Chuyên đề bất đẳng thức

Cách viết theo từng phần giúp bạn đọc hình dung rõ hơn và có cái nhìn tổng thể về các bất đẳng thức cơ bản và nâng cao. Điều này giúp ích rất nhiều cho việc nhìn nhận, tạo ra gốc rễ cho việc tìm hiểu về bất đẳng thức. Sau mỗi bài luôn có những nhận xét chi tiết về ý tưởng và cách làm cũng như những bài tập hay đã được sưu tầm rất cẩn thận.

TRNG THPT N THI CHUYấN BT NG THC Thnh viờn: + o Quc Phong + Phm Quang Ngha + Nguyn Th Phng Nam + ng Vit Hai + Phm Thựy Dung + Th Bớch Ngc + Nguyn Th Cm Anh + Bựi Khỏnh Huyn + Nguyn Vn Quõn + Hong Thanh Bỡnh CHUYấN : BT NG THC Li núi u Bt ng thc l mt khỏi nim khụng mi nhng cng khụng h n gin v c kin thc cng nh tm quan trng ca nú cú th hiu sõu v nú mi chỳng ta cn phi trang b cho mỡnh nhng hiu bit v dng bi ny cng nh nhng tớnh cht bn ca nú A.Lý thuyt Khỏi nim bt ng thc Gi s A, B l hai s thc Cỏc mnh A>B, AB v B>C => A>C b A>B => A+C > B+C c * Nu C > thỡ A>B AC>BC * Nu C < thỡ A>B AC } => A+C>B+D > b > } => AC>BD > c Vi AB>0 ta cú: A>B < d Vi A, B 0, n N* : A > B A2n>B2n e Vi A,B v n N*: A>B A2n+1 > B2n+1 f A>B0 A > B 3 g A>B A > B h > > v < < => < i > > v > => > 4.Mt s bt ng thc thng dựng A2 vi A Du = xy A = |A| A vi A Du = xy A || || | + | || + || || || | | || + || 1 + a b a+b (a, b > 0) Bt ng thc Cụ-si Vi hai s khụng õm : a, b , ta cú: a b ab Du = xy a=b Bt ng thc m rng cho n s khụng õm : a1 a a n n n a1 a a n a a a n a1 a a n n Du = xy n a1 a2 an Bt ng thc Bunhiacopski Cho 2n s thc ( n ): a1 , a2 , an , b1 , b2 , , bn Ta luụn cú: 2 2 (a1b1 a2b2 an bn ) (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) Du = xy Hay a a1 a2 n b1 b2 bn b b1 b2 n (Quy c : nu mu = thỡ t = ) a1 a an H qu: ( + )( + ) B Phng phỏp gii bi v bt ng thc I Phng phỏp s dng nh ngha Phng phỏp: chng minh a < b (hoc a > b hoc a b hoc a b), ta cn chng minh a b < Vớ d VD1: (Quõn) Cho cỏc biu thc sau A = (a + b)(a4 + b4) v B = (a2 + b2)(a3 + b3) So sỏnh A v B Gii: Xột hiu AB = (a + b)(a4 + b4) (a2 + b2)(a3 + b3) = (a5 + b5 + a4b + ab4) (a5 + b5 + a3b2 + a2b3) = a4b a3b2 a2b3 + ab4 = a3b(a b) ab3(a b) = ab(a b)(a2 b2) = ab(a + b)(a b)2 vỡ a, b Do ú A B Du = xy a = hoc b = hoc a = b vi a, b Nhn xột: so sỏnh A v B l ta i so sỏnh giỏ tr ca chỳng Bi ny c biu thc A v B u xut hin a5 v b5 khai trin Vỡ vy bi ny la chn cỏch xột hiu l hp lớ trit tiờu cỏc phn t cú s m ln Sau tr chỳng ta d dng phõn tớch hiu ú thnh nhõn t v da vo iu kin ca a v b xột giỏ tr ca hiu i vi nhng bi dng ny vic nhn xột c s liờn h gia cỏc s m ca hai biu thc l rt quan trng vic a bi toỏn v dng n gin VD2: (Quõn) Chng minh m,n,p,q ta u cú : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) (*) Gii: (*)m + n + p + q +1 mn mp mq m m2 m2 m2 m2 2 mn n mp p mq q m m m n 2 2 m m p q (luụn ỳng) m m n n m m p0 p m2 m Du bng xy q m n p q q m m * Nhn xột: Ta thy rng v trỏi l cỏc bỡnh phng v v phi l tớch vũng quanh gia m v cỏc bin cũn li nờn cú th tỏch thnh hng ng thc im khú ca bi ny l phi quan sỏt c phõn tớch m2 to hng ng thc vi cỏc bin cũn li p dng phng phỏp dung nh ngha trng hp ny l rt hu dng VD3: (Phong) Chng minh rng vi mi a, b, c ta luụn cú : + + ( + + ) 4 Gii: Ta cú : a b c abc(a b c) , a, b, c a b c a bc b ac c ab 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab a2 b2 a2 b2 a2 b2 b b 2a b b c 2 c2 c2 c c 2b c c a 2a c 2a bc 2b ac 2c ab a2 (a b b c 2b ac) (b c c a 2c ab) (a b c a 2a ab) a2 ab bc bc ac ab ac 2 2 Vy: Bt ng thc trờn ỳng Nhn xột: cng chuyn v nh VD2 nhng bi ny khú hn vỡ phi thờm bt khỏ phc to cỏc hng ng thc iu ỏng núi l cỏch gii nh trờn ó s dng hai bc v gn nh tng t nhng vic thờm bt to ln tớch vũng quanh l mt im khú ca bi ny II Phng phỏp bin i tng ng Phng phỏp: chng minh mt bt ng thc bng phng phỏp bin i tng ng, ta s dng cỏ tớnh cht b, c v cỏc h qu c, d, e, f, g bin i bt ng thc cn chng minh tng ng vi mt bt ng thc ỳng ó bit hay cú th chng minh c l ỳng Ngha l: chng minh bt ng thc A1B1 bng phng phỏp bin i tng ng ta thc hin nh sau: A1B1 A2B2AnBn Trong ú bt ng thc AnBn l bt ng thc ỳng ó bit Vy bt ng thc A1B1 c chng minh Vớ d VD1: (Quõn) = > : Gii: +2 + 2 2 + 22( ) (ỡ > > 0) + 22 + 22 + + 22 + 22 + + (2)2 22 + 22 (ỡ = = 2) ( 2) ( ụ ỳ ) *Nhn xột : Bi toỏn s dng nhng phộp bin i tng ng v khai thỏc rt trit tng iu kin ca bi im nhn cỏc bc bin i chinh l thờm bt to hng ng thc VD2 : (Bỡnh) Chng minh: Gii: (1) | | 1+| | 1+| |1 1+| | - 1+| | | | 1+| | + | | 1+| | (1) | |+| |+| |+| | 1+| |+| |+| | | |1 + 1+| |+| |+| | 1+| | 1+| | | |1 1+| |+| |+| | 1| | 1+| |+| |+| | (2) | | => + | | + | | + | | + | | Ta cú: { 1+|| 1|| 1+||+||+|| Vy: (2) ỳng => (1) ỳng *Nhn xột: Bi toỏn phc v bt ng thc cú cha du giỏ tr tuyt i Phng phỏp bin i l phi lm xut hin cỏc biu thc cú th s dng cỏc tớnh cht ca giỏ tr tuyt i x y.z 1 VD3 : (Hai) Cho ba s thc khỏc khụng x, y, z tha món: x y z x y z Chng minh rng :cú ỳng mt ba s x,y,z ln hn Gii : ộ ( 1)( 1)( 1) = ( + + ) + + + 1 1 1 = ( 1) + ( + + ) ( + + ) = ( + + ) ( + + ) > ( 1 1 1 + + < + + () ( + + ) ( + + )) 1; 1; õ 1>0 [ {1>0 1>0 *Th1 : s 1; 1; õm => s cũn li dng => cú nht mt s ln hn s , , 1>0 >1 *TH2: { > { > => > 1>0 >1 Trỏi vi gi thit(loi) Vy: cú nht s ln hn s , , *Nhn xột: cỏi hay ca bi toỏn l ta ó bit dng chớnh yờu cu ca tỡm cỏch gii quyt phõn tớch thnh nhõn t cỏc s x-1, y-1, z-1 III Phng phỏp dựng bt ng thc ó bit Phng phỏp Xem li tớnh cht ca bt ng thc trc xem xột cỏc vớ d bi vỡ mun chng minh mt bt ng thc no ú bng phng phỏp ny ũi hi phi s dng thnh tho cỏc tớnh cht c bn ca bt ng thc Vớ D VD1: (Dung) Cho hai s a v b tha iu kin a + b = Chng minh: a3 + b3 Gii: Ta cú: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 M (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (1) (a b)2 a2 2ab + b2 (2) Cng v vi v hai bt ng thc (1) v (2) ta cú: 2(a2 + b2) a2 + b2 Ta cú: ( + )2 4ab ab Vy a3 + b3 = a2 ab + b2 Du = xy a = b = 1 = 4 (pcm) NX: lm c bi ny ta cn dng linh hot cỏc hng ng thc ó bit Ta phõn tớch VT thnh hng ng thc v hng ng thc bỡnh phng ca tng v bỡnh phngca hiu kt hp vi bi cm VD2: (Nam) Cho cỏc s dng x, y cú tng khụng quỏ Chng minh: 1 x xy y xy Gii: p dng bt ng thc 1 + a b a+b (a, b > 0) vi a = x2 + xy > v b = y2 + xy > 0: 1 4 x xy y xy x xy y xy x y 2 (vỡ x + y 1) *Nhn xột: ta nhn thy tng mu s cú to thnh hng ng thc nờn ỏp dng bt ng thc trờn chng minh VD3: (Ngha) Cho x,y,z l cỏc s thc TM iu kin : x+y+z=0,x+1> 0; + > 0, + > Tỡm GTLN ca biu thc Q= + +1 + +1 +4 Gii t a= +1> 0, = + > 0, = + > Ta cú :a+b+c=6 10 VD1: (Bỡnh+Huyn) Gii Phuong trỡnh: x x x 12 x 38 KX: x p dng bt ng thc Bunhiacopski, ta cú: VT= 7x x 7x VP= x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + x 2 (1) (2) T (1) v (2) suy ra: ng thc xy { 6=0 => x=6 = Vy: Phng trỡnh cú nghim x=6 *Nhn xột: phỏt hin b s x ; x ; 1;1 ỏnh giỏ v trỏi v dựng hng ng thc nhn xột v phi l im quan trng gii c bi toỏn ny Kt hp nh vy s kim tra c lun kin thc ca hc sinh VD2: (Cm Anh) Gii phng trỡnh + = (1) KX: (1) + = p dng bt ng thc Bunhiacopski ta cú: + ( + )( + 1) = ng thc xy = = = = 45 [ = = 313 3+13 < () Vy: Phng trỡnh cú nghim = 3+13 *Nhn xột: Bi s dng bt ng thc Bunhiacopski Phỏt hin vic tỏch x hng t u tiờn sau ú ỏp dng bt ng thc l im cn lu ý i vi dng bi ny + = VD3: (Quõn) Gii h phng trỡnh: { +1+ +1=4 (1) (2) õy l bi toỏn rt quen thuc lp ó lm ln ri nhng mỡnh a vo vỡ thy gn nh tt c u gii theo cỏch t n bỡnh phng Vy nờn mỡnh s trỡnh by bi ny theo mt cỏch khỏc phự hp vi ni dung chuyờn ú l dựng bt ng thc KX: { Ta cú: + = + => + > Li cú : Suy : { Ta cú : 0 + x + y (+) + + Li cú: + + + (1 + 1)( + + 2) (6 + 2) = ng thc (2) xy { = +1=+1 Thay vo (1) ta c: 46 => x=y + = = => y=3 Vy: H phng trỡnh cú nghim x=y=3 ( + + 4)2 = 26( + + ) VD4 : (Ngha) Gii h phng trỡnh : { + + = 92 (1) (2) p dng bt ng thc Bunhiacopski ta cú : ( + + 4)2 (1 + + 16)( + + ) = 26( + + ) ng thc (1) xy x y z Thay vo (2) ta c : + 27 + 64 = 92 92 = 92 x = Suy ra: y=3; z=4 Vy: H phng trỡnh cú nghim (x; y; z)=(1; 3; 4) *Nhn xột: Bi toỏn khỏ n gin nhng ũi hi phi cú s quan sỏt nhanh nhay, chớnh xỏc i vi phng trỡnh phỏt hin iu c bit v h s ỏp dng bt ng thc Bunhiacopski c Phng phỏp ỏnh giỏ cỏc n 20 x 10 x y 2(2 x 3) y x 16 x 20 VD1: (Hai+Nam) 3x x VT= 20 +10+3 +2+1 7+7=7 (2)2 +2+1 VP= + 2(2 3) + (2 3)2 + ( 2)2 + =(2 + 3)2 + ( 2)2 + 47 2=0 =2 ng thc xy { { + = = Vy: Phng trỡnh cú nghim (x; y)=(2; -1) *Nhn xột: õy l bi toỏn rt phc khụng th gii trc tip Bng cỏch so sỏnh hai v ca phng trỡnh vi ta tỡm c nghim nht ca phng trỡnh + 1998 = 1998 VD2: (Ngc+Dung) Gii h phng trỡnh: { + 1998 = 1998 (1) (2) 1998 KX: { 1998 Nu > ỡ + 1998 > + 1998 ( ụ ớ) Nu > ỡ + 1998 > + 1998 (ụ ớ) Vy : = Thay vo (1) ta c : + 1998 = 1998 + 2(1998 ) + 1998 = 1998 [ = => = = 1998 => = 1998 Vy : Phng trỡnh cú nghim (, ) = {(0; 0); (1998; 1998} *Nhn xột : Bi ny cú phng phỏp lm rt c bit Bỡnh thng chỳng ta chia khong xột n nhng bi ny li so sỏnh cỏc n vi tỡm iu c bit l x=y d Dựng bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i VD1 : (Bỡnh) Gii h phng trỡnh : { T (1) ta cú : { || => || 2014 + 2014 = 2015 + 2015 = 1 { 48 (1) (2) Tr tng v ca (1) v (2) ta c : 2014 (1 ) + 2014 (1 ) = =0 { =1 ng thc xy [ =1 { =0 2 VD2 : (Huyn) Gii phng trỡnh : x x x x (1) Ta cú: (1) | + 1| + | + + 2| = | + + + | = ng thc xy ( + 1)( + + 2) Do + > nờn suy ra: + + x *Nhn xột: Bin i s dng bt ng thc | + | || + || Bi 6) x2 x x2 8x 7) 2 + + = + + 2 12 8) x y z x y 3z 9) Vi x, y, z > x x x2 12 x 38 49 10) A x x 11) = 2+2 =1 12) { + = 13) { + + =1 + + = + + + 4 = 16 14){ + = + 32 = 15) { + 32 + = 24 II ng dng tỡm GTLN, GTNN ca biu thc Trong chng trỡnh hc ca chỳng ta ch ỏp dng ch yu hai bt ng thc l Cụ-si v Bunhiacopski nờn nhúm mỡnh ch cp n hai bt ng thc ny S dng bt ng thc Cụ-si phn ny mỡnh s va trỡnh by ng dng ca bt ng thc vic tỡm cc tr va trỡnh by c phng phỏp cú th ng dng c nh th VD: (Hai+Nam) Cho x>0,y>0 thoã mãn điều kiện biểu thức A= x y Gii: Vỡ > 0, > nờn Cụ-si i vi hai s dng 1 x y Tìm giá trị nhỏ > 0, > v > 0, > Vn dng bt ng thc ta c : 1 1 ( + ) suy : => 4 50 Vn dng bt ng thc Cụ-si vi hai s dng , ta c: A= x y x y Dấu = xảy x=y=4 Vậy A =4 (khi x=y= 4) *Nhn xột : Trong vớ d trờn ta ó dng bt ng thc Cụ-si theo hai chiu ngc Ln th nht ta ó lm tri 1 bng cỏch dng + dựng iu kin tng 1 + = 2, t ú c Ln th hai ta ó lm gim tng + bng cỏch dng bt ng thc Cụ-si theo chiu + dựng kt qu Khụng phi lỳc no ta cng cú th s dng bt ng thc Cụ-si trc tip nh vy Di õy s l mt s phng phỏp lm a.Tỡm cc tr ca mt biu thc ta tỡm cc tr ca bỡnh phng biu thc ú VD: (Ngc+Dung) Tìm giỏ trị lớn biểu thức: A= 3x 3x Giải: ĐKXĐ : x 3 A2 = (3x-5) + (7-3x) + (3x 5)(7 3x) A2 + (3 + 3) = Dấu = xảy 3x- = 7- 3x x = Vậy max A2 = maxA=2 (khi x=2) *Nhn xột: Biu thc A c cho di dng tng ca hai cn thc Hai biu thc ly cn cú tng khụng i bng Vỡ vy, nu ta bỡnh phng biu thc A thỡ s xut hin hng 51 t l hai ln ca hai cn thc n õy cú th dng bt ng thc Cụ-si: + b Nhõn v chia mt biu thc vi cựng mt s khỏc x9 5x VD: (Ngha+Phong) Tìm giá trị lớn biểu thức A Giải: ĐKXĐ: x A x9 5x x9 x99 x9 3 5x 5x 5x 30 Dấu xảy Vậy maxA= 30 x9 x 18 (khi x= 18) Nhận xét cách giải : Trong cỏch gii trờn, x-9 c biu din thnh gp may mn ch dng bt ng thc Cụ-si, tớch tng 9 v ta ó c l tri thnh na + = cú dng kx cú th rỳt gn cho x di mu, kt qu l mt hng s c Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số 1)Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử 3x 16 (Bỡnh+Cm Anh) Cho x>0,tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x3 Giải: A= 3x 16 16 16 x x x 44 x.x.x x x x Dấu xảy x 16 x3 x Vậy minA = 8(khi x = 2) 52 Nhận xét : Hai s dng 3x v 16 cú tớch khụng phi l mt hng s Mun kh c thỡ t phi cú = ú ta phi biu din 3x=x+x+x ri dung bt ng thc Cụ-si vi s dng 2) Tỏch mt hng t cha bit cha bin thnh tng ca mt hng s vi mt hng t cha bin cho hng t ny l nghch o ca hng t khỏc cú biu thc ó cho ( cú th sai khỏc mt hng s) VD: (Ngha) Cho 00 x+y = 2a (a>0) 1 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A= 54 x 23 x Bài 3: Cho x+y = 15,tìm GTLN,GTNN biểu thức B= x y 2x 6x Bài 4: Tìm GTNN biểu thức A = với x> 2x Bài 5: , , ỡ (+)(+) x x 17 Bài 6: Cho x ,tìm GTNN biểu thức Q 2( x 1) Bài 7: Tìm GTNN M = x x 34 x x 2000 Bài 8: Cho x>0, tìm GTNN biểu thức N = x Bài 9: Cho x>0;y>0 x+y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x 1,2 xy y Bài 10:Cho x>y xy=5,tìm GTNN biểu thức Q x y Bài 11:Cho x>1,tìm GTLN biểu thức A x Bài 12: Cho 0 x = y = = = {2 + = => = = *Nhn xột: S dng bt ng thc Bunhiacopski vi l im nhn ca bi toỏn Khi tỡm c GTLN, GTNN cua mt biu thc thỡ ta cn ngh n vic chng minh GTT ca nú luụn ln hn hoc bng mt s hay núi cỏch khỏc l phi bỡnh phng nờn v s dng bt ng thc Bunhiacopski l ti u trng hp ny Cỏc bi Bi 1: Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: = + Bi 2: , , + + = : + + + + + 37 Bi 3: , , , ó + = + = : ( ) + ( + ) 1 Bi 4: , , > = : ( + + )( + + ) ( + + ) 57 Bi 5: , , > : 2 + 2 + Bi 6: = : + + + 49 34 Bi 6: ỡ , sin + cos Bi 7: , ụ ó + = ỡ = + + + Bi 8: , ỏ ỡ : = (1 )2 + + (1 + )2 + + |2 | Bi 9: ỡ , () = + 312 [2; 12] Bi 10 : Cho a, b, c l ba s tha + + = : + 23 + 35 Bi 11 : , ó + = : a) + b) + Bi 12: + = : + + + + 58 59