Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO GIẢI PT, HỆ PT (Phần 7) Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN CHUYÊN ĐỀ NHÂN LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỶ HAY NHÂN TỬ DẠNG TAM THỨC BẬC HAI NGHIỆM LẺ I, Lý thuyết - Trong chủ đề trên, đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa sử dụng Viet đảo toán phương trình vô tỷ chứa đơn giản bậc hai, hai bậc hai hai vế, … Và vấn đề đặt toán phức tạp hơn, nhiều thức chí chứa phân thức việc nâng lũy thừa tạo hệ số lớn dẫn đến khó xử lý Chính ta cần tư qua hướng liên hợp - Tuy nhiên, để liên hợp thuận tiện ta cần hỗ trợ công cụ đắc lực CASIO để đoán nghiệm vô tỷ tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ toán - Các dạng biểu thức liên hợp: f ( x) − g ( x) • f ( x) − g ( x) = f ( x) + g ( x) • f ( x) − g ( x) = • • f ( x) − g ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) ± g ( x) = f ( x) ± g ( x) = f ( x) ∓ f ( x) ± g ( x) f ( x) g ( x) + g ( x) f ( x) − g ( x) f ( x) ∓ f ( x) g ( x) + g ( x) - Dựa vào thức phương trình, ta lựa chọn biểu thức liên hợp cho phù hợp Ví dụ Phương trình chứa bậc hai nên ta cần tìm nhân tử ax + b = c px + q II, Ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình ( x + ) x − x + x − x − + 3x − 8x + − 8x − =0 ( x ∈ ℝ) + 6x − x2 PHÂN TÍCH CASIO Với bố cục phương trình trên, vừa chứa thức, vừa chứa phân số ta từ bỏ ý định nâng lũy thừa Mục đích việc giải phương trình tìm nhân tử toán, thường nhân tử phương trình bậc hai phương trình làm xuất nghiệm bản, ta liên hợp để làm xuất nhân tử Mà nhân tử xuất phát từ nghiệm phương trình nên ta tìm nghiệm toán từ máy tính CASIO sau: • Ta chưa xác định phương trình cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode ) để tìm khoảng nghiệm phương trình 3X − 8X + − X − • Nhập hàm số f ( X ) = ( X + ) X − X + X − X − + Vì điều kiện 1+ 6X − X toán ≥ x ≥ nên ta gán giá trị khởi đầu kết thúc tương ứng với điều kiện chặn, tức là: o Start ? Nhập START = 0.25 Bảng giá trị hàm số F(X) X F(X) X F(X) 0.25 0.3454 1.65 −0.132 0.45 −0.5 1.85 0.3698 0.65 −0.834 2.05 0.9743 0.85 −0.974 2.25 1.6751 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC • • o End ? Nhập END = 1.05 −0.958 2.45 2.4671 o Step ? Nhập STEP = 0.2 1.25 −0.805 2.65 3.3454 Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm 1.45 −0.526 1 33 37 phương trình x ∈ ; x ∈ ; 20 20 20 Và ta sử dụng đến công cụ SHIFT CALC để dò nghiệm hai khoảng nghiệm o Nhập phương trình cho vào máy 1 o Với khoảng nghiệm x ∈ ; gán x = 0.3 suy nghiệm x = 0.2928932188 20 33 37 o Với khoảng nghiệm x ∈ ; gán x = 1.7 suy nghiệm x = 1.707106781 20 20 Xét hai nghiệm tìm được, vào hai thức toán, ta có: x − x = 1.292893219 = x + o Với x = 0.2928932188 suy x − = 0.5857864375 = x x − x = 2.707106781 = x + o Với x = 1.707106781 suy x − = 3.14213562 = x ( o Do nhân tử chung cần tạo x + − x − x ) ( x − ) x − , nhân tử có sau nhân liên hợp x − x + TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, điều quan trọng ta tách biểu thức liên hợp cho hợp lý Rõ ràng, ta tách 2x phân thức cuối để liên hợp với x − , ta có: 3x − 8x + − x − + x − x2 Tiếp tục, ta thấy x − x = − ( x − x ) = − ( = ( x − 10 x + + x − x − ) (1) + x − x2 x − x2 ) , đồng thời để tạo nhân tử chung ( x + − ) x − x ta nghĩ đến chuyện tách ( x + ) x − x = ( x + 1) x − x + x − x , ta được: ( x + 2) 6x − x2 − ( x − x2 ) −1 = ) ( x − x2 x + − x − x2 + x − x2 − ( 2) Và ta quy đồng đại lượng không tham gia tạo nhân tử chung là: 6x − x − + x − 10 x + ( = )( x − x2 − 1 + x − x2 Khi đó, phương trình cho viết lại thành: + x − x2 ) ( ) x − x + + 3x − 10 x + x − x2 x + − 6x − x2 + 6x − x2 − + ( ⇔ x − x2 x + − x − x2 ⇔ 6x − x ⇔ (x +1− 6x − x ) 3x − x + − 8x − + 6x − x2 x2 − x + − 8x − + =0 + x − x2 )+ = ( x2 − x + + x − 8x − 2 x2 − x + 1 + x − x2 =0 ) =0 + 6x − x2 ( x − x + 1) x − x ( x − x + 1) x − x + + x + x − + =0 x + + 6x − x2 + 6x − x2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ⇔ x − x ( x − x + 1) x + + x − x2 (2x + + + ( ) x − ( x − x + 1) + x − x2 )( 2x + 8x − ) =0 2± 6 ≥ x ≥ − ⇔ ( x − x + 1) f ( x ) = ⇔ ⇔x= 2 x − x + = f ( x ) > 0; ∀x ∈ − ; ± Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x3 − x − + x − x = x3 − x + x + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Tương tự ví dụ trên, thực bước: • Ta chưa xác định phương trình cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode ) để tìm khoảng nghiệm phương trình x ≥ • Nhập hàm số f ( X ) = X − X − + X − X − X − X − X + Vì điều kiện toán x ≤ nên ta gán giá trị khởi đầu kết thúc tương ứng với điều kiện chặn với hai miền nghiệm khác tức ứng với hai bảng giá trị TH1 Với điều kiện x ≥ Bảng giá trị hàm số F(X) o Start ? Nhập START = x ≥1 x≤0 o End ? Nhập END = X F(X) X F(X) o Step ? Nhập STEP = 0.5 ERROR − 5.414 −4 TH2 Với điều kiện x ≤ ERROR −3.5 1.5 −5.709 o Start ? Nhập START = −4 ERROR −3 −3.767 o End ? Nhập END = ERROR −2.5 2.5 1.0678 o Step ? Nhập STEP = 0.5 ERROR 9.5505 −2 • Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm ERROR −1.5 3.5 22.436 5 3.4142 − 40.482 phương trình x ∈ 2; x ∈ − ; 2 −0.5 0.4215 4.5 64.441 Và ta sử dụng đến công cụ SHIFT −2 95.068 CALC để dò nghiệm hai khoảng nghiệm o Nhập phương trình cho vào máy 5 o Với khoảng nghiệm x ∈ 2; gán x = 2.25 suy nghiệm x = 2.414213562 2 o Với khoảng nghiệm x ∈ − ; gán x = −0.25 suy nghiệm x = −0.414213562 • Xét hai nghiệm tìm được, vào hai thức toán, ta có: x1 + x2 = o Theo Viet đảo, thấy nên nhân tử chung cần tìm x − x − x x = − o Bài toán xuất ba thức, lại có x − x = x ( x − 1) = x ( x − 1)( x + 1) = x − x x + Vì ta tìm mối liên hệ x − x x +1 x − x = 1.847759065 ⇒ x2 − x = x + o Với x = 2.414213562 suy x + = 1.847759065 hai thức Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC o Tương tự với x = −0.414213562 ta có nói cách khác biểu thức liên hợp cần tìm ( x − x = x + , nhân tử chung hay ) x2 − x − x + TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát toán, ta có nhân tử chung hai ( ) x3 − x , hay x − x − x + , việc lại ghép biểu thức liên hợp với thức để đơn giản hóa ta giải phương trình g ( x ) = x3 − x − − x3 − x = • Nếu đề yêu cầu giải phương trình g ( x ) = ta thấy phương trình có dạng h ( x ) = k ( x ) nên hoàn toàn chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau chia đa thức tạo nhân tử Bình phương hai vế phương trình g ( x ) = với điều kiện x − x − ≥ ta ( x3 − x − 1) = x3 − x o Với kỹ CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được: (x − x − 1) = x − x ⇔ x − x − x3 + 16 x + x + = o Nhân tử tìm x − x − nên tiếp tục thực phép chia đa thức để giảm bậc: x − x − x + 16 x + x + P= = x + x3 − 3x − x − x − 2x − o Và chứng minh x + x − x − x − = vô nghiệm với điều kiện xác định • x3 − x Còn trường hợp này, ta tìm biểu thức liên hợp với thức o Với hai nghiệm tìm được, ta có x = 2.414213562 suy ) ( x3 − x = 3.414213561 = x + Vì biểu thức liên hợp x + − x − x ) ( o Do đó, phương trình g ( x ) = tương đương với: ( x − x − ) + x + − x − x = ( ) ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) + x + − x − x = ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) + ( x + 1) ( x − x − 1) ( x + 1) − ( x3 − x ) x + + x3 − x =0 x +1 = ⇔ ( x − x − 1) x + − =0 x + + x3 − x x + + x3 − x o Và lần nữa, sức mạng TABLE lên tiếng, ta dùng bảng giá trị để khảo sát x +1 nghiệm phương trình x + − = lại x + + x3 − x X +1 Nhập hàm số f ( X ) = X + − , ta xét khoảng điều kiện x ≥ X +1+ X − X Start ? Nhập START = X F(X) End ? Nhập END = 4.5 Step ? Nhập STEP = 0.5 1.5 2.8538 Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng dấu 3.4494 hiệu cắt trục hoành ta khẳng định 2.5 4.0086 phương trình f ( X ) = vô nghiệm 4.5505 Hướng chứng minh vô nghiệm ta khảo sát hàm 3.5 5.0823 số để HÀM TĂNG, biến 5.6077 đổi tương đương hay nhóm số đê đưa tổng 4.5 6.1285 đại lượng dương Ta có: x +1 x +1 x3 − x x+2− = x + + 1 − = x + + >0 x + + x3 − x x + + x3 − x x + + x3 − x ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) − Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x+2− x +1 = x + + x3 − x ( x + 2) ( x + + ) x3 − x − x + x + + x3 − x = x + x + + ( x + ) x3 − x x + + x3 − x x ∈ ( −∞; 0] ∪ [1; +∞ ) o Suy g ( x ) = ⇔ x − x − = ⇔ ⇔ x = 1± x − x − = ( ) ( x − x − x + 1) = x − x ) + ( x − x − x + 1) = Từ đó, ta có lời giải sau: x − x − − x − x + ( ⇔ x3 − x − + x + − ⇔ ( x + ) ( x − x − 1) − 2 ( x + 1) ( x − x − 1) x + + x3 − x + x2 − x − x2 − x + x + =0 x +1 ⇔ ( x − x − 1) x + − + =0 x +1+ x − x x − x + x +1 x3 − x ⇔ ( x − x − 1) x + + + =0 x + + x − x x − x + x + ⇔ ( x − x − 1) f ( x ) = ⇔ x = ± { f ( x ) > } Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = ± 8x − − + x 1− x + =0 ( x ∈ ℝ) 1+ x + 1+ x Ví dụ Giải phương trình x3 = x + x + ( x + 3) x + + x + Ví dụ Giải phương trình Ví dụ Giải phương trình x2 + 2x2 + x ( = x +1 +1 x +1 + ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) ) 1 1 Ví dụ Giải phương trình x − x − x + x − = x x ( x ∈ ℝ) Ví dụ Giải phương trình 11x + x + 15 x + = x + ( x + ) x + ( x ∈ ℝ) Ví dụ Giải phương trình x + = ( − x ) x + + x − x ĐÓN ĐỢI CÁC PHẦN TIẾP THEO CÁC EM NHÉ!!! Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016