Giáo trình toán rời rạc

Giáo trình toán rời rạc Biên tập bởi: Ngoc Chau Lam Thi Giáo trình toán rời rạc Biên tập bởi: Ngoc Chau Lam Thi Các tác giả: unknown Phiên trực tuyến: http://voer.edu.vn/c/14c7d067 MỤC LỤC Đại số mệnh đề Suy luận toán học Vị từ lượng vị từ Lý thuyết tập mờ logic mờ Tham gia đóng góp 1/78 Đại số mệnh đề Đại số mệnh đề logic Mục tiêu Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt vấn đề sau: - Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh đề - Thực phép toán mệnh đề - Hiểu ứng dụng phép toán logic lập trình đời sống hàng ngày Kiến thức cần thiết Các kiến thức chương bao gồm: - Kiến thức phép toán đại số, phép toán hình học - Có khả suy luận - Biết lập trình ngôn ngữ Pascal, C Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1, trang - 28) Nội dung cốt lõi - Định nghĩa mệnh đề, biểu thức mệnh đề - Các phép toán - Ví dụ ứng dụng - Giới thiệu số thuật ngữ chuyên dùng - Tương đương logic cách chứng minh 2/78 Định nghĩa mệnh đề Mổi câu phát biểu sai gọi mệnh đề (Definition proposition: Any statement that is either true or false is called a proposition.) Ví dụ 1: Các câu xác định mệnh đề 2+3=5 3*4 = 10 Tam giác có cạnh Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ Toronto thủ đô Canada Câu xác định "2 + = 5", "Tam giác có cạnh nhau" "Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ" mệnh đề Còn câu xác định "3*4 = 10" "Toronto thủ đô Canada" mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề mệnh đề mệnh đề sai Hay nói cách khác, mệnh đề lựa chọn giá trị là sai Một mệnh đề vừa vừa sai Ví dụ 2: Xét câu phát biểu sau Hôm thứ ? Một số thực âm số phương Hãy đọc kỹ đọan x+1=2 x+y=z Câu "Hôm thứ ? " không mệnh đề câu hỏi giá trị đúng, sai Câu "Một số âm số phương" có chân trị xét tập họp số thực R lại có chân trị sai xét tập họp số phức Câu "x+1=2" câu "x+y=z" mệnh đề chúng chẳng chẳng sai biến câu chưa gán cho giá trị cụ thể 3/78 Giá trị đúng, sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu T (true), chân trị mệnh đề sai ký hiệu F (false) Bảng chân trị mệnh đề bao gồm trường hợp đúng, sai xảy mệnh đề Mục đích họat động khoa học phân biệt mệnh đề để xác định chân trị Sự xác định chân trị dựa vào thực nghiệm lý luận Lý luận xác định chân trị mệnh đề cách kết hợp mệnh đề mà ta biết chân trị Các luật lệ chế ngự cách kết hợp mang tính xác phép toán đại số Vì thế, cần nói đến "Đại số mệnh đề" Các phép tính mệnh đề Trong phép tính mệnh đề, người ta không quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép toán mệnh đề thông thường người ta không ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thường dùng P, Q, R, Mệnh đề có giá trị đơn (luôn sai) gọi mệnh đề nguyên từ ( atomic proposition ) Các mệnh đề mệnh đề nguyên từ gọi mệng đề phức hợp (compound propositions) Thông thường, tất mệnh đề phức hợp mệnh đề liên kết (có chứa phép tính mệnh đề) Các phép tính mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép toán mệnh đề trình bày chương bao gồm : phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép XOR, phép kéo theo, phép tương đương Phép phủ định (NEGATION) Cho P mệnh đề, câu "không phải P" mệnh đề khác gọi phủ định ¯ mệnh đề P Kí hiệu : ¬ P ( P ) Ví dụ : P = " > " ¬ P="2≤0" Bảng chân trị (truth table) p ¬ p 4/78 T F F T Qui tắc: Nếu P có giá trị T phủ định P có giá trị F Phép hội (CONJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P Q" mệnh đề gọi hội mệnh đề P Q Kí hiệu P ^ Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P ^ Q = " 2> = " mệnh đề sai Bảng chân trị p q p^q T T T T F F F T F F F F Qui tắc : Hội mệnh đề hai mệnh đề Các trường hợp lại sai Phép tuyển (DISJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P hay (hoặc) Q" mệnh đề gọi tuyển mệnh đề P Q Kí hiệu P V Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai 5/78 P V Q = " ≥ " mệnh đề p q pvq T T T T F T F T T F F F Bảng chân trị Qui tắc : Tuyển mệnh đề sai hai mệnh đề sai Các trường hợp lại Phép XOR Cho hai mệnh đề P Q Câu xác định "loại trừ P lọai trừ Q", nghĩa "hoặc P Q không đồng thời hai đúng" mệnh đề gọi P xor Q Kí hiệu P ⊕ Q Bảng chân trị p q p ⊕q T T F T F T F T T F F F Phép toán bit Các máy tính dùng bit để biểu diễn thông tin Một bit có giá trị Bit dùng để biểu diễn chân trị Thường người ta dùng bit để biểu diễn chân trị bit để biểu diễn chân trị sai Các phép toán bit máy tính phép toán logic Thông tin thường biển diễn cách dùng xâu bit Ta có định nghĩa xâu bit sau: Định nghĩa : Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) dãy có nhiều bit Chiều dài xâu số bit xâu 6/78 Ví dụ : 101011000 xâu bit có chiều dài Có thể mở rộng phép toán bit tới xâu bit Người ta định nghĩa OR bit, AND bit XOR bit xâu bit có chiều dài xâu có bit chúng ca1c OR, AND, XOR bit tương ứng xâu tương ứng Chúng ta dùng kí hiệu ^, v, ⊕ để biểu diễn phép tính OR bit, AND XOR tương ứng Ví dụ : Tìm OR bit, AND bit XOR bit xâu sau (mỗi xâu tách thành khối, khối có bit cho dễ đọc) 01101 10110 11000 11101 11101 11111 OR bit 01000 10100 AND bit 10101 01011 XOR bit Phép kéo theo (IMPLICATION) Cho P Q hai mệnh đề Câu "Nếu P Q" mệnh đề gọi mệnh đề kéo theo hai mệnh đề P,Q Kí hiệu P → Q P gọi giả thiết Q gọi kết luận Ví dụ : Cho hai mệnh đề P Q sau P = " tam giác T " Q = " tam giác T có góc 60°" Để xét chân trị mệnh đề P → Q, ta có nhận xét sau : - Nếu P đúng, nghĩa tam giác T rõ ràng P → Q - Nếu P sai, nghĩa tam giác T không không cân dù Q hay sai mệnh đề P → Q Sau bảng chân trị ví dụ bảng chân trị mệnh đề P →Q 7/78 Qui tắc : mệnh đề kéo theo sai giả thiết kết luận sai Các trường hợp khác Từ mệnh đề P → Q, tạo mệnh đề kéo theo khác mệnh đề Q → P ¬ Q → ?P gọi mệnh đề đảo mệnh đề phản đảo mệnh đề P → Q Ví dụ : Tìm mệnh đề đảo phản đảo mệnh đề sau " Nếu có nhiều tiền mua xe hơi" Mệnh đề đảo : " Nếu mua xe có nhiều tiền" Mệnh đề phản đảo : " Nếu không mua xe nhiều tiền" Phép tương đương (BICONDITIONAL) Cho P Q hai mệnh đề Câu "P Q" mệnh đề gọi P tương đương Q Kí hiệu P ? Q Mệnh đề tương đương P Q có chân trị P ? Q = (P → Q) ^ (Q → P) Đọc : P Q P cần đủ Q Nếu P Q ngược lại 8/78 Ví dụ: quần áo gọi dầy, mỏng để máy giặt biết mà có chế độ tự động sấy khô cho hợp lý ? Hay thơ văn có câu: " Trăng bao tuổi trăng già? Núi bao tuổi gọi núi non? " Khái niệm trăng già hay núi non không định nghĩa rõ ràng Những toán ngày nhiều lĩnh vực điều khiển tối ưu, nhận dạng hệ thống, nói chung trình định nhằm giải toán với liệu không đầy đủ, không định nghĩa cách rõ ràng (trong điều kiện thiếu thông tin chẳng hạn) Một cách tiếp cận mang lại nhiều kết thực tiễn tiếp tục phát triển cách tiếp cận lý thuyết tập mờ (FUZZY SET THEORY), giáo sư Lotfi Zadeh trường đại học California - Mỹ đề năm 1965 Công trình thực khai sinh ngành khoa học lý thuyết tập mờ nhanh chóng nhà nghiên cứu công nghệ chấp nhận ý tưởng Một số kết bước đầu hướng nghiên cứu góp phần tạo nên sản phẩm công nghiệp tiêu thụ thị trường Lý thuyết tập mờ ngày phong phú hoàn chỉnh, tạo vững để phát triển logic mờ Có thể nói logic mờ (Fuzzy logic) tảng để xây dựng hệ mờ thực tiển, ví dụ công nghiệp sản xuất xi măng, sản xuất điện năng, hệ chuyên gia y học giúp chuẩn đoán điều trị bệnh, hệ chuyên gia xử lý tiếng nói, nhận dạng hình ảnh, Công cụ chủ chốt logic mờ tiền đề hóa lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ Trong chương này, mục đích giới thiệu khái niệm tập mờ, logic mờ, tập trung vào phép toán bước đầu vào lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ Khái niệm tập mờ (fuzzy set) Như biết, tập hợp thường kết hợp số phần tử có số tính chất chung Ví dụ : tập sinh viên Ta có : T = { t / t sinh viên } Vậy, người sinh viên thuộc tập T, ngược lại không thuộc tập T Tuy nhiên, thực tế sống khoa học kỹ thuật có nhiều khái niệm không định nghĩa cách rõ ràng Ví dụ, nói "nhóm sinh viên khá", ? Khái niệm không rõ ràng sinh viên có điểm thi trung bình 8.4 khá, điểm thi trung bình 6.6 ( dải điểm từ 6.5 đến 8.5), Nói cách khác, "nhóm sinh viên khá" không 64/78 định nghĩa cách tách bạch rõ ràng khái niệm thông thường tập họp Hoặc, nói đến "lớp số lớn 10" " đống quần áo cũ", , nói đến khái niệm mờ, hay khái niệm không định nghĩa cách rõ ràng Các phần tử nhóm tiêu chuẩn rõ ràng tính "thuộc về" ( thuộc tập họp đó) Đây khái niệm thuộc tập mờ Trong đối thoại hàng ngày bắt gặp nhiều khái niệm mờ Ví dụ, ông giám đốc nói: " Năm qua gặt hái số thành tích đáng khen ngợi Năm tới phải cố gắng thêm bước nữa" Đây câu chứa nhiều khái niệm mờ Như vậy, logic rõ biểu diễn đồ thị sau Logic mờ biểu diễn đồ thị đồ thị liên tục Định nghĩa tập mờ (Fuzzy set): Cho Ω không gian nền, tập mờ A ? tương ứng với ánh xạ từ ? đến đoạn [0,1] A : Ω →,1] gọi hàm thuộc (membership function) Kí hiệu A = {(a, μA(a)) / a∈ Ω } Trong đó, μA(a) ∈ [0,1] mức độ thuộc (membership degree) phần tử a vào tập mờ A Khoảng xác định hàm μA(a) đoạn [0, 1], giá trị mức độ không thuộc về, giá trị mức độ thuộc hoàn toàn μVí dụ 1: Một biểu diễn tập mờ cho số "integer nhỏ" int Ví dụ 2: Một biểu diễn tập mờ cho tập người đàn ông thấp, trung bình cao 65/78 chiều caoμ Ví dụ 3: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A ? tương ứng với ánh xạ μA sau: μA : → 2→1 → 0.5 → 0.3 → 0.2 Ta có tập mờ A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Cách viết liệt kê phần tử khác với mức độ thuộc tập họp A Từ định nghĩa suy ra: - Tập mờ A rỗng hàm thuộc μA(a)= ,∀a∈ Ω - Tập mờ A toàn phần μA(a) = ,∀a∈ Ω - Hai tập mờ A B μA(x) = μB(x) với x Ω Ví dụ 4: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A Ω tương ứng với ánh xạ μA ví du A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Tập mờ B ? tương ứng với ánh xạ μB sau: μB : → 2→1 66/78 → 0.5 → 0.3 → 0.2 Ta có tập mờ B = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Nhận thấy, μA(x) = μB(x) với x Ω Vậy A= B Các phép toán tập mờ Để tiến hành mô hình hóa hệ thống có chứa tập mờ biểu diễn qui luật vận hành hệ thống này, trước tiên cần tới việc suy rộng phép toán logic với mệnh đề có chân trị đoạn [0, 1] Cho Ω = {P1, P2, } với P1, P2, mệnh đề Tập mờ A Ω tương ứng với ánh xạ v sau: v : Ω → [0, 1] ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) Ta gọi v(Pi) chân trị mệnh đề Pi [0, 1] Phép bù Phép phủ định logic kinh điển phép toán cho việc xây dựng phép bù tập hợp Để suy rộng phép tập mờ cần tới toán tử v(NOT P) Toán tử phải thỏa tính chất sau : - v(NOT P) phụ thuộc vào v(P) - Nếu v(P)=1 v(NOT P)=0 - Nếu v(P)=0 v(NOT P)=1 - Nếu v(P1) ≤ v(P2) v(NOT P1) ≥ v(NOT P2) Định nghĩa : Hàm n : [0,1] → [0, 1] không tăng thỏa mãn điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0, gọi hàm phủ định 67/78 Ví dụ : n(x) = - x hay n(x) = - x2 hàm phủ định Ta có nhận xét : - Nếu v(P1) < v(P2) v(NOT P1) > v(NOT P2) - v(NOT P) phụ thuộc liên tục vào v(P) - v(NOT (NOT P)) = v(P) Định nghĩa (Phần bù tập mờ): Cho n hàm phủ định, phần bù Ac tập mờ A tập mờ với hàm thuộc xác định : μAC(a) = n(μA(a)) , với a∈ Ω Đồ thị hàm thuộc có dạng sau: xμAxxxμAcC Hình a Hình b Hình a : Hàm thuộc tập mờ A Hình b : Hàm thuộc tập mờ Ac Ví dụ : với n(x) = - x ta có : μAC(a) = n(μA(a)) = 1-μA(a) , với a∈ ? Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A tập mờ Ω sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Ta có : Ac = {(1,1), (2,0), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} Định nghĩa 3: a Hàm phủ định n nghiêm ngặt (strict) hàm liên tục giảm nghiêm ngặt b Hàm phủ định n mạnh (strong) chặt thỏa n(n(x)) = x , ∀x∈[0, 1] 68/78 Định nghĩa 4: Hàm φ = [a,b] → [a,b] gọi tự đồng cấu (automorphism) đoạn [a,b] hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt φ(a) = a, φ(b) = b Định lý 1: Hàm n:[0,1] → [0,1] hàm phủ định mạnh có tự đồng cấu φ đoạn [0,1] cho N(x) = Nφ(x) = φ-1(1 - φ(x)) Định lý : Hàm n: [0,1] →[0,1] hàm phủ định nghiêm ngặt có hai phép tự đồng cấu Ψ, φ [0,1] cho n(x) = Ψ (1- φ(x)) Phép giao Phép hội AND logic kinh điển sở để định nghĩa phép giao tập mờ AND thoả tính chất sau : - v(P1 AND P2) phụ thuộc vào v(P1), v(P2) - Nếu v(P1)=1 v(P1 AND P2) = v(P2) , với P2 - Giao hoán v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1) - Nếu v(P1) ≤ v(P2) v(P1 AND P3) ≤ v(P2 AND P3), với P3 - Kết hợp v(P1 AND (P2 AND P3 )) = v((P1 AND P2 )AND P3 ) Định nghĩa 5: Hàm T : [0,1]2 → [0,1] phép hội (t-chuẩn) thỏa điều kiện sau: - T(1, x) = x, với 0≤ x ≤1 - T có tính giao hoán, nghĩa : T(x,y) = T(y,x), với 0≤ x,y ≤1 - T không giảm theo nghĩa : T(x,y) ≤ T(u,v), với x ≤ u, y ≤ v - T có tính kết hợp : T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),x), với 0≤ x,y,z ≤1 Từ tính chất suy T(0,x) = 69/78 Ví dụ : T(x,y) = min(x,y) T(x,y) = max(0,x+y-1) T(x,y) = x.y (tích đại số x y) Định nghĩa 6: Cho hai tập mờ A, B không gian Ω với hàm thuộc μA(a), μB(a), cho T phép hội Ứng với phép hội T, tập giao hai tập mờ A, B tập mờ Ω với hàm thuộc cho : μAB(a) = T(μA(a), μB(a)) ∀a∈ Ω Với T(x,y)=min(x,y) ta có : μAB(a) = min(μA(a), μB(a)) Với T(x,y) = x.y ta có: μAB(a) = μA(a).μB(a) (tích đại số) Ta biểu diễn phép giao hai tập mờ qua hai hàm T(x,y)=min(x,y) T(x,y) = x.y theo đồ thị sau đây: - Hình a : Hàm thuộc hai tập mờ A B - Hình b: Giao hai tập mờ theo T(x,y) = min(x,y) - Hình c: Giao hai tập mờ theo T(x,y) = x.y μ x x x μ μ μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) Hình a Hình b Hình c Ví dụ : Cho = {1, 2, 3, 4, 5}, A, B tập mờ ? sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} 70/78 Với T(x,y) = min(x,y), ta có : AB = {(1,0), (2,0.5), (3,0.5), (4,0.2), (5,0.2)} AAc = {(1,0), (2,0.1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Phép hợp Phép tuyển OR logic kinh điển sở để định nghĩa phép hợp tập mờ OR thoả tính chất sau : - v(P1 OR P2) phụ thuộc vào v(P1), v(P2) - Nếu v(P1) = v(P1 OR P2) = v(P2) , với P2 - Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1) - Nếu v(P1) ≤ v(P2) v(P1 OR P3) ≤ v(P2 OR P3), với P3 - Kết hợp v(P1 OR (P2 OR P3 )) = v((P1 OR P2 ) OR P3 ) Định nghĩa 7: Hàm S :[0,1]2 → [0,1] gọi phép tuyển (t- đối chuẩn) thỏa tiên đề sau : - S(0, x) = x, với 0≤ x ≤1 - S có tính giao hoán, nghĩa : S(x,y) = S(y,x), với 0≤ x,y ≤1 - S không giảm theo nghĩa : S(x,y) ≤ S(u,v), với x ≤ u, y ≤ v - S có tính kết hợp : S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),x), với 0≤ x,y,z ≤1 Từ tính chất suy S(1,x) = Ví dụ : S(x,y) = max(x,y) S(x,y) = min(1, x+y) S(x,y) = x + y - x.y 71/78 Định nghĩa 8: Cho hai tập mờ A, B không gian Ω với hàm thuộc μA(a), μB(a) Cho S phép tuyển , phép hợp hai tập mờ A, B tập mờ Ω với hàm thuộc cho : μA?B(a) = = S(μA(a), μB(a)) , ∀a∈ Ω Với S(x,y) = max(x,y) ta có : μA?B(a) = max(μA(a), μB(a)) ( xem hình a) Với S(x,y) = min(1, x+y) μA?B(a) = min(1, μA(a) + μB(a)) (xem hình b) Với S(x,y) = x + y + x.y μA?B(a) = μA(a) + μB(a) - μA(a).μB(a) (xem hình c) Có thể biểu diễn giao tập mờ với phép toán đồ thị sau : μ x x x μ μ μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) Hình a: Hình b Hình c Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A, B tập mờ Ω sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Ta có : A B = {(1,0), (2,1), (3,0.7), (4,0.3), (5,0.4)} A Ac = {(1,1), (2,1), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} Một số qui tắc Trong logic rõ với hai giá trị đúng, sai, có nhiều qui tắc đơn giản mà thường sử dụng xem tính chất hiển nhiên Ví dụ : với tập rõ A ⊂ Ω , ta có: A?Ac = ∅ A ?Ac = Ω 72/78 Thực ra, qui tắc có nhờ vào xây dựng toán học trước Chuyển sang lý thuyết tập mờ hai tính chất quen dùng không Do đó, cần xem xét lại số tinh chất • Tính lũy đẳng (demportancy) Chúng ta nói T lũy đẳng T(x,x) = x, ∀x∈[0,1] Tương tự, S lũy đẳng S(x,x) = x, ∀x∈[0,1] • Tính hấp thu (absorption) Có hai dạng hấp thu : - T(S(x,y),x) = x , ∀x,y∈[0,1] - S(T(x,y),x) = x , ∀x,y∈[0,1] • Tính phân phối (distributivity) Có hai biểu thức xác định tính phân phối: - S(x,T(y,z)) = T(S(x,y), S(x,z)), ∀x,y,z∈[0,1] - T(x,S(y,z)) = S(T(x,y), T(x,z)), ∀x,y,z∈[0,1] • Luật De Morgan Cho T t-chuẩn, S t-đối chuẩn, n phép phủ định Chúng ta có ba (T,S,n) ba De Morgan : n(S(x,y)) = T(nx,ny) Phép kéo theo Chúng ta xét phép kéo theo mối quan hệ, toán tử logic Ta có tiên đề sau cho hàm v(P1 → P2) : - v(P1 → P2) phụ thuộc vào v(P1), v(P2) - Nếu v(P1) ≤ v(P3) v(P1 → P2) ≥ v(P3 → P2), ∀P2 - Nếu v(P2) ≤ v(P3) v(P1 → P2) ≤ v(P1 → P3), ∀P1 73/78 - Nếu v(P1) = v(P1 → P) = , ∀P - Nếu v(P1) = v(P → P1) = , ∀P - Nếu v(P1) = v(P2) = v(P1 → P2) = Tính hợp lý tiên đề dựa vào logic kinh điển tư trực quan phép suy diễn Từ tiên đề ban đầu (v(P1 → P2) phụ thuộc vào v(P1), v(P2)) khẳng định tồn hàm số I(x,y) xác định [0,1]2 với mong muốn tính chân trị phép kéo theo qua biểu thức v(P1 → P2) = I(v(P1), v(P2)) Định nghĩa 9: Phép kéo theo hàm số I : [0,1]2 → [0,1] thỏa điều kiện sau : - Nếu x ≤ z I(x,y) ≥ I(z,y), ∀y∈[0,1] - Nếu y ≤ u I(x,y) ≤ I(z,y), ∀x∈[0,1] - I(0,x) = 1, ∀x∈[0,1] - I(x,1) = 1, ∀x∈[0,1] - I(1,0) = Định nghĩa 10: Cho T t-chuẩn, A t-đối chuẩn, n phép phủ định Hàm IS(x,y) xác định [0,1]2 biểu thức : IS(x,y) = S(n(x),y) Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A, B tập mờ Ω sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Với S(x,y) = max(x,y) n(x) = - x ta có : Is (0,0) = S(n(0),0) = 74/78 Is (1,0.5) = S(n(1),0.5) = 0.5 Is (0.5,0.7) = S(n(0.5),0.7) = 0.7 Is (0.3,0.2) = S(n(0.3),0.2) = 0.7 Is (0.2,0.4) = S(n(0.2),0.4) = 0.8 Tổng kết chương lý thuyết mờ Tất kiến thức trình bày chương phần lý thuyết tập mờ logic mờ Chúng không sâu vào chi tiết mà nhằm mục đích trình bày khái niệm phép toán để sinh viên nắm bắt vấn đề bên cạnh logic rõ có logic mờ Sinh viên tìm hiểu sâu logic mờ năm thứ tư phần ứng dụng logic mờ vào điều khiển tự động hóa (dành cho lớp điện tử) hay ứng dụng logic mờ trí tuệ nhân tạo Tuy vậy, hy vọng với sở kiến thức logic mệnh đề, suy luận toán học, vị từ lý thuyết tập mờ giáo trình hành trang hữu ích để vào tri thức cao Bài tập lý thuyết mờ logic mờ Cho ? = {6, 2, 7, 4, 9}, tập mờ A, B, C ? tương ứng với ánh xạ μA , μB μC sau: A = {(6,0.2), (2,0.9), (7,0.5), (4,0.3), (9,0.2)} B = {(6,0), (2,1), (7,0.5), (4,0.6), (9,0.1)} C = {(6,0.3), (2,0.1), (7,1), (4,0), (9,0.5)} a/ Tính tập AC, BC CC với hàm thuộc 1-x b/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với S(x,y) = max(x,y) Cho tập mờ A,B,C định nghĩa số nguyên Ω = [0,5] với hàm thuộc sau: μA = x +x μB = 1x Hãy xác định tập mờ sau dạng liệt kê đồ thị : a/ Tính tập AC, BC CC với hàm thuộc 1-x 75/78 b/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với S(x,y) = max(x,y) Thiết lập mô hình phân loại sinh viên qua tập mờ sinh viên cần cù, sinh viên thông minh sinh viên lười Cho A tập mờ xác định X Hãy biểu thức A CC = X không tập họp kinh điển Kiểm tra xem tập mờ A, B với hàm thuộc xác định tập thỏa hai công thức De Morgan 76/78 Tham gia đóng góp Tài liệu: Giáo trình toán rời rạc Biên tập bởi: Ngoc Chau Lam Thi URL: http://voer.edu.vn/c/14c7d067 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Đại số mệnh đề Các tác giả: unknown URL: http://www.voer.edu.vn/m/2cab0bb0 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Suy luận toán học Các tác giả: unknown URL: http://www.voer.edu.vn/m/bc443e21 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Vị từ lượng vị từ Các tác giả: unknown URL: http://www.voer.edu.vn/m/269fe924 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Lý thuyết tập mờ logic mờ Các tác giả: unknown URL: http://www.voer.edu.vn/m/864d03bb Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ 77/78 Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (Vietnam Open Educational Resources – VOER) hỗ trợ Quỹ Việt Nam Mục tiêu chương trình xây dựng kho Tài nguyên giáo dục Mở miễn phí người Việt cho người Việt, có nội dung phong phú Các nội dung đểu tuân thủ Giấy phép Creative Commons Attribution (CC-by) 4.0 nội dung sử dụng, tái sử dụng truy nhập miễn phí trước hết trong môi trường giảng dạy, học tập nghiên cứu sau cho toàn xã hội Với hỗ trợ Quỹ Việt Nam, Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (VOER) trở thành cổng thông tin cho sinh viên giảng viên Việt Nam Mỗi ngày có hàng chục nghìn lượt truy cập VOER (www.voer.edu.vn) để nghiên cứu, học tập tải tài liệu giảng dạy Với hàng chục nghìn module kiến thức từ hàng nghìn tác giả khác đóng góp, Thư Viện Học liệu Mở Việt Nam kho tàng tài liệu khổng lồ, nội dung phong phú phục vụ cho tất nhu cầu học tập, nghiên cứu độc giả Nguồn tài liệu mở phong phú có VOER có chia sẻ tự nguyện tác giả nước Quá trình chia sẻ tài liệu VOER trở lên dễ dàng đếm 1, 2, nhờ vào sức mạnh tảng Hanoi Spring Hanoi Spring tảng công nghệ tiên tiến thiết kế cho phép công chúng dễ dàng chia sẻ tài liệu giảng dạy, học tập chủ động phát triển chương trình giảng dạy dựa khái niệm học liệu mở (OCW) tài nguyên giáo dục mở (OER) Khái niệm chia sẻ tri thức có tính cách mạng khởi xướng phát triển tiên phong Đại học MIT Đại học Rice Hoa Kỳ vòng thập kỷ qua Kể từ đó, phong trào Tài nguyên Giáo dục Mở phát triển nhanh chóng, UNESCO hỗ trợ chấp nhận chương trình thức nhiều nước giới 78/78 [...]... suy diễn sau là có cơ sở đúng không ? " Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này thì bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này" Nhận thấy suy diễn này là dựa trên mệnh đề sau : ((P→Q) ^ Q) → P Trong đó: P = "Bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2" Q = "Bạn nắm vững logic" Mệnh đề ((P→Q) ^ Q) → P không phải là hằng đúng... văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng trong tin học Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 3, trang 208 - 228) Nội dung cốt lõi - Khái niệm về suy luận toán học - Trình bày các phương pháp chứng minh bao gồm: Chứng minh rỗng Chứng minh tầm thường Chứng minh trực tiếp Chứng minh gián tiếp Chứng minh phản chứng 26/78 Chứng minh qui nạp Suy luận toán học Khái niệm Suy luận... minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề, chủ yếu là phép kéo theo Để chứng minh một vấn đề nào đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (có thể gọi là giả thiết) và điểm kết thúc (gọi là kết luận) Quá trình đi từ giả thiết đến kết luận gọi là quá trình chứng minh và quá trình này đươc thực thi bằng cách nào thì gọi đó là phương... 25/78 Suy luận toán học Tổng quan về suy luận toán học & các phương pháp chứng minh Mục tiêu của chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: - Khái niệm về suy luận toán học - Các phương pháp chứng minh và biết vận dụng các phương pháp này để chứng minh một bài toán cụ thể Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm: - Các phép toán đại số, hình... phần đại số mệnh đề Trong chương này sinh viên cần nắm vững định nghĩa mệnh đề cùng các phép toán logic Ngoài ra, các thuật ngữ chuyên ngành cũng rất quan trọng Sinh viên phải biết cách áp dụng các phép toán logic trong lập trình Tuy nhiên, có vấn đề cần lưu ý khi áp dụng tính giao hoán Trong một vài ngôn ngữ lập trình, ví dụ như C, Java, C++ thì việc sử dụng tính chất giao hoán có thể không là một ý tưởng... không hoàn toàn có cơ sở đúng Bởi vì, khi Q là T nghĩa là bạn đã nắm vững logic nhưng không chắc là bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này mà có thể giải sách khác (P là F) Giới thiệu phương pháp chứng minh Như đã giới thiệu trong phần trên, mỗi bài toán cần chứng minh thông thường đều có hai phần chính là giả thiết và kết luận Việc chỉ ra được cái nào là giả thiết, cái nào là kết luận... hôm nay trời mưa thì cô ta không đến, Nếu cô ta không đến thì ngày mai cô ta đến, Vậy thì, nếu hôm nay trời mưa thì ngày mai cô ta đến." Đây là suy diễn dựa trên qui tắc tam đoạn luận giả định • "Nếu hôm nay tuyết rơi thì trường đại học đóng cửa Hôm nay trường đại học không đóng cửa Do đó, hôm nay đã không có tuyết rơi " Đây là suy diễn dựa trên qui tắc Modus Tollens 28/78 • " Alice giỏi toán Do đó,... toán thì ta được một biểu thức mệnh đề Chú ý : Một mệnh đề cũng là một biểu thức mệnh đề Nếu P là một biểu thức mệnh đề thì ?P cũng là biểu thức mệnh đề Chân trị của biểu thức mệnh đề là kết quả nhận được từ sự kết hợp giữa các phép toán và chân trị của các biến mệnh đề Ví dụ : Tìm chân trị của biểu thức mệnh đề ¬ P ^V (Q ^ R ) Do biểu thức mệnh đề là sự liên kết của nhiều mệnh đề bằng các phép toán. .. Q là hằng đúng • Ví dụ 2 : Chứng minh rằng ? 19/78 • Ví dụ 3 : Áp dụng trong lập trình Giả sử trong chương trình có câu lệnh sau : while(NOT(A[i]!=0 AND NOT(A[i]>= 10))) Ta có thể viết lại câu lệnh này một cách đơn giản hơn bằng cách sử dụng công thức De Morgan while( A[i]==0 OR A[i]>= 10) • Ví dụ 4: Giả sử trong chương trình có câu lệnh sau : while( (i10) OR (i