tai lieu moi hay chuyen de Phuong phap tinh the tich trong hinh hoc dung cho on luyen thi dai hoc va boi duong hoc sinh gioi tai lieu tham khao danh cho giao vien. Chuyen de nay chua tung xuat hien tren bat ki mot trang web nao tai lieu nay thuoc ban quyen cua tac gia
Bài toán thể tích Bài 1: Cho hình chóp SABC có hình chiếu S mặt đáy nằm tam giác ABC Các mặt bên ·ABC = 600 ; AB = 4a; AC = a tạo với đáy góc 600, góc Tính thể tích hình chóp SABCD Lời giải Gọi H chân đường vuông góc hạ từ S đến (ABC) Từ H kẻ HI, HJ, HK vuông góc với AB, BC, CA Khi ta có S · · · SIH = SJH = SKH = 600 ⇒ HI = HJ = HK Hay H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (r=HI) +)VSABC = SH S ABC I A S ABC D H *)Tính Xét J K · ∆ABC : AC = BC + BA2 − BC.BA.cos ABC ( ⇔ 7a ) B C = BC + (4a)2 − 2.4a.BC.cos 600 ⇔ 28a = BC + 16a − 4a.BC BC = −2a ⇔ BC − 4a.BC − 12 = ⇔ BC = 6a S ∆ABC = 1 12a AB.BC sin B = 4a.6a.sin 600 = = 3a 2 2 S *) Tính SH HK = r ; S ∆ABC = pr ⇔ r = S∆ABC S∆ABC 12 3a 3a = =J = p AB + BC + CA 10a + a + K B M 3a 18aB ⇒ SH = HK tan 60 = 3= 5+ +H C A N D I 1 18a 18 +)VSABC = SH S ABC = 3a = a3 3 5+ 5+ Bài 2: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c Tính thể tích khối chóp ABCD S Qua B, C, D kẻ đường thẳng song song với CD, DB, BC gọi M, N, P giao điểm (B, C, D trung điểm cạnh MN, NP, PM) Ta có +) AB = CD = MN ⇒ ∆AMN +) AC = BD = PN ⇒ ∆ANP +) AD = BC = MP ⇒ ∆AMP A vuông A D M vuông A P B C vuông A N +) AM = MP − AP ⇔ AM + AP = 4c (1) +) AN = NP − AP ⇔ AN + AP = 4b (2) +) AM = MN − AN ⇔ AM + AN = 4a (3) Lấy (1) – (2) ta AM − AN = 4c − 4b , kết hợp với (3) ta suy AM = 2a + 2c − 2b S AN = 2a + 2b − 2c ; AP = 2b + 2c − 2a Tương tự ta có VAMNP = Khi D S∆BCD = Mà 2 (a + b − c )(a + c − b )(b + c − a ) A I 1 S∆MNP ⇒ VABCD = 2 ( a + b − c )( a + c − b2 )(b + Kc − aH ) 4 J C Bài : Cho hình chóp tam giác SABC, biết cạnh bên a, góc tạo mặt bên đáy 450 Tính thể tích khối chóp C S K J N K M B B B M C O *) Mục tiêu : Tính độ dài cạnh đáy Gọi M trung điểm AB O tâm đáy ABC, hình S SO ⊥ ( ABC ) chóp nên ·SAB);( ABC )) = (·SM ; MO) = SMO · (( = 450 ⇔ SO = MO Xét tam giác SAO có A C AB AB 2 + )OS = SA2 − AO = a − = a − (1) ÷ ÷ 3 O M AB AB + )OM = ÷ ÷ = 12 (2) 3 B Kết hợp (1) (2) ta có a − AB A AB AB AB AB 12a 2 3a a − = ⇔ + = a ⇔ AB = ⇔ AB = 12 12 5 ⇒ SO = a − 12a 3a a = ⇔ SO = 15 15 +) S ∆ABC 12a 3a = AB AC.sin 600 = = 5 +)VSABC a 3a 3a 15 = = = a 5 25 5 D M P B C N Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh AB=a; AD=2a, SA vuông góc với AM = a 3 đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 60 độ Trên SA lấy điểm M cho Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC đồng thời tính thể tích khối chóp SBCMN S I A D H B J K C AB / /( SCD ) ⊃ SC S Vì ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD )) = d ( A, ( SCD )) H Trong (SAD) kẻ AH vuông góc với SD H Ta K CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ AH ; SC ⊥ AH có N M ⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD)) = AH 1 = + 2 AH AS AD Có D A I , mà SA = AB.tan 600 = a C B nên suy 1 a 12 = 2+ 2= ⇒ AH = 2 AH 3a 4a 12a Mà 1 3a VSABCD = SA AB AD = a 3.a.2a = 3 VSABC = VSACD S ∆ABC = S ∆ACD ; nên suy 3a = VSABCD = Mặt khác: SM SN SA − AM VSMBC SM 2 3a +) = = = ⇒ = = ⇒ VSMBC = VSABC = SA SD SA VSABC SA 3 +) VSMNC SM SN 2 4 3a 3a = = = ⇒ VSMNC = VSADC = = VSADC SA SD 3 9 9.3 27 VSBCNM = VSMBC + VSMNC = 3a 3a3 10 3a + = 27 27 S Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc nhị diện cạnh SC có số đo 1200 Tính thể tích khối chóp Lời giải H A *)Mục tiêu: Tính SA O C B S K S Trong (SBC) kẻ BH vuông góc với SC H suy · BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ HD ⇒ BHD = 120 S s H BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC K Lại có B vuông N M CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD H vuông D Từ suy D A D A ∆SBC = ∆SDC ⇒ SB = SD ⇒ BH = DH ⇒ ∆HBD I · OHD = 600 C B cân tạiBH C Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD ta suy Lại có HO ⊥ BD ⇒ HO = OD.cot 600 = a a = Xét tam giác SAC đồng dạng tam giác OHC nên a SA2 + 2a SA SC OH SC a = ⇒ SA = ⇔ SA = ⇔ SA2 + 2a = a 2.SA OH OC OC a 2 ⇔ 1 a2 a2 a4 ( SA2 + 2a ) = SA2 a ⇔ a − ÷SA2 = ⇔ SA2 = a ⇔ SA = a 6 2 1 ⇒ VSABCD = SA.a = a 3 Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Điểm M thuộc SC cho BC = AD = 2a MC=2MS, AB=a, SC đáy 600 Tính thể tích khối chóp MABCD biết SA=SB=SD góc S Lời giải SH ⇐ HC ⇐ canh ∆BCD H Mục tiêu: A D O C B S Gọi H chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) Vì SA=SB=SD nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Vì tam giác ABD vuông A nên H trung điểm BD Gọi I trung điểm BC, suy tam giác ICD vuông I Ta có ( CD = DI + IC = a + a ) S M = 2a BD = a 2 = 2a CH = CB + CD BD − ( 2a ) = 2 + (2a ) I B K H C A D (2a ) 2 = 8a − a ⇒ CH = a − SH = CH tan 600 = a 21 Gọi K giao điểm DI HC, ta có MK = CK CM = = ⇒ MK / / HS ⇒ MK ⊥ ( ABCD) CH CS 2 21 ( AD + BC ) AB (a + 2a 3).a 3a a 21 = a ⇒ S ABCD = = = 3 2 1 21 3a 21a ⇒ VMABCD = MK S ABCD = = = 7a3 3 3 Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, góc SAD vuông Gọi J trung điểm SD Tính thể tích khối chóp ACDJ tính khoảng cách từ D đến (AIJ) Kẻ SH vuông góc với AB H, ta có S SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD) SH ⊥ AD SH = a J S M ⇒ VSACD = SH S ACD = a a3 a = 2 12 H I B Lại có B C C K H A S D A M D A I B VSACJ SJ 1 a3 = = ⇒ VJCAD = VSACD = VSACD SD 2 24 *) Tính khoảng cách 3V VJCAD = d ( D; ( JAC )).S ∆JAC ⇒ d ( D;( JAC )) = JCAD S ∆JAC +) +) SD a a2 AJ = = a 2= ⇒ AJ = 2 2 +) AC = a ⇒ AC = 2a CS + CD SD a + a − 2a 2a − = − = a2 4 a2 + a2 + a2 2 JA + JC − AC +) cos ·AJC = = =− a JA.JC 2 a +) JC = ⇒ sin ·AJC = − = 8 S∆ACJ = a2 3a 3 a 21 JA.JC = ⇒ d ( D;( JAC )) = = 8 24 a 7 Suy Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D Biết AB=2a; AD=CD=a; SA=3a SA vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp SBCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)? Lời giải ( AB + CD) AD (2a + a)a 3a + ) S ABCD = = = 2 1 + ) S ∆ABD = AB AD = 2a.a = a 2 2 3a a2 ⇒ S ∆BCD = − a2 = 2 +)VSBCD S A a2 a aS = SA = 3a = 3 2 D A C M O B B C D M +) d ( B;( SCD)) = B a3 3.VSBCDP = S ∆SCD S∆SCD C Tam giác SCD vuông D nên N 1 1 a 10 DC.DS = a a + (3a) = a a + 9a = a.a 10 = 2 2 3a 3a ⇒ d ( B;( SCD)) = = a 10 10 S ∆SCD = Bài 9: Cho hình chóp SABCD có SA=a, tất cạnh lại b ( tích khối chóp SABCD S Từ giả thiết suy đáy ABCD hình thoi Gọi I tâm đáy ta có AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAC ) VSABC = BI S∆SAC SI ⊥ BD ⇒ Vì K vuông S 1 SA.SC = a.b J 2 C + ) AC = SA2 + SC = a + b ⇒ AI = ) Tính thể S ∆SBD = ∆CBD ⇒ AI I= CI = AC ⇒ ∆SAC A 2B ⇒ S ∆SAC = 0[...]... 1 3 VSCBA = VSABCD = a 28 54 54 VSEKA = Tương tự ta cũng có 1 1 1 VSCDA = VSABCD = a 3 28 54 54 , do đó thể tích cần tìm là 1 1 1 V = + ÷a 3 = a 3 28 54 54 ·ASB = 1200 ; BSC · · = 600 ; CSA = 900 Bài 14: Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC=a, a.Chứng minh rắng tam giác ABC vuông b.Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ A đến (SBC) Lời giải: 2 = a 2 Từ giả thiết suy ra AC 2 = a 2 + a 2... H ;( SCD)) = 3VSHCD S SCD 3 2a 3 2a 3 2 a 9 = = = 1 3 2a.a 2 3 SC.CD 2 Bài 16: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD) Cạnh AB=2CD=4a; cạnh BC = a 10 Gọi O là giao điểm của AC và BD, cạnh SO vuông góc với đáy và tam giác SAB là tam giác đều Tính thể tích khối chóp SABCD và cos(SD;BC)? Lới giải S a.Tính thể tích Cách 1: Kẻ CH vuông góc với AB tại H ta suy ra HB=a S HC = BC 2 − HB... β SA = SD 2 − AD 2 = a sin α cos 2 α − sin 2 β Do vậy thể tích cần tìm là 1 1 a sin α V = SA.S ABC = a 3 3 cos 2 α − sin 2 β a sin β cos 2 α − sin 2 β = a 3 sin α sin β ; 3(cos 2 α − sin 2 β ) Bài : Cho khối chóp SABC có đáy ABC lad tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với đáy (ABC), cạnh SC=a Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất Lời giải I H E B B M Ta có... gọi α cos α = là góc thoả mãn y’ y π 2 α + 0 Vmax x = α (cos α = Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi và chỉ khi 2 π 0 < α < ÷ 3 2 , ta có x 0 2 2 )(cos x + ) 3 3 2 π ;0 < α < ) 3 2 Bài : Cho khối chóp tứ giác đều SABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và đáy của khối chóp thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất ? Lời giải D Giả sử O là tâm của hình vuông... 3a 2 a 15 IA = IO + OA = + = + = =R ÷ ÷ ÷ ÷ 36 9 6 6 3 2 2 2 Thể tích mặt cầu: 4 4 a 315 15 5 15π a 3 V = π R3 = π = 3 3 36.6 54 AB = 2a; AD = 2a 3 Bài 20: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, cạnh Các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a, M là trung điểm OC Tính thế tích khối chóp SABMD và diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện Lời giải D a.Từ giả thiết suy ra SO vuông... SA2 4a 2 4a 2 8 = = SB 2 SC 2 5a 2 6a 2 15 ⇒ VSAB 'C ' D ' = 2VSAB 'C ' 16a 3 = 45 Mà 1 a2 a3 8 a 3 8a 3 VSABC = 2a = ⇒ VSAB 'C ' = = 3 b 3 15 3 45 ·ASB = 2ϕ Bài: Cho khối chóp tam giác đều SABC có chiều cao bằng h và góc Tính thể tích khối ϕ chóp theo h và S Lời giải Gọi O là tâm của tam giác đều ABC ta có S SO ⊥ (C'ABC ); SO = h D' B' Gọi K là trung điểm của AB và đặt AK=x Khi đó A + ) SK... = (3cot 2 ϕ − 1) 3 2 3h ⇒ x2 = 3cot 2 ϕ − 1 0 B C A O B S ABC = AB 2 sin 600 1 h3 3 = x 2 3 ⇒ VSABC = x 2 3.h = 2 3 3cot 2 ϕ − 1 Bài : Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD=a, góc giữa cạnh SB và đáy bằng Tính thể tích khối chóp ? α β , góc giữa cạnh SB và mặt phẳng (SAD) băng Lời giải Do AB là hình chiếu của SB trên (ABC) nên · SBA =α S BD... = a VSABC = Nên suy ra d ( A; ( SBC )) = a3 2 12 3 a3 2 12 3VSABC 2 = =a 1 2 S ABC 0 3 a sin 60 2 Bài 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy AD//BC Cạnh AB=a; BC=a, góc BAD SA = a 2 vuông, cạnh SA vuông góc với đáy và Tam giác SCD vuông tại C Gọi H là hình chiếu của A trên SB Tính thể tích khối chóp SBCD và khoảng cách từ H đến (SCD)? Lời giải S S Tam giác ABC vuông cân tại B nên ·... 3 2 = 3 3a ⇒ V = = = = SAMBN 2 2 8 3 2 8 16 Bài 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 300, đường cao của hình chóp bằng a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD a.Chứng minh rằng SC vuông góc với (AHK) b.Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại E Tính thể tích khối chóp SAHEK Lời giải · SA ⊥ ( ABCD); SBA... a a a ; OH = ; SO = tan x = sin x sin x sin x cos x 1 4a 3 ⇒ VSABCD = S ABCD SO = 3 3cos x.sin 2 x EH = y = 3cos x.sin 2 x Từ đó suy ra thể tích khồi chóp nhỏ nhất khi hàm số x = α (sin α = đạt giá trị lớn nhất, điều 2 π ;0 < α < ) 3 2 này xảy ra khi và chỉ khi Bài 17: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là trung điểm E của AB và ... 54 54 , thể tích cần tìm V = + ÷a = a 28 54 54 ·ASB = 1200 ; BSC · · = 600 ; CSA = 900 Bài 14: Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC=a, a.Chứng minh rắng tam giác ABC vuông b.Tính thể tích khối... 2 Thể tích mặt cầu: 4 a 315 15 15π a V = π R3 = π = 3 36.6 54 AB = 2a; AD = 2a Bài 20: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, cạnh Các cạnh bên 3a, M trung điểm OC Tính tích. .. 6 2 1 ⇒ VSABCD = SA.a = a 3 Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Điểm M thuộc SC cho BC = AD = 2a MC=2MS, AB=a, SC đáy 600 Tính thể tích khối chóp MABCD biết SA=SB=SD