chứng minh mệnh đề suy diễn chứng minh mệnh đề suy diễn Bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên C HỨ N G M I N H C Á C M Ệ N H Đ Ề SUY D I ỄN Bây làm rõ phương pháp xây dựng chứng minh, mô tả chứng minh cho loại mệnh đề khác Trong nhiều định lý, kỹ thuật chứng minh mệnh đề kiểu kéo theo quan trọng Ta thấy p→q trừ p q sai Chú ý p→q chứng minh, cần q p đúng; C h ứ n g m i n h tr ự c tiếp Ta thấy p→q chứng minh cách p đúng, sau q phải Điều cho thấy có p q sai xảy Một chứng minh gọi chứng minh trực tiếp Để áp dụng chứng minh kiểu này, giả định p dùng luật suy diễn định lý chứng minh để q phải Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh suy diễn trực tiếp dẫn từ giả thiết đến kết luận thông qua việc áp dụng luật suy diễn (hay qui tắc suy diễn), định lý, nguyên lý kết biết Ðây kiểu tư giải toán tự nhiên người ta thường xuyên sử dụng Trong suy nghĩ để tìm cách chứng minh theo phương pháp nầy người ta thường phải tự trả lời câu hỏi sau đây: - Ta dùng luật suy diễn nào? - Các định lý nào, kết qua sử dụng đề ta suy điều từ kiện, yếu tố có? - Việc áp dụng định lý có khả dẫn đến kết luận hay kết mong 1/5 chứng minh mệnh đề suy diễn muốn hay không? - Trong trường hợp bước suy diễn có nhiều định lý hay nhiều luật áp dụng có kkhả dẫn đến kết luận hay kết mong muốn ta chọn nào? - Ðến giai đoạn đó, gặp phải bế tắc ta phải tự hỏi phải toán lời giải, hay kiến thức ta chưa đủ, hay ta phải sử dụng phương pháp chứng minh khác? Quả thật trả lời câu hỏi cách đầy đủ xác Nó phụ thuộc chủ yếu vào kiến thức, kinh nghiệm người giải toán nhạy bén, tính động sáng tạo họ Tuy nhiên Những câu hỏi cho ta định hướng chung trình suy nghĩ Ngoài ra, cần nói thêm chúng sở cho việc phát triển hệ chương trình trợ giúp giải toán cách "thông minh" máy tính thiết kế theo phương pháp chứng minh nầy Dưới đây, xem xét vài ví dụ phương pháp chứng minh trực tiếp Vídụ1:Chứng minh { Nếu n số lẻ n2 số lẻ } Giải : Giả sử giả thiết định lý đúng, tức n số lẻ Ta có n = 2k + ( k=0,1,2, ) ? n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + = 2(2k2 + 2k) + lẻ Vậy n số lẻ n2 số lẻ Vídụ2:Cho hàm mệnh đề P(n) = " Nếu n>1 n2 >n " Chứng minh P(n) với n số nguyên dương Giải : Giả sử n > đúng, ta có : n = + k ( k ≥ 1) ? n2 = ( + k )2 = + 2k + k2 = (1 + k) + k + k2 > n Vậy Nếu n>1 n2 >n Vídụ3Giả sử p, r, s, t, u mệnh đề sau cho ta có mệnh đề sau la` 2/5 chứng minh mệnh đề suy diễn đúng: (1) p →r (2) r → s (3) t ∨ ? s (4) ? t ∨ u (5) ? u Hãy chứng minh mệnh đề p sai, tức chứng minh mệnh đề ? p la` C h ứ n g m i nh : Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (1) (2) ta suy ra: (6) p → s Áp dụng luật logic phép toán kéo theo ta viết lại (3) dạng: (7) s → t Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (6) (7) ta suy ra: (8) p → t Áp dụng luật logic phép toán kéo theo ta viết lại (4) dạng: (9) t → u Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (8) (9) ta suy ra: (10) p → u Áp dụng luật suy diễn Modus Tollens, từ (10) (5) ta suy ra: (11) ? p Vậy mệnh đề ? p Vídụ4:Cho p(x), q(x) r(x) vị từ theo biến x (x ∈ A), a phần tử cố định tùy ý tập hợp A Giả sử ta có mệnh đề sau la` đúng: Chứng minh mệnh đề r(a) la` C h ứ n g m i nh : Áp dụng kết từ bảng 3.2 ta suy ra: (4) x∈ A : p(x) → r(x) Áp dụng kết bảng 3.2 ta suy ra: (5) r(a) 3/5 chứng minh mệnh đề suy diễn Vậy mệnh đề r(a) la` C h ứ n g m i n h gi n tiếp Vì mệnh đề P→Q ⇔ (¬Q → ¬P) Do đó, để chứng minh mệnh đề P→Q đúng, người ta mệnh đề ¬Q → ¬P Vídụ 5:Chứng minh định lý { Nếu 3n + số lẻ n số lẻ } Giải : Giả sử ngược lại kết luận phép kéo theo sai, tức n chẳn Ta có n = 2k( k∈ N ) 3n + = 3.2k + = 2( 3k + ) số chẳn Vậy Nếu 3n + số lẻ n số lẻ Nh ậ n x ét Có toán sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp hay gián tiếp Tuy nhiên, có toán sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp sử dụng trực tiếp giải dài dòng phức tạp sử dụng chứng minh gián tiếp ( ngược lại) Đây khác biệt chứng minh trực tiếp chứng minh gián tiếp Ví d ụ : Sử dụng chứng minh gián tiếp để chứng minh " Nếu n>1 n2 >n " Giải : Giả sử ngược lại kết luận phép kéo theo sai, tức n2 < n Vì n nguyên dương nên ta chia vế cho n mà bất đẳng thức không đổi chiều Ta có : n < Vậy từ ¬Q dẫn đến ¬P Do đó, Nếu n>1 n2 >n Vídụ7:Sử dụng chứng minh trực tiếp để chứng minh " Nếu 3n + số lẻ n số lẻ " Giải : Giả sử 3n + số lẻ Nhận thấy số chẳn nên suy 3n số lẻ Vì số lẻ n số lẻ 4/5 chứng minh mệnh đề suy diễn Vậy Nếu 3n + số lẻ n số lẻ Ởđâychúngta phảichứngminhthêmđịnhlýlàtíchcủa2sốlẻlàmộtsốlẻthì bàigiảichặtchẽhơn.Dođó,trongbàitoánnàyviệcsửdụngchứngminhgiántiếp làhayhơndùngtrựctiếp 5/5 ... s, t, u mệnh đề sau cho ta có mệnh đề sau la` 2/5 chứng minh mệnh đề suy diễn đúng: (1) p →r (2) r → s (3) t ∨ ? s (4) ? t ∨ u (5) ? u Hãy chứng minh mệnh đề p sai, tức chứng minh mệnh đề ? p... minh mệnh đề suy diễn Vậy mệnh đề r(a) la` C h ứ n g m i n h gi n tiếp Vì mệnh đề P→Q ⇔ (¬Q → ¬P) Do đó, để chứng minh mệnh đề P→Q đúng, người ta mệnh đề ¬Q → ¬P Vídụ 5 :Chứng minh định lý {... có mệnh đề sau la` đúng: Chứng minh mệnh đề r(a) la` C h ứ n g m i nh : Áp dụng kết từ bảng 3.2 ta suy ra: (4) x∈ A : p(x) → r(x) Áp dụng kết bảng 3.2 ta suy ra: (5) r(a) 3/5 chứng minh mệnh đề