Bài giảng bài toán vi phân hấp dẫn giải tích 11 (5)

BÀI 3: Nhắc lại các quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x tùy ý ằng định nghĩa ? Gồm các bước sau: + Giả sử x là số gia của đối số tại x Ta có: y  f ( x0  x)  f ( x0 )  ? y y  lim + Lập tỉ số x x0 x  ? + Kết luận Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại mọi điểm x thuộc R Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại mọi điểm x thuộc R Giải: + Giả sử x là số gia của đối số tại x Ta có: y  f ( x  x)  f ( x)  sin( x  x)  sin x  x  x  x   x  x  x  x  x   2cos  sin     2cos  x   sin 2       + x  x x  2cos  x   sin sin x  y     2cos  x  Lập tỉ số x   x  x  x   sin y  lim  2.cos  x  x       lim x   x   x 0 x     Ta có: lim cos  x  x   cos x;   x 0   x  sin  lim  x  x     ?   Tính giới hạn này thế nào ? sin x Giới hạn x Tính : sin 0,01  0,9999833334 0,01 sin 0, 001  0,9999998333 0, 001 sin 0,0001  0,9999999983 0,0001 Ta thừa nhận định lý: Định lí 1: sin x lim x 0 Mở rộng: x 1 sin u ( x) lim 1 x 0 u ( x) Khi x  thì u( x)  Giới hạn sin x x tan x Ví dụ 1: Tính lim x 0 x Giải: Ta có sin x tan x  sin x   lim   lim lim  1.1   x0 x 0 x  x  x cos x  x x0 cos x lim sin x x 0 x Ví dụ 2: Tính lim Giải: Ta có sin x  sin x  sin x  lim   2.1    2lim x 0 x  x  x 2x   2x lim Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại mọi điểm x thuộc R Giải: + Giả sử x là số gia của đối số tại x Ta có: y  f ( x  x)  f ( x)  sin( x  x)  sin x  x  x  x   x  x  x  x  x   2cos   c os x  sin sin     2     2   + x  x x  2cos  x  sin sin  x  y      c os x  Lập tỉ số x   x  x   x  x   sin sin    x  y   x    lim cos  x   lim   lim  2.cos  x  lim    x  x  x  x 0 x  x  x             Vì: lim cos  x  x 0  x    cos x; 2 y  cos x.1  cos x x 0 x  lim x  x  x   sin sin sin    lim  2   lim 1 lim     x  x  x 0  2.x  x0 x      Vậy y '  (sin x)'  cos x Đạo hàm của hàm số y  sin x Định lí 2: Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x  R và (sin x)'  cos x Nếu y = sinu và u = u(x) thì : (sin u)'  u '.cos u Đạo hàm của hàm số y  sin x   y  sin x  Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số     Giải:  Đặt u  3x  thì y = sinu  ux'   '  yu  cos u Ta có:   y  y u  3cos  3x   5  ' x ' u ' x Một số ví dụ 3x sin 1/ Tính: lim x0 x 2/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau: y  2sin x a/   b/ y  sin x Ví dụ về giới hạn sin x x 3x sin 1/Tính: lim x0 x Giải: 3x 3x 3x sin sin sin 3 2  lim   lim  lim x 0 x 0 x x 0 x 2 x Ví dụ về đạo hàm của hàm số y = sinx 2/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a/ y  sin  3x  Giải: ' ' y '  sin  3x    3x  cos 3x   12 x.cos  3x  b/ y  sin x Giải:    x  cos ' y '  sin x   x cos x ' x Ghi nhớ sin x lim 1 x 0 x sin u ( x) lim 1 x 0 u ( x) Khi x  thì u( x)  (sin x)'  cos x Với u = u(x) thì: (sin u)'  u '.cos u [...].. .Vi dụ về giới hạn sin x x 3x sin 2 1/Tính: lim x0 x Giải: 3x 3x 3x sin sin sin 3 3 3 2 2 2  lim  1  lim  lim x 0 x 0 2 3 x 2 x 0 3 x 2 2 x 2 3 2 Vi dụ về đạo hàm của hàm số y = sinx 2/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a/ y  2 sin  3x 2  Giải: ' ' ... Giới hạn sin x x tan x Vi dụ 1: Tính lim x 0 x Giải: Ta có sin x tan x  sin x   lim   lim lim  1.1   x0 x 0 x  x  x cos x  x x0 cos x lim sin x x 0 x Vi dụ 2: Tính lim...  sin x  Vi dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số     Giải:  Đặt u  3x  thì y = sinu  ux'   '  yu  cos u Ta có:   y  y u  3cos  3x   5  ' x ' u ' x Một số vi dụ 3x...  2sin x a/   b/ y  sin x Vi dụ về giới hạn sin x x 3x sin 1/Tính: lim x0 x Giải: 3x 3x 3x sin sin sin 3 2  lim   lim  lim x 0 x 0 x x 0 x 2 x Vi dụ về đạo hàm của hàm