Một số PP CM hình học thường dùng

Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau : - Chỉ rõ chúng là những yếu tố tương ứng cạnh, trung tuyến, đường cao, phân giác… trong các hình bằng nhau tam giác, tứ giác.. - Chỉ rõ chúng là các cạn

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

1 Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau :

- Chỉ rõ chúng là những yếu tố tương ứng (cạnh, trung tuyến, đường cao, phân giác…) trong các hình bằng nhau (tam giác, tứ giác)

- Chỉ rõ chúng là các cạnh bên của tam giác cân, chúng là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông

- Chỉ rõ chúng là những cạnh đối trong một HBH, HCN, HV, hình thoi, các đường chéo của hình thang cân, HCN, HV

- Chỉ rõ chúng là những khoảng cách từ một điểm nằm trên đường phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy

- Chỉ rõ chúng là những dây cung trương các dây bằng nhau hoặc là những tiếp tuyến vẽ từ một điểm đến một đường tròn

- Chỉ rõ chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

2 Chứng minh các góc bằng nhau :

- Chỉ rõ chúng là các góc tương ứng trong các tam giác, tứ giác bằng nhau (hoặc đồng dạng với nhau

- Chỉ rõ chúng là các góc đáy của một hình thang cân, tam giác cân, các góc đối của

1 HBH, Hình thoi

- Chúng cùng bằng hoặc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba hoặc với những góc bằng nhau

- Chúng là các góc nhọn hoặc tù có các cạnh tương ứng vuông góc hoặc song song , chúng là các góc đối đỉnh, so le trong, so le ngoài, đồng vị

- Chúng là các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau

- Chúng có các tỉ số lượng giác bằng nhau(sin, cos, tg, cotg)

3 Chứng minh hai đoạn thẳng song song :

- Tạo với một cát tuyến các góc so le trong(ngoài), đồng vị bằng nhau hoặc góc trong cùng phía bằng nhau

- Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

- Đường trung bình của một tam giác, hình thang đối với cạnh đáy

- Các cạnh đối của 1 HBH, HCN, HV, Hình thoi

- Hai đường thẳng định trên hai cạnh của một góc những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì song song nhau

4 Chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc :

- Chỉ rõ chúng là những đường phân giác của hai góc kề bù

- Các cặp cạnh tương ứng còn lại của hai góc nhọn(hoặc tù)bằng nhau mà đã có một cặp cạnh vuông góc

- Chỉ rõ đường này song song với một đường thẳng vuông góc với đường kia

- Chỉ rõ chúng là đường chéo của hình vuông, hình thoi

- Chỉ rõ chúng là 2 cạnh của một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, là tiếp tuyến của một đường tròn với bán kính đi qua tiếp điểm

- Sử dụng tính chất của tam giác vuông(tổng 2 góc nhọn bằng 1V) hoặc các cạnh của nó thỏa mãn tính chất của định lý Pitago

- Sử dụng tính chất của trực tâm trong một tam giác

5 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

- Chứng minh rằng đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm của hai đường kia

- Chứng minh chúng là những đường đặc biệt trong tam giác (đường cao, trung tuyến, trung trực , phân giác …)

- Ba đường thẳng định ra trên 2 đường thẳng song song những đoạn tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy

6 Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng

- Chứng minh góc AOB = 1800

- Chứng minh AB đường kính của đường tròn tâm O (Dùng góc nội tiếp chắn nửa đương tròn)

- Chứnh minh OA, OB cùng song song với một đường thẳng

- Sử dụng tính chất của góc đối đỉnh

- Chứng minh chúng có những tính chất chung để thuộc về một đường thẳng (đường trung bình trong tam giác , đường trung trực của một đoạn thẳng, đường phân giác của một góc… )

7 Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

- Chứng minh tổng hai góc đối bằng 2V

- Chứng minh 2 đỉnh C, D nhìn đáy AB dưới những góc bằng nhau( Trường hợp C, D nhìn AB dưới những góc vuông thì tứ giác ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB)

- Kéo dài AB, CD cắt nhau tại P ta đi chứng minh PA.PB =PC PD

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ CẠNH, GÓC, DIẾN TÍCH

1 Tính độ dài đọan thẳng :Ta dựa vào các định lý về đọan thẳng tỉ lệ, định lý Pitago

các tỉ số lượng giác của góc nhọn

2 Tính độ lớn các góc : Ta dựa vào tính chất tổng các góc trong tam giác, tứ giác ,

định lý về góc ngòai hoặc sử dụng các định lý liên quan đến góc nội tiếp và góc ở tâm , số đo của góc nội tiếp và cung bị chắn, góc có đỉnh nằm ở trong và ngòai đường tròn tính chất về

3 Tính diện tích của các hình.

CÁC BÀI TẬP VỀ TỨ GIÁC

Bài 1 : Cho hình thang ABCD Phân giác góc A cắt cạnh BC tại E

a) Chứng minh AB = BE b) Phân giác góc B Cắt AE tại F Chứng minh góc BFE = 90o c) Gọi M là điểm giữa của AB Chứng minh MF kéo dài cắt cạnh CD tại điểm giữa N của nó

Bài 2 : Cho tam giác đều ABC Từ một điểm M ở trong tam giác ta vẽ các nửa đường thẳng song

song với BC cắt AB tại D Song song với AC cắt BC tại E , song song với AB cắt AC tại F.Chứng minh rằng :

a)Tứ giác BDME, CFME, ADMF là những hình thang cân

b) Góc DME =EMF =FMD

c) MA+MB+MC =chu vi tam giác DEF

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC ta lấy 2 điểm E và F sao cho AE= EF=

FC

a)Chứng minh tứ giác BFDE là hình bình hành

b)BF kéo dài cắt CD tại M Chứnh minh BF = 2FM

Bài 4 : Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Gọi E và F là các điểm

giữa của BG và CG

a)Chứng minh tứ giác ENMF là hình bình hành

b)Nếu tam giác ABC cân thì tứ giác ENMF là hình gì ? Tại sao ?

Bài 5 : Cho hình thang ABCD vuông góc tại A Đáy AD bằng 2 lần đáy BC Đường chéo AC

chia đôi góc A Vẽ CE//AB Chứng minh rằng :

a)Tứ giác ABCE là hình vuông

b)Tứ giác BCDE là hình bình hành

c) Tam giác CAD vuông cân

Bài 6 : Cho tam giác đều ABC Gọi D, E, F là các điểm giữa của các cạnh AB, A BC Qua A vẽ

một đường thẳng song song với BC gặp EF kéo dài tại H Chứng minh rằng :

a)Tứ giác ABEH là hình bình hành

b )Tứ giác AHCE là hình chữ nhật

c)Tứ giác BDFC là hình thang cân và AE là trục đối xứng của nó

Bài 7 : Cho tam giác ABC, gọi E, F là các điểm nằm giữa của hai cạnh BC và AC kéo dài EF

một đoạn FD = FE

a)Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành

b)Tam giác ABC phải có những điều kiện gì (về cạnh và góc)để tứ giác AECD là

- Hình chữ nhật

- Hình thoi

- Hình vuông

Bài 8 : Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD và kéo dài

CE một đọan EF = EC Từ F kẻ FG⊥ AB và FH ⊥ AD Chứng minh rằng

a)Tứ giác AGFH là hình chữ nhật

b)AF // BD

c)Ba điểm H, G, E thẳng hàng

CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC, GÓC, ĐỌAN THẲNG , GÓC, SONG SONG, VUÔNG GÓC

Bài 1 : Trên các cạnh Ox, Oy của góc xOy lấy các điểm A, B sao cho OA =OB Tia phân giác

của góc xOy cắt AB tại C Chứng minh rằng

a) C là trung điểm của AB b) AB vuông góc với OC

Bài 2 : Cho tam giác ABC(Â <900) Vẽ tia Ax ⊥ AC , trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AC (D và B nằm khác phía đối với A,C) Vẽ tia Ay ⊥ AB trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AB (E và C nằm khác phía đối với AB ) Chứng minh rằng

a)∆ BAD = ∆ EAC.

b) BD = EC

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D trên AB, E trên AC sao cho AD=AE Gọi K là

giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng :

a) BE = CD

b) ∆ KBD = ∆ KCE

Bài 4 : Trên các cạnh AB, AC của tam giác cân ABC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE Gọi

I làa giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng :

a) ID= IE

b)AI là tia phân giác của góc A

Bài 5 : Tam giác ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường

trung trực của HE Gôi I và K là giao điểm của DE với AB và AC.Chứng minh HA là tia phân giác của góc IHK

Bài 6 : Các điểm D và E nằm trên các cạnh của tam giác ABC sao cho BD = CE Các đường trunbg trực của BD và CE cắt nhau tại K Chứng minh rằng D Bˆ K = E Kˆ C

Bài 7 : Về một phía của đọan thẳng BC vẽ tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy là 500 và tam giác đều EBC Tính số đo góc CAE và ACD

Bài 8 : Cho đọan thẳng AB, d là đường trung trực của AB Người ta lấy trên d hai điểm tùy ý

Nối A với B, C với D

a) Chứng minh rằng CÂD = C Bˆ D

b)Gọi E = AC  BD, F = AD  BC Chứng minh rằng AB // EF

Bài 9 : Cho đọan thẳng BC, về hai phía của BC vẽ các đọan thẳng BD và CA bằng nhau sao cho BCˆ A=C Bˆ D Chứng minh rằng CD // AB.

Bài 10 : Cho tam giác ABC Xác định các điểm D và E sao cho C là trung điểm chung của AD

và CE Chứng minh rằng AB // DFE

Bài 11: Cho xÔy = 700 , A nằm trên Ox , B∈ Oy Qua A vẽ đường thẳng song song với OB , qua

B vẽ đường thẳng song song với OA chúng cắt nhau tại C Tính số đo góc ACB

Bài 12 : Hai đọan thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đọan Chứng minh DÂC+A

Cˆ B = 1800

Bài 13 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM vẽ đoạn AD vuông góc và bằng AB (D,C nằm

khác phía đối với AC) Chứng minh rằng AM =

2

1 DE

Gợi ý : Trên tia đối của tia MA lấy MK = AM CMR A Bˆ K = DÂE.

Bài 14 :Cho tam giác ABC có Bˆ =1100 , Cˆ =300 Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài đỉnh A cắt đường thẳng BC tại E Chứng minh rằng AÊB =

2

ˆ

ˆ C

Bài 15 : Cho tam giác ABC ( Bˆ > Cˆ ) Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài đỉnh A

cắt đường thẳng BC tại E Tính số đo góc AEB

Bài 16 : Cho tam giác ABC có Bˆ - Cˆ = α đường phân giác AD Tính số đo các góc ADB và ADC

Bài 17 : Cho ∆ ABC có Bˆ nhọn có Bˆ - Cˆ = α Vẽ d8ường cao AH và đường phân giác AD Chứng minh rằng HÂD =

2 α

Bài 18 : Cho hai đọan AB và CD cắt nhau tại E, các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt

nhau ở K Chứng minh rằng ( ˆ ˆ )

2

1

ˆC C A E B D E

K

Bài 19: Trong ∆ ABC có các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G Gọi H, K là các trung

điểm của GB và GC Chứng minh rằng Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D trên AB, E trên AC sao cho AD=AE Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng :

a) ∆ DGE = ∆HGK

b) GD =

2

1 BG

Bài 20 : Cho ∆ ABC, gọi Bx và Cy là các đường thẳng chứa các tia phân giác của góc ngoài

đỉnh B và C Vẽ AD ⊥ Bx, AE ⊥ Cy ( D thuộc Bx, E thuộc Cy ) Chứng minh rằng :

a) DE //BC

b) DE =

2

1 (AB + AC + BC) Gợi ý : Gọi M, N là giao điểm của AD và AE với BC

Bài 21 : Cho ∆ ABC(Â <90O) có D, E, F lần lượt là các trung điểm các cạnh BC, AC,và AB Vẽ

ra ngoài ∆ ABC các đọan FK, EG sao cho FK ⊥ FA(FK=FA) và EG ⊥ EA(EG = EA) Chứng minh

a) ∆ KFD = ∆ DEG

b) KD = DG

c) KD ⊥ DG

Bài 22 : Cho ∆ ABC có Â = 700 , AC > AB Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho BD = CE Gọi M, N, I lần lượt là các trung điểm của BC, DE và DC

a) ∆ MNI là tam giác gì ? Chứng minh

b) Gọi F là giao điểm của MN và AC Tính số đo góc MIC

Bài 23 : Cho tam giác ABC, AC >AB Gọi D, E, F là trung điểm các cạnh BC, Ac, AB Trên AC

lấy đỉem M sao cho CM =

2 1 (AB +AC) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc EDF

Bài 24 : Cho ∆ ABC, từ trung điểm D của BC kẻ đường vu6ông góc với đường phân giác của

góc A cắt AB, AC tại M, N

a) Chứng minh rằng BM = CN

b) Gọi AB = c, AC = b Tính AM, BM theo b, c