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim bng 10 Tớnh nghim cũn li b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim ny gp ba nghim Bi 16/ Cho phng trỡnh: x2 (m 1)x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li c/ Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m Bi 17/ Cho phng trỡnh: x2 4x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = -3 b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li c/Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim d/Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim ny gp bn nghim Bi 18/ Cho phng trỡnh: x2 3x + m = (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = -7 b/ Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tho món: x1 x + = x x1 Bi 19/ Cho phng trỡnh: x2 2mx 4m 11 = 0; (x: l n, m: l tham s) a/ Gii phng trỡnh m = b/ Chng t phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m c/ Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tho món: x1 x + = x x1