Mô hình hóa môi trường 08

CHƯƠNG VII LỜI GIẢI GIẢI TÍCH CHO MỘT SỐ TRƯỜNG HP I Hệ ổn đònh Trường hợp lý tưởng Dòng chảy tầng So sánh mô hình lò trộn tốt trường hợp dòng chảy tầng Quá trình chuyển tải khuếch tán Một số ứng dụng dòng chảy tầng cho sông suối Một số ứng dụng cho vùng cửa sông mô hình lò trộn tốt II Hệ không ổn đònh Khi khuếch tán rối Các mô hình lan tỏa III.Một số công thức áp dụng Hệ ổn đònh 1.Trường hợp lý tưởng Ở xét hai dạng mẫu dạng hồ dòng kín hồ dòng rối Sơ đồ kênh hình hộp chữ nhật Xét kênh hình hộp chữ nhật (bỏ qua phương y,z) phương trình cân khối lượng cho đơn vò có chiều dài là: ∂C (7.1) ∆V = Win − Wout ± reaction ∂t (bỏ qua lắng đọng) ∂C ∆V = J in Ac − J out Ac ± reaction (7.2) ∂t ∆V : thể tích đơn vò Ac = B.H [L2] B: chiều rộng [L] H: chiều sâu [L] • Jin,Iout : dòng khối lượng vào [ML2/T] Dòng chảy tầng (PFR: Plud-flow reactor) • Mô tả đoạn kênh xảy đơn chuyển (chuyển tải) – Dòng vào: Jin = U.C (7.3) – U: vận tốc dòng chảy : U[LT-1] = Q / Ac – Dòng ra: ∂C (7.4) J out =UC+U ∆x ∂x ∂C   J out =U  C+ ∆x  (7.5) ∂x   – Phản ứng (bậc I) Re action = −k ∆V C (7.6) Thay giá trò vào phương trình (7.2) ∂C ∂C   ∆V = UAcC − UAc  C + ∆x  − k ∆V C ∂t ∂x   ∂C = −UAc ∆x − k ∆V C 7) (7.7) ∂x • Ta có ∆V=Ac.∆x, ∆x → C → C ta có ∂C ∂C (7.8) − kC =-U ∂t ∂x Khi trạng thái cân ∂C dC = ⇒ = −U − kC (7.9) ∂t dx Với điều kiện biên x = 0, C = C0 Ta có nghiệm C =C e k − x U (7.10) So sánh mô hình lò trộn tốt (CSTR: continuously stirred tank reactor) trường hợp dòng chảy tầng (PFR) •Mô hình CSTR : Q C = Cin Q + kV (7.11) C Q ⇒β = = Cin Q + kV ⇒β = + kτ W Thời gian lưu nước τ = W k −β β (7.12) Mô hình lò dòng kín C =e β= Cin − k x U x τw = U ⇒β =e − kτ w   ⇒ τ w = ln   k β  (7.13) τ w ( CSRT ) τ w ( PFR ) • ⇒ Thời gian lưu nước mô hình lò trộn tốt lớn mô hình dòng chảy tầng Lò dòng xảy trình đơn chuyển (advection) phân tán (diffusion) •Dòng vào ∂C J in = UC − E ∂x (7.14) (với E hệ số rối khuếch tán ) Dòng (phân tích chuỗi Taylor bậc I) J out  ∂C ∂  ∂C   ∂C   =U C + ∆x  − E  +   ∆x  ∂x    ∂x ∂x  ∂x   (7.15) Thay vào phương trình (7.2) ta có ∂C ∂C ∂C   ∆V = UAc C − UAc  C + ∆ x  − EAc + ∂t ∂x ∂x    ∂C ∂  ∂C   + EAc  + (7.16)   ∆x  − k ∆V C 10  ∂x ∂x  ∂x   Bài toán đặt xác đònh nồng độ ban đầu (với nguồn điểm cho x = 0) •Viết lại trường hợp mô hình khuếch tán (MFR) C = Fe Với 1x + Ge U = 1± 1+ 2E 2x (7.32) ) (7.33) Các số tính tích phân tính từ điều kiện biên C =0 x → - ∞ C =0 x → ∞ x≤0 vớ i C2 = C0e x (7.35) x Ta chứng minh C1 = C0e 1x (7.34) 23 •Sử dụng phương trình cân khối lượng điểm x = dC1 dC2 W + UAC1 x =0 − EA − UAC2 x =0 + EA = 0(7.36) dx x =0 dx x =0 Thay (7.34) (7.35) x=0 vào (7.36) W + UAC0 − EA 1C0 − UAC0 + EA 2C0 = W ⇒ C0 = Q 1+ U (1+  W 2E e C = Q 1+  ⇒  U (1− W C = e2E  Q 1+  (7.37) 1+ ) x 1+ ) x x ≤ 0(7.38) x ≥ 0(7.39) Khi E → mô hình MFR trở thành PFR 24 Nguồn phân phối 25 • Lời giải tương đối phức tạp Thomann Mueller (1987) đưa nghiệm: U U   − + + a − + x  Sd + −  E E C=  e e x≤ −    k  +    U U  + + x − a + − E + + E − + x Sd C=  − e e −  ≤ x ≤a k + +  U U   a − + + − + x−a  Sd + +  E E C=  e e x < a −    k  +    Nghiệm trùng với nghiệm trường hợp 26 dòng kín E bé Hệ không ổn đònh • Đối với hệ kín (E = 0) ∂C ∂C = −U − kC ∂t ∂x (7.43) Với điều kiện ban đầu t = 0, C = C0, x = x − kt C = C e t = (7.44) ⇒  U trường hợp khác  C=  Hay C = C e  C = − k x U x = Ut trường hợp khác (7.45) 27 Các mô hình lan tỏa •2.1 Sự lan toả gián đoạn: Sự tải nạp xảy thời gian ngắn (ví dụ tràn dầu) •* Nếu có phân tán(K =0, U= 0) ∂C ∂C =E (7.46) ∂t ∂x (phương trình coi đònh luật Fick) x − mP C x, t ) = e Et (7.47) Et mp: tổng khối lượng trêm diện tích mặt cắt ngang phân phối chuẩn [ML-2] Độ lệch chuẩn = 2Et 28 • * Nếu có khuếch tán chuyển tải ∂C ∂C ∂C = −U +E ∂t ∂x ∂x (7.48) Nghiệm C x, t ) = mp Et e − x −Ut ) Et (7.49) 29 • * Khuếch tán, chuyển tải phân hủy ∂C ∂C ∂C = −U +E − KC ∂t ∂x ∂x (7.50) Nghiệm làvới điều kiện x =0 cho nồng độ hay tải lượng C x, t ) = mp Et e − x −Ut ) Et − Kt (7.51) 30 2.2 Sự lan toả liên tục (Continuous spilts): nghóa tải nạp xảy giữ nguyên đoạn thời gian (vô hạn hay hữu hạn) • * Nếu thời gian vô hạn • Nghiệm trường hợp (với điều kiện hệ số const) Ux  C C x t = e E  −Γ  x − UtΓ  erfc  +e Et   Ux +Γ E  x + UtΓ  erfc   Et   (O’Loughlin and Bowmer 1975) Γ= KE + ;n = U β : độ lệch mẫu erfc = 1- erf erf : hàm sai erf (b) = (7.52) b ∫e −β df 31 * Nếu thời gian hữu hạn Ux   x − U (t − τ )Γ    C0  E 1−Γ )   x − Ut Γ  C ( x, t ) = + erfc  + erfc    e   E (t − τ )   Et          Ux (1+Γ )      τ x Ut x U t + Γ + − Γ ( )   2E e + erfc     (7.53)   − erfc   Et    E (t − τ )     32 Một số công thức áp dụng •Nồng độ trung bình n− C= ∑ Khối lượng Ci + Ci + i= tn − t ti + − ti ) (7.54) ) M = Q C tn − t ) (7.55) Thời gian tồn n− t= ∑ Citi + Ci + ti + ti + − ti ) i= n− ∑ i= (7.56) Ci + Ci + ti + − ti ) 33 • Độ lệch thời gian n− St = ∑ Cit + Ci + ti + i= n− ∑ )t i+ − ti ) −t ti + − ti ) Ci + Ci + (7.57) i= x −x  • Tốc độ trung bình U =    t −t  E= U St − St t −t ) ) (7.58) (7.59) 34 • Tốc độ phân huỷ bậc 1: M K= ln M t −t ) (7.60) Trong trường hợp đưa phương trình lan truyền không ổn đònh dạng không thứ nguyên: ∂C ∂C ∂ 2C = −U + E − KC ∂t ∂x ∂x (7.61) 35 Đặt số không thứ nguyên C C = C kx x = U t = kt • Thay vào phương trình (7.61) ∂C ∂C =− + ∂t ∂x ∂C −C ∂x 36 KE = U : số mũ • Nếu : : trình phân tán chủ yếu ≈ : phân tán + chuyển tải < < : chủ yếu chuyển tải < 37 [...]... 2 Nguồn phân bố Sơ đồ nguồn phân phối •Từ phương trình cân bằng khối lượng trong trường hợp ổn đònh, ta có: dC = −V − kC + S d dx (7.30) Tại x = 0, C = C0 thì nghiệm C =C e k − x U Sd  +  −e k  k − x U  (7.31)  21  Một số ứng dụng cho vùng cửa sông đối với mô hình MFR (Mix-flow reactor) Mô hình phân tán rối là mô hình cơ sở của vùng cửa sông một chiều 1 Nguồn điểm Nguồn điểm với hệ rối Xét nguồn... • 1 Đối với hệ kín (E = 0) ∂C ∂C = −U − kC ∂t ∂x (7.43) Với điều kiện ban đầu t = 0, C = C0, x = 0 x − kt C = C e khi t = (7.44) ⇒  U trong các trường hợp khác  C=  Hay C = C e  C = − k x U khi x = Ut trong các trường hợp khác (7.45) 27 2 Các mô hình lan tỏa •2.1 Sự lan toả gián đoạn: Sự tải nạp xảy ra trong 1 thời gian rất ngắn (ví dụ tràn dầu) •* Nếu chỉ có sự phân tán(K =0, U= 0) ∂C ∂C =E... chiều 1 Nguồn điểm Nguồn điểm với hệ rối Xét nguồn điểm vào kênh có các đặc tính cố đònh 22 Bài toán đặt ra là xác đònh nồng độ ban đầu là bao nhiêu (với nguồn điểm cho tại x = 0) •Viết lại trong trường hợp mô hình khuếch tán (MFR) C = Fe Với 1 2 1x + Ge U = 1± 1+ 4 2E 2x (7.32) ) (7.33) Các hằng số tính tích phân có thể tính từ điều kiện biên C =0 khi x → - ∞ C =0 khi x → ∞ x≤0 vớ i C2 = C0e x (7.35)... Khi E → 0 mô hình MFR trở thành PFR 24 2 Nguồn phân phối 25 • Lời giải tương đối phức tạp và được Thomann và Mueller (1987) đưa ra nghiệm: U U   − + + a − + x  Sd + −  E E C=  e e x≤ −    k  +    U U  + + x − a + − E + + E − + x Sd C=  − e e −  ≤ x ≤a k + +  U U   a − + + − + x−a  Sd + +  E E C=  e e x < a −    k  +    Nghiệm trên trùng với nghiệm trong trường hợp... lượng của nguồn điểm với dòng phân tầng 18 Điều kiện nồng độ C0 trong mô hình PFR •Cho nguồn điểm tại x=0, mục tiêu: xác đònh C0 _Phương trình cân bằng lưu lượng: Q = QW +Qr _Phương trình cân bằng khối lượng: QC0 = QWCw+QrCr + ) = Q C +Q C Q C +Q C ⇔C = Q +Q W+Q C ⇔C = Q +Q (7.28) 19 •Thay giá trò C0 vào công thức tính nồng độ trong trường hợp PFR  C = C e  − k x U    Ta sẽ tính được phân bố nồng... làvới điều kiện x =0 cho nồng độ hay tải lượng C x, t ) = mp 2 Et e − x −Ut ) Et − Kt (7.51) 30 2.2 Sự lan toả liên tục (Continuous spilts): nghóa là sự tải nạp xảy ra và giữ nguyên trong 1 đoạn thời gian (vô hạn hay hữu hạn) • * Nếu thời gian vô hạn • Nghiệm trong trường hợp này (với điều kiện các hệ số là const) Ux  C C x t = e E  −Γ  x − UtΓ  erfc  +e Et   Ux +Γ E  x + UtΓ  erfc   Et...Vì ∆V=Ac.∆x, khi ∆x → 0 thì C → C và khi đó ∂C ∂C ∂ C =U +E − kC ∂t ∂x ∂x Trường hợp ổn đònh: ∂C = ∂t dC d C =U +E − kC dx dx (7.17) (7.18) Giải hệ phương trình (7.18) bằng nhiều phương trình khác nhau Phương pháp đơn giản là tìm nghiệm dưới dạng C =e x 11 Phương trình đặc trưng... (7.23) và (7.24) tìm được F và G L F= u−E uCin e L e − u−E (7.25) e L L G= u−E uCin e L e − u−E e L (7.26) • Các hằng số này cùng với phương trình (7.20) cho phép chúng ta tính được nồng độ dọc kênh trong trường hợp ổn đònh Hai điều kiện biên trên được gọi là điều kiện Dancwerts 14 Số Peclet và Damkohler: • Phương trình (7.18) viết lại: dC d C =U +E − kC dx dx Ta đưa ra các đại lượng không thứ nguyên của... ti + i= n− ∑ )t i+ − ti ) −t ti + − ti ) Ci + Ci + (7.57) i= x −x  • Tốc độ trung bình U =    t −t  E= U St − St t −t ) ) (7.58) (7.59) 34 • Tốc độ phân huỷ bậc 1: M K= ln M t −t ) (7.60) Trong trường hợp đưa phương trình lan truyền không ổn đònh về dạng không thứ nguyên: ∂C ∂C ∂ 2C = −U + E 2 − KC ∂t ∂x ∂x (7.61) 35 Đặt các số không thứ nguyên C C = C kx x = U t = kt • Thay vào phương trình ... −β β (7.12) Mô hình lò dòng kín C =e β= Cin − k x U x τw = U ⇒β =e − kτ w   ⇒ τ w = ln   k β  (7.13) τ w ( CSRT ) τ w ( PFR ) • ⇒ Thời gian lưu nước mô hình lò trộn tốt lớn mô hình dòng chảy...  −e k  k − x U  (7.31)  21  Một số ứng dụng cho vùng cửa sông mô hình MFR (Mix-flow reactor) Mô hình phân tán rối mô hình sở vùng cửa sông chiều Nguồn điểm Nguồn điểm với hệ rối Xét nguồn... suối Một số ứng dụng cho vùng cửa sông mô hình lò trộn tốt II Hệ không ổn đònh Khi khuếch tán rối Các mô hình lan tỏa III.Một số công thức áp dụng Hệ ổn đònh 1 .Trường hợp lý tưởng Ở xét hai dạng