Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 chi tiết, tỉ mỉ. Ngoài việc cung cấp tài liệu , giáo án còn định hướng việc xây dựng và cách thức xây dựng bài tập hiệu quả cho các giáo viên và học sinh yêu thích môn toán
“Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán Chương I PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT VÀ ỨNG DỤNG A Định nghĩa: Hai biểu thức đại số gọi hai biểu thức đại số đồng với Phép biến đổi đồng nhất(BĐĐN) phép biến đổi biểu thức thành biểu thức với nó, chẳng hạn phép tính nhân chia cộng trừ, phân tích thành nhân tử, phép biến đổi đẳng thức, biến đổi phân thức, biến đổi thức… B Bài tập: Các kĩ thường dùng nhiều tập nâng cao BĐĐN “Dùng đẳng thức”, “Phân tích thành nhân tử” Khi thực hành biến đổi biểu thức đại số cần khai thác nội dung có phần tương tự Cần ý rèn luyện thao tác biến đổi theo hai hướng ngược nhau, biến đổi đồng thời Luôn biết phối hợp thao tác biến đổi đồng biết với kĩ có Chủ đề PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRONG VIỆC GIẢI PT BẬC CAO I Vận dụng trực tiếp phương pháp phân tích thành nhân tử biết 1) Phương pháp nhẩm nghiệm: * Đa thức bậc vốn dễ dàng phân tích thành nhân tử Bằng việc nhân thêm vào hay đa thức bậc tạo đa thức bậc 3, khó khăn việc phân tích Tuy nhiên đa thức bậc vốn dễ nhẩm nhờ việc nhẩm nghiệm, ta nhờ điều để giải khó khăn toán- đương nhiên cách để tạo toán Bài Giải phương trình sau cách đưa dạng tích: a) 5x3 - 6x2 - 2x3 + = b) x + 3x − 2x − = c) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = d) x + x + 6x - = e) x + 4x – 29x +24 = g) x3 + 6x2 +11x +6 =0 Hd: a) Nếu pt có nghiệm nguyên số phải ước hạng tử tự do(ở 3) Ta nhẩm thử nghiệm x = phân tích thành nhân tử chứa nhân tử x - 5x3 - 6x2 - 2x3 + = ⇔ 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + = ⇔ (x - 1)(x2 - x - 3) = 2) Phương pháp nhóm đẳng thức tạo đẳng thức với pt bậc đặc biệt: * Với đẳng thức đơn giản A2 – B2, việc thay A, B đa thức bậc hai ta tạo phương trình bậc giải linh hoạt nhờ nhóm đẳng thức Bài Giải phương trình: a) x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - = b) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - = c) x4 – 4x2 +12x – = a) Ta thấy pt ng0 nguyên, nhiên với lưu ý: bình phương x2 x4, x x2 tích chúng x3; lại thấy 4=22, 8=2.2.2, 32= 36 – 4; ta biến đổi sau: x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - = ⇔ (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = ⇔ (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = ⇔ (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = b) x4 + 4x3 + 3x2 - 2x - = ⇔ (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = II Phương pháp đặt biến phụ với phương trình đặc biệt: * Như nêu, đa thức bậc vốn dễ dàng phân tích thành nhân tử Bằng việc thay đổi biến x biểu thức phức tạp tạo đa thức bậc cao, phức tạp Tuy nhiên ta tinh ý đưa trở lại đa thức bậc hai gốc- dễ dàng giải Bài Giải phương trình trùng phương: (Thay x xn) a) x − 29x + 100 = ; b) 3x4 - 22x2 - 45 = c) x6 - 9x3 + = Bài Một số phương trình bậc cao đặc biệt có nhờ thay x đa thức bậc hai: b) (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = c) (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - = d) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = e) x(x2 - 1)(x + 2) + = f) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = g) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán h) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = Bài Thay x biểu thức có tính chất đặc biệt: Chẳng hạn, từ (x + ) = x2 + +2 ta có x x giải pt: a) x2 + 1 =x+ ; x x b) 4x + + = 8x + x x A A Bài Thay x phân thức: Từ phương trình đơn giản kiểu ( ) + n( ) + m = , ta xây B B dựng phương trình phức tạp như: a) x4 + 3x2(x-5) + 2(x – 5)2 =0; b) x + (x +1)(5x2 - 6x - ) = b) Phương trình có dạng x + 5x2 (x +1) – ( x+ 1)2 = Nhận thấy x = -1 không nghiệm phương trình nên ta chia vế cho ( x +1)2 x2 x2 x2 ta được: + x + - = Đặt x + ta X + X – = x + @ Bằng việc thay nói, tạo phương trình dễ phát đặc điểm Bài Phương trình bậc chẵn có hệ số đối xứng: (Đây dạng pt bậc hai đặc biệt thay x x + dễ phát hiện) x a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (1) ( Đối xứng bậc 4) n Cách giải: Chia hai vế cho x ≠ Đặt x + = y (1) x Ta thấy x = không nghiệm phương trình Chia hai vế cho x2 ≠ ta có phương trình : 1 1 2x2 + 3x - 16 + + = x + + 3 x + = 16 = x x x x 1 Đặt x + = y (2) ⇒ x + = y2 - Ta có phương trình 2y2 + 3y - 20 = x x b) x + 5x - 12x + 5x + = d) x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + = c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + = Bài Phương trình bậc lẻ có hệ số đối xứng: a) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = ( Đối xứng bậc 5) Cách giải: Vì x = -1 nghiệm phương trình đối xứng bậc lẻ Nên phương trình cho trở thành phương trình (x + 1).f(x) = (Trong f(x) = có hệ số đối xứng bậc chẵn) Do pt bâc lẻ có hệ số đối xứng đưa giải pt đối xứng bậc chẵn f(x) = pt x + = Phương trình cho phương trình đối xứng bậc 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = ⇔ (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = b) x5 + 2x3 - 3x3 - 3x2 + 2x + = d) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + = c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + = Bài Phương trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax2 ( Trong ab = cd) a) (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 Cách giải: ⇔ 4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x2 (1) Ta thấy x = nghiệm Chia hai vế phương trình (1) cho x2 ≠ 60 60 60 Ta được: x + 16 + ÷ x + 17 + ÷ = Đặt x + 17 + = y , ta có 4(y - 1)y - = x x x b) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x2 c) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x2 Bài 10 Phương trình dạng: (x - a)4 + (x - b)4 = A, ( x + b) + ( x + b) = c “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” a+b = y để đưa phương trình cho phương trình trùng phương Cách giải: Đặt ẩn phụ x m a) (x - 6)4 + ( x- 8)4 = 16 Đặt x - 6+8 = x - = y b) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 d) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 (y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 ⇔ y4 + 6y2 - = c) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 e) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64 III Phát triển phương trình hỗn hợp từ toán phân tích thành nhân tử đơn giản: * Đôi phương trình phát triển dựa phương trình đơn giản kết hợp với toán phân tích thành nhân tử dễ lớp để tạo phương trình vô phức tạp Bài 11 Chẳng hạn từ toán phân tích thành nhân tử lớp : u + v − − uv = ( u − 1) ( v − 1) au + bv − ab − vu = ( u − b ) ( v − a ) ta kết hợp với phương trình đơn giản khác để tạo phương trình phức tạp như: a) x + x − − − x x − = ; b) x + x − − ( x + 1) x − = d) x + = x − x − g) x + 10 x + 21 = x + + x + − k) x + x + 15 = x + + x + − c) x + + x x + = x + x + x + e) x − x − − ( x − 1) x + x − x = h) x − x − − x − + = x + l) ( x + 2) x − + (5 − x) x + + x − x − 10 = x − Hd: d) Đk: x ≥ −3 Pt ⇔ ( + + x ) x = x + +1 = x = 9x ⇔ ⇔ x = −5 − 97 x + +1 = −3 x 18 • Đề nghị hs hiểu biết hãy: - Tạo nhiều phương trình hay tương tự - Sưu tầm tập tài liệu “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán Chủ đề BĐĐN VỚI PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN, PT NGHIỆM NGUYÊN * Như biết, phương trình nhiều ẩn giải phương pháp thông thường Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt loại phương trình giải dễ dàng Chẳng hạn: I Phương pháp Phân tích vế thành tích, vế thành số nguyên * Nhờ tính chất tổng, tích số nguyên số nguyên người ta toán phương trình nhiều ẩn như: Tìm x, y nguyên để (2x – 3)(y + 5) = Do x, y nguyên nên 2x – 3, y + số nguyên Mà = 1.3 = -1.(-3) 2 x − = 2 x − = Vậy … y +5 = y +5 =1 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1) xy + 3x - 5y = -3 2) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 3) x2 + x = y2 - 19 4) x3 – y3 = 91` 5) x2 + 21 = y2 6) x2 – 6x + 54 = y2 7) xy = 3(x + y) 7) xy = 5(x + y) 7) xy = p(x + y) (p số nguyên tố) 9) x + xy + y = 10) y = x(x+1)(x+7)(x+8) 11) y(x – 1) = x2 + 12) 2x2-2xy=5x-y-19 13) x2+2y2+3xy+3x+5y=15 14) x4 – y4 – 20x2 + 28y2 = 107 15) x2 – 25 = y(y + 6) 16) 2x3 + xy – = 17) x2 + y2 = 2x2y2 8) Tìm số ngtố x, y thỏa x2 – 2y2 – = 18) x2 + 4x – y2 = Giải: ⇔ (x – 5) (y + 3) = -18 1) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18 Cách : x = 5y − 18 = 5− y+3 y+3 2) Tương tự ⇔ (2x + 1)2 - (2y)2 = -75 3) 4x2 + 4x = 4y2 – 76 4) Hằng đăngt thức 5) Hằng đăngt thức (Có thể hỏi là: Tìm số nguyên x để x2 số phương) 6) Nhóm đẳng thức, tạo hiệu bình phương 7) (x-p)(y-p) = p2 = 1.p2 = -1(-p2) = p.p = -p(-p) 8) (x – 1)(x + 1) = 2y2= câu 9) (x+1)(y+1)=10 10) y2 = t(t+7) 4y2 - (2t+7)2 = 49 x2 + 12) 2x(x-y-2) = x-y-2-17 = x +1+ x −1 x −1 13) Đa thức bậc 2, biến x phân tích thành tích nhờ phương pháp đa thức bậc hai (đương nhiên nhân vế với để dùng đẳng thức dễ dàng) 14) (x – 20x +100) – (y4 - 28y2 + 196) = 11 15) x2 – (y2 + 6y+ 9) = 16 16) x(2x2 + y) = 17) (2x2 - 4x2y2) - (1- 2y2) = -1 18) (x2 + 4x + 4) – y2 = 11) y(x – 1) =(x-1)(x+1) +3 y = “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” II Phương pháp 2: Phương pháp đánh giá, giới hạn miền xác định ẩn * Nhờ tính chất chia hết(chẳng hạn M2, người ta giới hạn miền xác định ẩn không tùy ý mà số chẵn), tính chất lũy thừa chẵn( ≥ 0, để giới hạn miền xác định ẩn số không âm), điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai( ∆ ≥ , giúp giới hạn miền xác định ẩn coi phương trình bậc hai ẩn kia) , tính chất bất phương trình tích đặc biệt Tính chất bất phương trình giá trị tuyệt đối(chẳng hạn : ( x − 5)( x − 2) < ⇔ < x < 5; (7 − x)(2 x − 8) > ⇔ < x < ; A ≤ ⇔ −3 ≤ A ≤ , giúp giới hạn cách ghê gớm miền giá trị ẩn- đặc biệt ẩn số nguyên) để từ xây dựng tạo phương trình nghiệm nguyên giải phương pháp Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1) 2x2 + 4x = 19 -3y2 ; 2) 6x2 + 5y2 = 74 3) 5x2 + y2 + 36x + 2xy + 72 =0 4) x2 – 6xy + 13y2 = 100 5) x2 + 2y2 – 2xy – 7y + 10 = 6) y2 + 2xy – 3x – =0 7) 5x+7y=112 (x,y ∈ Z + ) 7) 5x + 19y = 674(x,y ∈ Z + ) 9) x2 –xy + y2 = 10) Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 11) (x2 + y)(x+y2) = (x-y)3 13) 7(x+y) = 3(x2-xy+y2) 8) x2 = y(y+1)(y+2)(y+3) x + y = z 12) Tìm số nguyên dương thỏa mãn: 3 x + y = z 14) Tìm x, y nguyên dương nhỏ 10 cho 3x - 4y = - 21 Giải : Pt ⇔ 4x2 + 8x + = 42 - 6y2 ⇔ (2x + 2)2 = (7 - y2) 1) Vì (2x + 2)2 ≥ ⇒ - y2 ≥ ⇒ y ≤ Mà y ∈ Z ⇒ y = ; ± ; ± Từ ta tìm giá trị tương ứng x 2) Cách : Từ (1) ta có x2 + M < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = x2 = Với x2 = ⇒ y2 = 10 (loại) 2 Với x = ⇒ y = (thoả mãn) Cách : Ta có :(1) ⇒ y2 chẵn < y2 ≤ 14 ⇒ y2 = ⇒ x2 = 3) (2x + 9)2 + (x + y)2 = x + ≤ (Ngoài giải theo p2 thứ 3) y ≤ 25 ⇔ y ≤ ⇔ −5 ≤ y ≤ 4) (x – 3y) = 4(25 – y ) y = 25 − y sô phuong 2 5) (x + y)2 + (y-5)(y-2) =0 (y-5)(y-2) ≤ y ∈ ; ; ; x 6) (x + y)2 = (x +1)(x + 2) (x +1)(x + 2) số phương = số liên tiếp 112 − y 2(1 − y ) = 22 − y + − y M5 112 – 7y > 0< y < 16, y : dư 5 8) x2 = a2 + 2a(đặt biến phụ a) Nếu a > a2 < x2 < (a + 1)2 số phương x2 Nếu a ≤ nghĩa y(y+3) ≤ -3 ≤ y ≤ y = x = 7) x = “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán y 3y ) =32 y 3y Ta thấy (x- )2 ≥ ⇒ ≥ ⇒ -2 ≤ y ≤ 2 ⇒ y= ± 2; ±1; thay vào phương trình tìm x Ta nghiệm nguyên:(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) 9) x2 –xy + y2 = ⇔ (x- 10) Ta có y2 – 2x2 = ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + ⇔ x2 = k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 11) Đặt nhân tử chung y, lại coi đa thức bậc hai biến y dùng phương pháp đa thức bậc hai 12) Thế z khử x +y(vì x+y>0) sau phân tích thành nhân tử nhờ phương pháp đa thức bậc hai 13) Phân tích thành nhân tử nhờ phương pháp đa thức bậc hai * Đôi nhờ tính chất số hữu tỉ, số vô tỉ, người ta xây dựng toán dạng giải phương pháp đánh giá Chẳng hạn : − = −9 − 20 15) Tìm số nguyên a, b thỏa mãn: a+b a−b Hd : Do a, b số nguyên Đk cần a, b ≠ Khi ta có pt ⇔ (9a − 45b − a ) = (−20a + 100b + 5b) Do 9a − 45b − a; − 20a + 100b + 5b số nguyên nên phương trình xảy : −20a + 100b + 5b = (1) −180a + 900b + 45b = ⇔ ⇒ 45 b − 20 a = ⇔ a = b 2 (2) 9a − 45b − a = 180a − 900b − 20a = Thay lại (2) giải tìm b a Bài Chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên có nghiệm nguyên * Bằng việc sử dụng tính chất chia hết, tính trái dấu vế người ta tạo phương trình có miền xác định vế khác dẫn tới chúng vô nghiệm – Nếu để ý thường thấy loại phương trình vô nghiệm thừng có bậc > lẻ a) x + 29x = 10(3y + 1) b) ( x + y ) + ( y + z ) = x + y + z + 2005 Giải : a) x - x + 30x = 10(3y+1) VP không chia hết 30 VT M 30 ⇒ phương trình vô nghiệm b) (1) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + ( y + z ) − ( y + z ) = 20053 Dễ thấy VT chia hết cho Nhưng 2005 không chia hết cho 6,do phương trình cho nghiệm nguyên [ ] [ ] III Phương pháp Phương pháp tách thành tổng số phương Sử dụng tính chất tổng bình phương(cho phương trình nghiệm thực) * Việc tách số thành tổng số tạo nhiều trường hợp gây tốn thời gian giải, nhiên tách thành tổng số phương lại cho trường hợp giúp ta giải toán Bằng cách người ta tạo pt ng0 nguyên giải “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” A = * Nhờ tính chất đặc biệt: A2 + B2 = ⇔ Bằng việc thay A, B biểu thức với ẩn khác B = tạo phương trình ẩn giải (Chú ý cho HS phân biệt dấu “và” với dấu “hoặc” – tức phân biệt loại phương trình với phương trình tích) Bài Tìm nghiệm nguyên a) x2 - 4xy + 5y2 = 169 b) x2 - 6xy + 13y2 = 100 c) 5x2 + y2 + 36x + 2xy + 72 =0 d) x2 + y2 – x – y = Giải: a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = + 169 = 25 + 144 b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = + 100 = 36 + 64 = c) (2x + 9)2 + (x + y)2 = = + d) x2 + y2 –x – y = ⇔ x2 + y2 – x –4y = 32 ⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 ; 34 có dạng 32 + 52 2x − = Do ta có 2x − = 2y −1 = 2y −1 = Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hoán vị Bài Giải phương trình nghiệm thực: a) x − x + y − y + 13 = Cách 1: ⇔ ( x − ) + ( x − = x = y −3 = ⇔ ⇔ y − = y = ) ( ) ( Cách 2: Xem x ẩn , y tham số (y ≥ ) ta có ∆ / = − y − y + = − Vì - ( ) y − ≤ Pt có nghiệm ∆ / = ⇔ y −3 ) y =3⇔ y =9 Khi pt có nghiệm kép x = -2 Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số thoả mãn PT cho 2 b) x + y + z2 = xy + 3y + 2z – (Người ta phát triển phương trình dạng: Tìm nghiệm nguyên thỏa mãn x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – Đương nhiên ta việc biến đổi dạng x2 + y2 + z2 ≤ xy + 3y + 2z – -vì số nguyên nên thêm “ giả sử x ≥ y ≥ z > Ta có : ax = by = cz = (a + b+ c).1 (=2S) “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” a+b+c a+b+c a+b+c ; z= Suy ra: x = ; y= a b c b = ; y a+b+c ⇒ a = ; x a+b+c ⇒ 1 + + = mà x ≥ y ≥ z > x y z Giáo án bồi dưỡng toán c = z a+b+c 1 1 1 ⇒ 1≤ ⇒ z≤3 ⇒ z=3 ≥ ≥ nên + + ≤ z y x y z z z x z Tương tự ta có: x = 3; y = ⇒ tam giác tam giác ⇒ Bài Tìm tất hình chữ nhật với độ dài cạnh số nguyên dương cắt thành 13 hình vuông cho cạnh hình vuông số nguyên dương không lớn (đ.v.đ.d) Giải : Gọi cạnh hình chữ nhật cần tìm a b, cạnh hình vuông c Từ giả thiết hình chữ nhật cắt thành 13 hình vuông nên phải có: ab = 13c2 (1) với < c ≤ (2) Từ (1) suy a b chia hết cho 13 Vì vai trò a, b ta giả giả sử a chia hết cho 13, tức a = 13d Thay vào (1) ta : 13db = 13c2 Hay db = c2 Ta xét trường hợp có c Với c = 1, có thể: d = 1, b = 1, suy a = 13 Với c = 2, có thể: d = 1, b = 4, suy a = 13 d = 2, b = 2, suy a = 26 d = 4, b = 1, suy a = 52 Với c = 3, có thể: d = 1, b = 9, suy a = 13 d = 3, b = 3, suy a = 39 d = 9, b = 1, suy a = 117 Với c = 4, có thể: d = 1, b = 16, suy a = 13 d = 2, b = 8, suy a = 26 d = 4, b = 4, suy a = 52 d = 8, b = 2, suy a = 104 d = 16, b = 1, suy a = 208 Với 12 nghiệm (1) có trường hợp thoả mãn toán Bài toán có nghiệm Ta tìm hình chữ nhật thoả mãn đề bài:(a; b) = (13, 1); ( 26, 2); ( 39, 3); ( 52, 4) Bài Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hướng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên dương, x, y ≤ 9) Theo ta có: 1911 - 18 xy = + + x + y = ⇔ 11x + 2y = 99 ⇒ 2y M 11 mà (2, 11) = ⇒ yM 11 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” mà 0≤ y ≤ ⇒ y = ⇒ x = Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài Hãy dựng tam giác vuông có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7) ⇒ b2 + c2 = 72 ⇒ b2 + c2 M ⇒ bM 7; cM (vì số phương chia hết cho dư 0, 1, 4, 2) lại có 0 Vậy (3) vô nghiệm phương trình cho vô nghiệm Cách Giả sử phương trình có nghiệm 10 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Trong số chẵn liên tiếp có số M 2, số M tích M 7) Nếu a M m, a M n (m,n)=1 a M (m.n) Nếu a Mm, a Mn, a Mp (m,n,p)=1 a M(m.n.p) ( m,n,p đôi nguyên tố nhau) 8) Nếu a M b ta viết a = bk(k ∈ N) Nếu a chia b dư r ta viết a = bk +r (k ∈ N, 0< r 1, chia hết nó số nguyên tố chẵn 10) Với p số nguyên tố, am M p a Mp đương nhiên am Mpm 11) Hợp số số có nhiều ước số (có ước khác nó) I Chứng minh chia hết * Có nhiều cách để toán chứng minh chia hết Tuy nhiên thông thường để tạo toán chứng minh chia hết hay, người ta thường kết hợp tính chất chia hết tích số liên tiếp tính chất chia hết nêu tính chất loại số Bài a) Chứng minh với n ∈ N ta có n3 – n M b) Chứng minh tổng số tự nhiên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết HD: a) Hãy để ý 6= 2.3 ta nghĩ tới tích số liên tiếp b) Vận dụng câu a Bài 11 Cho A= 13 + + 33 + + 98 + 99 Hỏi A có chia hết cho không? Hd: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99 Theo ta có A-S chia hết cho 6,trong 99(99 + 1) = 6.33.25 ⇒ S M6 Do A M6 S= Bài 12.(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004) Chứng minh rằng: ( x + y + z ) − x − y − z M6 với số nguyên x,y,z Hd: ( x + y + z ) − x − y − z = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − ( x − x) − ( y − y ) − ( z − z ) Ta thấy hạng tử VP chia hết cho 6, từ suy điều phải chứng minh Bài 13 Viết số 2005 2004 thành tổng k số tự nhiên tuỳ ý a1 , a , a3 , , a k [ ] 3 Tìm số dư phép chia a1 + a + a3 + + a k cho 3 3 Hd: Đặt N= a1 + a + a3 + + a k 3 2004 = a1 + a + a3 + + a k 2005 3 Ta có N- 2005 2004 = (a1 − a1 ) + ( a − a ) + (a3 − a3 ) + + (a k − a k ) M3 Mặt khác 2005 2004 chia cho dư 1, N chia cho dư * Kết hợp với đẳng thức học Bài phát triển thành toán thú vị sau Bài 14 Cho P = (a − ab + 1) + (b + 3ab − 1) − (a + b) Chứng minh P chia hết cho với số nguyên a,b Hd: Đặt x = a − ab + 1; y = b + 3ab − ⇒ x + y = (a + b) Khi ta có P= x + y − ( x + y ) = ( x − x) + ( y − y ) M6 Bài 15 Chứng minh với số nguyên x,y thì: ( x + xy ) + ( y + x y ) M3 ⇔ x + y M3 Hd: Đặt a = x3 + 3xy ; b = y + 3x y ⇒ a + b = ( x + y)3 ,: Ta có a + b M3 ⇔ a + b M3( BT1 ) ⇔ ( x + y ) M3 ⇔ x + y M3 (vì số nguyên tố) Bài 16 Cho số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z= 3.2006 2007 Chứng minh rằng: M= ( x + xy + yz ) + ( y + xy + xz ) + ( z + yz + xz ) chia hết cho Hd: Đặt a = x + xy + yz; b = y + xy + xz; c = z + yz + xz ⇒ M = a + b + c Ta có: a + b + c = x + y + z + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) M6(Theo − gt ) Do M M6 57 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán * Kết hợp Bài với toán tìm nghiệm nguyên ta có số toán sau Bài 17 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: a) ( x + y ) + ( y + z ) = x + y + z + 2005 (1) b) ( x + y − 1) + (2 xy + 1) = 189 (2) Hd: a) (1) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + ( y + z ) − ( y + z ) = 20053 (3) Dễ thấy VT (3) chia hết cho Nhưng 2005 không chia hết cho 6,do phương trình cho nghiệm nguyên b) Đặt p = x + y − 1; q = xy + ⇒ p + q = ( x + y ) Khi phương trình (2) trở thành : p + q = 189 Vì 189 M3 nên p + q M3 ⇒ p + q M3 Từ suy p+q số phương chia hết cho Mặt khác p + q = 189 ⇔ ( p + q)( p − pq + q ) = 9.3.7 Do p+q ⇒ ( x + y ) = ⇒ x + y = 3( x, y ∈ Z + ) , từ suy phương trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1) Thử lại thấy thoã mãn [ ] [ ] Bài Chứng minh rằng: m3+20m M 48 với số m chẵn HD: 48=6.8, 6=2.3 ta nghĩ tới tích số liên tiếp Tuy nhiên lưu ý (6, 8) không nguyên tố nên cần phần M8, phần M6 Cụ thể: (2k)3 +20.2k= 8(k3 – k +6k) Bài Cho p, q số nguyên tố > p>q Chứng minh p2- q2 M 24 HD: Để ý 24= 2.3.4 ta nghĩ tới tích số liên tiếp Tuy nhiên tình hình không phù hợp cho điều lũy thừa thấp giúp ta phân tích thành nhiều thừa số Vậy chứng minh chia hết cho thừa số đôi nguyên tố mà tích chúng 24, (chỉ 8) Ta nghĩ tới cách p2- q2 M xét khả sử dụng tích số liên tiếp: Để ý tới gt cho ta có cách: - p, q không chia hết 3 chia dư p2, q2 chia có dư p2- q2 M - Mặc dù lũy thừa không giúp ta tạo thừa số ta thêm thừa số p, q vào mà không làm thay đổ tính chia hết tích thừa số p, q nguyên tố: p2- q2= (p2-1)- (q2-1); Ở (p2-1) = (p-1)(p+1) M (p-1)p(p+1) M mà p không chia hết Để p2- q2 M8 ta nghĩ tới số chẵn liên tiếp mà (p-1)(p+1) số chẵn liên tiếp Bài Chứng minh n5-n M 30 với n Hd: 30 = 2.3.5 n5-n = tích số Lt + tích só Lt (Lt= liên tiếp) x5 x x3 5x x Bài Chứng minh + + + + số nguyên với x số nguyên 120 12 24 12 Hd: Tử = tích số Lt; Mẫu = 120 Bài Chứng minh vói n số tự nhiên ta có (52n+3-5n+1)(n5-n) M 150 Bài Chứng minh tổng n số nguyên a1 + a2 + + an M6 tổng lập phương n 3 số a1 + a2 + + an M6 Hd: Xét tính chia hết cho cặp an3 - an Bài Chứng minh với n số tự nhiên n3-n +a M a M Bài Chứng minh n số nguyên lẻ n3- n M 24 Hd: số chẵn Lt tích chia hết 2.4 = mà (8; 3) =1 tích chia hết 8.3 = 24 Bài 10 Chứng minh với m,n số nguyên ta có 4mn(m2-n2) M 24 Bài 11 Chứng minh với số tưn nhiên n ta có n4-n2 M 12 Hd: Tách tích thành cặp số liên tiếp M M (4.3=12) Bài 12 Chứng minh n(n+2)(25n2-1) M24 với n số nguyên 58 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán Hd: Tách riêng 24n2 Bài 13 Chứng minh với số tự nhiên n ta có n5 n có chữ số tận giống Hd: Hiệu M 10 Bài 14 Chứng minh với số nguyên n ta có n3-13n M (Tách 12n) Bài 15 Chứng minh n chẵn, n> n4-4n3-4n2+16n M 384 ( n = 2k) Bài 16 Chứng minh rằng: a) n>2 (n, 6)=1 n2-1 M24 (n=6k+1 n=6k+5) b) n lẻ (n, 3)=1 n -1 M48 (n lẻ + (n;3) =1 n = 6k +1) c) n lẻ (n, 5)=1 n4-1 M80 (n lẻ n4-1 M 16 mà (n;5) =1 số phương 4 n chia dư 1; n chia dư n -1 M 5) Bài 17 Cho n chẵn Chứng minh n3-4n n3+4n M 16 Hd: n=2k n3 – n M 48; mặt khác hiệu số M 16 Bài 18 Chứng minh với n lẻ n5-n M 240 Hd: 240 = 15.16 Mà tích em Lt M15 Và n lẻ (n-1)(n+1) M(2.4=8), n2 +1 M2 M16 Bài 19 Chứng minh với n số tự nhiên n4+6n3+11n2+6n M 24 (4 số Lt) Bài 20 Chứng minh với số tự nhiên n ta có n -n M240 Hd: 240=15.16 Mà: Nếu n lẻ n2+1 M2, (n-1)(n+1) M(2.4=8) M16 Nếu n chẵn n4 M 16 Bài 21 Chứng minh với số tự nhiên n ta có n5-5n3+4n M120 (120=2.3.4.5) Bài 22 Cho a, b số tự nhiên (16a+17b)(17a+16b) M11 Chứng minh (16a+17b)(17a+16b) M121 Hd: Do tích M 11 thừa số M11(do 11 nguyên tố) Mặt khác tổng thừa số M11 thừa số lại M11 tích M121 Bài 23 Cho a n số tự nhiên, n>0 Chứng minh an+4 -an M 30 Hd: n > = an-1(a5 – a), mà a5 -a M30 Bài 24 Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh ab-a-b+1 M 192 Hd: = (a-1)(b-1) với a=(2n-1)2, b=(2n+1)2 = 16n2(n-1)(n+1)=16(n-1)n.n(n+1) M (16.4.3=192) Bài 25 Cho a, b số nguyên tố với số Chứng minh a4-b4 M Hd: a, b không chia hết a2, b2 không chia hết 5 số phương a2, b2 chia có dư a4, b4 chia dư đpcm Bài 26 Chứng minh với a số nguyên tố >5 a4k-1 M 240 k −1 k −2 Hd: = (a4 – 1) { (a ) + ( a ) + + a + 1} (chú ý 240 =15.16) Mà (a-1)(a+1) – số chẵn Lt M (2.4=8); (a2 +1) M2 M16 (a-1)(a+1) M ( (a-1)a(a+1) M mà a lại không chia hết 3) a4 - M5 ( a không chia hết 5) Bài 27 Chứng minh x số tự nhiên lẻ x2+4x-5 M Hd: = (x+1)(x+3) -8 Mà (x+1)(x+3) M (2.4=8) số chẵn Lt Bài 28 Chứng minh n lẻ n3- 3n2 –n+21 M Hd: (n3-n) M6 ; 3(n2-1) M6 ; 18 M6 Bài 29 Chứng minhg tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 128 Hd: 2a(2a+2)(2a+4)(2a+6) = 16a(a+1)(a+2)(a+3) M16.2.4=128 Bài 30 Viết số 20142013 thành tổng n số tự nhiên a1 + a2 + a3 + + an Hãy tìm dư phép chia a13 + a23 + a33 + + an3 chia cho Hd: 20142013 chia dư 1(dấu hiệu chia hết là: 2+0+1+4=7 chia dư 1) a1 + a2 + a3 + + an chia dư 3 3 a1 + a2 + a3 + + an chia dư 1(vì dư với a1 + a2 + a3 + + an chia hiệu chia hết 3- dựa vào hiệu x3 –x M3 ) Bài 31 Chứng minh với a, b, c số tự nhiên tùy ý ta có (a + b3 + c3 ) − 2014(a + b + c) M3 59 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán Hd: Xét x3 –x M3 * Một số khác Bài 32 Tìm x biết: x chia hết cho 12; 25; 30 ≤ x ≤ 500 Bài 33 Cho S = + 52 + 53 + + 596 a) Chứng minh: S M 126 b) Tìm chữ số tận S Bài 34 Tìm giá trị a để số 123a5 a) Chia hết cho 15 b) Chia hết cho 45 Bài 35 Chứng minh rằng: A = 10 n + 18n − chia hết cho 27 (n số tự nhiên) Bài 36 Cho A = n + 3n + 2n a) Chứng minh A chia hết cho với số nguyên n b) Tìm giá trị nguyên dương n với n < 10 để A chia hết cho 15 Bài 37 Cho A = + 32 + 33 + + 2004 a) Tính tổng A b) Chứng minh A M130 c) A có phải số phương không ? Vì ? Bài 38 Tìm n ∈ Z để n + 13n − 13 Mn + Hd: Tách phần nguyên Bài 39 Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không 130 em tham gia Sau chấm thấy số 1 em đạt điểm giỏi chiếm , đạt điểm chiếm , đạt điểm yếu chiếm tổng số thí sinh dự thi, 14 lại đạt điểm trung bình Tính số học sinh loại II Chứng minh không chia hết: * Tương tự toán chứng minh chia hết, có nhiều cách xây dựng toán không chia hết dựa tích chất chia hết học Tuy nhiên người ta thường xây dựng loại toán theo cách dựa tính chất số nguyên tố để tăng độ hay khó cho toán Bài Cho n số tự nhiên Chứng minh 4n2-2n+13 không chia hết cho 289 Hd: Chứng minh phản chứng(để ý 289 = 172) Giả sử có M 289 16n2-8n+52 M 289 (vì (4; 289) =1) 16n2-8n+52 M17 hay (4n-1)2 +51 M17 (4n-1)2 M 17(vì 51 M 17) Nhưng 17 –nguyên tố (4n-1) M 17 (4n-1)2 M 289 (4n-1)2 +51 không chia hết 298(mâu thuẫn với giả sử) đpcm Bài Chứng minh n2+3n+51 không chia hết cho 121 với n số tự nhiên Hd: Tương tự 25 Bài Chứng minh không tồn số tự nhiên n để n2+n+2 M 49 Hd: Tương tự 25 Hs tự xây dựng tương tự * Nhiều chẳng có đặc biệt nào, sở xét trường hợp xảy chia hết số mà người ta toán không theo lối mòn suy nghĩ nhằm đánh lạc hướng học sinh Chẳng hạn: Bài 41 Chứng minh với số tự nhiên n n3 – không chia hết cho Hd: Nếu n M đương nhiên hiệu không chia hết 60 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán Nếu n không chia hết dư 1; 2; ;4 ;5; 6- Trong trường hợp hiệu không chia hết Tóm lại hiệu không chia hết Bài 42 Chứng minh với số tự nhiên n 1995n +3 lập phương Hd: Giả sử có 1995n +3 = k3 1995n = k3–3 Ta thấy VT M7 VP không chia hết đpcm Hs tự xây dựng tương tự III Một số tập liên quan số nguyên tố, hợp số * Số nguyên tố có ước phân tích thành tích viết p = 1.p Hợp số có nhiều ước Trên cở sở toán sau(Hs tự phát triển thêm) Bài Cho m, n số tự nhiên cho m2-n2 số nguyên tố Chứng minh m, n số liên tiếp Hd: m,n tự nhiên m-n 1) Hd: an – = (a – 1)(an-1 + an-2 + … + a + 1) Do a,n số tự nhiên n> an-1 + an-2 + … + a + > a – a – =1 (vì số nguyên tố = 1.chính nó) Bài Tìm số nguyên dương n để n4 + số nguyên tố Hd: = (n2 + 2)2 – 4n2 n2 – 2n + = n = Bài Tìm số nguyên dương n để n3 – n2 + n – số nguyên tố Bài Cho biết a, 8a – số nguyên tố Chứng minh 8a + hợp số Hd: Dễ thấy cần chứng minh 8a + > m(ít 2) M m Lợi dụng đặc biệt (8a-1)8a(8a+1) M 3, ta tìm cách 8a +1 > có 8a +1 M3 Do 8a + > a; 8a – Cụ thể: a = 8a – =15 không nguyên tố(loại) a = 8a – = 23 thỏa số nguyên tố, rõ ràng 8a+1 = 25 hợp số a> 8a – > 23 số không chia hết số nguyên tố khác 8a không chia hết 3( (8;3) = 1) Vậy từ đặc biệt nêu 8a + M3, rõ ràng 8a+1>3 nên 8a +1 hợp số Tóm lại theo cho 8a+1 chắn hợp số Bài p số nguyên tố ≥ 5, 2p+1 số nguyên tố Chứng minh 4p+1 hợp số Hd: Dễ thấy đặc biệt 4p(4p+1)(4p+2) M3 p(4p+1)(2p+1) M3 (do (3; 8)=1) Do p số nguyên tố ≥ 5, 2p+1 số nguyên tố> (4p+1) M 3, đương nhiên >5 hợp số (Hs phát triển tương tự, chẳng hạn từ sở 10p(10p+1)(10p+2) M3) Bài Chứng minh 2n – số nguyên tố 2n + hợp số (n > 2) Hd: (2n – 1) 2n(2n + 1) M3 mà 2n, (2n – 1) không chia hết (do n > 2) (2n + 1) M3 Đương nhiên 2n + > hợp số Bài a) Tìm số lập phương có dạng 13p+1 (p số nguyên tố) b) Tìm số nguyên tố p để 2p + lập phương số tự nhiên Hd: Gọi số lập phương a3 ta có: a) a3 – = 13p; b) a3 – = 2p Giải pt nghiệm nguyên * Số nguyên tố chiếm lượng nhỏ N Khó mà có biểu thức lại có giá trị liên tục số nguyên tố Nhờ đặc điểm ta tạo mà thử đem lại kết Chẳng hạn: Bài 10 Tìm số tự nhiên nhỏ n để n4 +(n + 1)4 hợp số Hd: Thử n =0; 1; 2; … (việc khó- chắn sớm gặp số cần tìm) 61 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán * Do tính chất số nguyên tố số nguyên tố > a không chia hết cho a Dựa vào đặc điểm tạo toán số nguyên tố cần để ý, đánh giá cho kết quả, như: Bài 11 Tìm số nguyên tố a để: a) a; a+10; a+14 số nguyên tố b) a; a+6; a+8; a+12; a+14 số nguyên tố Hd: a) Xét trường hợp a = 3; a = 3k + 1; a = 3k + 2, có a = thỏa mãn b) Xét trường hợp a = 5; a = 5k + 1; a = 5k + 2; a = 5k + 3; a = 5k +4, a = thỏa Bài 12 Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2+q2+r2 số nguyên tố Hd: Ta có m2 chia dư với m Do phải có số chia hết 3( không tổng M 3, > hợp số) có 3, 5, thỏa mãn tổng bình phương = 73 nguyên tố • Học sinh: - Với tập HS tự xây dựng phát triển tập tương tự - Hãy liên hệ toán dạng với phương trình nghiệm nguyên • Xem thêm tập trong: - Tuyển tập Vũ Dương Thụy - Tuyển tập số học Võ Đại Mau - Tuyển tập số học Nguyễn Đức Tấn Chủ đề BĐĐN VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC * Bản thân toán chứng minh đẳng thức toán tương đối đơn giản Chúng ta biết phương pháp giải toán loại gồm: tính VT; tính VP; tính vế; ta kết hợp phép biến đổi tương đương đẳng thức nhằm VT = VP Tuy nhiên để tăng độ khó toán người ta thường ẩn số đối tượng đẳng thức cách gán cho giá trị “đẹp” Bằng việc nhìn nhận đánh giá biến đổi linh hoạt bạn lôi ánh sánh đối tượng bị ẩn để giải toán Chẳng hạn: Ta có (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Vậy ta thấy ngay: - Nếu ta gán ab = chẳng hạn, ta có toán: “Chứng minh với ab = (a+b)3 = a3 + b3+ 6(a + b)” - khó Bài Cho ab = Chứng minh a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) – (a + b) Hd: VP = (a3 + b3)(a2 + b2) – (a + b) = a5 + b5 + a3b2 + a2b3 – (a + b) = a5 + b5 + a2b2(a + b) – (a + b) = a + b5 1 Bài Cho a + b + c = + + = Chứng minh a2 + b2 + c2 = a b c Hd: 62 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1 1 ac + bc + ca = ⇒ ab + bc + ca = + + = ⇒ a b c abc Nên a2 + b2 + c2 = x4 y4 Bài Cho ; x2 + y2 =1 Chứng minh rằng: + = a b a+b x 2000 y 2000 2 a bx = ay b 2000 + 1000 = a b (a + b)1000 Hd: x y (x2 + y )2 + = ⇔ (a + b)(bx + ay ) = ab( x + y ) ⇔ (ay − bx ) = ⇒ ay = bx a b ( a + b) 1 1 Bài Chứng minh a,b,c số thỏa mãn: a + b + c = 2000 + + = a b c 2000 số a, b, c phải có số 2000 Hd: 1 1 1 1 ⇔ ( + )+( − )=0 Giả thiết suy ra: + + = a b c a+b+c a b c a+b+c a + b = a + b = ⇒ c = 2000 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = o ⇔ b + c = b + c = ⇒ a = 2000 c + a = c + a = ⇒ b = 2000 Ta có: Bài Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 = (a + b2 + c2)2 Hd: Từ a + b + c = ⇒ b + c = –a ⇒ (b + c)2 = a2 ⇒ a2 + b2 + c2 = 2bc ⇔ a4 + b4 + c4 – 2a2b2 + 2b2c2 = 4b2c2 ⇔ a4 – b4 – c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Cộng vào vế với a4 + b4 + c4 ta được: 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2 2 2 ⇒ a4 + b4 + c4 = (a + b + c ) Bài Chứng minh rằng, x + y + z = 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 +z2) Hd: x + y +z = ⇒ y + z = – x ⇒ (y + z)5 = – x5 ⇔ y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = – x5 ⇔ x5 + y5 + x5 + 5yz (y3 + 2y2z + 2yz2 + z3) = ⇔ (x5 + y5 + x5) + 5yz [(y + z)(y2 – yz + z2) + 2yz(y + z)] = ⇔ (x5 + y5 + x5) + 5yz (y + z)(y2 + yz + z2) = ⇔ 2(x5 + y5 + x5) – 5yz [(y2 + 2yz + z2) + y2 + z2] = (nhân vào hai vế) ⇔ 2(x5 + y5 + x5) – 5yz (y2 + y2 + z2) = ⇔ 2(x5 + y5 + x5) = 5yz (y2 + y2 + z2) Bài Cho a, b, c ba số khác Chứng minh rằng: b−c c−a a −b 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a Hd: b−c ( a − c ) − ( a − b) 1 1 = = − = + (a − b)(a − c) (a − b)(a − c ) a−b a−c a−b c−a 63 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán c−a (b − a ) − (b − c ) 1 1 = = − = + (b − c)(b − a ) (b − c)(b − a) b−c b−a b−c a−b a−b ( c − b) − ( c − a ) 1 1 = = − = + (c − a )(c − b) (c − a)(c − b) c−a c−b c−a b−c 2 + + Cộng vế: VT = a−b b−c c−a 1 + + =1 Bài Chứng minh rằng, xyz = : + x + xy + y + yz + z + zx Hd: z xz 1 1 + + + + ⇔ z + xz + xz + xyz + xyz + z + zx + x + xy + y + yz + z + zx z xz ⇔ + + =1 z + xz + z + xz + 1 + z + zx Bài Cho ba số x, y, z thỏa mãn: by + cz = a, ax + cz = b, ax + by = c; a, b, c số dương 1 + + cho trước Chứng minh rằng: không phụ thuộc vào a, b, c x +1 y +1 z +1 Hd: a+b+c Ta có: a + b + c = 2(ax + by + cz) = 2(ax + a) = 2a(x+1) ⇒ x + = 2a 1 2a + 2b + 2c a+b+c a+b+c ⇒ + + = =2 Tương tự: y + = ;z+1= x +1 y +1 z +1 a+b+c 2b 2c a + b = c + d Bài 10 Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: Chứng minh c = d ab + = cd Hd: Từ a + b = c + d ⇒ a = c + d – b ⇒ (c + d – b)b + = cd ⇔ (d – b)(b – c) = –1 b − d = b − c = −1 Vì b, c, d số nguyên nên: Vậy c = d b − d = b − c = a+b Bài 11 Cho a > b > thỏa mãn 2a2 + 2b2 = 5ab Tính P = a−b Hd: a + b + 2ab 2a + 2b + 4ab 9ab Ta có: P = = = =9⇒ P =3 a + b − 2ab 2a + 2b − 4ab ab 1 ab bc ca Bài 12 Cho + + = Tính giá trị biểu thức P = + + a b c c a b Hd: 1 ab bc ca + + = Tính giá trị biểu thức P = + + a b c c a b 1 abc abc abc 1 )=3 Ta có: + + = ⇒ + + = mà P = + + = abc ( abc a b c a b c abc c a b Bài 13 Cho số x, y, z thảo mãn: x + y + z = x2 + y2 + z2 = a2 Tính x4 + y4 + z4 theo a Hd: Cho số x, y, z thảo mãn: x + y + z = x2 + y2 + z2 = a2 Tính x4 + y4 + z4 theo a x + y + z = ⇒ x = – (y + z) ⇒ x2 = y2 + z2 + 2zy ⇒ x2 – y2 – z2 = 2zy ⇒ x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2 = 4y2z2 ⇒ x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 ⇒ x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 64 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” ⇒ 2(x4 + y4 + z4) = (x2 + y2 + z2)2 = a4 ⇒ x4 + y4 + z4 = Bài 14 Cho a a b c x y z x2 y2 z2 + + = + + = Tính giá trị biểu thức A = + + x y z a b c a b c Hd: a b c x y z x2 y2 z2 Cho + + = + + = Tính giá trị biểu thức A = + + x y z a b c a b c 2 xy xz yz x y z xy xz yz + + ) + + + + + = ⇒ A = – 2( ab ac bc ab ac bc a b c a b c ayz + bxz + cxy = ⇒ ayz + bxz + cxy = mà + + = ⇔ xyz x y z cxy + bxz + ayz ) = 1− = nên A = – ( abc x + y + = Bài 15 Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: y + z + = Tính giá trị A = x 2000 + y 2000 + z 2000 z + 2x + = Hd: Cộng theo vế lại ta được: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = x + = x = −1 ⇔ y + = ⇔ y = −1 Vậy A = x 2000 + y 2000 + z 2000 = (−1) 2000 + (−1) 2000 + (−1) 2000 = z + = z = −1 Bài 16 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a3 + b3 + c3-3abc b) Chứng minh : Nếu a3 + b3 + c3=3abc a =b= c a+b+c =0 c) Chứng minh bất đẳng thức cosi cho số không âm : x,y,z ta có: x+y+z ≥3 xyz Giải: a) Ta có : a3 + b3 + c3-3abc =(a+b+c)(a2 +b2+ c2 - ab-ac-bc) b) Kết suy từ phần a c) Suy từ phần a Bài 17 Cho a+b+c =0 Chứng minh rằng: a) 2(a5 + b5 + c5) =5abc(a2 + b2 +c2 ) b) 2(a7 + b7 + c7) =7abc(a2 b2+ b2 c2+c2 a2) Hướng dẫn: Áp dụng phần a Bài 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 -x+2 )2 + (x-2)2 b) 6x5 + 5x4 +20x3 +15x2+6x+1 3 c) (x-y) +(y-z) +(z-x) d) x8 + x4 +1 e) x12+1 ( Hs nhà tự trình bày ) Bài 19 Cho x + y + z = 0; xy + yz + zx = Chứng minh x = y = z Hướng dẫn :Tính ( x+y + z)2 a + b + c = Bài 20 Cho số a,b c thoả mãn điều kiện : `Tính a + b + c = 14 2 a + b + c = 14 Viết a + b + c = (a + b2 + c ) − 2(a 2b + b 2c + c a ) Tìm cách tính a 2b2 + b c + c a nhờ gt Bài 21 Cho số a, b c thoả mãn hệ thức :a3 - 3a2 +5a -17=0 , b3 -3b2 +5b+11= Hãy tính a+b Giải: Ta có : từ a3 - 3a2 +5a -17=0 ⇔ a3 - 3a2 +3a -1 +2a -2-14 =0 65 Hướng dẫn: “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán ⇔ (a-1)3 +2(a-1)-14 =0 (1) Tương tự : b3 -3b2 +5b+11= ⇔ (b-1)3 +2(b-1)+14 =0 (2) Từ (1) (2) ta có : (a-1)3 +2(a-1)-14 + (b-1)3 +2(b-1)+14 = ⇔ (a+b-2){ (a-1)2 -(a-1) (b-1) +(b-1)2 }+2(a+b-2) =0 ⇔ (a+b-2){ (a-1)2 -(a-1) (b-1) +(b-1)2 +2}= ⇔ a+b-2 = hay a+b =2 Bài 22 Cho số a b , thoả mãn : a3 - 3ab2 =19 , b3 -3a2 b = 98 Hãy tính a2 + b2 Hướng dẫn : Tính bình phương vế hệ thức cho cộng lại Bài 23 Cho số a,b c thoả mãn điều kiện : a + b + c = a + b3 + c3 = Tính giá trị biểu thức : S =a2 + b4 + c1945 Giải : 2 Ta có : a + b + c = ⇒ a, b, c ∈ [ −1,1] ⇒ a ≥ a ; b ≥ b3 ; c ≥ c a + b + c = ⇒ a − a + b − b3 + c − c = Từ gt: 3 a + b + c = a (1 − a) = ⇔ a (1 − a ) + b (1 − b) + c (1 − c ) = ⇔ b (1 − b) = c (1 − c) = Trong số a, b ,c có số số = Giả sử số : a =0 , b=0 , c =1 Vậy tổng S =1 Bài 24 a) Cho số a , b ,c d thoả mãn :a2 + b2 + (a+b)2 = c2 +d2 + (c+d)2 Chứng minh : a4 + b4 + (a+b)4 = c4 +d4 + (c+d)4 b) Cho số a , b ,c d thoả mãn :a2 + b2 + (a-b)2 = c2 +d2 + (c-d)2 Chứng minh : a4 + b4 + (a-b)4 = c4 +d4 + (c-d)4 2 Bài 25.a) Cho a + b + c + = ( a + b + c ) Chứng minh rằng: a = b = c = b) Cho ( a + b + c ) = ( ab + ac + bc ) Chứng minh rằng: a = b = c c) Cho a + b + c = ab + ac + bc Chứng minh rằng: a = b = c 2 2 2 Bài 26 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) Chứng minh rằng: a = b = c Bài 27 Cho a,b,c,d số khác ( a + b + c + d ) ( a − b − c + d ) = ( a − b + c − d ) ( a + b − c − d ) a b Chứng minh rằng: = c d Bài 28 Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời: x + y + = y + z + = z + x + = Tính giá trị biểu thức : A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bài 29 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 30 Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh: c = d 1 1 Bài 31 Cho số thực a, b c khác không thoả mãn a+b+c ≠ + + = Chứng minh a b c a+b+c số a , b c có hai số đối Từ suy : Với số nguyên n le 1 1 + n+ n = n n a b c a + bn + c n Giải: 1 1 1 1 ⇔ + + − =0 Ta có: + + = a b c a+b+c a b c a +b+c 66 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” ⇔ a+b a+b + =0 ab c(a + b + c) ⇔ 1 a+b a +b + = ⇔ ( a + b) + =0 ab c( a + b + c ) ab c(a + b + c ) a = −b ⇔ (a + b)(b + c )(c + a ) = ⇔ b = −c c = − a Vậy số a , b c có hai số đối 1 1 + + = a b c 2001 Chứng minh số a , b c có số 2001 x2 + y + z x2 y2 z Bài 33 Cho số a, b , c khác thoả mãn = + + a + b2 + c a b2 c Tính gá trị biểu thức : A = x 2008 + y 2008 + z 2008 Giải : Từ gt ta có: x2 + y + z x2 y z = + + a + b2 + c a b2 c x2 y z x2 y2 z2 ⇔ 2+ 2+ 2− − − =0 a b c a + b + c a + b2 + c a + b + c b2 + c a2 + c2 a2 + b2 2 ⇔ x2 + y + y = 0(1) a + b2 + c a + b2 + c2 a + b2 + c2 Do a,b,c ≠ nên từ (1) ⇒ a =b =c =0 Vậy A=0 x = by + cz Bài 34 Cho số a,b,c,x,y,z thoả mãn : y = cz + ax z = ax + by Bài 32 Cho số thực a, b c khác không thoả mãn a+b+c =2001 Biết a, b,c khác -1 Tính giá trị biểu thức A = Giải: Từ gt ta có : x = y = cz + ax ⇒ x + y + z = 2ax + 2by + 2cz z = ax + by ⇒ x + y + z = z + 2cz = z (c + 1) ⇒ 1 + + 1+ a 1+ b 1+ c ⇒ x + y + z = 2ax + 2by + 2cz 2z = c +1 x + y + z 2x 2y = ; = a +1 x + y + z b +1 x + y + z Từ thay vào biểu thức ta tính : A = Bài 35 Cho x,y,z thoả mãn : xy + yz + zx = x + y + z = -1004 Tuong tu : Hãy tính giá trị của: B = Hướng dẫn: Ta có : Tương tự : xy zx yz + + z y x xy − yz − xz = = − x − y ( Do xy + yz + zx = 0) z z yz − xz − xy = = − z − y ( Do xy + yz + zx = 0) x x 67 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” zx − xz − zy = = − x − z ( Do xy + yz + zx = 0) y y Giáo án bồi dưỡng toán Từ tính B = 2008 Bài 36 Cho ba số a, b , c khác thoã mãn: 1 1 1 + + =0 ⇒ + + = a b c a b c abc Hướng dẫn: Từ : Ta có : P = 1 ac bc ac + + = Hãy tính P = + + a b c c a b ac bc ac 1 + + = abc( + + ) = abc =3 c a b a b c abc Bài 37 Cho số x > thoã mãn: x2 + 1 =7 Hãy tính P = x + x x 1 Hướng dẫn: Từ x + =7 ⇔ x + ÷ −2 =7 x x 2 1 ⇔ x + ÷ = ⇔ x + = (do x > 0) x x 1 1 =( x + )( x + ) −( x + ) x x x x 1 1 2 P = ( x + )( x + −1)( x + ) −( x + ) x x x x Ta có : P = x + P =3.(7-1).7-3 =123 a b c + + =0 b−c c−a b−a a b c + + =0 Chứng minh : 2 (b − c) (c − a) (b − a) Hướng dẫn: a b c a −b −c a −b −c Tõ + + =0⇒ = + ⇒ = + b−c c −a a −b b −c c −a a −b (b − c ) (c − a )(b − c ) (a − b)(b − c ) Bài 38 Cho ba số a,b,c khác : a b − ab − c + ca = (b − c ) (c − a )(b − c)( a − b) Tương tự ta có : b c + ab − a − bc = (c − a ) (c − a )(b − c)(a − b) ⇒ c a − ac + c − bc = (a − b) (c − a )(b − c)(a − b) Cộng vế đẳng thức ta điều phải chứng minh 1 1 1 Bài 39 Cho a,c,b số khác a+b+c =0 CMR : + + = + + ÷ a b c a b c Hướng dẫn: Biến đổi VP = VT dựa HĐT thứ cho số Bài 40 Cho a,c,b số khác a+b+c =0 a b a - b b - c c - a c + + + + Chứng minh : ÷ ÷= a b a - b b - c c - a c 68 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Bài 41 Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: Bài 42 Cho x > y > 2x2 +2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E = Bài 43 1) Cho a + b + c = 0; x−y x+ y P= a −b a +b CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc yz xz xy + + x2 y2 z a b c Bài 44 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: P = 1 + 1 + 1 + b c a 2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ 0; Tính giá trị biểu thức: M = Bài 45 a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 46 Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 47 Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 xy x y x3 y3 + = = −2 Tính + a b ab a b Bài 48 Cho Bài 49 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: P = 1 + + b2 + c2 − a a + c − b2 a + b2 − c2 x4 y4 Bài 50 Cho ; x2 + y2 = Chứng minh rằng: + = a b a+b 2 a) bx = ay ; x 2008 y 2008 b) 1004 + 1004 = a b (a + b)1004 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + xz Bài 52 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 53 Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 + + P= (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − b)(c − a ) Bài 54 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác cho tam giác Bài 55 Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: b−c c−b a−b 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a 1 1 abc + + − = Bài 56 Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng: p − a p − b p − c p p ( p − a )( p − b)( p − c) a b 2( ab − 2) + = 2 Bài 57 Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh: b −1 a −1 a b + a b c x y z x2 y z + + = + + = Bài 58 Cho Tính giá trị biểu thức A = + + x y z a b c a b c a b c + + =0 Bài 59 Cho a, b, c đôi khác b−c c−a a−b Bài 51 Chứng minh xyz = thì: 69 “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” a b c + + Tính giá trị P = 2 (b − c ) (c − a ) (a − c) Bài 60 Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 x− y Tính giá trị biểu thức: A = x+ y Bài 62 Cho x, y số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy xy Tính giá trị phân thức A = − x + xy + y Bài 63 Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007 ax + by + cz Tính giá trị biểu thức: P= bc ( y − z ) + ac( x − z ) + ab( x − y ) * MỘT SỐ BÀI TẬP – ĐỀ THI THAM KHẢO THÊM : Bài Chứng minh tam giác có độ dài cạnh a,b,c tam giác có điều kiện sau: a) a3 + b3 + c3 – 3abc = b) (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a)2 + (c + a -2b)2 = (a - b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 c) (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc (HD: Chứng minh a = b = c) Bài Cho x1, x2, x3 ba số thực thỏa x1x2x3 = Tính: S = 1 + + + x1 + x1 x + x + x x3 + x3 + x3 x1 (Đề thi năm 1991-1992) Bài Cho x, y, z số thỏa: x + y + z = a, x2 + y2 + z2 = b, xyz = c Tính x3 + y3 + x3 theo a, b, c (Đề thi năm 1994-1995) Bài Cho a, b, c ba số dương x, y, z ba số thực không đồng thời cho: ax + by + cz ax + by + cz = Chứng minh biểu thức: P = ab( x − y ) + bc ( y − z ) + ca( z − x) (Đề thi năm 1996-1997) a + b + ab = b + c + bc = 15 c + a + ac = 35 Bài Cho a, b, c số thực thỏa mãn: Tính a + b + c +abc (Đề thi năm 2000-2001) 1 Bài Cho x, y, z ba số thực thỏa: x + = y + = z + y z x d) Cho x = 1, tính y, z e) Chứng minh x, y, z đôi khác x2y2z2 = 1(Đề thi năm 2002-2003) Bài Chứng minh rằng: 1 + + =0 2 2 b +c −a c +a −b a + b2 − c2 a−b =0 < x < thì: ab + f) Nếu a + b + c = abc ≠ thì: g) Nếu a = x + 1− x2 x − 1− x2 ,b = 1− x2 x (Đề thi năm 2004-2005) Bài Cho x nghiệm phương trình x + 3x +1 = 1 1 B = ( x + ) + ( x + ) + ( x + ) + + x + ) x x x x 70 (Đề thi năm 2007-2008) “Việc giải toán khó không khó linh hoạt phát xây dựng từ toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua kết hợp nhiều toán dễ mà thôi” Bài Cho x1, x2, x3 ba số khác thỏa: x1 + x2 + x3 = a, x1x2 + x2x3 + x3x1 = 0, x1x2x3 = b Chứng minh rằng: a [...]... toán 2 PT bậc nhất với hai ẩn ax + by = c (a; b; c є Z) Kinh nghiệm B1: Rút gọn phương trình Chú ý đến tính chia hết của các ẩn B2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có GTTĐ nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia 18 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán... ước của 3 Lần lượt cho y – 1 y −1 bằng -1, 1, -3, 3 ta được các đáp số như ở ví dụ 2 12 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán II Phương pháp dùng bất đẳng thức 6 Phương pháp sắp thứ tự các ẩn VD: Tìm nghiệm nguyên dương của PT x... x = 1 è …………… è Nhận B4: Xét với x ≥ 2 è (2/5)x < 2/5 è (2/5)x < 3/5 Vế trái < 1 è Loại 13 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” B5: Kết luận: x = 1 Kinh nghiệm: Có thể chỉ ra được một hoặc vài số là nghiệm PT Rồi chứng minh PT... cho 3 dư 0 hoặc 1 Số CP chia cho 4 dư 0 hoặc 1 Số CP chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4 14 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán Cách 2: Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi n 2 + n − 9 x − 5 = 0 Để phương trình bậc hai đối... x4 < (y2 +2)2 è x4 = (y2 +1)2 B4: Giải PT: y4 +2y2 +1 = y4 +3y2 +1 B5: Tìm x 15 èy=0 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán B6: Kết luận (x; y) Lưu ý: - Giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào - Với ¥a; x... = -2 B8: Tìm y è x 15 Sử dụng tính chất tích của hai số nguyên là số chính phương 16 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán TC1: Nếu 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một SCP, Thì mỗi số đều là SCP TC2: Nếu 2 số... nhiên tùy ý Điều này chỉa xảy ra khi x = y = z = 0 Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1) 17 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” VD: Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x, y, z thỏa mãn : x + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) 2 Giải... vô nghiệm Xét 2m − x = 7 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 7) = 24 × 32 Từ đó ta có 11 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán m = 4; n = 3m = 12, và x = 9 Vậy (x; n) = (9; 12) 3 Phương pháp biểu thị 1 ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng... chúng cùng chẵn Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp: x–1+y 6 -2 x–1-y 2 -6 Do đó: 19 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” Giáo án bồi dưỡng toán “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” x-1 4 -4 y 2 2 x 5 -3 Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Cách 2: Viết thành phương trình... 10 x + 24 = 0 Ta có x3 = 6, x4 = 4 Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) 20 “Việc giải một bài toán khó sẽ không khó nếu chúng ta linh hoạt phát hiện nó được xây dựng từ những bài toán dễ nào” “Bài toán khó chẳng qua chỉ là sự kết hợp của nhiều bài toán dễ mà thôi” Giáo án bồi dưỡng toán 4 PT bậc ba với hai ẩn VD: x3 + x2 + x + 1 = y3 Gợi ý B1: Chứng tỏ (x2 + x + 1) > 0 è x3 < y3 è x < y B2: