chu kỳ dao động điều hòa của các cơ hệ con lắc lò xo

CHU KỲ (TẦN SỐ) DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ CỦA CÁC CƠ HỆ CON LẮC LÒ XO A DẪN NHẬP Các mô hình hệ lắc lò xo (CLLX) thực tế phong phú Mỗi hệ kích thích dao động có tần số góc dẫn đến chu kỳ (tần số) dao động điều hoà (DĐĐH) tương ứng Dưới đây, thiết lập chu kỳ DĐĐH vài hệ CLLX phổ biến theo hai phương pháp lực lượng, đồng thời thống kê số hệ thường gặp B NỘI DUNG I Hệ lò xo ghép với nhau: Tuỳ theo cách ghép lò xo thành phần, ta có độ cứng tương đương hệ lò xo tương ứng Gọi k1, k2, , kn: độ cứng lò xo thành phần (1), (2), , (n) k: độ cứng tương đương hệ n lò xo ghép lại  Ghép nối tiếp: k 1 1     k k1 k kn →k=? k2 (k < k1, k2, , kn)  Ghép song song: k  k1  k   k n (k > k1, k2, , kn) k1 k2 II Lò xo bị cắt rời:  Xét lò xo cấu tạo đồng đều, khối lượng không đáng kể, có chiều dài tự nhiên l, độ cứng k Cắt lò xo thành hai phần có chiều dài độ cứng tương ứng l01, k1 l02, k2, ta có: kl0  k1l01  k l02  Nếu lò xo có độ cứng k cắt thành n đoạn lò xo lò xo có độ cứng là: k’ = nk III Thiết lập tần số góc: Cơ hệ 1: Cho lò xo có độ dài l0 = 45 (cm), độ cứng k = 12 (N/m) cắt thành hai lò xo l01 = 18 (cm) l02 = 27 (cm) Mắc hai lò xo vào vật nặng m = 100 (g) hình Góc nghiêng  = 300 Bỏ qua ma sát Tại thời điểm ban đầu, giữ cho hai lò xo không bị biến dạng Thả nhẹ cho vật dao động Tìm chu kỳ dao động vật Bằng phương pháp lực: Độ cứng hai lò xo thành phần: l0 45  12  30 (N/m) l01 18 l 45 k  k  12  20 (N/m) l02 27     Vật chịu tác dụng lực: P, N, Fdh1 , Fdh      Tại vị trí cân O: P  N  F dh1  Fdh  k1  k Chiếu biểu thức lên phương nghiêng, chiều chọn: - Psin + Fdh1 + Fdh2 = với Fdh1 = k1Δl; Fdh2 = k2Δl (lò xo (1) nén đoạn Δl lò xo (2) dãn đoạn Δl) → - Psin + (k1 + k2)Δl = Tạily độ x bất kỳ:      P  N  F'dh1  F'dh  ma  P sin   k1 ( l  x)  k ( l  x)  ma  P sin   (k1  k ) l  (k1  k )x  ma  (k1  k )x  m(x) '' k k  (x) '' x  m k k Đặt 2   (x) '' 2 x  m Vậy chu kỳ dao động vật: T 2 m 0,1  2  2  0, 28 (s)  k1  k 50 Cơ hệ 2: Cho hệ CLLX hình Dây treo không dãn có khối lượng không đáng kể Bỏ qua ma sát Kích thích cho hệ dao động Chứng minh hệ DĐĐH với tần số góc   Bằng phương pháp lực: k m1  m    Vật m1 chịu tác dụng lực: P1 , T1 , Fdh   Vật m2 chịu tác dụng lực: P , T      P1  T1  Fdh   P1  T1  Fdh     P2  T2  Tại vị trí cân O:  P  T  P  T  kl  T1  T2  T    P2  P1  kl   P2  T  Tại ly độ x bất kỳ:     P  P1  F'dh  (m1  m )a  P2  P1  k( l  x)  (m1  m )a  P2  P1  kl  kx  (m1  m )a k  kx  (m1  m )a  (x) '' x 0 m1  m k Đặt 2   (x) '' 2 x  m1  m Vậy hệ DĐĐH với tần số góc   k m1  m Cơ hệ 3: Cho hệ hình Thanh AB dài l = (m), lò xo có độ cứng k = (N/m) M trung điểm AB Vật nặng m = 100 (g) Bỏ qua ma sát Bỏ qua khối lượng lò xo Khi cân AB thẳng đứng Kéo (hay nén) B đoạn (cm) thả nhẹ Chứng minh hệ DĐĐH Bằng phương pháp lượng: Chọn mốc ngang qua vị trí cân x Tại vị trí x (xem hình): lò xo dãn đoạn l  1 x k Thế đàn hồi lò xo: Wt  k(l)  k    x 2 2 Thế trọng trường vật nặng:  2  2 x mg Wt  mgh  mgl(1  cos)  mgl 1     mgl  mgl  x  2 l l  2 x2 ( cos  - ; x  l    ) l mg k  mg k  x  x    x Thế tổng cộng: W't  l 24 2 l 4 Động vật: Wd  mv 2  mg k  W = Wd  W't  mv     x  const 2 l 4  mg k   (W)' = mv(v)' +    x(x) '  l 4  Cơ hệ:  mg k   m(x) '(x) ''    x(x) '   l 4  mg k  g k   m(x) ''    x   (x) ''   x   l 4  l 4m  g k  (x) '' 2 x  Vậy hệ DĐĐH l 4m Đặt 2   Cơ hệ 4: Cho bốn mảnh quay không ma sát quanh A, B, C, D (xem hình) Lò xo có độ cứng k = 20 (N/m) Vật nặng m = 200 (g) Bỏ qua khối lượng lò xo Khi hệ cân ABCD hình vuông Kéo (hay nén) B, D để AB AD hợp với vị trí ban đầu góc  nhỏ thả nhẹ Tìm tần số DĐĐH vật Bằng phương pháp lượng: Vì  nhỏ  x  l 1 2 Động vật: Wd  mv 2 1 W = Wd  Wt  mv  kx  const 2  (W)' = mv(v)' + kx(x)' Cơ hệ:  m(x)'(x)'' + kx(x)' = = k  m(x)'' + kx =  (x)'' + x  m k Đặt 2   (x) '' 2 x  m Thế đàn hồi lò xo: Wt  k(l)2  kx Vậy tần số dao động vật: f  k 20     1,59 (Hz) T 2 2 m 2 0, IV Chu kỳ hệ lắc lò xo: CƠ HỆ CLLX ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG k k1k k1  k CHU KỲ T  2 m(k1  k ) k 1k GHI CHÚ k  k1  k T  2 m k1  k k  k1  k T  2 m k1  k k  k1  k T  2 m k1  k k (k1  k )k k1  k  k T  2 m(k1  k  k ) (k1  k )k T  2 m1  m k k  k1  k  k k  k1  k  k 3k k3  k T  2 m1  m2 k T  2 m1  m k T  2 m k1  k  k T  2 m k T  2 m k T 2  Với  g k  l 4m T  2 k k 1k k1  4k T  2 4m k m(k1  4k ) k 1k - ... Thế đàn hồi lò xo: Wt  k(l)2  kx Vậy tần số dao động vật: f  k 20     1,59 (Hz) T 2 2 m 2 0, IV Chu kỳ hệ lắc lò xo: CƠ HỆ CLLX ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG k k1k k1  k CHU KỲ T  2 m(k1...  m Vậy chu kỳ dao động vật: T 2 m 0,1  2  2  0, 28 (s)  k1  k 50 Cơ hệ 2: Cho hệ CLLX hình Dây treo không dãn có khối lượng không đáng kể Bỏ qua ma sát Kích thích cho hệ dao động Chứng... 2 x  Vậy hệ DĐĐH l 4m Đặt 2   Cơ hệ 4: Cho bốn mảnh quay không ma sát quanh A, B, C, D (xem hình) Lò xo có độ cứng k = 20 (N/m) Vật nặng m = 200 (g) Bỏ qua khối lượng lò xo Khi hệ cân ABCD