TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN (Lần 2) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 1 x3 Câu (1,0 điểm): Cho hàm số: y x3 3mx 4m3 C , với m tham số Chứng minh với m đồ thị C có điểm cực trị A B Tìm m để OA OB , O gốc tọa độ Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn: (1 2i) z (2 3i) z 2 2i Tính môđun w z z b) Giải phương trình: log 0,7 x log 0,7 x 1 log 0,7 x 2 Câu (1,0 điểm): Tính tích phân sau: I x dx x 1 Câu (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2;5;1 mặt phẳng ( P) : x y z 24 Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng (P) H Câu (1,0 điểm) a) Cho góc thỏa mãn sin 12 Tính A cos 13 4 b) Cho khai triển 1 x a0 a1 x a2 x an x n , n * Tìm hệ số a khai triển trên, n biết rằng: a 8a1 2a2 Câu (1,0 điểm): Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh a AB 2a, AD a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A 3; 4 , tâm đường tròn nội tiếp I 2;1 tâm đường tròn ngoại tiếp J ;1 Viết phương trình đường thẳng BC Câu (1,0 điểm): Giải bất phương trình : 2x x x x Câu 10 (1,0 điểm): Cho số thực x , y, z thỏa mãn: 5(x y z ) 9(xy 2yz zx ) Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z (x y z )3 ……………… Hết……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đáp án, thang điểm gồm 07 trang) KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Lần 2) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Cho điểm lẻ tới 0,25 Điểm toàn tổng điểm thành phần, không làm tròn Chỉ cho điểm tối đa làm thí sinh xác mặt kiến thức Thí sinh giải cách khác cho điểm tương ứng phần Với hình học không gian (Câu 7) thí sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm tương ứng với phần Thang điểm Câu x 1 (1,0đ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x Tập xác định: D \ 3 Sự biến thiên: y ' Hàm số nghịch biến khoảng ;3 3; x 3 0, x D 0,25 Giới hạn tiệm cận: lim y lim y tiệm cận ngang: y x 0,25 x lim y ; x 3 lim y tiệm cận đứng: x x 3 Bảng biến thiên: x y’ - - Đồ thị: Giao Ox: Cho y x 1 Giao Oy: Cho x x 0,25 y y O x 0,25 -5 Cho hàm số: y x3 3mx 4m3 C , với m tham số Chứng minh với m đồ thị C có điểm cực trị A B Tìm m để OA OB , (1,0đ) O gốc tọa độ y ' x 6mx 3x x 2m x y' x 2m Với m phương trình y ' có nghiệm phân biệt Do đó, đồ thị C có điểm cực trị A B 0,25 Khi đó: Hai điểm cực trị đồ thị (C) là: A 0;4m3 ; B 2m ;0 0,25 Với m , ta có: OA OB m3 m 0,25 2m3 m m (thỏa mãn m 0) 0,25 Cho số phức z thỏa mãn: (1 2i) z (2 3i) z 2 2i Tính môđun 3a (0,5đ) w z z Gọi z x yi, x, y Hệ thức cho trở thành: 1 2i x yi 3i x yi 2 2i x y x y i x y 3 x y i 2 2i x y x y i 2 2i 3x y 2 x 1 x y 2 y 1 Do : w z z 1 i 1 i 3i w 13 3b Giải phương trình: log 0,7 x log 0,7 x 1 log 0,7 x (1) (0,5đ) Điều kiện: x 1 x x 1 x 0,25 0,25 0,25 x x (Do x ) Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S Tính tích phân sau: I (1,0đ) 2 x 2 0,25 dx x 1 Đặt u x u x udu xdx 0,25 Đổi cận: x 3u 2 x2 u 3 3 u Khi đó: I du du u 2 u 1 0,25 0,25 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2;5;1 mặt phẳng ( P) : x y z 24 Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A (1,0đ) mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng (P) H x 6t Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với (P) d : y 3t z 2t Vì H hình chiếu vuông góc A (P) nên H d ( P ) 0,25 Vì H d nên H 6t ;5 3t ;1 2t Mặt khác, H ( P) nên ta có: 6t 3t 1 2t 24 t 1 Do đó, H 4;2;3 Gọi I , R tâm bán kính mặt cầu Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784 4 R 784 R 14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) H nên IH ( P ) I d 0,25 0,25 Do tọa độ điểm I có dạng I 6t ;5 3t ;1 2t , với t 1 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn: d ( I ,( P)) 6t 3t 1 2t 24 62 32 (2)2 t 14 t 3 2 y z 1 196 *) Với t 3 I 16; 4; (S) : x 16 y z 196 *) Với t I ; ; (S) : x 2 0,25 12 6a Cho góc thỏa mãn sin Tính A cos (0,5đ) 13 4 Ta có: A cos cos sin 4 cos2 sin2 0,25 144 25 cos 169 169 13 cos (do ) 13 Thay sin 17 12 , cos vào A ta A 26 13 13 0,25 n Cho khai triển 1 x a0 a1 x a2 x an x n , n * Tìm hệ số a 6b (0,5đ) khai triển trên, biết rằng: a 8a 2a n Ta có 1 x n k n Cnk x Cnk 2k xk Khi đó, suy ak Cnk 2k k 0 k 0 0,25 Do đó, ta có a 1; a1 2n; a 2n(n 1) a 8a1 2a2 16n 4n(n 1) n n Vậy hệ số a 23 C53 80 0,25 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh a AB a, AD a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM , cạnh AC cắt (1,0đ) MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a *) Tính thể tích khối chóp S.HCD: AM AD nên đồng dạng, AD DC DCH , mà ADH HDC 90 DHC 90 Suy ADH ADC vuông D: AC AD DC AC a Hệ thức lượng ADC: DH.AC = DA.DC DC.DA 2a Suy ra: DH AC 4a 2 DHC vuông H: HC DC DH 4a Do diện tích HCD: SHCD DH.HC 4a Thể tích khối chóp S.HCD: VS.HCD SH.SHCD 15 *) Tính khoảng cách SD AC: Dựng HE SD Ta có SH (ABCD) nên SH AC DH AC , AC (SHD) Mà HE (SHD) nên HE AC Từ HE đoạn vuông góc chung SD AC nên HE d SD;AC Hai tam giác vuông AMD DAC có 0,25 0,25 0,25 1 2a HE 2 HE SH HD 2a Vậy d SD; AC HE SHD vuông H nên: 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A 3; 4 , tâm đường J tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp I 2;1 ;1 Viết phương (1,0đ) trình đường thẳng BC A I J C B D 1 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y 2 125 C 0,25 Phương trình đường thẳng AI: x y Gọi D giao điểm thứ AI C D trung điểm cung BC Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình: x y 2 x y 125 x 3 x ( Loại D A ) y 4 y 0,25 9 7 D ; 2 2 B B A A IBD Ta có: BID ; IBD IBC CBD BID 2 2 DI DB DC B, C nằm đường tròn tâm D bán kính DI: 0,25 9 7 50 x y 2 2 Tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình : x x 1 y 1 2 125 (1) 9 7 50 (2) y 2 2 0,25 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có: 2x y 10 * Rõ ràng tọa độ B, C thỏa mãn phương trình (*) Vậy: Phương trình BC: 2x y 10 Giải bất phương trình (1,0đ) 1 2x x x x x x 2 x x Điều kiện: x 2 x x 2 x x 0,25 Với 2 x bất phương trình cho Với x bất phương trình cho x 2( x 2)( x 2) x x x x2 x 0,25 x 2 x3 x x x 16 2( x x x 8) 2( x3 x x 8) 2( x3 x x 8) 16 2( x x x 8) 0,25 2( x x x 8) x x3 x x x x (do x ) x 1 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = 2;0 0,25 Cho số thực x , y, z thỏa mãn: 5(x y z ) 9(xy 2yz zx ) 10 (1,0đ) Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z (x y z )3 Theo giả thiết ta có : 5(x y z ) 9(xy 2yz zx ) 5(x y z )2 9(xy 2yz zx ) 10(xy yz zx ) 5(x y z )2 19x (y z ) 28yz 19x (y z ) 7(y z )2 0,25 x 19x x 5 1 7 x 2(y z ) y z y z y z Mặt khác ta có (y z )2 2(y z ) y z (y z )2 2(y z ) Vì P y z 27(y z )3 2(y z ) y z (y z )2 (6t 1)2 (2t 1) Đặt t y z P 16 16 t 27t 27t x 2(y z ) x Vậy m axP 16 Dấu đạt y z y z 1 y z 12 0,25 0,25 0,25 ...TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đáp án, thang điểm gồm 07 trang) KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016... ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Lần 2) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Cho điểm lẻ tới 0,25 Điểm toàn tổng điểm thành phần, không làm tròn Chỉ cho điểm tối đa làm thí