Trng THPT Tõn Hng T toỏn THI THAM KHO THPT QUC GIA NM 2015- 2016 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu I (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = (1,0 im) : Cho hm s y = 2x +1 x +1 x cú th (C) Vit phng trỡnh tip 2x + tuyn vi th (C) Bit tip tuyn song song vi ng thng y = 3x + 2016 Cõu II (1,0 im) Cho tan a = Tớnh giỏ tr biu thc: E = 8cos3 a 2sin3 a + cos a cos a sin3 a Cho s phc z tha món: ( 2i ) z ( i ) = ( + i ) z Tớnh mụun ca z Cõu III 0,5 im) Gii phng trỡnh: (3 + 5)x + 16(3 5) x = x+3 Cõu IV (1,0 im) Tớnh tớch phõn: (e tan x + x) cos x dx Cõu V (1,0 im) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy, cnh bờn cựng bng a Gi M l trung im ca SC Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S.ABCD theo a Tớnh khong cỏch t S n mp(ABM) theo a Cõu VI (1,0 im) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz vit phng trỡnh mt phng x y z = = (P) cha ng thng d: v song song vi ng thng : x = t y = t z = + t Tớnh khong cỏch t n mp(P) Cõu VII (0,5 im) Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a15x15 Tỡm h s a10 Cõu VIII (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy cho tam giỏc ABC cú nh A(-2; -1) v trc tõm H(2; 1) Cnh BC = 20 Gi I, J ln lt l chõn cỏc ng cao h t B, C Trung im ca BC l im M thuc ng thng d: x 2y = v M cú tung dng ng thng IJ i qua im E(3; - 4) Vit phng trỡnh ng thng BC Cõu IX (1,0 im) Giai bt phng trinh: x + 3x + x + Ê 2x + x+ Cõu X (1,0 im) Cho a, b, c l ba s thc dng tho món: a + b + c = nh nht ca biu thc P = +5 x Tỡm giỏ tr 672 1 + + a + 2015b b + 2015c c + 2015a -HT Câu Cõu I (1,0 im) Hng dn chm (2,0 điểm) Khảo sát * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên Ta có y ' = Điểm 0,25 > với x - ( x + 1) Nên hàm số đồng biến khoảng xác định y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = - Giới hạn tiệm cận: xlim + x lim y = +; lim + y = ; tiệm cận đứng: x = - x ( 1) Bảng biến thiên x - y + 0,25 + -1 + + y x ( 1) 0,25 - * Đồ thị Giao với trục Oy: (0; 1); Giao với Ox: (-1/2; 0) Tâm đối xứng I(-1; 2) 0,25 2/ (1,0 điểm) Gi M(xo; yo) l tip im, h s gúc ca tip tuyn l y '( x0 ) = ( 2x + 1) 0,25 H s gúc ca ng thng (d): y = 3x + 2016 l k = Tip tuyn song song vi (d) ch y(xo) = k 0,25 ( 2x ( 2x + 1) =3 + 1) = 2 x + = x0 + = x = x0 = 0,25 Vi xo = yo = Pttt cn tỡm l: y = 3x Vi xo = yo = Pttt cn tỡm l: y = 3(x + 1) y = 3x + 0,25 Cõu II (1,0 im) 1.(0,5im) Chia c t v mu cho cos3 x ta c: E= tan a + cos a = cos a = tan a ( ) ( + tan a ) tan a tan a + + tan a 0,25 Thay tan a = ta c: E = 0,25 (0,5im) Gi s z = a + bi ( a,b R ) Gt ( 2i ) ( a bi ) + 4i = ( + i ) ( a + bi ) 3a 2b ( 2a + 3b ) i = 2a b + ( a + 2b ) i 3a 2b = 2a b a = z = 10 2a 3b = a + 2b b = Cõu III (0,5 im) x x 3+ Phng trỡnh ữ + 16 ữ =8 2 0,25 0,25 x 3+ t t = ữ 16 ( t > ) pt : t + t = t 8t + 16 = t = x 3+ Vi t =4 ữ = x = log 3+ 0,25 0,25 KL: Phng trỡnh cú nghim nht Cõu IV (1,0 im) I= e tan x cos2 x dx + x cos2 xdx = I1 + I2 Tớnh I1 : t t = tanx dt = I1 = e t dt = e t dx cos x ; x = t = 0; x = 0,25 t =1 = e 0,25 u = x du = dx Tớnh I2: t dx v = tan x dv = cos x d ( cosx ) + = + ln cos x 04 I = x tan x tan xdx = cosx 0 = + ln 2 Vy: I = e + ln + 0,25 0,25 S Cõu V (1,0 im) M 1/ 0,5 im N B C H A a) D Ta cú VS ABCD = S ABCD SH Vỡ S.ABCD l hỡnh chúp t giỏc u cú cỏc cnh bờn bng v SH ( ABCD) b) Ta cú S ABCD = a Xột tam giỏc SAC vuụng ti S nờn SH l trung tuyn v l ng cao ca a AC = ( AC = 2a ) 2 a a3 = a = W tam giỏc nờn ta cú SH = Vy: VS ABCD 2/ 0,5 im c) Vỡ M l trung im SC nờn mp(ABM) ct SD ti N l trung im 0,25 0,25 SD Ta cú VS ABMN = VS ABN +VS BMN Mt khỏc BCD = ABD VS ABD = VS BCD = VS ABCD VS ABN SA.SB.SN = = (vỡ N l trung im SD) VS ABD SA.SB.SD VS BMN SB.SM SN 1 = = = VS BCD SB.SC.SD 2 1 VS ABMN = VS ABN + VS BMN = VS ABD + VS BCD 1 3 a3 a3 = VS ABDC + VS ABCD = VS ABCD = = W 8 16 Xột t s M ABMN l hỡnh thang cõn cú AB = a ; a a 3a a a 11 MN = ;AN = cao MK = = 2 16 a a + a 11 3a 11 SABMN = = 16 0,25 M VS.ABMN = SABMN d d = 3VS.ABMN SABMN 3a a 22 d( S,( ABM ) ) = d = 16 = 11 3a 11 16 r r (P) cú cp vộc-t cp u1 = ( 1;2;3) & u = ( 1;1;1) r r r Cõu VI n = [ u1,u ] = ( 1; 4;3) v Nờn (P) cú vộc-t phỏp tuyn (1,0 im) M1 ( 1;2;3) ( P ) Suy phng trỡnh mp(P): x + 4y 3z = Ly 0,25 0,25 0,25 M ( 1;0;1) d = d( ,(P) ) = d ( M ,(P) ) 26 = = Vy: d = 13 26 12 + 42 + 32 ( P(x) = + x + x + x 0,25 0,25 ) = (1 + x ) (1 + x ) 5 H s a10 l h s ca x10 Cõu VII (0,5 im) + Ta cú: ( + x ) = C50 + C51 x + C52 x + C53 x3 + C54 x + C55 x5 ( + Ta cú: + x ) = C50 + C51 x + C52 x + C53 x + C54 x8 + C55 x10 0,25 Suy h s ca s hng x10 ca f(x) l: C50C55 + C52C54 + C53C54 = 1.1 + 50 + 50 = 101 0,25 ( x10 = x10 x = x8 x = x x ) A E I J Cõu VIII (1,0 im) H B d M C T giỏc AIHJ ni tip trũn ng kớnh AH, cú phng trỡnh: x + y = (C) Vỡ M thuc d nờn ta M(2b + ; b) ng trũn tõm M, ng kớnh BC cú pt : ( x 2b 1) + ( y b ) = (C) D thy I, J thuc ng trũn (C) (vỡ t giỏc BCIJ ni tip ng kớnh BC) Vy I, J l giao im ca ng trũn (C), (C) nờn pt IJ cú dng : 2 x + y = x + y ( 2b + 1) x 2by + ( 2b + 1) + b ( 2b + 1) x + 2by ( 2b + 1) b = Vỡ IJ qua E nờn ta cú b = b = M b > nờn b = suy M(3; 1) uuur ng thng BC qua M, cú vộc-t phỏp tuyn AH 0,25 0,25 Vy phng trỡnh BC: Cõu IX (1,0 im) 2x + y = 0,25 ỡù x + 3x ùù ùù x + ù x > iờu kiờn: ùớù x ùù ùù x + + ùùợ x ( *) x x ( x + 3) + x + - 2x - ( x + 2) ( x + 3) x+ x x x+ x- x+ x ổx + ỗ x- x+ ỗ ỗ ỗ x ỗ ố ( ( ) 0,25 0,25 x + 5x + Ê0 x + x + - 2x Ê ) - 2( x - ) x+ Ê ữ 2ữ Ê0 ữ ữ ữ ứ x +3 x+3 20 20 x v x x x + x x + x + x+3 x+3 x 20 x x>0 x x x + x x + H: x x x x2 x 0,25 x + x+3 x+3 20 x x x > (KX) x x x + x x + H: x x x < x < x KL: bpt cú nghim S = ( 0;1] [ 2; + ) p dng Bt ng thc Cụsi cho ba s dng ta cú Cõu X (1,0 im) 0,25 0,25 1 1 (x + y + z ) + + 33 xyz =9 + + (*) x y z x+y+z xyz x y z áp dụng (*) ta có: P= 1 + + a + 2015b b + 2015c c + 2015a a + 2015b + b + 2015c + c + 2015a ỏp dng Bt ng thc Cụsi cho ba s dng ta cú: a + 2015b + + 1 ( a + 2015b ) 1.1 = ( a + 2015b + ) 3 b + 2015c + + 1 ( b + 2015c ) 1.1 = ( b + 2015c + ) 3 c + 2015a + + 1 ( c + 2015a ) 1.1 = ( c + 2015a + ) 3 Suy a + 2015b + b + 2015c + c + 2015a 2016 ( a + b + c ) + 1 = 2016 + = 3 672 Do P 0,25 0,25 0,25 Dấu = xảy 1 a + b + c = a=b=c= 672 2016 a + 2015b = b + 2015c = c + 2015a = 2016 Ghi chỳ: Hc sinh lm ngoi hng dn chm ỳng chm im tng ng tng phn theo hng dn Vậy P đạt giá trị nhỏ a = b = c = 0,25