Phương Pháp Tính Trong Tin Học

Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Vấn đề 15: Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình GVHD: TS Trịnh Công Diệu Nhóm thực hiện: Nhóm 15A Nguyễn Quốc Ấn Đặng Lan Hương Dương Thanh Huyền Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Vấn đề 15: Xấp xỉ nghiệm phương trình A Đặt vấn đề Cho hệ n phương trình n ẩn có nghiệm thực D Xác định giá trị gần nghiệm với sai số ε cho trước Chúng ta tập trung vào hai phương pháp sau: - Phương pháp lặp đơn (phép lặp đồng thời) - Phương pháp Newton B Giải vấn đề (k ) Ý tưởng chủ đạo phương pháp xây dựng dãy ( x ) D hội tụ ξ Khi ta chọn (x ) với k đủ lớn để làm nghiệm gần thay cho ξ Kiến thức chuẩn bị (k ) Cho x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ ¡ T  ¡ n , ta định nghĩa: x n ∞ = max xi i =1 hiểu không gian tuyến tính trang bị chuẩn ∞ ; với thay đổi nhỏ tất kết n cảu trình bày với chuẩn p, p ∈ [ 1, ∞ ) , thay ∞ p Cho ξ ∈ ¡ n , hình cầu mở ¡ n có bán kính ε > tâm ξ định nghĩa tập hợp:  Bε ( ξ ) = { x ∈ ¡ n : x − ξ Một tập D ⊂ ¡  Bε ( ξ ) ⊂ D n ∞ < ε} gọi tập mở ¡ n ξ ∈ D , ∃ε = ε ( ξ ) > cho ( ) ( k) n Mỗi dãy x ⊂ ¡ gọi dãy Cauchy ¡  n cho ε > ,tồn số nguyên dương k0 = k0 ( ε ) cho: x ( k ) − x( m ) ∞ < ε , ∀k , m > k (k ) Ví dụ: Nếu ( x ) dãy Cauchy ¡ lim x ( k ) − ξ k →∞ ∞ =0 n tồn ξ ∈ ¡ n cho ( x (k ) ) hội tụ đến ξ , nghĩa là: (1) ( ) ( k) Bổ đề 1: Giả sử D tập đóng ¡ n , D ≠ ∅ x ⊂ D dãy Cauchy ¡ lim x( k ) = ξ tồn ξ ∈ D k →∞ Chứng minh: ( ) ( k) Vì x dãy Cauchy ¡ n , tồn ξ ∈ ¡ n cho: lim x( k ) = ξ k →∞ Ta cần chứng minh ξ ∈ D n Giả sử ngược lại ξ ∈ ¡ n \ D tồn ε > cho Bε ( ξ ) ⊂ ¡ \ D n Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A ( ) ( ) ( k) ( k) Vì x ⊂ D ⇒ phần tử dãy x ( ) ⇒ mâu thuẫn x ( k ) thuộc vào Bε ( ξ ) hội tụ ξ ⇒ξ ∈D Giả sử cho D ⊂ ¡ n , D ≠ ∅, f : D ⊂ ¡ n → ¡ n , cho ξ ∈ D ta nói f liên tục ξ ∀ε > 0, ∃δ = δ ( ε ) > cho ∀x ∈ Bδ ( ε ) ∩ D : f ( x ) − f ( ξ ) < ε Nhận xét:  Ta chứng minh hàm f liên tục cách đạo hàm phần bị chặn, ie: ∂f ( x ) ≤K ∂x j  Khi hàm f xác định tập D, liên tục điểm D gọi hàm liên tục D Bổ đề 2: Cho D ⊂ ¡ n , D ≠ ∅, f : D ⊂ ¡ n → ¡ ( x( ) ) ⊂ D hội tụ ¡ k n n hàm xác định liên tục D Nếu ( ) f x( k ) = f ( ξ ) đến ξ ∈ D thì: lim k →∞ Chứng minh: Do tính liên tục hàm f ξ ∈ D , ∀ε > 0, ∃δ = δ ( ε ) > cho x − ξ f ( x) − f ( ξ ) ∞ 0, ∃k0 cho f x − f ( ξ ) ∞ < ε , ∀k ≥ k0 ( ) f x( k ) = f ( ξ ) Có nghĩa là: lim k →∞ Phương pháp lặp đồng thời 2.1 Cơ sở lý luận: Cho D ⊂ ¡ n , D ≠ ∅, f : D ⊂ ¡ n → ¡ n hàm liên tục xác định D Bài toán tìm ξ ∈ D cho f ( ξ ) = , ξ tồn gọi nghiệm phương trình f ( x ) = Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Khi viết dang thành phần, f ( x ) = trở thành: f i ( x1 , x2 , , xn ) = 0, i = 1, 2, , n hệ phi tuyến với n ẩn số, f1 , f , f n hàm thành phần f Đặt g ( x ) = x − α f ( x ) Khi g : ¡ n → ¡ n hàm liên tục xác định tập đóng D Bằng phép tương đương ta định nghĩa: ξ ∈ D thỏa f ( ξ ) = g ( ξ ) = ξ Bất kì ξ ∈ D thỏa g ( ξ ) = ξ gọi điểm bất động g D Vì toán tìm nghiệm ξ ∈ D phương trình f ( x ) = chuyển thành tìm điểm bất động D g 2.1.1 Định nghĩa 1: Giả sử g : ¡ n → ¡ n hàm liên tục xác đinh tập đóng D ⊂ ¡ n cho g ( D ) ⊂ D Cho x0 ∈ D , phép đệ quy xác định bởi: ( ) x ( k +1) = g x ( k ) , k = 0,1, 2, (3) gọi phép lặp đồng thời Nhận xét:  Dễ dàng dãy vectơ ( x( ) ) k hội tụ đến ξ ¡ n với chuẩn ∞ hội tụ đền giới hạn với chuẩn p , p ∈ [ 1, +∞ )  w Để thấy điều ý có: ∞ ≤ w p ≤n p w ∞ , ∀w ∈ ¡ n (4) Với ≤ p ≤ +∞; w = x ( k ) − ξ ⇒ x → ∞ ,sự hội tụ ∞ có nghĩa hội tụ p , p ∈ [ 1, +∞ ) ngược lại Do lựa chọn chuẩn ¡ n không phụ thuộc Ở giả định D tập đóng quan trọng Nếu D không đóng g : D → D điểm bất động D, x ( k ) ∈ D ( ) ( k) ∀k ≥ x hội tụ ¡ n Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Vì dụ: Giả sử D đĩa đơn vị mở ¡ với chuẩn ∞ , mà hình vuông xác định: −1 < x1 < 1; −1 < x2 < Xem phép lặp đồng thời (3): x ( 0) = ∈ D g ( x ) = Nếu x ∞ < dễ dàng thấy g ( x ) x ( 0) = 0, x ( k ) ∈ D x ( k +1) − u = Ở đó: x ( −u ( ) ( k) Rõ ràng x ( ) < bắt đầu phép lặp x ( k +1) = g x ( k ) từ ∀k ≥ Sự xác định g có nghĩa: ( k) x −u ( k +1) ∞ T ( x + u ) ; u = ( 1,1) ∞ ) = x( k ) − u k +1 1 = =  ÷ 2 ∞ x ( 0) k +1 −u ∞ 1 = ÷ 2 hội tụ u ¡ n , nhiên u ∉ D u nằm đường tròn đơn vị chuẩn ∞ biểu diễn biên tập mở D Giả sử g : ¡ n → ¡ n xác định liên tục tập đóng D ¡ n Để đảm bảo g có điểm bất động D ta củng cố thêm giả thiết hàm g 2.1.2 Định nghĩa 2: Giả sử g : ¡ n → ¡ g ( x) − g ( y) ∞ n xác định tập đóng D ¡ n Nếu tồn số dương L cho: < L x − y ∞ , ∀x, y ∈ D g thỏa mãn điều kiện Lipchitz D với ∞ L số g với ∞ Nhận xét:  Nếu L ∈ ( 0,1) g gọi phép co D với ∞  Hàm g thỏa mãn điều kiện Lipchitz D liên tục D Thật vậy: ( 0) Cho x ∈ D, ε > 0, δ = ( ) g ( x ) − g x( 0)  ∞ ε ( 0) , từ (5) suy : Nếu x − x L < L x − x ( 0) ∞ ∞ < δ với x ∈ D  k0 ≥ log L     1− L ln  ( 1)  x − x( 0)  1− L ε ÷=  ( 1) ( 0) ÷ ln L x −x ∞   ε÷ ÷ ∞  (6) Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Ta thấy: L x ( 1) − x ( ) 1− L ( k) Và đó: x − ξ ∞ ∞ ≤ε ≤ε Nhóm 15A ∀k ≥ k0 ∀k ≥ k0 (7)  Ta cần tồn điểm bất động ξ ∈ D cho g Trái với chứng minh tồn điểm bất động cho hàm giá trị biến thực đơn vị, ta dựa vào định lý giá trị trung gian ( trừ trường hợp n = 1), ta phát triển đối số khác Thực chất điều x ( k ) ⊂ D dãy Cauchy ¡ n , từ sử dụng bổ đề để suy dãy hội tụ đến điểm bất động ξ hàm g ( Có g ( D ) ⊂ D ⇒ x ( 0) ∈ D x ( k) Hơn g hàm co D với , ta có: x( ) − x( k k −1) ∞ ( = g x( k −1) ∞ ) = g x ( k −1) ∈ D ∀k ≥ ) − g ( x( ) ) k −2 ∞ ≤ L x( k −1) − x( k − 2) ∞ ∀k ≥ Bằng phép quy nạp ta suy ra: x( k ) − x( k −1) ∞ ≤ Lk −1 x ( 1) − x ( ) ∞ ∀k ≥ (8) Do g hàm co nên với n ≥ với i ≥ sử dụng (8) thì: x ( k +i ) − x ( k +i −1) ⇒ x( k +i ) − x( k ) ∞ ∞ ≤ L x ( k +i −1) − x ( k +i − ) ≤ x( k + i ) − x ( k +1−1) ≤L x i ( k) −x ∞ ( k −1) + x ( k +i −1) − x ( k +i − 2) i −1 ∞ +L 1− L ( k) x − x ( k −1) 1− L i → +∞ Cho ta được: ≤L x( k ) − ξ x ( k) −ξ ∞ ∞ ≤ ≤ L2 x ( k +i − 2) − x ( k +i −3) ∞ x ( k) −x ∞ ( k −1) ∞ ∞ ≤ ≤ Li x ( k ) − x ( k −1) + + x ( k +1) − x ( k ) + + L x ( k) −x ∞ ∞ ( k −1) ∞ i L x ( k ) − x ( k −1) 1− L ∞ (9) ∞ L k −1 ( 1) ≤ L x − x ( 0) 1− L ∞ Lk = x( 1) − x ( 0) 1− L ∞ ( ) Lk = dãy lặp đơn x ( k +1) = g x ( k ) , k ≥ với x ( 0) ∈ D hội tụ nên dãy Cauchy Suy Khi lim k →∞ ( k) ( k +1) →0 x − x Dãy Cauchy ¡ n hội tụ ¡ n , ∃ξ ∈ ¡ n Mặt khác : g thỏa điều kiện Lipchitz D ⇒ g liên tục D Do theo bổ đề 2: ( ) ( ) ξ = lim x ( k +1) = lim g x ( k ) = g lim x ( k ) = g ( ξ ) k →∞ k →∞ Vậy ξ điểm bất động g k →∞ x( k ) để ξ = lim k →∞ Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A ( k) x ( k ) D tập đóng Mặt khác: x ⊂ D, ξ = lim k →∞ ⇒ ξ ∈ D (Theo bổ đề 1) 2.1.4 Định nghĩa 3: Đặt g = ( g1 , g , , g n ) : ¡ n → ¡ n hàm xác định liên tục lân cận N ( ξ ) ξ ∈ ¡ n T Giả sử đạo hàm thành phần cấp ∂gi , j = n gi ξ tồn với i = n Ma trận ∂x j Jacobi J g ( ξ ) g ξ ma trận vuông cấp n, với phần tử: J g ( ξ ) ij = ∂gi ( ξ ) , i, j = 1, 2, , n ∂x j 2.1.5 Định lý 2: Giả sử g = ( g1 , g , , g n ) : ¡ n → ¡ T n xác định liên tục tập đóng D ⊂ ¡ n Cho ξ ∈ D điểm bất động g, giả sử đạo hàm thành phần cấp ∂gi , i = n, j = n gi ∂x j xác định liên tục lân cận N ( ξ ) ⊂ D ξ ,với: Jg ( ξ ) ∞ cho g B ε (ξ ) ⊂ B ε (ξ ) dãy xác định (3) hội tụ đến ξ , ∀x (0) ∈ B ε (ξ ) ∂gi , i = n, j = n g i , xác định liên tục lân cận N ( ξ ) ⊂ D ξ , với: ∂x j Jg ( ξ ) ∞ ( ) < ∃ε > cho g Bε ( ξ ) ⊂ Bε ( ξ ) , dãy xác định (3) hội tụ đến ξ , ∀x ( 0) ∈ B ε ( ξ ) Chứng minh Đặt K = J g ( ξ ) ∞ Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Do đạo hàm thành phần Nhóm 15A ∂gi với i, j = n , liên tục lân cận N ( ξ ) ξ nên ta tìm ∂x j hình cầu đóng Bε ( ξ ) ⊂ N ( ξ ) ⊂ D , bán kính ε tâm ξ cho: Jg ( z) ∞ ≤ ( K + 1) < ∀z ∈ Bε ( ξ ) (11) Giả sử x, y nằm Bε ( ξ ) , cho i ∈ { 1, , n} , cố định, xác định hàm số t a ϕi ( t ) với biến đơn t ∈ [ 0;1] : ϕi ( t ) = g i ( tx + ( − t ) y ) Do đó: ϕi ( ) = gi ( y ) ϕi ( 1) = gi ( x ) Hàm số t a ϕi ( t ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , theo định lý giá trị trung bình, ∃η ∈ ( 0;1) cho: gi ( x ) − gi ( y ) = ϕi ( 1) − ϕi ( ) = ϕi' ( η ) ( − ) = ϕi' ( η ) Nghĩa là: n gi ( x ) − gi ( y ) = ∑ ( xi − yi ) j =1 Có: x j − y j ≤ x − y ∞ ∂yi ( η x + ( −η ) y ) ∂x j i = n (12) ∀j ∈ { 1, , n} (12) cho ta: gi ( x ) − gi ( y ) ≤ x − y ∂g ∑ ∂x ( η x + ( −η ) y ) n ∞ j =1 i j ≤ x − y ∞ J g ( η x + ( −η ) y ) Do với x, y thuộc Bε ( ξ ) : ∞ i = n Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình g ( x) − g ( y) ≤ max J g ( tx + ( − t ) y ) t∈[ 0;1] ∞ ≤ ( 1+ K ) x − y Nhóm 15A ∞ x− y ∞ (13) ∞ ∀t ∈ [ 0;1] Theo g thỏa mãn điều kiện Lipchitz (5) với ∞ Đúng với (11), tx + ( − t ) y ∈ Bε ( ξ ) , hình cầu đóng Bε ( ξ ) với L = ( 1+ K ) < Hơn nữa, chọn y = ξ (13), ta có: g ( x) − ξ ∞ ( = g ( x) − g ( ξ ) ∞ < x −ξ ∞ ≤ε ∀x ∈ B ε ( ξ ) ) ⇒ g B ε ( ξ ) ⊂ Bε ( ξ ) ( 0) Sự hội tụ phép lặp (3) đến ξ , với giá trị bắt đầu tùy ý x ∈ B ε ( ξ ) Nhận xét: ( ) ( k +1) = g x ( k ) thỏa định nghĩa g hàm co dãy x ( k +1) hội tụ đến điểm bất động ξ - Nếu dãy x D - Từ (13) ta chứng minh g hàm co cách K = J g ( ξ ) L = max J g ( x ) ∞ 2.2 Xây dựng ước lượng Do có: x( k ) − ξ ∞ ≤ L x ( k ) − x ( k −1) 1− L ≤ L k −1 ( 1) L x − x ( 0) 1− L ∞ (9) ∞ = Lk x ( 1) − x ( ) 1− L ∞ (10) ( k) ( k +1) → k → +∞ Mặt khác Lk → k → ∞ Suy x − x ∞ < chọn Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình x( k ) − ξ ∞ ≤ Lk x ( 1) − x ( 0) 1− L ∞ ≤ Nhóm 15A { Lk max xi( 0) − , bi − xi( 0) 1− L } (do x ( 0) , x ( 1) ∈ D ) ( 0) Cho nên ta chọn xi = ( 0) Vậy chọn xi = { } + bi ( 0) ( 0) max xi − , bi − xi nhỏ + bi tốt không phụ thuộc vào hàm g 2.4 Thuật toán Giải hệ phi tuyến n phương trình n ẩn:  f1 ( x1 , x2 , , xn ) =   f ( x1 , x2 , , xn ) = (10.1)    f n ( x1 , x2 , , xn ) = Trong f i ánh xạ vectơ x = ( x1 , x2 , , xn ) ¡ n → ¡ Bước 1: Chuyển hệ phương trình dạng:  x1 = g1 ( x1 , x2 , , xn )   x2 = g ( x1 , x2 , , xn )    xn = g n ( x1 , x2 , , xn ) Bước 2: Lấy g : ¡ n → ¡ n xác định g ( x ) = ( g1 ( x ) , g ( x ) , , g n ( x ) ) với  g1 ( x ) = g1 ( x1 , x2 , , xn )   g ( x ) = g ( x1 , x2 , , xn )    g n ( x ) = g n ( x1 , x2 , , xn ) Bước 3: Chọn tập D tập đóng ¡ Bước 4: Chứng minh g hàm co: n cho: g ( D ) ⊂ D Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình ∂gi tồn liên tục ∂x j g liên tục D , K = J g ( x) ∞ Nhóm 15A < 1, ∀x ∈ D Bước 5: Với L = max J g ( x ) ( , chọn x ( 0) = x1( 0) , x2( 0) , , xn( ) ∞ ) T ( ) ( k +1) = g x ( k ) , k ≥ tạo dãy x ( ) ( k +1) = g x ( k ) hội tụ đến điểm bất động ξ ∈ D tìm k cho: dãy x x( k ) − ξ ∞ ≤ x ( k ) − x ( k −1) 1− L ∞ ( k) ( k −1) hay x − x ∞ ≤ 1− L ε L x ( k ) nghiệm xấp xỉ cần tìm 2.5 Ví dụ Cho hệ phương trình phi tuyến  x13 + x23 − 12 x1 + =  3  x1 − x2 − 12 x2 + = Nếu phương trình thứ i giải xi hệ trở thành toán điểm bất động:  x13 + x23 x = +  12  3  x = x1 − x2 +  12 Lấy g : ¡ → ¡ xác định g ( x ) = ( g1 ( x ) , g ( x ) ) với: T  x13 + x23 g x , x = + ( )  1 12  3  g ( x , x ) = x1 − x2 +  2 12 Ta tập D đóng cho g ( D ) ⊂ D Chọn D = [ 0;1] × [ 0;1] Vì ≤ gi ( x1 , x2 ) ≤ i = 1, nên G ( x ) ∈ D với x ∈ D Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Ta tìm đạo hàm thành phần D : ∂g1 x12 = ≤ ∂x1 4 ∂g x12 = ≤ ∂x1 4 ∂g1 x22 = ≤ ∂x2 4 ∂g x22 =− ≤0 ∂x2  x12 4 Đặt J g ( x ) =   x1  x22   x2  − 2 4 ∀x ∈ D : J g ( x ) ∞  x + x22 x12 − x22  = max  , ÷   ⇒ J g ( x) ∞ < 1, ∀x ∈ D ⇒ L = max J g ( x ) ∞ = = 0.5 T Xấp xỉ đến điểm bất động ξ , ta chọn x ( 0) = π ( 0.5, 0.5 ) ta có dãy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( k −1)  x + x2( k −1) k  x( ) =  12   x1( k −1) − x2( k −1) k) (  x2 = 12  + + Ta có: x ( k ) − x ( k −1) ⇒ x ( k ) − x ( k −1) ∞ ∞ < − 0.5 × 10−5 0.5 < 10−5 Bảng thực bước lặp: K x1( k ) x2( k ) 0.5 0.5 0.27083 0.16667 x ( k ) − x( k −1) −0.22917 ∞ Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A 0.25204 0.16794 1.27 ×10−3 0.25173 0.16761 −3.1×10−4 0.25172 0.16760 10−5 ( 4) Vậy nghiệm xấp xỉ hệ phương trình là: x = ( 0.25172, 0.16760 ) Phương pháp Newton 3.1 Cơ sở lý luận 3.1.1 Định nghĩa 4: ( ) ( k +1) = x ( k ) − λ f x( k ) , k = 0,1, 2, (16) Cho công thức truy hồi x với x ( 0) ∈ ¡ n , λ số khác không, gọi giảm dư đồng thời Giả sử chuỗi x ( k ) hội tụ tới ξ ∈ ¡ f liên tục lân cận ξ ; cho k → ∞ (16) ta suy ξ nghiệm phương trình f ( x ) = 3.1.2 Định lý 3: Giả sử f ( ξ ) = tất hàm thành phần f = ( f1 , f , , f n ) có đạo hàm cấp liên tục T lân cận mở ξ , thỏa điều kiện bị chặn chéo nghiêm ngặt ξ , tức là: n δ fi δ fi >∑ ( ξ ) i = 1, 2, (17) δ xi j =1 δ x j j ≠i Khi đó, ∃ε > λ > cho dãy giảm dư (16) hội tụ tới ξ x ( 0) thuộc hình cầu đóng Bε ( ξ ) bán kính ε , tâm ξ Chứng minh: Các số hạng ma trận Jacobi J g ( ξ ) = ( γ ij ) ∈ ¡ n× n hàm x a g ( x ) = x − λ f ( x ) x = ξ là: Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình γ ii ( ξ ) = − λ n Đặt m = max i =1 Nhóm 15A δ fi δf ( ξ ) , γ ij ( ξ ) = −λ i ( ξ ) j ≠ i; i, j ∈ { 1, 2, , n} δ xi δ xi δ fi ( ξ ) Chọn λ = Với giả thiết (17), m > suy λ > Từ số hạng δ xi n đường chéo γ ii ( ξ ) , i = 1, 2, , n J g ( ξ ) không âm Hơn nữa, ∀i ∈ { 1, 2, , n} n ∑ γ ij ( ξ ) = − λ j =1 n δ fi δf ξ + λ ( ) ∑ i ( ξ ) < với điều kiện (17) δ xi j =1 δ x j j ≠i Do đó, J g ( z ) ∞ < Vì ξ điểm bất biến g , theo định lý ∃ε > cho dãy (16) hội tụ ( 0) ξ x ∈ B ε ( ξ ) Nhận xét: Điều kiện bị chặn chéo nghiêm ngặt thỏa mãn lớp nhỏ toán (bao gồm ví dụ đặc biệt) Tổng quát hơn, cần thiết để thay vô hướng λ ma trận Λ không suy biến, đưa dãy giảm dư tổng quát ( ) x ( k +1) = x ( k ) − Λf x ( k ) , k = 0,1, Điều giải thích qua việc giải hệ phương trình Λf ( x ) = Ma trận Jacobi hệ ΛJ f với J f ma trận Jacobi f Ta chọn ma trận Λ cho ΛJ f ( ξ ) thỏa điều kiện bị chặn chéo nghiêm ngặt Về nguyên tắc, điều làm với việc chọn −1 Λ =  J f ( ξ )  Ma trận Jacobi hệ ma trận I , rõ ràng thỏa điều kiện bị chặn chéo Tuy nhiên, lựa chọn không khả thi việc tính toán giá trị ξ chưa biết Khi ta chọn ( ) −1 Λ hàm x thay số Ma trận Λ là: Λ =  J f x ( k )    Để thay vô hướng λ ma trận Λ không suy biến, đưa dãy giảm dư tổng quát x ( k +1) = x ( k ) − Λf ( x ( k ) ), k = 0,1, 2, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Điều giải thích qua việc giải hệ phương trình Λf ( x) = Ma trận Jaconi hệ ΛJ f với J f ma trận Jacobi f Ta chọn ma trận Λ cho ΛJ f ( ξ ) thỏa điều kiện −1 bị chặn chéo nghiêm ngặt nguyên tắc, điều làm với việc chọn Λ =  J f ( ξ )  Ma trận Jacobi hệ ma trận I, rõ ràng thỏa điều kiện bị chặn chéo Tuy nhiên, lựa chọn không khả thi việc tính toán giá trị ξ chưa biết Khi ta chọn Λ hàm x thay số Ma trận Λ là: Λ =  J f ( x ( k ) )    −1 3.1.3 Định nghĩa 5: Cho công thức truy hồi: ( ) x ( k +1) = x ( k ) −  J f x ( k )    −1 ( ) f x ( k ) , k = 0,1, 2, (18) với x ( 0) ∈ ¡ n gọi phương pháp Newton ( hay dãy Newton) cho hệ phương trình f ( x) = Ta (k ) mặc định ma trận J f ( x ) tồn không suy biến k = 0,1, 2, 3.1.4 Định nghĩa 6: ( ) ( k) Giả sử x dãy hội tụ ¡ n ( ) x( k ) = ξ Ta nói x ( k ) hội tụ tới ξ bậc nhỏ lim k →∞ ( ) q > nên tồn chuỗi ( ε ) số thực dương hội tụ µ > cho k x( k ) − ξ ∞ ≤ ε k , k = 0,1, 2, lim k →∞ ( k) Nếu (19) với ε k = x − ξ ( ) ( k) Nếu q = ta nói chuỗi x ( ) ( k) Nếu chuỗi x ∞ ε k +1 = µ (19) ε kq ( ) , k = 0,1, 2, chuỗi x ( k ) nói hội tụ tới ξ với bậc q hội tụ tới ξ với bậc bậc chuẫn ∞ hội tụ bậc chuẫn p với p ∈ [ 1, ∞ ) cho dù số µ khác 3.1.5 Định lí 4: Giả sử f ( ξ ) = , lận cận mở N ( ξ ) ξ hàm f xác định lien tục, đạo hàm cấp hàm thành phần f xác định lien tục, ma trận Jacobi J f ( ξ ) f ξ không suy ( ) xác định phương pháp Newton (18) hội tụ tới ξ với điều kiện đủ gần ξ , hội tụ chuỗi ( x ( ) ) tới ξ bậc ( k) biến đó, chuỗi x k Chứng minh: Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A ( ) ( k +1) = g x ( k ) , k = 0,1, 2, (3) với x ( 0) cho trước Áp dụng phương pháp Newton cho chuỗi x g ( x ) = x −  J f ( x )  −1 f ( x) Ta kiểm tra điều kiện hàm g thỏa mãn tất điều kiện định lí Bε ( ξ ) - hình cầu đóng tâm ξ - điểm bất biến g Tức chứng minh hàm g lien tục Bε ( ξ ) J ε ( ξ ) ∞ < Từ k suy chuỗi ( x ) hội tụ ξ Xét hàm x a det J f ( x ) , liên tục det J f ( ξ ) ≠ , ∃ε > : det J f ( x) ≠ ∀x ∈ Bε ( ξ ) ⊂ N ( ξ ) Vì tính liên tục  J f ( x)  suy x a  J f ( x )  Và x a  J f ( x )  −1 −1 phụ thuộc vào J f ( x ) J f ( x ) hàm liên tục x N ( ξ ) ta −1 f ( x) hàm liên tục Bε ( ξ ) hàm liên tục Bε ( ξ ) , suy có giới hạn Bε ( ξ ) ∞  J ( x )  Đặt C = xmax ∈Bε ( ξ )  f −1 ∞ Khi đó, ξ điểm bất biến g theo giả thiết định lí ma trận Jacobi J g g hàm liên tục x Bε ( ξ ) Kiểm tra tất số hạng ma trận Jacobi J g ( x ) g triệt tiêu x = ξ Thật : đặt H ( x ) =  J f ( x )  −1 n gi ( x) = xi − ∑ hir f r , i = 1, 2, , n r =1 Với hir phần tử thứ ( i, r) H ( x ) , f r hàm thành phần thứ r f ( x) Gọi số hạng ma trận Jacobi J g (ξ ) γ ij ( x ), i, j = 0,1, 2, , n Khi n   δ  xi − ∑ hir f r ÷ r =1  , j = 0,1, 2, , n; i = 0,1, 2, , n γ ij ( x) =  δ xj + i = j thì: Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A n δ hir δf γ ii ( x) = − ∑ f r − ∑ hir r , i = 1, 2, , n δ xi r =1 δ xi r =1 n + i ≠ j : n δ hir δf f r − ∑ hir r , i = 1, 2, , n δ xi r =1 δ xi r =1 n γ ii ( x) = −∑ Thay x = ξ vào γ ij ( x ) = 0, ∀(i, j ) Từ đó, J g (ξ ) ∞ = < Như ta hàm g thỏa mãn tất điều kiện định lí tập đóng ( ) k D = Bε ( ξ ) kéo theo chuỗi x ( ) hội tụ ξ k → ∞  Sự hội tụ bậc 2: ( ) ( k) ( k +1) − ξ  = Ta viết dãy dạng: J f x  x ( ) ( ) J f x ( k )  x ( k ) − ξ  − f x ( k ) (20) ( ) ( k) Định lí Taylor cho hàm n biến nói , x ∈ Bε ( ξ ) ( ) ( ) = f ( ξ ) = f x ( k ) + J f x ( k ) ξ − x ( k )  + E f Với E f ∞ ≤ n Af ξ − x( k ) 2 (21) (22) ∞ ∂ fi max ( x) giới hạn Bε ( ξ ) đạo hàm riêng cấp f Vì A f = 1max ≤i , j ≤ n x∈Bε (ξ ) ∂x ∂x j i Thừa số n (22) xuất phát từ , với i ∈ { 1, 2, , n} f i hàm n biến có n đạo hàm riêng cấp Từ (20) (21) ta có: −1 x ( k +1) − ξ =  J f ( x ( k ) )  E f ( k +1) −ξ Từ đó: x Đặt µ = x( k ) − ξ ∞ ≤ n Af C x k − ξ 2 ∞ n A f C , quy nạp ta có : ∞ ≤ ( µ x ( 0) − ξ µ ∞ ) 2k , k = 0,1, 2, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình ( 0) Giả sử x ∈ Bε ( ξ ) với ε ≤ ( 0) Khi µ x − ξ Từ : x ( k) ∞ Nhóm 15A  1 1,   µ , k = 0,1, 2, 2k −ξ ∞ 1 ≤  ÷ µ 2 −1 −2 k Vậy hội tụ bậc ( chọn ε k = µ , q = định nghĩa (6)  Nhận xét: phương pháp Newton (18) sử dụng nghịch đảo ma trận Jacobi để tránh ma trận nghịch đảo tính toán , ta chuyển (18) dạng: ( ) ( ) J f x ( k )  x ( k +1) − x ( k )  = − f x ( k ) (23) ( ) ( ) ( 0) ( 0) Cho trước vecto x ( 0) , ta tính f x ma trận Jacobi J f x ∈ ¡ n× n sau giải hệ phương trình tuyến tính (23) khử Gauss ta tính vecto y ( 0) = x ( 1) − x ( 0) , từ tính x ( 1) { } ( k) Cứ làm ta xây dựng dãy x k ∈¥ 3.2 Đánh giá sai số: Theo phần trên: x A f = max max 1≤i , j ≤ n x∈Bε (ξ ) 2k ( k) −ξ −1 1 , ≤  ÷ với µ = n A f C , C =  J f ( x )  ∞ µ 2 ∞ ∂ fi ( x) ∂x j ∂xi −1 Ta có:  J f ( x)  J f ( x) = −1 Mà  J f ( x )  J f ( x) ⇒ =  J f ( x )  ⇒ J f ( x) ⇒ C = max x∈Bε ( ξ ) −1 ∞ ∞ =  J f ( x )  J f ( x) =  J f ( x)  ∞ J f ( x) = ∞ −1 ∞ ∞ −1 ∞ J f ( x) x∈Bε ( ξ ) ∞ J f ( x) ∞ Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình J f ( x) Đặt C ' = xmin ∈Bε ( ξ ) Khi đó: µ = x ( k) Nhóm 15A ∞ n Af C' 2k −ξ ∞ 2C '   ≤  ÷ n Af   2k 2C '   Từ ta tính sai số:  ÷ n Af    Nhận xét: Nếu cho trước sai số ε ta tìm x ( k ) thỏa mãn yêu cầu 3.3 Giải thuật: Giải hệ phi tuyến n phương trình n ẩn:  f1 ( x1 , x2 , , xn ) =  f ( x , x , , x ) =  2 n    f n ( x1 , x2 , , xn ) = Trong f i ánh xạ vecto x = ( x1 , x2 , , xn ) ¡ n → ¡ T Sai số không ε J f ( x) Bước 1: tính J f ( x ) , C ' = xmin ∈Bε ( ξ ) ∂ fi Af = max max ( x) ∞, 1≤i , j ≤ n x∈Bε (ξ ) ∂x ∂x j i 2k 2C '   Bước 2: Tính k0 dựa vào công thức:  ÷ ≤ ε n Af   ( ) ( 0) bước 3: 1) Chọn x ( 0) ∈ D , tính J f x ( ) ( ) ( 0) F x ( ) ( 0) ( 0) ( 0) 2) Giải hệ tuyến tính J f x y = − F x để tìm y ( 0) 3) Tính x ( 1) = y ( ) + x ( 0) { } ( k) Từ ta có dãy x k ∈¥ , tính x ( k ) tới k = k0 dừng Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Vậy ta có nghiệm xấp xỉ x ( k0 ) với sai số ε  nhận xét: Việc tính hay max thông thường khó nên ta thay việc tính inf hay sup 3.4 Ví dụ: Giải hệ phương trình phi tuyến:  x2 + y2 + z −1 =  2 2 x + y − z = 3 x − y + z =  với sai số không 10−3 Giải: Chọn : D = [ 0;1] Đặt : f1 ( x, y , z ) = x + y + z − f ( x, y , z ) = x + y + z f ( x, y , z ) = x − y + z Ma trận Jacobi f = ( f1 , f , f ) X = ( x, y, z ) ∈ D là: T  2x y 2z   ÷ J f ( X ) =  x y −4 ÷  x −4 z ÷   C ' = J f ( X ) x∈D ∞ = x + + z = x∈D Af = Suy 2C ' 2.4 = = n Af 9.6 27 Với ε = 10−3 ta tính k = Chọn X ( ) = ( 0,5;0,5;0,5 ) ta có: T ( ) f X ( 0) = ( −0, 25; −1, 25; −1) T T Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình ( Jf X ( 0) ) Nhóm 15A 1 1   ÷ = J f ( X ) =  −4 ÷  −4 ÷   ( ) ( ( 0) ( 0) ( 0) Giải hệ J f X Y = f X X ( 1) = ( 0,875;0,5;0,375 ) ) ta tìm Y ( ) = ( 0,375; −0,125 ) từ ta tính T T Là tương tự ta có: X ( 2) = ( 0, 78981;0, 49662;0,36993) T X ( 3) = ( 0, 78521;0, 49662;0,36992 ) T Vậy X = ( 0, 7852;0, 4966;0,3699 ) ± 0,58.10−3 T 3.5 Một cách đánh giá khác: Nếu tính toán theo cách ta kết chi tiết đòi hỏi người làm phải tốn nhiều thời gian công sức Vậy có cách khác giúp ta tìm giá trị nghiệm xấp xỉ đơn giản không? Để ý thấy rằng: g ( x ) = x −  J f ( x )  g ( x) − g ( y) x( k ) − ξ ∞ ≤ ∞ −1 f ( x ) ánh xạ co nên tồn L ∈ [ 0;1] cho: ≤ L x − y ∞ Áp dụng (9) xây dựng ước lượng phần trước ta có: L x ( k ) − x ( k −1) 1− L ∞  Nhận xét: Khi x ( k −1) tiến gần x ( k ) x ( k ) tiến gần ξ Nếu ta tạm bỏ qua việc tính sai số, mà cần đưa giá trị gần nghiệm ta áp dụng nhận xét Tức ta tìm x ( k ) cho: x ( k ) − x( k −1) ∞ =0 Từ ta có cách làm đơn giản sau: Bước 1: Xác định ma trận Jacobi F ( x ) chọn x ( 0) ∈ D ( ) ( 0) ( 0) Bước 2: 1) Tính J f ( x ) F x ( ) ( 0) ( 0) ( 0) 2) Giải hệ tuyến tính J f ( x ) y = − F x để tìm y ( 0) Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình ( 0) 3) Nếu y ∞ Nhóm 15A ≈ ta kết luận nghiệm xấp xỉ hệ x ( 0) Ngược lại ta gán x ( 0) := y ( ) + x ( 0) làm lại bước 3.6 Ví dụ: Giải hệ phương trình phi tuyến:  x2 + y2 + z −1 =  2 2 x + y − z = 3 x − y + z =  Chọn D = [ 0;1] T Đặt: f1 ( x, y, z ) = x + y + z − f ( x, y , z ) = x + y − z f ( x, y , z ) = x − y + z  Ma trận Jacobi f = ( f1 , f , f ) X = ( x, y, z ) ∈ D là: T  2x y 2z   ÷ J f ( X ) =  x y z ÷  x −4 z ÷   Chọn X ( ) = ( 0,5;0,5;0,5 ) , ta có: T ( ) f X ( 0) = ( −0, 25; −0, 25; −1) ( f X ( 0) ) T 1 1   ÷ =  −4 ÷  −4 ÷   ( ) ( ( 0) ( 0) ( 0) Giải hệ tuyến tính J f X Y = f X ) ta tìm Y ( ) = ( 0,375;0; −0,125 ) từ tính T X ( 1) = ( 0,875;0,5;0,375 ) T Làm tương tự ta thu kết tóm tắt bảng sau: k y( k ) ∞ x1( k ) x2( k ) x3( k ) Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A 0,5 0,5 0,5 0,375 0,875 0,5 0,375 8,52.10−2 0,7898 0,4966 0,3699 4, 6.10−2 0,7852 0,4966 0,3699 Vậy nghiệm hệ X ≈ ( 0, 7852;0, 4966;0,3966 ) T Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Nhóm 15A Tài liệu tham khảo: [1] TS Trịnh Công Diệu, Bài giảng học phần phương pháp tính, năm học 20112012 [2] PGS TS Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội, năm 2005 [3] Tài liệu khóa K33 [...]... 6.10−2 0,7852 0,4966 0,3699 4 0 Vậy nghiệm của hệ là X ≈ ( 0, 7852;0, 4966;0,3966 ) T Xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình bất kỳ Nhóm 15A Tài liệu tham khảo: [1] TS Trịnh Công Diệu, Bài giảng học phần phương pháp tính, năm học 20112012 [2] PGS TS Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, NXB khoa học và kỹ thuật Hà Nội, năm 2005 [3] Tài liệu khóa K33 ... = µ 2 , q = 2 trong định nghĩa (6)  Nhận xét: phương pháp Newton trong (18) sử dụng nghịch đảo của ma trận Jacobi ở đây để tránh ma trận nghịch đảo trong tính toán , ta chuyển (18) về dạng: ( ) ( ) J f x ( k )  x ( k +1) − x ( k )  = − f x ( k ) (23) ( ) ( ) ( 0) ( 0) Cho trước vecto x ( 0) , ta tính được f x và ma trận Jacobi J f x ∈ ¡ n× n và sau đó giải hệ phương trình tuyến tính (23) bằng... tính J f x y = − F x để tìm y ( 0) 3) Tính x ( 1) = y ( 0 ) + x ( 0) { } ( k) Từ đó ta có dãy x k ∈¥ , tính x ( k ) tới khi k = k0 thì dừng Xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình bất kỳ Nhóm 15A Vậy ta có nghiệm xấp xỉ x ( k0 ) với sai số ε  nhận xét: Việc tính min hay max thông thường là rất khó nên ta có thể thay thế bởi việc tính inf hay sup 3.4 Ví dụ: Giải hệ phương trình phi tuyến:  x2 + y2 + z... phương pháp đầu tiên là chọn x ( 0) như thế nào đó để x = g x càng gần x ( 0) càng tốt Nhưng cách làm này tùy thuộc vào từng hàm g cụ thể và nhiều lúc phải cho x ( 0) , tính x ( 1) rồi đánh ( 1) ( 0) giá xem x − x ∞ có đủ nhỏ không, lại mất thêm thời gian và công sức! Có phương pháp nào áp dụng được cho mọi hàm g và x ( 1) có khá gần x ( 0) không? Ta hãy xem xét đánh giá sau: Xấp xỉ nghiệm của hệ phương. .. sự lựa chọn này không khả thi trong việc tính toán và giá trị ξ chưa biết Khi đó ta chọn Λ là một hàm của x thay vì hằng số Ma trận Λ sẽ là: Λ =  J f ( x ( k ) )    −1 3.1.3 Định nghĩa 5: Cho công thức truy hồi: ( ) x ( k +1) = x ( k ) −  J f x ( k )    −1 ( ) f x ( k ) , k = 0,1, 2, (18) với x ( 0) ∈ ¡ n được gọi là phương pháp Newton ( hay dãy Newton) cho hệ phương trình f ( x) = 0 Ta (k... ) = 0 Trong đó mỗi f i là một ánh xạ vecto x = ( x1 , x2 , , xn ) của ¡ n → ¡ T Sai số không quá ε J f ( x) Bước 1: tính J f ( x ) , C ' = xmin ∈Bε ( ξ ) ∂ 2 fi Af = max max ( x) ∞, 1≤i , j ≤ n x∈Bε (ξ ) ∂x ∂x j i 2k 2C '  1  Bước 2: Tính k0 dựa vào công thức: 2  ÷ ≤ ε n Af  2  ( ) ( 0) bước 3: 1) Chọn x ( 0) ∈ D , tính J f x ( ) ( ) ( 0) và F x ( ) ( 0) ( 0) ( 0) 2) Giải hệ tuyến tính J... tụ tới ξ với bậc 2 bậc 2 trong chuẫn ∞ thì nó cũng hội tụ bậc 2 trong chuẫn p với mỗi p ∈ [ 1, ∞ ) cho dù hằng số µ có thể khác nhau 3.1.5 Định lí 4: Giả sử rằng f ( ξ ) = 0 , trong lận cận mở N ( ξ ) của ξ của hàm f xác định và lien tục, đạo hàm cấp 2 của các hàm thành phần của f xác định và lien tục, ma trận Jacobi J f ( ξ ) của f tại ξ không suy ( ) xác định bởi phương pháp Newton (18) hội tụ tới... tới ξ là bậc 2 ( k) biến khi đó, chuỗi x k Chứng minh: Xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình bất kỳ Nhóm 15A ( ) ( k +1) = g x ( k ) , k = 0,1, 2, trong (3) với x ( 0) cho trước và Áp dụng phương pháp Newton cho chuỗi x g ( x ) = x −  J f ( x )  −1 f ( x) Ta kiểm tra điều kiện hàm g thỏa mãn tất cả điều kiện của định lí 2 trong Bε ( ξ ) - hình cầu đóng tâm ξ - điểm bất biến của g Tức là chứng minh... gọi là sự giảm dư đồng thời Giả sử rằng chuỗi x ( k ) hội tụ tới ξ ∈ ¡ và f liên tục trong lân cận của ξ ; khi đó cho k → ∞ trong (16) thì ta suy ra ξ là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 3.1.2 Định lý 3: Giả sử f ( ξ ) = 0 và tất cả các hàm thành phần của f = ( f1 , f 2 , , f n ) có đạo hàm cấp 1 và liên tục T trong lân cận mở của ξ , và thỏa điều kiện bị chặn chéo nghiêm ngặt tại ξ , tức là:... khả thi trong việc tính toán vì giá trị ξ chưa biết Khi đó ta chọn ( ) −1 Λ là một hàm của x thay vì hằng số Ma trận Λ sẽ là: Λ =  J f x ( k )    Để thay thế sự vô hướng của λ bởi ma trận hằng Λ không suy biến, đưa ra dãy giảm dư tổng quát hơn x ( k +1) = x ( k ) − Λf ( x ( k ) ), k = 0,1, 2, Xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình bất kỳ Nhóm 15A Điều này được giải thích qua việc giải hệ phương trình