Họ các ngôn ngữ

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh NGUYễN THị THU Hà Họ CáC NGÔN NGữ Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 MC LC Bng danh sỏch ký hiu Li núi u Chng Ngụn ng hu t 1 Nhúm t Ngụn ng hu t Chng H cỏc ngụn ng H cỏc ngụn ng 2 Ngụn ng phi ng cnh ễtụmỏt y xung v ụtụmỏt dng bú Vn phm Ngụn ng b chn v ngụn ng c ch s hoỏ Kt lun Ti liu tham kho 5 21 21 24 31 36 41 42 BNG DANH SCH Kí HIU X, JX X*, J 1X * L RL PL à(L) (A, X) (L) G = (V,X,P,) L(G) W(G) T(A) : Bng ch cỏi : Na nhúm t sinh bi X : V nhúm t sinh bi X : V nhúm t sinh bi : Ngụn ng : Tng ng uybrõy sinh bi ngụn ng L : Tng ng Kroazụ sinh bi ngụn ng L : V nhúm cỳ phỏp ca ngụn ng L : ễtụmỏt trng thỏi : ễtụmỏt ti tiu oỏn nhn ngụn ng L : Vn phm : Ngụn ng sinh bi phm G : Bi toỏn t ca G : V nhúm chuyn trng thỏi LI NểI U Vic mụ t mt cỏch cú h thng cỏc ngụn ng ang l c quan tõm Lý thuyt ngụn ng hỡnh thc v ụtụmỏt Lun Cu trỳc ngụn ng hu t v cỏc ng dng ca Th.S Trn Vn Thm - CH 13 - ó cp n hng m rng ngụn ng chớnh quy bng cỏch xõy dng khỏi nim hp hu t trờn v nhúm t Ni dung lun ny ca chỳng tụi l s tip ni lun ca Th.S Trn Vn Thm theo hng mụ t mt cỏch khỏ c th ba lp ngụn ng: ngụn ng chớnh quy, ngụn ng phi ng cnh v ngụn ng c ch s hoỏ Ba lp ngụn ng trờn to thnh mt h thng cỏc ngụn ng rng dn (v ngoi diờn), ng thi chỳng cng cú th c xem nh nhng minh ho v h tru tng y cỏc ngụn ng Chng Ngụn ng hu t Trong chng ny, chỳng tụi h thng hoỏ cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca: Nhúm t do, ngụn ng hu t v quan h hu t Chng H cỏc ngụn ng Chng ny gm tit v cng l ni dung chớnh ca lun 2.1 H cỏc ngụn ng Trong tit ny chỳng tụi s dng quan h hu t nh ngha lp cỏc ngụn ng c xỏc nh bi mt v nhúm M v mt phõn bit X 2.2 Ngụn ng phi ng cnh ễtụmỏt y xung v ụtụmỏt dng bú Trong tit ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim ngụn ng phi ng cnh, mt h ngụn ng cú nhiu ng dng lý thuyt v thc tin ng thi chỳng tụi cng a nh ngha ụtụmỏt y xung , ụtụmỏt dng bú v mt s tớnh cht ca chỳng 2.3 Vn phm Trong tit ny chỳng tụi xột tt cỏc phm c s dng sinh cỏc ngụn ng nh th no, ng thi ch rng cỏc ngụn ng c gi l ngụn ng phi ng cnh thc cht l cỏc ngụn ng c sinh bi cỏc phm phi ng cnh 2.4 Ngụn ng b chn v ngụn ng c ch s hoỏ Tit ny chỳng tụi trỡnh by m rng mt s khỏi nim v kt qu v ngụn ng hỡnh thc Lun c hon thnh vi s giỳp , ch bo tn tỡnh ca thy giỏo, PGS.TS Lờ Quc Hỏn, tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc n thy Tỏc gi xin trõn trng t lũng bit n ti cỏc thy giỏo PGS.TS Ngụ S Tựng, PGS.TS Nguyn Thnh Quang, TS Chu Trng Thanh, TS Nguyn Th Hng Loan v cỏc thy cụ giỏo t i s ó ng viờn, giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v lm lun Nhõn dp ny tỏc gi xin gi li cm n sõu sc n Ban giỏm hiu trng i hc Vinh, Ban ch nhim khoa Toỏn, khoa Sau i hc v cỏc phũng ban liờn quan ó to iu kin thun li thi gian tỏc gi hc v nghiờn cu ti trng Mc dự ó c gng ht sc nhng chc chn lun vn cũn nhiu thiu sút, tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý ca thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn Xin chõn thnh cm n Vinh, thỏng 11 nm 2008 Tỏc gi CHNG NGễN NG HU T 1.1 Nhúm t Cỏc phn t ca mt sinh M ca mi nhúm G cho trc cú th liờn h vi bng cỏc h thc G, chng hn xx -1 = e, x-1x = e x M, ú e l n v ca G Nhng h thc ú xy mi nhúm tựy ý nờn c gi l h thc tm thng Tuy nhiờn, tn ti nhng nhúm tha nhn cỏc h thc khỏc khụng tm thng mt sinh no ú ca nú Mc ớch ca tit ny l a cỏch dng cỏc nhúm nh vy v chng t rng chỳng l nhúm t phm trự cỏc nhúm 1.1.1 nh ngha v ký hiu Gi s I l mt hp cỏc ch s no ú Nhúm G c sinh bi cỏc phn t xi, i I, cỏc phn t ca G c biu din di dng xi xi xi ú i = 1, j =1, m i1 im i2 m j Cỏc phn t ca G cũn c gi l cỏc t, m c gi l di ca t w = xi xi xi ,ký hiu l |w|, t cú di bng c gi l t rng, ký hiu i1 im i2 m l Phộp nhõn G l s vit liờn tip t ny tip t Ta gch b cỏc t dng xi xi vi = chỳng xut hin t T c gi l rỳt gn c nu nú cha cỏc t dng xi xi vi = Chng hn, t x2 x1 x1 x12 x3 l khụng rỳt gn c, cũn t x1 x2 x21 x3 l rỳt gn c Hai t u v v c gi l tng ng (ký hiu u v), nu v cú th nhn c t u qua mt s hu hn ln t vo hoc rỳt gn cỏc t dng xi xi vi = Rừ rng l quan h tng ng Ký hiu lp tng ng cha t u l [u] 1.1.2 nh lý Gi s X = {xi | i I} Trờn hp F(X) cỏc t tng ng bng ch cỏi X, xỏc nh phộp nhõn bng cỏch t [u][v] = [uv] nh ngha ny khụng ph thuc vo cỏch chn ngu nhiờn cỏc i din ca lp ú Tp hp F(X) l mt nhúm i vi phộp nhõn xỏc nh nh trờn Chng minh Trc ht ta nhn xột rng mi lp cỏc t tng ng cha t khụng rỳt gn c l nht Tht vy, gi s (u) l ký hiu ca t khụng rỳt gn c, nhn c t u sau gch b cỏc t xi xi Hm cú cỏc tớnh cht sau: + (u) u (1) + (u) u, nu u khụng rỳt gn c (2) + (uv) = (u(v)) (3) + ( xi xi u) (u) vi = (4) + (u xi xi v) (uv) vi = (5) + (uv) ((u)(v)) (6) Cỏc tớnh cht (1), (2), (3) suy trc tip t nh ngha Tớnh cht (4) c suy t (3) Tớnh cht (5) c suy t (3) v (4) Tớnh cht (6) c suy t cỏc tớnh cht (3), (4), (5) bng cỏch quy np theo di ca t u Bõy gi gi s u v, ú u v v l cỏc t khụng rỳt gn c T nh ngha suy tn ti dóy t u u, u2, , um v, ú mi t nhn c t mt t khỏc dóy bng cỏch gn vo hay gch b cỏc t dng xi xi vi = Do tớnh cht khụng rỳt gn c ca u v v, ta cú u v Tớch [u][v] khụng ph thuc vo cỏch chn ngu nhiờn cỏc i din u v v c suy t lp lun trờn v tớnh cht (6) Phộp nhõn cú tớnh kt hp c suy t nh ngha Lp cha t rng l n v v nghch o ca [u] l [u -1] nh lý 1.1.2 c chng minh 1.1.3 nh ngha Nhúm F(X) xõy dng nh lý 1.1.2 c gi l nhúm t vi sinh X, cũn lc lng ca X c gi l hng ca F(X) 1.1.4 Ký hiu a) Nu X cú n phn t, X = {x 1, x2, , xn} thỡ ta s dựng ký hiu F n(X) thay cho F(X) Nu X = { x1, x2, , xn, } cú lc lng m c thỡ ta s dựng ký hiu F(X) thay cho F(X) b) T õy v sau, i vi cỏch vit phn t ca nhúm t ta s dựng i din ca lp ú, ngha l ta s vit u = v thay cho [u] = [v], uv thay cho [u][v] Theo lp lun chng minh nh lý 1.1.2, ta cng cú th núi v cỏch vit ca cỏc t khụng rỳt gn c thuc cỏc lp ú, nu hiu ngm cỏch vit khụng rỳt gn c (u) ca mi i din u ca nú 1.1.5 H qu Mi nhúm t hng ln hn hoc bng u khụng phi l nhúm Aben Chng minh Suy trc tip t cỏch xõy dng nhúm t 1.1.6 nh lý Gi s nhúm G sinh bi M ={g i| i I} Chn bng ch cỏi X = {xi| i I} Khi ú ỏnh x f: X M xi a gi m rng mt cỏch nht ti ng cu : F(X) G Chng minh Rừ rng nh ca lp [ xi xi xi ] phi l [ gi gi gi ] Tớnh ỳng i1 im i2 m i1 im i2 m n ca ỏnh x f v tớnh ng cu ca ỏnh x c suy t nh ngha nhúm t F(X) nh lý c chng minh 1.1.7 nh lý Gi s m l s nguyờn, m Nhúm sinh bi m t12 (m) = ữ, t21 (m) = ữ m SL(2, Â ) l t do, ngha l c mụ t bng rng cỏc h thc Chng minh Ký hiu a := t12(m), b = t21(m) Gi s w l tớch xen k ly tha khỏc khụng ca cỏc phn t a, b nhúm SL(2, Â ) Ta cn chng minh nu w bt u vi ly tha b, thỡ cú th thay w bi phn t wa := a-1wa v xột phn t va nhn c, nu wa e thỡ w e Bi vy ta cú th gi thit t w cú dng w = a1 b c r ú c = a hoc c = b, i Gi s zi l dũng trờn ca ma trn a b c , nu z2k-1 = (x2k-1, x2k) thỡ r 2k z2k = z2k-1 b = (x2k+1, x2k) v z2k+1 = z2k a k +1 = (x2k+1, x2k+2) ú x2k+1 = x2k-1 + m2kx2k, x2k+2 = x2k + m2k+1x2k+1 T hai cụng thc cui cựng ta nhn c xi+2 = xi + mi+1xi+1 vi i = 1, 2, , r - Chỳng ta cn phi chng minh rng i tng t n r + thỡ |x i| cng tng i vi i = 1, iu ú cú th th trc tip Vi i tip theo ta chng minh bng quy np |xi+2| m|i+1|xi+1| - |xi| 2|xi+1| - |xi| |xi+1| + nh lý c chng minh 10 Ngụn ng hu t 1.2.1 Tp hp hu t Khỏi nim hp hu t l s tng quỏt khỏi nim ngụn ng chớnh quy S m rng ny l cn thit v cỏc hp hu t xut hin khỏ nhiu cỏc cụng trỡnh nghiờn cu v cỏc nhúm t ng v cỏc nhúm Hyperbolic - t Hn na, chỳng cng t cú ớch Lý thuyt nhúm t hp 1.2.1.1 nh ngha Tp X M c gi l hu t nu hoc X l hu hn; hoc X = S1 S2 hay X = S1 S2, ú S1, S2 l cỏc hu hn sinh ca M; hoc X c sinh bi hu hn ca M Chỳng ta gi cỏc phộp toỏn hp, tớch v phộp sinh v nhúm l cỏc toỏn t hu t v vit chỳng di dng S1 S2, S1.S2 v S*, ú S1, S2 v S l cỏc hu hn bt k ca M 1.2.1.2 nh lý Gi s M v M l cỏc v nhúm v : M M l mt ng cu Khi ú: i) Vi mi A bt k cỏc phn t sinh ca M, mi hu t ca M nm mt v nhúm c sinh bi mt hu hn ca A ii) Cỏc hu t ca M úng di cỏc toỏn t hu t iii) nh ca mt hu t ca M qua l mt hu t ca M ; v nu l mt - mt thỡ mi hu t ca M nhn c bng cỏch ú Chng minh iu khng nh th nht c chng minh bng quy np Gi s S l mt hu t ca M Nu S hu hn thỡ S nm v nhúm c sinh bi mt hu hn ca A Gi s S1 S2 = S v mi Si nm v nhúm c sinh bi mt hu hn Ai ca A: S1 = v S2 = Th thỡ S c cha v nhúm sinh bi hp hu hn A1 A2 ca A Lp lun tng t cho trng hp S = S1.S2 hay S = S*, v ú kt lun khng nh (i) l ỳng 30 Lp lun chỳng ta chng t rng vi k ln, tt c cỏc iu kin ca B cỏi bm u c thừa 2.2.2 ễtụmỏt dng bú Phn ny a mt s nhn xột ngn v ụtụmỏt dng bú Mt ụtụmỏt dng bú tiờu chun l mt ụtụmỏt y xung m nú cú th c nhng khụng thay i dung lng ca bú ca nú di nh Hỡnh sau ch mt ụtụmỏt dng bú ang c mt phn t t phớa bú ca nú a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 q d1 d2 d3 d5 d4 Bú c ch hai mnh theo th t gi ý hai t no ú cú th dựng i din cho c hai dung lng ca bú v v trớ ca bú ang c ụtụmỏt ú V nhúm thớch hp cho mt nh ngha tiờu chun ca mt ụtụmỏt dng bú c xõy dng t v nhúm M c,f ca cỏc hm b phn Q w v Pw c xỏc nh phn trc Vỡ cn bit no mt bú l rng, chỳng ta b sung mt hm b phn mi uE = nu u = v nh ngha M1 l v nhúm c sinh bi cỏc hm ca Mc,f {E} Kt qu sau õy cú th trc tip kim tra 2.2.2.1 B Mi phn t khỏc khụng ca M1 cú th vit c di dng Qw Pv hay Qw.E.Pv Mt tớch ca hai quan h nh vy bng khụng tr cỏc trng hp sau Qw.Pzx.Qx.Py = Qw Qw.Pv.Qzv.Py = Qzw.Py Qw.E.Pzx.Qx.Py = Qw.E.Pzy Qw.Pv.Qzv.E.Py = Qzw.E.Py Qw.E.Px.Qx.E.Py = Qw.E.Py 31 Xem nh v nhúm M1ìM1 tỏc ng t bờn phi trờn * Chỳng ta hỡnh dung (w,v) * nh s tng ng mt bú m nú cha w.vr, ú vr l v c t phi sang trỏi Trong hỡnh trờn w = d 1.d2.d3 v v = d5.d4 Ký hiu nỳt trỏi ca w l trờn nh ca bú, v ụtụmỏt ang c ký hiu nỳt phi ca v bú Cỏc toỏn t ca chuyn ng lờn v xung bú l (Q x, Px) v (Px, Qx) tng ng Thụng thng cỏc phộp toỏn ca bú c tha nhn ch ti nh ca bú, ngha l w = Cú (E, Px) v (E, Qy).Msa l v nhúm t ca M 1ìM1 c sinh bi tt c cỏc phn t ú 2.2.2.2 nh ngha f sa = f (Msa ,{(E,1)}) l h ca cỏc ngụn ng ụtụmỏt dng bú Theo mt cỏch núi khỏc, cỏc ngụn ng ụtụmỏt dng bú l nh ca (E,1) di quan h hu t : Msa * 2.2.2.3 nh ngha Mt ụtụmỏt dng bú l mt ụtụmỏt hu hn trờn M sa ì *, ú * cú th l mt v nhúm t hu hn sinh bt k Nu : Msa * l mt quan h hu t c tha nhn bi mt ụtụmỏt dng bú, chỳng ta núi rng ụtụmỏt tha nhn ngụn ng ụtụmỏt dng bú (E,1) Hỡnh di õy a mt ụtụmỏt dng bú m nú tha nhn ngụn ng {an.bn.cn } lm vic bi 1/ y mt kt thỳc ca bú v ỏnh du vo bú ca nú 2/ y mi d vo bú ca nú cho mi a 3/ Vic ghộp d vo bú ca nú k tip vi b i din n nú n ỏy ca bú 4/ Vic ghộp d vo bú ca nú vi c i din cho n nú n nh ca bú 5/ Lm rng bú (E,Pd,a) (Pd, Qd, ) (1,1,) (Pe,Qe,) (Qd, Pd, c) (Qe,Pe,) (1,1,) (E, Qd, ) 32 (E,Pe,) (E,Qe,) 2.2.2.4 Mnh ễtụmỏt hỡnh trờn tha nhn ngụn ng {anbncn } Chng minh Mt qu o hu hiu bt k cú nhón ( E i +1.Pdj Pe Qe Qdk E m +1 , Pe Pdi Qdj Qe Pe Pdk Qdm Qe , a i b j c k ) = ( E.Pd j Qdk E , Pe Pdi Qdj Qe Pe Pdk Qd Qe , a i b j c k ) S nhp gia l E nu v ch nu j = k, v s nhp cui cựng quy v tr i = j v k = m 33 2.3 Vn phm Trong tit ny chỳng ta s xột tt cỏc phm c s dng sinh cỏc ngụn ng nh th no, ng thi ch rng cỏc ngụn ng c gi l ngụn ng phi ng cnh thc cht l cỏc ngụn ng c sinh bi cỏc phm phi ng cnh v nh vy trựng vi cỏc ngụn ng phi ng cnh dng tiờu chun 2.3.1 nh ngha Mt phm gm 1/ Mt hp hu hn cỏc ký hiu kt thỳc 2/ Mt hp hu hn ri cỏc ký hiu khụng kt thỳc 3/ Mt ký hiu xut phỏt S 4/ Mt hp hu hn B ={(, ) ( )* ì ( )*} cỏc phộp bin i (, ) cho cha ớt nht mt ký hiu thuc V nhúm t ( )* c gi l hp cỏc dng mnh Mi phm xỏc nh mt quan h hai ngụi trờn hp cỏc dng mnh Quan h ny c xỏc nh theo cỏc giai on sau: Trc ht chỳng ta núi rng mt dng mnh sinh trc tip mt dng mnh khỏc vi phm ó cho nu nhn c bng cỏch thay th v bờn phi ca mt phộp bin i no ú v bờn trỏi ca Bao úng bc cu phn x ca phộp sinh trc tip c gi l phộp sinh Chỳng ta ký hiu cho phộp sinh trc tip v cho * phộp sinh Ngụn ng c sinh bi mt phm = (, , S,B) l hp cỏc t trờn bng ch cỏi c sinh t ký hiu xut phỏt S T õy ta s vit thay cho phộp bin i v L( ) thay cho ngụn ng L c sinh bi phm 2.3.2 nh ngha Mt phm c gi l phm phi ng cnh nu bờn trỏi ca mi phộp bin i cha mt ký hiu khụng kt thỳc n 34 Bõy gi ta hóy nờu lờn iu kin mt nhúm hu hn sinh l mt nhúm hu t (ngha l nú cha mt nhúm t vi ch s hu hn) thụng qua khỏi nim ngụn ng phi ng cnh Gi s F l nhúm t hng bng v Bi toỏn t W(F) ca F i vi hm chn cỏc phn t sinh = {a, a-1, b, b-1} l : * F cho a v b sinh F mt cỏch t Chỳng ta s chng t rng W(F) c sinh bi mt phm phi ng cnh T kt qu ny v nh lý 2.2.4 suy mi nhúm hu hn sinh hu t cú mt Bi toỏn t l ngụn ng phi ng cnh Chỡa khoỏ chng minh W(F) l ngụn ng phi ng cnh da vo phộp quy Mt t khụng rng chiu xung thnh n v hoc l mt tớch ca cỏc t ngn hn m chiu xung cng thnh n v, hoc cú mt cỏc dng a.v.a-1, b.v.a-1, a-1.v.a, b-1.v.b vi v W(F) no ú Gi s phm vi cỏc phộp bin i S , S SS, S a.S.a-1, S b.S.b-1, S a-1.S.a, S b-1.S.b -1 -1 -1 Mt phộp sinh S a.b.b b b.a i vi c cho bi S a.S.a * a.S.S.a-1 a.b.S.b-1.S.a-1 a.b.b-1.S.a-1 a.b.b-1.b-1.S.b.a-1 a.b.b-1.b-1.b.a-1 chng t W(F) c sinh bi phm cn tin hnh hai bc * w Trc ht chng minh bng quy np theo di phộp sinh rng nu S thỡ w = Sau ú s dng nhn xột v W(F) trờn chng minh bng quy * w theo di ca t rng nu w W(F) thỡ cú mt phộp sinh S Mc tiờu tip theo ca chỳng ta l ch rng nh ngha 2.2.1.2 xỏc nh chớnh lp ngụn ng c sinh bi cỏc phm phi ng cnh 2.3.3 B Nu L c sinh bi mt phm phi ng cnh thỡ L c sinh bi mt phm phi ng cnh m nú mi phộp bin i cha ton b ký hiu khụng kt thỳc hoc mt ký hiu kt thỳc n hoc e Chng minh Vi mi ký hiu kt thỳc a hóy thờm mt ký hiu bin thiờn mi A v mt phộp bin i mi vo phm ó cho Thay th ton b s xut hin 35 ca ký hiu kt thỳc cỏc phộp bin i gc bi nhng ký hiu bin thiờn mi tng ng.Trc tip kim tra c rng L khụng thay i * 2.3.4 B Nu cú mt phộp sinh S w i vi phm phi ng cnh thỡ cng cú mt phộp sinh m nú phộp bin i luụn luụn c ỏp dng vo ký hiu khụng kt thỳc cc t Chng minh Chỳng ta ch bng quy np theo di phộp sinh rng i vi * w ca cỏc t bng tt c cỏc ký hiu khụng kt thỳc A v phộp sinh A ch cỏi kt thỳc cú mt phộp sinh cc t Rừ rng mt phộp sinh bt k cú di bng l cc t phi cha mt bc n A w Bc u tiờn ca vic kộo di * w phi l A wo.A.w1 An.wn ú Ai l cỏc ký hiu phộp sinh A khụng kt thỳc v wi l cỏc t bng ch cỏi kt thỳc Bc cũn li bng * ui cho cỏch m phộp sinh trc tip cỏc phộp sinh A i w = wo.u1 un.wn Bng phng phỏp quy np theo di phộp sinh, cỏc phộp sinh y cú th b phỏ v thnh phộp sinh cc t, rừ rng s chỳng cú mt * phộp sinh cc t dng A w 2.3.5 nh lý Mt ngụn ng hỡnh thc c sinh bi mt phm phi ng cnh nu v ch nu nú c tha nhn bi mt ụtụmỏt y xung Chng minh.Trc ht gi s rng L * c sinh bi mt phm phi ng cnh , chỳng ta s dựng xõy dng mt ụtụmỏt y xung tha nhn L Khụng mt tng quỏt gi thit rng tha iu kin ca B 2.3.3 v cỏc ký hiu khụng kt thỳc ó c gii thiu 2.3.2 i vi mt dng mnh tu ý ta s dựng ký hiu r thay cho nghch o ca , ngha l c t phi qua trỏi Xỏc nh ụtụmỏt y xung vi mt trng thỏi ban u q o v mt trng thỏi kt thỳc qt Hóy b sung mt cnh t qt n qt vi nhón: 1/ (QA.Pr, ) i vi mi phộp bin i A vi cha nhng ký hiu khụng kt thỳc 2/ (QA, a) i vi mi phộp bin i A a vi a {} 36 B sung thờm mt cnh t qo n qt vi nhón (Ps, ), ú S l ký hiu xut phỏt ca phm ó cho Chng minh bng quy np theo di ca qu o rng nu cú mt qu o t q o n qt vi nhón (Pr, w) thỡ cú mt phộp sinh * w cc t T B 2.3.4 suy L l ngụn ng c tha nhn bi S ụtụmỏt Bõy gi gi s rng L * l ngụn ng phi ng cnh Theo nh lý 1.2.1.6, L c tha nhn bi mt ụtụmỏt y xung trờn {Pd, Qd| d }ì ( {}) Gi s po l nh xut phỏt ca , v vi mi cp nh (p, q) xỏc nh Lp,q l ngụn ng c tha nhn bi vi trng thỏi xut phỏt thay i theo p v vi trng thỏi kt thỳc n q Chỳng ta s xõy dng phm phi ng cnh p,q cho cỏc ngụn ng, cỏc phm ng nht tr ký hiu xut phỏt ca chỳng Khi L l hp nht trờn tt c cỏc nh q ca cỏc ngụn ng Lpo,q chỳng ta nhn c mt phm cho L bng cỏch b sung mt ký hiu xut phỏt mi S v cỏc quỏ trỡnh sn xut S Apo,q hp cỏc phm p,q trờn tt c cỏc nh kt thỳc q xõy dng phm p,q xut phỏt vi cỏc ký hiu kt thỳc ca v mt ký hiu khụng kt thỳc Ap,q cho mi cp nh p, q ca cho cú mt qu o t p n q vi nhón (1,w) vi w * no ú Núi riờng, cú nhng ký hiu Ap,q khụng kt thỳc i vi tt c cỏc nh p ca Hóy b sung: 1/ Cỏc phộp bin i Ap,q Ap,r.Ar,q i vi tt c cỏc b ba p, r, q cho cỏc ký hiu khụng kt thỳc tng ng tn ti 2/ Cỏc phộp bin i Ap,q a.Ar,s.b i vi tt c cỏc ký hiu khụng kt thỳc A p,q cho cú mt ký hiu khụng kt thỳc Ar,s; mt cnh c dỏn nhón (a, Pd) t p n r, v mt cnh c dỏn nhón (b, Qd) t s n q 3/ Cỏc phộp bin i Ap,q i vi tt c cỏc nh p Lý lun trc tip bng cỏch s dng B 2.2.1.6 v quy np theo di ca qu o s ch c rng nu (1,w) l nhón ca mt qu o t p n q 37 * w Cng trc tip ch bng quy np , thỡ cú mt phộp sinh Ap,q * theo di phộp sinh rng Ap,q w kộo theo (1,w) l nhón ca mt qu o t p n p T nhng kt qu ny suy phm p,q vi ký hiu xut phỏt Ap,q v cỏc thnh phn khỏc nh trờn sinh ngụn ng Lp,q nh lý 2.3.5 c chng minh 2.4 Ngụn ng b chn v ngụn ng c ch s hoỏ 38 Tit ny trỡnh by m rng mt s khỏi nim v kt qu v ngụn ng hỡnh thc Gi s L l mt ngụn ng trờn bng ch cỏi Khi ú v nhúm ca * sinh bi L c ký hiu l L* Núi chung L* khụng phi l v nhúm t Trong trng hp hp L ch cha mt phn t, ta thng b cỏc du ngoc, vớ d ta s vit a* b thay cho {a}* b Nu L, M * thỡ ta nh ngha L.M := {w *| w = x.y, x L, y M} l tớch ca L v M 2.4.1 nh ngha Ngụn ng L trờn c gi l ngụn ng b chn nu tn ti cỏc t w1, , wn * cho L w1*.w2* wn* Rừ rng ngụn ng b chn cú s tng trng a thc, ngha l s t vi di khụng vt quỏ k mt ngụn ng b chn c chn trờn bi mt a thc ph thuc vo k 2.4.2 Mnh Lp ngụn ng b chn cha tt c ngụn ng hu hn v úng di cỏc phộp hp v tớch Chng minh Rừ rng hp ch gm mt t l ngụn ng b chn, nờn khng nh th hai kộo theo khng nh th nht ca mnh Nu L w1*.w2* wn* v L2 v1*.v2* vm* thỡ L1 L2 w1*.w2* wn*.v1*.v2* vm* v L1.L2 w1*.w2* wn*.v1*.v2* vm* 2.4.3 nh ngha Mt phm ch s hoỏ gm cỏc hp ri N, , I ú N l hp gm cỏc ký hiu khụng kt thỳc, l hp cỏc ký hiu kt thỳc v I l hp cỏc ch s Ngụn ng L trờn c sinh bi phm thu c bt u vi mt ký hiu xut phỏt S ó c ỏnh du v bng cỏch thc hin liờn tip cỏc phộp thay th Cỏc phộp thay th ny c xỏc nh bi mt hp cỏc quy tc thay th (gi l cỏc quy tc sinh hay phng phỏp ch to) v ngụn ng L c mụ t 39 hon ton bi N, , I, S v hp cỏc quy tc thay th Cỏc quy tc thay th cú ba dng c phộp s dng: (1) A (2) A Bf (3) Af ú A, B N, (N )* v f I Núi mt cỏch d hỡnh dung, s thay th bao gm vic thay th v trỏi ca mt ba quy tc trờn bng v phi tng ng ca chỳng Quỏ trỡnh ny sinh cỏc t (N I)* Cỏc t nhn c * bng cỏch trờn c gi l ngụn ng trờn sinh bi phm ó cho Ngụn ng L c xỏc nh nh trờn (vi l phm ó c ch s hoỏ) c gi l ngụn ng c ch s hoỏ (bi I) Cỏc t (N I)* c gi l dng cõu hay dng mnh ỏp dng mt quy tc thay th dng (1) n mt dng mnh ngi ta tỡm mt s xut hin A v thay th cho A Mt dóy cỏc ch s (cú th dóy rng) sau s xut hin ca A c lp li sau mi ký hiu khụng kt thỳc Trong trng hp (2) ngi ta thay th tng t Bf cho A Cui cựng trng hp (3) ngi ta tỡm mt s xut hin ca Af c tip theo bi mt dóy ch s , thay cho Af v lp li sau mi ký hiu khụng kt thỳc Mt phm phi ng cnh cng c cu to nh phm c ch s hoỏ tr hp cỏc ch s I khụng xut hin, v mt phm chớnh quy l mt phm phi ng cnh m cỏc quy tc thay th ca nú cú v phi bao gm cỏc phn t ca {} cú th c sinh bi mt ký hiu khụng n Cỏc ngụn ng c sinh bi cỏc phm phi ng cnh hay chớnh quy c gi l cỏc ngụn ng phi ng cnh hay chớnh quy tng ng Ba lp ngụn ng chớnh quy, ngụn ng phi ng cnh v ngụn ng c ch s hoỏ to thnh mt h thng cỏc ngụn ng rng dn (v ngoi diờn) 40 Chỳng cú th c xem nh nhng minh ho v h tru tng y cỏc ngụn ng (AFL) Ta nhc li rng mt h tru tng y cỏc ngụn ng l mt lp ngụn ng cha ớt nht mt ngụn ng khụng rng v úng di cỏc toỏn t sau õy: Phộp ng cu, ng cu ngc, giao vi cỏc hp chớnh quy, hp, tớch v phộp sinh v nhúm Mnh sau õy cú th chng minh d dng 2.4.4 Mnh Gi s l mt h tru tng y cỏc ngụn ng Khi ú: i) cha tt c cỏc ngụn ng chớnh quy ii) Nu L1 v L2 thuc thỡ ngụn ng L bao gm v tt c cỏc t w = w un vi cỏch chn xen k liờn tip t L1 v L2 cng thuc iii) Cỏc lp ngụn ng chớnh quy, ngụn ng phi ng cnh v ngụn ng ch s hoỏ l cỏc h tru tng y cỏc ngụn ng Bõy gi ta a mt c trng ca ngụn ng phi ng cnh m ngụn ng ch s hoỏ núi chung khụng cú 2.4.5 Mnh Gi s L l mt ngụn ng trờn Khi ú nu L l ngụn ng phi ng cnh vi s tng trng a thc thỡ L l ngụn ng b chn Chng minh Phộp chng minh tin hnh quy np theo s ký hiu thuc N phm phi ng cnh sinh L Vi mt phộp sinh tu ý ca w L t S cú s * * .S. w, ngha l S khụng xut hin xut hin cui cựng ca S, S * * * w tr ln cui cựng, ú w = x.y.z vi x, S phộp sinh .S. * z y, Chỳng ta khng nh rng cú cỏc t t v v cho nu w L tu ý c phõn ró nh trờn thỡ x t* v z u* Xột hai trng hp * * 1.S.1 x1.y1.z1 (1) S * * 2.S.2 x2.y2.z2 (2) S 41 * 2.S.2, cú th c s dng m rng S vo Phn u ca (2), S khong gia ca (1) v ngc li Bng cỏch lp li chu trỡnh ca mỡnh, ta thy rng mi t v nhúm {x 1, x2}* xut hin nh mt tin t ca mt t no ú L, v bi vy s t cú di bng k {x 1, x2}* b chn bi a thc theo k Núi riờng, i vi m no ú, m t vi di m trờn {r, s} khụng th tt c cũn phõn bit thc hin cỏc s thay th r = x 1.x2 v s = x2.x1 iu ú kộo theo x1.x2 = x2.x1 Th thỡ mi t x mt v nhúm t xỏc nh nht mt t t = t(x ) cho x l mt lu tha ca t v t khụng l lu tha tht s (M Lothaire, 1983) Hn na, nu x.x = x.x thỡ t(x) = t(x) Bi vy, cỏc s sp xp lỳc ny, suy c hai t x 1, x2 l lu tha ca t= t(x1) = t(x2), ú t l t tho yờu cu ũi hi Lp lun tng t bng cỏch thay hu t cho tin t ta nhn c t u mong mun Bõy gi, gi s L l mt ngụn ng ca L gm cỏc t y vi phộp sinh * S y cho S ch xut hin nht mt ln quỏ trỡnh sinh Theo lp lun trờn, cú L t*.L.u*, v ú ch cn chng t L b chn Tht vy, nu S l ký hiu nht khụng phi l ký hiu kt thỳc ca phm sinh L thỡ L hu hn nờn b chn theo Mnh 2.4.2 Nu khụng, vi mi ký hiu khụng kt thỳc A S ta ký hiu LA l ngụn ng m phm sinh nú nhn c bng cỏch xoỏ S phm sinh L v ly A lm ký hiu xut phỏt Theo gi thit quy np, LA b chn Mt phộp sinh y L phi c bt u t mt phộp thay th S cho = z1.z2 zn ú zi hoc l mt ký hiu hoc l mt ký hiu khụng kt thỳc v khỏc S Suy y = y 1.y2 yn vi yi Lzi nu zi l mt ký hiu khụng kt thỳc Nh vy y nm mt tớch ca n ngụn ng b chn c xỏc nh bi S , v ú L nm hp ca cỏc tớch c xỏc nh bi tt c cỏc quy tc thay th S vi S khụng xut hin Theo Mnh 2.4.2, L b chn Ta nờu lờn mt c trng ngụn ng b chn s c s dng chng minh cỏc kt qu sau ny 42 2.4.6 Mnh Mt ngụn ng L trờn tu ý l mt hp ca hu hn cỏc ngụn ng b chn L cho i vi mi tn ti mt s nguyờn r ph thuc vo v mt cỏch chn cỏc t v,0, , v,r v u,1, ,u,r * vi L = {v ,0 un1,1.v ,1 unr, r v , r | (n1 , , nr S r )} ú S Ơ r l rng nu r = ( trng hp L = {v,0}); cũn nu r thỡ tn ti r - b d liu S m ca vo ca nú ln tu ý Chng minh Theo gi thit L1 w1*.w2* wn* vi cỏc wi * no ú, i = 1, , n Xột J {1, 2, , n} cho s m ca tt c w j vi j J cú th c lm cho ng thi ln tu ý bi cỏc phn t ca ny Nu khụng tn ti nh vy thỡ L hu hn v l hp ca hu hn cỏc ngụn ng L , mi mt chỳng ch cha t n v ,0 Trong trng hp ngc li, ta hóy nht mt J cc i theo quan h bao hm Do tớnh cht cc i ca J, tn ti mt s nguyờn M cho i vi w = w1e w en L tu ý, nu s m ej vi n j J tt c u hn M, thỡ tt c cỏc s m khỏc s hn hoc bng M Gi s L l hp tt c cỏc t w L cho chỳng cú th c vit di dng w = w1e1 w enn vi ej > M, j J v ej M vi mi j J Theo quy np, L - L cú s phõn tớch cn tỡm, vỡ vy ch cn chng t rng, L cú th vit di dng ca mt s hu hn ngụn ng vi dng ũi hi Rừ rng L l hp ca cỏc ngụn ng L cho cỏc s m ej , j J l c dnh i vi mi L Nu L l mt ngụn ng no ú cho tt c lu tha e j, j J cú th uc lm cho ng thi ln bng cỏch chn w L thớch hp thỡ L cú dng ũi hi vi {wj| j J} úng vai trũ u ,p s phỏt biu ca Mnh , v cỏc wj cũn li c tng thờm cựng vi cỏc dng vi,p Nu khụng, hóy ỏp dng gi thit quy np cho L KT LUN 43 Lun ó t c cỏc kt qu chớnh sau õy: H thng húa cỏc khỏi nim v c trng ca nhúm t Trỡnh by túm tt ngụn ng hu t v quan h hu t cựng cỏc tớnh cht ca chỳng Dựng quan h hu t nh ngha h cỏc ngụn ng c xỏc nh bi mt v nhúm M v mt phõn bit X Kho sỏt ngụn ng phi ng cnh v dựng tớnh cht ca ngụn ng phi ng cnh xõy dng ụtụmỏt y xung v ụtụmỏt dng bú Kho sỏt mt s m rng ca ngụn ng hỡnh thc: ngụn ng b chn v ngụn ng c ch s hoỏ Vic nghiờn cu sõu sc hn v h cỏc ngụn ng s l ti chỳng tụi tip tc tin hnh thi gian ti Tài liệu tham khảo 44 A tiếng việt [1] Phan Đình Diệu (1977), Lý thuyết Ôtômát thuật toán, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2001), Ngôn ngữ nhóm Aben, Tạp chí Tin học điều khiển học, N03 [3] Lê Quốc Hán Nguyễn Thị Bích (2003), Ngôn ngữ nhóm cô lập, Tạp chí Tin học điều khiển học, N03 [4] Lê Quốc Hán Hồ Tiến Dơng (2004), Ngôn ngữ nhóm Đuybrây ngôn ngữ nhóm Kroazô, Tạp chí tin học điều khiển học, số 4, 343 - 350 [5] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, Tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Lê Quốc Hán Trần Văn Hạo (1987), Về ngôn ngữ nhóm, Tuyển tập Hội thảo sở tin học bảo vệ tin, Viện Toán học Việt Nam, Hà Nội, 46 - 49 [7] Đặng Huy Ruận (2002), Lý thuyết ngôn ngữ hình thức ôtômát, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyn Gia nh (2008), Lý thuyết ngôn ngữ hình thức ôtômát, NXB i hc Hu B Tiếng anh [9] A H Clifford, G B Preston (1961, 1967), The Algebraic Theory of Semigroups, Amer Math Soc & [10] S Eilenberg (1976), Automata, Languages and Machines, Volum B Academic Frees, New York [11] Gabor T Herman and Grzegorz Rozenberg (1975), Developmental systems and languages, North - Holand Publishing company [12] J E Hoperft and J D Ullman (1975), Formal languages and Their Relation to Automato, Addison - Weslay, Reading, Mass [...]... Các máy biến đổi hữu tỷ đóng dưới phép hợp thành CHƯƠNG 2 HỌ CÁC NGÔN NGỮ 2.1 Họ các ngôn ngữ Trong tiết này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ hữu tỷ để định nghĩa lớp các ngôn ngữ được xác định bởi một vị nhóm M và một tập con phân biệt X 2.1.1 Định nghĩa Họ các ngôn ngữ F (M, X) được xác định bởi M và một tập con khác rỗng X ⊂ M là tập hợp các ảnh X ρ khi ρ chạy qua tất cả các quan hệ hữu tỷ từ M đến các. .. phạm được sử dụng để sinh ra các ngôn ngữ như thế nào, đồng thời chỉ ra rằng các ngôn ngữ được gọi là ngôn ngữ phi ngữ cảnh thực chất là các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm phi ngữ cảnh và như vậy trùng với các ngôn ngữ phi ngữ cảnh dạng tiêu chuẩn 2.3.1 Định nghĩa Một văn phạm gồm 1/ Một tập hợp hữu hạn ∑ các ký hiệu kết thúc 2/ Một tập hợp hữu hạn rời nhau ∆ các ký hiệu không kết thúc 3/ Một ký... từ” của một nhóm là một họ ngôn ngữ có những tính chất rất đặc biệt 2.2 Ngôn ngữ phi ngữ cảnh Ôtômát đẩy xuống và ôtômát dạng bó 2.2.1 Ngôn ngữ phi ngữ cảnh Tiết này trình bày khái niệm ngôn ngữ phi ngữ cảnh, một họ ngôn ngữ khá rộng và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn Cố định một tập hợp đếm được Ω, và giả sử Ω* là vị nhóm tự do trên Ω Với mỗi từ w ∈ Ω* xác định các phép biến đổi Pw ,... hữu tỷ và hợp Đảo lại, tập hợp tuỳ ý các ngôn ngữ chứa một ngôn ngữ không rỗng và đóng đối với các máy biến đổi hữu tỷ và hợp là một họ các ngôn ngữ Chứng minh Lấy x ∈ X Mỗi ngôn ngữ hữu tỷ L trên ∑ là ảnh Xρ qua máy biến đổi ρ = {x}×L Theo Bổ đề 1.2.3.2, ρ hữu tỷ và do đó L ∈ F Để chứng minh F đóng kín qua hợp, chúng ta phải chỉ ra rằng nếu L và L ’ là các ngôn ngữ trên ∑ nằm trong F thì L ∪ L’ cũng... Định lý 2.1.2, chỉ cần chứng tỏ rằng nếu L và L ’ là các ngôn ngữ phi ngữ cảnh trên ∑ thì L.L’ và L* cũng là các ngôn ngữ phi ngữ cảnh trên ∑ Giả thiết rằng Γ và Γ’ là các ôtômát đẩy xuống thừa nhận các ngôn ngữ L và L’ tương ứng.Giả sử d1, d2, , dn là các phần tử của Ω mà chúng xuất hiện trong các nhãn của Γ và Γ’, và hãy nhặt riêng ra e ∈ Ω từ các di Thay đổi Γ như được chỉ ra ở hình sau để tạo ra... M là vị nhóm tự do trên hợp của các bảng chữ cái của các ngôn ngữ trong C o và xác định X tương ứng với hợp của các ngôn ngữ Vì C chứa một ngôn ngữ không rỗng nên X ≠ ∅ Đặt F = F(M,X) Mỗi ngôn ngữ trong C o là ảnh của X qua phép đồng cấu đồng nhất bộ phận mà miền xác định của nó là một vị nhóm tự do của M sinh bởi bảng chữ cái tương ứng của ngôn ngữ đó Từ đó mỗi ngôn ngữ trong C là ảnh của X qua một... một họ các ngôn ngữ Nếu “Bài toán từ” của nhóm G với một hàm chọn các phần tử sinh nào đó trong F , thì “Bài toán từ” với các hàm chọn các phần tử sinh khác cũng nằm trong F Hơn nữa lớp các nhóm mà “Bài toán từ” của chúng nằm trong F đóng dưới phép đẳng cấu, nhóm con hữu hạn sinh và mở rộng hữu hạn Chứng minh Giả sử σ: ∑* → G là một hàm chọn các phần tử sinh của G và µ: ∆* → H là một hàm chọn các. .. dựng văn phạm phi ngữ cảnh Γp,q cho các ngôn ngữ, các văn phạm đồng nhất trừ ký hiệu xuất phát của chúng Khi L là hợp nhất trên tất cả các đỉnh q của các ngôn ngữ Lpo,q chúng ta nhận được một văn phạm cho L bằng cách bổ sung một ký hiệu xuất phát mới S và các quá trình sản xuất S → Apo,q để hợp các văn phạm Γp,q trên tất cả các đỉnh kết thúc q Để xây dựng văn phạm Γp,q xuất phát với các ký hiệu kết thúc... L của ∑* được gọi là một ngôn ngữ trên ∑ Nếu L là một tập con hữu tỷ của ∑* thì L được gọi là ngôn ngữ hữu tỷ hay ngôn ngữ chính quy trên ∑ 1.2.2.2 Định lý Giả sử ∑ là một bảng chữ cái hữu hạn tuỳ ý Thế thì: i/ Các ngôn ngữ hữu tỷ trên ∑ là tạo ảnh toàn phần của một tập con của một vị nhóm hữu hạn F dưới đồng cấu ϕ : ∑* → F 14 ii/ Các ngôn ngữ hữu tỷ trên ∑ đóng kín dưới các phép toán Boole Chứng... F(Mc,f ,{1}) được gọi là họ các ngôn ngữ phi ngữ cảnh 2.2.1.3 Định nghĩa Một ôtômát đẩy xuống là một ôtômát hữu hạn trên Mc.f × ∑*, trong đó ∑* là một vị nhóm tự do hữu hạn sinh bất kỳ Nếu ρ: Mc,f → ∑* là một quan hệ hữu tỷ thừa nhận bởi một ôtômát đẩy xuống thì chúng ta nói rằng ôtômát đó thừa nhận ngôn ngữ phi ngữ cảnh 1ρ 2.2.1.4 Định lý F c,f là một họ trừu tượng đầy đủ các ngôn ngữ Chứng minh Theo Định ... học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2001), Ngôn ngữ nhóm Aben, Tạp chí Tin học điều khiển học, N03 [3] Lê Quốc Hán Nguyễn Thị Bích (2003), Ngôn ngữ nhóm cô lập, Tạp chí Tin học... điều khiển học, N03 [4] Lê Quốc Hán Hồ Tiến Dơng (2004), Ngôn ngữ nhóm Đuybrây ngôn ngữ nhóm Kroazô, Tạp chí tin học điều khiển học, số 4, 343 - 350 [5] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm,... thuyết ngôn ngữ nhóm, Tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Lê Quốc Hán Trần Văn Hạo (1987), Về ngôn ngữ nhóm, Tuyển tập Hội thảo sở tin học bảo vệ tin, Viện Toán học Việt Nam, Hà Nội, 46 - 49 [7]