Kè THI TH I HC NM 2012 Mụn : Toỏn ( Thi gian lm bi : 180 phỳt khụng k thi gian giao ) im) x2 CõuI:(2im) Cho hm s: y = x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s Tip tuyn bt kỡ ca th hm s ct hai ng tim cn ln lt ti hai im A v B Chng minh rng din tớch tam giỏc IAB khụng i Vit phng trỡnh tip tuyn cho bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc IAB ln nht (vi I l giao im ca hai ng tim cn) Cõu II(2 im) (1 sin x + cos x) sin( x + ) 1) Gii phng trỡnh : = sin x(cos x + 1) + cot x log x + x + + log y + y = 2) Gii h phng trỡnh : xy 4( x + y ) + 10 = ( x + 2) y x dx CõuIII(1im) Tớnh tớch phõn : I = + sin x o I - PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH(7 ( ) ) ( CõuIV:(1im) Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a 13 ng chộo AC = a Cỏc cnh bờn SA = 2a ; SB = 3a ; SC = a Tớnh th tớch chúp v cosin ca gúc gia hai ng thng SA v CD CõuV:(1im) Cho x , y , z ba số thực dơng Tìm giỏ tr nh nht biểu thức : x y z M = x + + y + + z + xz xy yz II - PHN T CHN (3 im) A - Chng trỡnh chun CõuVIa(2 im) 2 1) Trong h to Oxy, cho ng trũn (C): ( x 1) + ( y + 2) = M l im di ng trờn ng thng d: x y + = Chng minh rng t M k c hai tip tuyn MT1, MT2 ti (C) (T1, T2 l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng T1T2 i qua im A(1;-1) 2)Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng ( d1 ) : x +1 y + z x y z = = ;( d2 ) : = = v 2 1 mt phng ( P ) : x + y 2z + = Lp phng trỡnh ng thng (d) song song vi mt phng (P) v ct ( d1 ) , ( d ) ln lt ti A, B cho di on AB nh nht CõuVIIa(1 im) Gi z1 ; z2 l cỏc nghim phc ca phng trỡnh: z z + = Tớnh: (z1 1)2012 + (z2 1)2012 B - Chng trỡnh nõng cao CõuVIb(2 im) 1) Trong h to Oxy, cho ba im A(-1; -1) ; B(0;2) ;C(0;1).Vit phng trỡnh ng thng i qua A cho tng khong cỏch t B v C ti l ln nht 2)Trong khụng gian Oxyz cho mt cu (S) : x + y2 + z2 2x 4y 6z 67 = v ng thng : (d ) : x 13 y + z = = Lp phng trỡnh mt phng ( P ) cha ng thng (d ) v tip xỳc vi (S) 1 CõuVIIb(1 im) Cho s phc z tha : z - z = - + 6i Tỡm : z + z + z H v tờn : S bỏo danh : (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) CõuI P N CHM TON KHI A + B x2 Tip tuyn bt kỡ ca ths y = ct hai ng tim cn ti A v B CMR din tớch x +1 IAB khụng i Vit pt3 cho bỏn kớnh ng trũn ni tip IAB ln nht Tim cn ng x = -1, tim cn ngang y = 1; Giao hai ng tim cn: I(-1;1) x ( x x0 ) + Tip tuyn ti M(x0;y0) dng: y = ( x0 + 1) x0 + x0 ) , ct tim cn ngang: B (2 x0 + 1;1) Tip tuyn ct tim cn ng: A(1; x0 + ; IB = x0 + suy IA.IB = 12 Nờn S IAB = IA.IB = Cú: IA = x0 + S IAB = p p Bi vy r ln nht p nh nht Do p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB IA.IB + 2.IA.IB = + 0.25 0.25 Ta cú S IAB = r p r = 0.25 P nh nht IA = IB ( x0 + 1) = x0 = - Vi x0 = + d1 : y = x + 2(1 + 3) - Vi x0 = d1 : y = x + 2(1 3) 0.25 (1 sin x + cos x) sin( x + ) = sin x(cos x + 1) Gii phng trỡnh : + cot x (1 sin x + cos x)(sin x + cos x) sin x = sin x.(cos x + 1) k : pt sin x + cos x 2 cot x sin x sinx + cos2x = cosx + sinx + cosx = cos2x 0.25 0.25 sinx + cosx = (cosx + sinx)(cosx sinx) (cosx sinx) = 2cos x + = cos x + = cos 4 + k hoc x = + k Kt hp k => nghim phng trỡnh : x = 12 12 CõuII ) ( 0.25 0.25 ) ( log x + x + + log y + y = (1) 2 Gii h phng trỡnh : xy 4( x + y ) + 10 = ( x + 2) y (2) k : y 0,5 (1) log x + x + y + y = (x + x + )( y + - y) = [( )( )] = ( y + + y) ( y + - y) nờn x + Xột hm f(t) = t + t + cú f(t) = + x2 + = t = 0.25 y2 + + y t2 + + t t2 + t2 + Vy f(t) ng bin trờn R m (1) f(x) = f(y) x = y Thay x = y vo (2) x2 8x + 10 = (x + 2) x 6(2x 1) + (x + 2) x - (x + 2)2 = > t +t t2 + x vi u thỡ (2) 6u2 + (x + 2)u (x + 2)2 = cú = 25(x + 2)2 x+2 x+2 u= hoc u = (loi vỡ x 0,5 nờn u < 0) Gii pt :x + = x cú hai nghim x = hoc x = 13 => nghim ca h (1;1)& (13;13) 0.25 0.25 t u = 0.25 x + sin x dx Tớnh tớch phõn : I = o Cõu III x I= dx = + sin x o o x (sin x x + cos ) 2 dx = o x dx x cos 0.25 u=x du = dx dx x x dv = x x tan tan dx t => => I = x v = tan 0 cos 4 0.25 x => I = + 2ln cos Vy I = 0.25 0.25 Chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a 13 ng chộo AC = a Cỏc cnh bờn SA = 2a;SB = 3a;SC = aTớnh th tớch chúp v cosin ca gúc gia hai ng thng SA v CD S * g(SA ; CD) = g(SA;AB) vúi cosSAB = 13 * p dng lớ cosin tớnh c: gúcASC = 600 ; gúcASB = 900 ;gúcBSC = 1200 Cõu IV * Ly M SA ; N SB cho SM = SN = a => CM = a ; MN = a ; CN = a => CMN vuụng ti M M SM = SN = SC = a nờn hỡnh chiu H ca S a trờn (CMN) l trung im CN & SH = a => VSCMN = SH.SCMN = 12 * Ta cú VSABCD = 2VSABC = 12VSCMN = a N M D C B A 0.25 0.25 0.25 0.25 Cho x , y , z ba số thực dơng Tìm giỏ tr nh nht biểu thức : x y 1 M = x + + y + + z + xz z xy yz M= Cõu V Cõu VIa x2 y z x2 + y + z áp dụng x2 + y2 + z2 xy + yz + zx + + + 2 xyz x y z Ta có : M + + + + + x y z x2 x2 1 Ta có : + = + + x 2x 2x 2 y z2 + ; + Tng t ta cú : y z Min M = 9/2 x = y = z = Cho (C): ( x 1) + ( y + 2) = M di ng trờn d: x y + = CMR t M k c hai tip tuyn 2 0.25 0.25 0.25 0.25 MT1, MT2 ti (C)v tỡm to im M, bit ng thng T1T2 i qua im A(1;-1) ng trũn (C) cú tõm I(1;-2) bỏn kớnh r=2 M nm trờn d nờn M(m;m+1) => IM = ( m 1) + (m + 3) = 2(m + 1) + > =>M nm ngoi (C) => qua M k c tip tuyn ti (C) 0.25 m + m ; ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J Gi J l trung im IM=> to J l J 2 IM m + m (m 1) + ( m + 3) r = bỏn kớnh cú phng trỡnh (T): x +y = 2 T M k c tip tuyn MT1,MT2 n (C) => T1 ; T2 l hai giao im ca (C) & (T) ( x 1) + ( y + 2) = (1) 2 m + m (m 1) + (m + 3) Khi ú ta T1 & T2 tha h : x +y = Ly (1) tr (2) v vi v => ng thng T1T2 cú pt : (m 1)x + (m + 3)y +m + = A(1;-1) nm trờn T1T2 nờn : m m + m + = m = 1=>M(1;2) Cõu VIa cho ( d1 ) : (2) 0.25 thng (d) //(P) v ct ( d1 ) , ( d ) ln lt ti A, B cho di on AB nh nht 0.25 0.25 + ( a 1) + ( 3) = 2a 8a + 35 = ( a ) + 27 3 uuur a=2 Suy ra: AB = 3 b = , A ( 1; 2; ) , AB = ( 3; 3; 3) x y z = = Vy, phng trỡnh ng thng (d) l: 1 Gi z1 ; z2 l cỏc nghim ptrỡnh: z z + = Tớnh: (z1 1)2012 + (z2 1)2012 0.25 = - = i2 Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit : z1 = + i & z2 = - i (z1 1)2012 + (z2 1)2012 = (1 + i)2012 + (1 i)2012 = [(1+ i )2]1006 + [(1 + i )2]1006 M (1 + i)2 = 2i ; (1 i)2 = - 2i ; i1006 = - nờn (z1 1)2012 + (z2 1)2012 = (-2i)1006 + (2i)1006 = - 21007 Cho ba im A(-1; -1) ; B(0;2) ;C(0;1).Vit phng trỡnh ng thng i qua A cho tng khong cỏch t B v C ti l ln nht Gi s ptt : A(x + 1) + B(y + 1) = vi A2 + B2 > A + 3B A + 2B => d(B;) = ; d(C;) = A2 + B A2 + B A + 3B A + 2B Gi S = d(B;) + d(C;) = + A2 + B A2 + B ( A + 3B + A + B ) 2 ( A + B ) = 2 A +B A +B AB > 2 2 (2 + )( A + B ) = 29 => MaxS = 29 A = Bunhia ta cú S 2 A +B B Ly A= => B = => ptt : 2x + 5y + = 0.25 0.25 0.25 0.25 Do ú: AB = Cõu VIb 0.25 x +1 y + z x y z = = ; ( d2 ) : = = v ( P ) : x + y 2z + = Lp phng trỡnh 2 1 t A ( + a; + 2a;a ) , B ( + 2b;1 + b;1 + b ) , ta cú uuur AB = ( a + 2b + 3; 2a + b + 3; a + b + 1) uuur uur Do AB song song vi (P) nờn: AB n P = ( 1;1; ) b = a uuur Suy ra: AB = ( a 5; a 1; 3) Cõu VIIa 0.25 ( a 5) 2 2 { cho (S) : x + y2 + z2 2x 4y 6z 67 = v (d ) : 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 x 13 y + z = = Lp phng trỡnh 1 mt phng ( P ) cha ng thng (d ) v tip xỳc vi (S) r r Mt cu (S) tõm I (1;2;3) R = Gi mp ( P ) cú vtpt n( A; B; C ) 0.25 r ng thng d cú vtcp u = ( 1;1;4) v M (13; 1;0) d Vỡ d ( P ) M ( P) pt ( P) : A( x 13) + B( y + 1) + Cz = (1) uur uu r Mt khỏc nP ud = A + B + 4C = A = B + 4C Thay vo (1) ta cú pt x( B + 4C ) + By + Cz 12 B 52C = 0.25 B = 4C B = 2C Do ( P) tip xỳc (S) nờn d ( I ;( P)) = B + 5C = B + BC + 17C TH1: B = 4C , Nu C = => B = => A = (loi) Nu C , chn C = => B = & A = Khi ú phng trỡnh (P) l : 8x + 4y + z 100 = TH2: B = 2C , Nu C = => B = => A = (loi) Nu C , chn C = => B = - & A = Khi ú phng trỡnh (P) l : 2x 2y + z 28 = Cho s phc z tha : z - z = - + 6i Tỡm : z + z + z Gi s z = x + yi vi x , y R T gt => x + y - 2(x yi) = - + 6i Cõu VIIb x + y x = x + = x 2y = y=3 x x + = ( x 3) x = vy z = + 3i y=3 Vy z + z + z = + 25 + 125 = 155 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ... cos ) 2 dx = o x dx x cos 0.25 u=x du = dx dx x x dv = x x tan tan dx t => => I = x v = tan 0 cos 4 0.25 x => I = + 2ln cos Vy I = 0.25 0.25 Chúp SABCD... IAB ln nht Tim cn ng x = -1, tim cn ngang y = 1; Giao hai ng tim cn: I(-1;1) x ( x x0 ) + Tip tuyn ti M(x0;y0) dng: y = ( x0 + 1) x0 + x0 ) , ct tim cn ngang: B (2 x0 + 1;1) Tip tuyn ct tim cn