quan hệ toàn đẳng trên lớp các mở rộng môđun bậc n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM TRẦN THỊ THU CÚC QUAN HỆ TỒN ĐẲNG TRÊN LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 n BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM TRẦN THỊ THU CÚC QUAN HỆ TỒN ĐẲNG TRÊN LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n Chun ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUN Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Viết luận văn khó, để viết cho hay, cho tâm đắc lại đòi hỏi lực thực Vì biết kiến thức mơn Tốn có hạn, nên tơi có ý tưởng viết điều tơi gom nhặt được, tơi mong ngày trơi qua, lĩnh hội sâu mơn Đại Số Đồng Điều Song, hồn tất luận văn, điều mà tơi lĩnh hội nhiều - phương pháp học tập, nghiên cứu khoa học từ Người Thầy Hướng Dẫn - TS.Trần Hun: “Hãy hỏi điều muốn hỏi, suy nghĩ thật kỹ trước đưa câu hỏi, tự tìm đáp án cho câu hỏi dựa kiến thức tảng nhất, đến, tìm thấy… Bởi lẽ, khơng có đường dành sẵn cho ta đời, nghiệp, tốt định hướng, ước mơ mà ta có thân người Trong bước đi, trải qua thời gian, ta nhận thức điều đúng, sai, đâu khó khăn, đâu thuận lợi, từ rút kinh nghiệm, tri thức cho riêng Vì lẽ đó, mạnh dạn bước đi, tìm cách vượt qua chướng ngại, cách để ta tạo nên tri thức cho mình…” Còn nhiều, nhiều điều hay mà tơi học từ Thầy ngồi tri thức Tốn Học, song để kể có lẽ khơng đủ! Thầy ạ! Em xin chân thành cảm ơn Thầy tất cả, Thầy tận tình dạy, động viên, giúp em thêm vững đức tin, để vượt qua khó khăn q trình thực luận văn Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Q Thầy Cơ khoa Tốn hai trường Đại học Sư Phạm TP.HCM Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM tận tình giảng dạy, giúp đỡ em năm tháng học tập trường Kính chúc Q Thầy Cơ thật nhiều sức khỏe, hạnh phúc thành cơng sống! Trần Thò Thu Cúc MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mở rộng mơđun bậc 1.2 Mở rộng mơđun bậc n 1.3 Tổng trực tiếp hai dãy khớp 1.4 Tích Iơnet dãy khớp 1.5 Phân tích dãy khớp dài thành tích Iơnet dãy khớp ngắn 1.6 Cấu xạ hai dãy khớp có độ dài n 1.7 Đồng cấu chéo đồng cấu tổng 10 1.8 Mệnh đề 10 1.9 Phức hợp 10 1.10 Biến đổi dây chuyền 11 1.11 Đồng ln dây chuyền 12 1.12 Đồng điều 12 1.13 Đối đồng điều 13 1.14 Phức mơđun 13 1.15 Phép giải tự do, phép giải xạ ảnh 13 1.16 Mệnh đề 14 1.17 Định lý so sánh 14 1.18 Hàm tử mở rộng 14 Chương - QUAN HỆ TỒN ĐẲNG TRÊN LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n 15 §1 QUAN HỆ TỒN ĐẲNG TRÊN LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC 15 2.1.1 Định nghĩa 15 2.1.2 Mệnh đề 16 2.1.3 Tích mở rộng đồng cấu 19 2.1.4 Những tính chất tích mở rộng đồng cấu 33 §2 QUAN HỆ TỒN ĐẲNG TRÊN LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n ( n ≥ ) 35 2.2.1 Quan hệ tồn đẳng trực tiếp hai mở rộng mơđun bậc n 35 2.2.2 Quan hệ tồn đẳng hai mở rộng mơđun bậc n 36 2.2.3 Mệnh đề 36 2.2.4 Xây dựng quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n nhờ vào quan hệ tồn đẳng dãy khớp ngắn 38 2.2.5 Tích mở rộng mơđun bậc n đồng cấu 49 §3 XÂY DỰNG QUAN HỆ TỒN ĐẲNG TRÊN LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n ( n ≥ ) BẰNG PHÉP GIẢI XẠ ẢNH 51 2.3.1 Định nghĩa 51 2.3.2 Mệnh đề 51 2.3.3 Mệnh đề 52 2.3.4 Mệnh đề 53 2.3.5 Mệnh đề 54 2.3.6 Mệnh đề 55 2.3.7 Mệnh đề 55 2.3.8 Mệnh đề 57 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để xây dựng hàm tử Ext, ta sử dụng phương pháp lấy đối đồng điều phép giải xạ ảnh phương pháp lấy đối đồng điều phép giải nội xạ Song, ta xây dựng hàm tử Ext phương pháp khác đơn giản phổ biến – phương pháp phân hoạch dãy khớp Tuy nhiên, muốn xây dựng hàm tử Ext phương pháp “phân hoạch dãy khớp”, điều trước tiên ta cần phải làm – thiết lập tập dãy khớp quan hệ tương đương – mà sau ta gọi quan hệ tồn đẳng Đây quan hệ thú vị lại chưa nghiên cứu nhiều Vì dãy khớp có độ dài khác nhau, nên nghiên cứu quan hệ tồn đẳng, cách tự nhiên ta đặt câu hỏi: Liệu quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n có bị biến đổi khơng ta thay đổi độ dài dãy khớp? Xây dựng quan hệ tồn đẳng dãy khớp n – dài có tương tự xây dựng quan hệ tồn đẳng dãy khớp ngắn khơng? Hơn ta thiết lập quan hệ tồn đẳng dãy khớp n – dài nhiều đường khác khơng? Triển khai đề tài: “Quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n”, luận văn làm sáng tỏ vấn đề vừa nêu Ngồi phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương: ♣ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức cần dùng chương như: mở rộng mơđun, tích Iơnet dãy khớp, cấu xạ hai dãy khớp n – dài, hàm tử mở rộng,… số mệnh đề, định lý thuộc lĩnh vực lý thuyết mơđun, đại số đồng điều liên quan đến đề tài ♣ Chương 2: Quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n Nghiên cứu quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc 1, tích mở rộng đồng cấu, tính chất tích mở rộng đồng cấu… Sau qua mệnh đề, trình bày chi tiết quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n ( n > 1) , phương pháp xây dựng quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n Với niềm đam mê, u thích mơn Đại Số Đồng Điều mong muốn mở rộng hiểu biết mình, Tơi chọn đề tài để nghiên cứu tìm hiểu Mặc dù Tơi cố gắng nhiều luận văn khó tránh khỏi sai sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu Q Thầy Cơ bạn để luận văn ngày hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng quan hệ tồn đẳng mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ 1) nhằm phục vụ cho việc xây dựng hàm tử Ext phương pháp phân hoạch dãy khớp III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Quan hệ tồn đẳng mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ 1) IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các kiến thức mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ 1) , phép giải xạ ảnh V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết : đọc sách, tạp chí, tài liệu tham khảo thuộc lĩnh vực Đại Số Đồng Điều, Lý Thuyết Mơđun có thư viện mạng internet, phân tích, tổng hợp, xử lý vấn đề… từ áp dụng vào việc nghiên cứu quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n VI Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơ đun bậc n đóng vai trò quan trọng, tiền đề q trình xây dựng hàm tử Ext phương pháp phân hoạch dãy khớp Tuy nhiên, kết nghiên cứu quan hệ khơng nhiều, đồng thời chứng minh trình bày cách sơ lược, ngắn gọn gây khó khăn q trình lĩnh hội kiến thức người đọc Do luận văn tài liệu tham khảo tốt nhằm phục vụ cho việc học tập bạn sinh viên ngành Tốn đặc biệt bạn học viên cao học chun ngành Đại Số Và Lý Thuyết Số Ngày 15 tháng năm 2011 Học viên Trần Thò Thu Cúc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhằm thuận tiện cho việc trình bày Chương 2, chương ta nhắc lại số kiến thức thuộc lĩnh vực lý thuyết mơđun, đại số đồng điều mà sử dụng nhiều lần triển khai đề tài Vì phần chương 2, nên đây, nhiều kết nêu khơng chứng minh nêu tóm tắt khơng vào chi tiết cụ thể Các chứng minh mệnh đề, định lý chương tìm thấy sách tham khảo liệt kê mục “tài liệu tham khảo” luận văn Do tính chất, u cầu luận văn nên chương này, kiến thức định nghĩa mơđun, mơđun tự do, mơđun xạ ảnh, đồng cấu mơđun, tổng trực tiếp mơđun, dãy khớp, … khơng trình bày xem biết Trong luận văn này, vành R ln xem vành giao hốn có đơn vị, mơđun R ln xem R – mơ đun trái 1.1 Mở rộng mơđun bậc Giả sử A C mơđun R Một mở rộng mơđun bậc A nhờ C ( gọi tắt mở rộng A nhờ C ) dãy khớp ngắn λ σ = → A  → B  → C  → R–mơđun R–đồng E (λ , σ ) :  cấu Ta ký hiệu £(C, A) tập hợp tất mở rộng A nhờ C 1.2 Mở rộng mơđun bậc n Dãy khớp S có dạng:  A  Bn1  Bn2   B1  Bo  C   S: n thành phần trung gian gọi dãy khớp có độ dài n A kết thúc C Khi dãy khớp S gọi mở rộng mơđun bậc n A kết thúc C n Ta ký hiệu £ (C, A) tập hợp tất mở rộng mơđun bậc n A kết thúc C Khi n = 1, tập tập £(C, A) mà ta giới thiệu mục 1.1 1.3 Tổng trực tiếp hai dãy khớp Cho hai dãy khớp S , S' có độ dài n ( n ≥ 1) : S :  → A  → Bn−1  → Bn−2  →  → B1  → Bo  → C  →0 S' :  → A'  → B'n−1  → B'n−2  →  → B1'  → B'o  → C'  →0 Khi tổng trực tiếp S S' dãy khớp có độ dài n có dạng: S ⊕ S' : → A ⊕ A' → Bn−1 ⊕ B'n−1 → → Bo ⊕ B'o → C ⊕ C' → 1.4 Tích Iơnet dãy khớp Xét dãy khớp dài S có độ dài n A kết thúc C λ → C  S :  → A  → Bn−1 →  → Bo  →0 µ → C  → K m−1  →  → Ko  → F  →0 Và dãy khớp T :  có độ dài m C ( giống điểm kết thúc S ), kết thúc F Khi tích Iơnet hai dãy S T dãy khớp S • T có độ dài (n+m) A kết thúc F µλ S • T :  → A → Bn−1 → → B1 → Bo  → K m−1 → K1 → Ko → F  →0 1.5 Phân tích dãy khớp dài thành tích Iơnet dãy khớp ngắn Với dãy khớp S có độ dài n, A kết thúc C cho trước: λ λ λ λ λn λo n−1→ B n−2 → A → →0 S :  Bn−1  n−2 → → B1 → Bo → C  Ta ký hiệu : Dk = Ker λk = Im λk +1 ; λk# : Bk  →D →B = Im λk ; ik : Kerλk = Dk  k −1 k Trong λk# định nghĩa sau: ∀x ∈ Bk : λk# ( x) =λk ( x) Còn ik phép nhúng từ Dk vào Bk Khi , ta có dãy khớp ngắn: Do cấu xạ Γ khai triển dạng tích : Γ Γ → (α Gn ) • Gn−1 • • G1   → G'n • G'n−1 • • G1' = S' S = Gn • Gn−1 • • G1  ' ''  Đến ta kết thúc luận văn việc xây dựng quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ ) nhờ vào phép giải xạ ảnh 2.3.8 Mệnh đề Giả sử S S' ∈ £ n ( C, A ) Khi : n S  S' ⇔ tồn dãy T ∈ £ (C, A) cấu xạ Γ: T → S Γ' : T → S' bắt đầu kết thúc ánh xạ đồng Chứng minh Để thuận tiện cho việc trình bày phần chứng minh mệnh đề 2.3.8, trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau:  Bổ đề 1: Cho hai dãy khớp F , K ∈ £n(C, A) (n > 1) F ≡ K , ln tồn dãy khớp T ∈ £ (C, A) cấu xạ n Γ: T → F Γ' : T → K bắt đầu kết thúc ánh xạ đồng Chứng minh bổ đề  Xây dựng dãy khớp T Vì F ≡ K nên xảy hai khả sau: F ≡ K theo cấu xạ ρ = (1A , γ n−1, γ n−2 , , γ o ,1C ) : F → K , ρ' = (1A , µn−1, µn−2 , , µo ,1C ) : K  →F Do F , K đóng vai trò nên ta giả hay F≡K sử ρ = (1A , γ n−1, γ n−2 , , γ o ,1C ) : F → K F≡K theo theo cấu cấu xạ xạ Vì mơđun R tồn phép giải xạ ảnh nên ta gọi ε : X  → C phép giải xạ ảnh mơđun C Xem dãy khớp có độ dài n F phép giải mơđun C, mà sau thành viên thứ n – mơđun A tồn mơđun 0, theo định lý so sánh, ln tồn biến đổi dây chuyền f ( f n , f n−1, , fo ,1C ) : X → F treo 1C Tức biểu đồ sau giao hốn: ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X  n−1 →  X :  → X n+1  → X n−1  → X o  → n ∂ f O → F :  ∂ fn  → fo f n-1 A λ n → Bn−1 1C (1)  →  → Bo  → C  → Ta phân tích đồng cấu ∂ n : X n → X n−1 thành tích hai đồng cấu sau: Xn ∂'n  → ∂n X n j→  X n−1 Trong đó: ∂'n : X n → ∂ n X n đồng cấu thu hẹp ∂ n lên tập ∂ n X n j : ∂ n X n → X n−1 phép nhúng mơ đun ∂ n X n vào X n−1 Như vậy: ∂ n = j ∂'n ( *) Từ ta có dãy khớp sau:  Dãy khớp n – dài : j→ X ε →C → n−1 → X n−2 →  → X o  S n (C,X): → ∂ n X n  n−1  n−2  ∂ Thật vậy: ∂ ∂  Vì j đơn cấu nên dãy khớp ∂ n X n = ∂ n Ker∂ n−1 nên dãy khớp X n−1  Lại có: = Imj Im  Tính khớp mơ đun trung gian lại suy từ tính khớp phép giải tự X ∂n+1 ∂n  Dãy khớp thứ hai là: X n+1  → X n → →0 ∂ n X n  ' Thật vậy:  Vì ∂'n : X n → ∂ n X n thu hẹp ∂ n : X n → X n−1 lên tập ∂ n X n nên ∂'n tồn cấu Suy dãy khớp ∂ n X n ∂'n Ker ∂ n Im ∂ n+1 nên dãy khớp X n = =  Lại có: Ker Bây giờ, ta xét biểu đồ đồng cấu sau: ∂ ∂' n+1 → X → n X n+1  ∂n X n → n ∃! h fn (2) A Vì biểu đồ (1) giao hốn nên f n∂ n+1 = O , lại dòng biểu đồ (2) khớp nên theo mệnh đề mục 1.8, ∃! đồng cấu h : ∂ n X n → A cho h∂'n = f n (**) Nhờ vào đồng cấu h : ∂ n X n → A dãy khớp n – dài Sn (C , X ) , ta xây dựng dãy khớp n – dài hSn (C , X ) : ∂1 j→ X ε →C → n−1 → X n−2 →  Sn ( C , X ) : → ∂ n X n    → X o  n−1 n−2 ∂ ∂ 1X h 1C n−2 ∂ ∂1 ε →C → n−2 →  hSn (C , X ) : → A  → Dn-1  → X n−2  → X o  Đặt T = hSn (C , X ) T ∈ £n(C, A) (với n > 1) , T dãy khớp ta cần tìm  Chứng minh T ≡ F theo cấu xạ ( ) Γ: (**) h ) ∂'n λn h= ∂'n Ta có: ( λn= ( λn h ) ∂'n = Suy ra: T→F = λn f n f n−1 ∂ n ( biểu đồ (1) giao hốn) (*) = f n−1 ∂ n ( ) f n−1 j ∂'n ⇔ ( λn h ) ∂'n = ( f n−1j ) ∂'n ⇔ λn h = f n−1j ( ∂'n tồn cấu ) Vì ta có biểu đồ giao hốn sau : ∂1 j→ X ε →C → n−1 → X n−2 →  → X o  Sn ( C , X ) : → ∂ n X n  n−1  n−2  ∂ fn-1 h F: → A λ n → Bn−1 ∂ f n-2  → Bn−2 fo 1C  →  → Bo  →C →0 ( ) →F Điều có nghĩa là: tồn cấu xạ ϕ = h, f n−1, , f o ,1C : Sn ( C , X )  bắt đầu đồng cấu h: ∂ n X n → A kết thúc đồng 1C Và theo mệnh đề → F khai triển dạng tích : mục 2.3.7 cấu xạ ϕ : Sn ( C , X )  Sn ( C , X )  → hSn ( C , X ) = T  → F ∂1 j→ X ε→ C → n−1 → X n−2 →  Sn ( C , X ) : → ∂ n X n    → X o  n−1 n−2 ∂ h ϕ 1X h T: ∂ 1X n−2 o 1C fn-1 ∂ ∂1 ε →C → n−2 →   → A  → Dn-1  → X n−2  → X o  Γ fn-2 1A F :  → λ n A → Bn−1  → Bn−2 Do đó, tồn cấu xạ Γ: fo  →  → Bo  → C →0 T → F , phân tích cấu xạ ϕ bắt đầu đồng cấu h kết thúc đồng 1C nên cấu xạ 1A kết thúc 1C  Chứng minh T ≡ K theo cấu xạ Γ' : = Thật vậy, biến đổi dây chuyền f kết hợp với cấu xạ Γ: ( f n , f n−1, , fo ,1C ) : X → F treo 1C cảm sinh biến ρ= →K f ( f n , γ n−1 f n−1, , γ o f o ,1C ) : X  nghĩa biểu đồ sau giao hốn: T → F bắt đầu T→K ρ = (1A , γ n−1, γ n−2 , , γ o ,1C ) : F → K đổi dây chuyền = Γo 1C treo 1C , ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X  n−1 →  X :  → X n+1  → X n−1  → X o  →0 n ∂ ∂ f f n−1 fn Γo fo 1C fn →  F: λ →  n → A → Bn−1  ρ 1A → K :   → A  → Bo  → C  →0 γ n−1  → K n−1 γo 1C  →  → Ko  → C  →0 Có điều đặc biệt biến đổi dây chuyền Γo : X  →K bắt đầu đồng cấu f n , lập luận tương tự trên, ta xây dựng dãy khớp n – dài T = hSn ( C , X ) ∈ £n(C, A) từ phép giải xạ ảnh ε → C dãy khớp K , mà T ≡ K theo cấu xạ X  Γ' :T → K  Nhận xét: Do T = hSn ( C , X ) , với h đồng cấu từ ∂ n X n vào A thỏa h∂'n = f n , ∂'n : X n → ∂ n X n thu hẹp ∂ n : X n → X n−1 Sn ( C , X ) dãy j→ X ε → C → , ta thấy n−1 →  → X o  khớp → ∂ n X n  n−1  ∂ ∂ q trình xây dựng dãy khớp T phụ thuộc vào dãy khớp Sn ( C , X ) đồng cấu → F f n biến đổi dây chuyền f : X  Bây giờ, thay (  f : X  → F biến đổi dây chuyền ) f ' = f n' , f n' −1, , f o' ,1C : X  → F treo 1C theo nhận xét trên, dựa vào đồng cấu f n' biến đổi dây chuyền f ' : X  → F , ta xây dãy khớp T ' = h' Sn (C , X ) ∈ £n(C, A) với h' : ∂ n X n → A cho h' ∂'n = f n' Từ vấn đề đặt hai dãy khớp T = hSn ( C , X ) T' = h' Sn (C , X ) có quan hệ với nhau? Bổ đề sau xem câu trả lời cho thắc mắc thú vị này!  Bổ đề 2: F∈ Cho £n(C, A) (n > 1), ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X  n−1 →  X :  → X n+1  → X n−1  → X o  → n ∂ phép f' giải xạ ( fn' , fn' ' ∂ ảnh= C, f −1, , f o ,1C ): X → F ( f n , f n−1, , fo ,1C ) : X → F hai biến đổi dây chuyền treo 1C Giả sử T = hSn ( C , X ) với h : ∂ n X n → A cho h∂'n = f n ,còn T' = h' Sn (C , X ) với h' : ∂ n X n → A h' ∂'n = f n' cho ,và ∂1 j→ X ε → C → dãy khớp có n−1 →  Sn ( C , X ) : → ∂ n X n  → X o  n−1  ∂ j : ∂ n X n → X n−1 độ dài n, ∂'n : X n → ∂ n X n thu hẹp ∂ n : X n → X n−1, phép nhúng mơ đun ∂ n X n vào X n−1 , T = T ' Chứng minh bổ đề Vì f , f ' : X → F biến đổi dây chuyền treo đồng cấu1C , nên theo định lí so sánh, tồn đồng ln dây chuyền s = {st } mà đó: f n − f n' = λn+1 sn + sn−1 ∂ n (***) ∂1 ∂n ε→ C → n+1 → X n−1 →  → X n+1  → X o  X :  n → X n−1  ∂ O f sn f' F :  → ∂ sn-1 λ n +1 →  s-1 f n' fn so A 1C λ n Bn−1 →  →  → Bo  → C → Nhưng đồng cấu sn từ X n vào nên sn = O (****) f n − f n' = sn−1 ∂ n Từ (***), (****) suy ra: (*),(**) ⇔ ( h∂'n − h' ∂'n = sn−1 j∂'n ) ⇔ (s ( h − h' ) ∂'n = n −1 j ⇔ h − h' =sn−1j ) ∂'n ( Do ∂'n tồn cấu ) ⇔ h = sn−1j + h' Giả sử dãy ∂1 j→ X ε →C → n−1 →  Sn ( C , X ) : → ∂ n X n  → X o  n−1  ∂ phân tích thành tích Ionet dãy khớp ngắn: Sn ( C , X ) = Gn • Gn−1 • • G1 Trong đó: Gn = ( j, ∂'n−1 ) : ∂' j→ X n−1 → M  → ∂ n X n  →0 n−1  n−2  ( M n−2 = ∂ n−1X n−1 ∂'n−1 thu hẹp ∂n−1 : X n−1 → X n−2 lên ∂ n−1X n−1 ) ( ) Khi đó: hGn = h' + sn −1 j Gn mệnh đề 2.3.6 ( = Do đó: ( hGn ) • Gn−1 • • G1 = h' Gn h' Gn Suy ra: hGn = h' Gn ) • Gn−1 • • G1 ' S (C , X ) T ' = = Suy T hS n (C , X ) h = n  Chứng minh mệnh đề 2.3.8 (⇒) Giả sử S  S' Khi tồn số hữu hạn mở rộng mơđun bậc n: S ' S= o ; S1 ; S2 ; ; Sk ; Sk +1 S ∈ £n(C, A) cho S = So ≡ S1 ≡ S2 ≡ ≡ Sk ≡ Sk +1 = S'    k dãy khớp trung gian Bằng phương pháp quy nạp theo độ dài chuỗi tồn đẳng trực tiếp dãy khớp n – dài Si ( ≤ i ≤ k + 1) mơ tả trên, ta chứng minh: “Tồn dãy khớp T ∈ £ n ( C , Γ' : T → S' A ) cấu xạ Γ : T → S bắt đầu kết thúc ánh xạ đồng S  S' ” () ♣ Khi k = ta có chuỗi tồn đẳng trực tiếp S ≡ S1 ≡ S' : Do S ≡ S1 ≡ S' nên tồn cấu xạ có hướng ngược S1 , tất chúng 1A kết thúc 1C Như xảy hai khả sau: ρ1 ρ1' ' 1/ S  → S ← S → C phép giải xạ ảnh mơđun C, xem dãy khớp  Gọi ε : X  n – dài S phép giải mơđun C, theo định lý so sánh: ln = tồn biến đổi dây chuyền f ( f n , f n−1, , fo ,1C ) : X → S treo 1C Do S ≡ S1 , nên dựa vào phần chứng minh bổ đề 1, ta suy tồn dãy khớp n – dài T = hSn ( C , X ) cấu xạ Γ: T → S , Γ1* : T → S1 bắt đầu 1A kết thúc 1C mà h : ∂ n X n → A đồng cấu thỏa ( h∂'n = f n ∂'n : X n → ∂ n X n thu hẹp ∂ n : X n → X n−1 ) Sn ( C , X ) j→ X ε →C → n−1 →  → X o  dãy khớp → ∂ n X n  n−1  ∂ ∂  Xem dãy khớp n – dài S' phép giải mơđun C, theo định lý so sánh: ln tồn biến đổi dây chuyền ) ( f ' = f n' , f n' −1, , f o' ,1C : X  → S' treo 1C Mặt khác ta lại có: S' ≡ S nên theo bổ đề 1, ta xây dựng dãy khớp n – dài T ' = h' Sn (C , X ) với h' : ∂ n X n → A cho h' ∂'n = f n' tồn cấu xạ Γ' : Γ*2 : T' → S1 , T' → S' bắt đầu 1A kết thúc 1C  Vì S ≡ S1 theo cấu xạ ρ1 = (1A , βn−1, , βo ,1C ) : S  → S , nên đặt = Γ1 ρ= f ( f n , β n−1 f n−1, , βo f o ,1C ) Γ1 : X → S1 biến đổi dây chuyền treo 1C bắt đầu f n Nên theo nhận xét trang 61, ta suy dãy T = hSn ( C , X ) xây dựng nên từ X dãy S1 nhờ vào đồng cấu f n biến đổi dây chuyền Γ1 ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X n−1 →  → X n+1  → X o  → X :  n → X n−1  ∂ ∂ f f n−1 fn Γ1 fo 1C fn S :  →  → λ n Bn−1  → → A ρ1 β n−1 1A S1 :  →  →  → Bo  → C  → βo 1C  → K n−1  →  → Ko  → C  → A  Vì S' ≡ S1 theo cấu xạ ρ1' = (1A , β'n , β'n−1, , βo' ,1C ) : S'  →S , nên đặt = Γ'1 ( fn' , βn' −1 f n' −1, , βo' fo' ,1C ) ' f' ρ= Γ'1 : X → S1 biến đổi dây chuyền treo 1C bắt đầu f n' Nên theo nhận xét trang 61, ta suy dãy T ' = h' Sn (C , X ) xây dựng nên từ X dãy S1 nhờ vào đồng cấu f n' biến đổi dây chuyền Γ'1 ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X  n−1 →  → X n+1  → X n−1  → X o  → X :  n ∂ ∂ f' Γ'1 f n' f n' −1 A  → B'n−1  →  → B'o  → C  →0 f o' 1C f n' S' :  →  → ρ1' S1 :  → 1A Như  → A β'n−1 β'o 1C  → K n−1  →  → Ko  → C  → Γ1 : X → S1 Γ'1 : X → S1 biến đổi dây chuyền treo 1C nên áp dụng bổ đề cho hai dãy khớp T = hSn ( C , X ) T' = h' Sn (C , X ) , ta suy T = T ' Từ đây, ta có sơ đồ cấu xạ dãy khớp: = hSn ( C , X ) T= = T' h' Sn (C , X ) Γ Γ1* S Γ' Γ*2 S' S1 Γ: Khi dãy khớp T ρ T → S Γ' : T → S' cấu xạ cần tìm ρ' o S  o → S' 2/ S ← ( gn , gn−1, , go ,1C ) : X → S1 biến đổi dây chuyền treo =  Gọi g 1C , S ≡ S1 theo cấu xạ : ρo = (1A , δ n−1, δ n−2 , , δ o ,1C ) : S1  → S , nên đặt = Γo ρ= o g ( g n , δ n−1g n−1, , δ o go ,1C ) Γo : X → S biến đổi dây chuyền treo 1C bắt đầu đồng cấu g n ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X  n−1 →  X :  → X n+1  → X n−1  → X o  → n ∂ ∂ g gn Γo g n−1 1C go gn → S1 :   →  → K n−1  →  → Ko  → C  → A ρo δ n−1 1A S :  →  → A δo 1C λ n → Bn−1  →  → Bo  → C  → Lập luận tương tự phần chứng minh bổ đề 1, ta xây dựng dãy T = kSn ( C , X ) ∈ chuyền £n(C, A) nhờ vào đồng cấu gn biến đổi dây Γo cấu xạ Γ : T → S Ở ( k : ∂ n X n → A đồng cấu thỏa k ∂'n =g n ∂'n : X n → ∂ n X n thu hẹp ∂ n : X n → X n−1 ) Sn ( C , X ) j→ X ε →C → n−1 →  → X o  dãy → ∂ n X n  n−1  ∂ ∂ =  Mặt khác biến đổi dây chuyền g ( g n , g n−1, , go ,1C ) : X → S1 kết hợp với cấu xạ ρ'o = (1A , δ 'n−1, , δ o' ,1C ) : dây chuyền= Γ'o ' g ρ= o S1  → S' cảm sinh biến đổi ( g , δ' n n−1 g n−1, , δ o go ,1C ' ): X → S' treo 1C ∂1 ∂n ε → C  n+1 → X  n−1 →  → X n+1  → X n−1  → X o  → X :  n ∂ ∂ g gn Γ'o go gn-1 1C gn → S1 :   → A ρ'o S' :  →  →  → K n−1  →  → Ko  → C  → δ n' −1 1A δ o' 1C A  → B'n−1  →  → B'o  → C  →0 Có điều đặc biệt biến đổi dây chuyền Γ'o : X → S' bắt đầu đồng cấu g n , theo bổ đề , dãy khớp n – dài T = kSn (C , X ) xây ε → C dãy khớp S' nhờ vào đồng cấu g , dựng từ phép giải xạ ảnh X  n theo bổ đề , tồn cấu xạ Hiển nhiên cấu xạ Γ' : T → S' Γ : T → S Γ' : T → S' bắt đầu kết thúc đồng 1A , 1C Vậy () k = ♣ Giả sử () k = q – 1, tức là: Tồn dãy khớp T ∈ £n(C, A) cấu xạ Γ : T → S Γ q : T → Sq ( S' = Sq ) bắt đầu kết thúc ánh ' xạ đồng 1A , 1C S S= = o ≡ S1 ≡ S2 ≡ ≡ Sq −1 ≡ Sq S  ( q − 1) dãy khớp trung gian ♣ Chứng minh () k = q, nghĩa ta chứng minh: dãy khớp T ∈ Tồn Γ' : T → Sq+1 1A , 1C S £n(C, A) cấu xạ Γ : T → S ( S = Sq+1 ) bắt đầu kết thúc ánh xạ đồng ' ' S= o ≡ S1 ≡ S2 ≡ ≡ Sq ≡ Sq +1 S    q dãy khớp trung gian Thật vậy: ) ( → Sq biến đổi dây chuyền treo 1C Gọi f ' = f n' , f n' −1, , f o' ,1C : X  Vì S' ≡ Sq nên theo bổ đề 1, ta xây dựng dãy khớp n – dài T' = h' Sn (C , X ) ∈ (∂'n : X n → ∂n X n £n(C, A) với h' : ∂ n X n → A thu hẹp ∂ n : X n → X n−1 ) ∂ T' → S' ; Γ'q : cho h' ∂'n = f n' Sn ( C , X ) dãy khớp ∂1 j→ X ε → C → n−1 →  → ∂ n X n   → X o  n−1 Γ' : cấu xạ T' → Sq bắt đầu 1A kết thúc 1C Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, () k = q – 1, nên ta suy ra: tồn dãy khớp n – dài T = hSn ( C , X ) ∈ Γ q : T → Sq £n(C, A) cấu xạ Γ : T → S bắt đầu kết thúc đồng 1A , 1C – mà đồng cấu h : ∂ n X n → A thỏa mãn h∂'n = f n (∂'n : X n → ∂n X n thu hẹp ∂ n : X n → X n−1 , đồng cấu f n thành phần biến đổi dây chuyền ( ) ) f = f n , f n−1, f n−2 , , f o ,1C : X  → Sq treo C Như hai dãy khớp T = hSn ( C , X ) T ' = h' Sn (C , X ) xây dựng nhờ vào đồng cấu f n f n' hai biến đổi dây chuyền , f ' : X → Sq treo 1C Và từ đây, theo bổ đề ta suy T = T ' Do ta có sơ đồ cấu xạ dãy khớp n – dài: f hS= T= n (C, X ) Γ = T' h' Sn (C , X ) Γq S Γ'q Γ' S' Sq Hiển nhiên cấu xạ Γ : T → S Γ' : T → S' bắt đầu đồng 1A , kết thúc 1C chúng cấu xạ ta cần tìm Khi Γ: T →S; Γ' : T → S' cấu xạ cần tìm Vậy () k = q Suy () với k (⇐) Giả sử tồn T∈ £n(C, A) cấu xạ Γ : T → S Γ' : T → S' bắt đầu kết thúc đồng Suy biểu đồ sau giao hốn : T: Γ → A  → M n−1  → M n−2  →  → M o  → C  →0  1A 1C S: → A  → Bn−1  → Bn−2  →  → Bo  → C  →0  T: → A  → M n−1  → M n−2  →  → M o  → C  →0  Γ' 1A S' : 1C  → A  → B'n−1  → B'n−2  →  → B'o  → C  → = T 1= A T  S 1C S  Khi đó, theo mệnh đề mục 2.2.5.3 ta có:  ' ' = T 1= A T  S 1C S Suy ra: S  T  S' Vậy S  S' KẾT LUẬN Thiết lập quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n cơng việc quan trọng q trình xây dựng hàm tử Ext phương pháp phân hoạch dãy khớp Những đường để thiết lập nên quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n tơi nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, chứng minh từ nhiều nguồn tài liệu khác Tuy khơng phải vấn đề Tốn học, đề tài hấp dẫn, thú vị có ý nghĩa sâu sắc thân tơi Nó giúp tơi hồn thiện nhiều mặt tư Tốn học, trưởng thành nhận thức thân, rèn cho tơi đức tính q báu người nghiên cứu khoa học – tính nghiêm túc, kiên trì, cẩn thận, tỉ mỉ cơng việc, đức hăng say lao động Từ giúp tơi thêm lĩnh tự tin sống Với nội dung gồm hai chương, luận văn trình bày số kết chủ yếu sau:  Quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ 1) quan hệ tương đương "  " lớp mở  Khi n ≥ , ta xây dựng quan hệ tồn đẳng  rộng mơđun bậc n ( n ≥ ) ba phương pháp: Xây dựng quan hệ tồn đẳng cách lấy quan hệ tồn đẳng trực " ≡ " dãy khớp n – dài làm tảng tiếp  " ≡ " dãy khớp ngắn Xây dựng dựa quan hệ tồn đẳng  Xây dựng quan hệ tồn đẳng nhờ vào phép giải xạ ảnh Mỗi phương pháp mang nét hay độc đáo riêng, nhiên thấy phương pháp thứ ba – “xây dựng quan hệ tồn đẳng lớp mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ ) nhờ vào phép giải xạ ảnh” tối ưu hơn, tiết kiệm nhiều so với phương pháp thứ rút ngắn chuỗi tồn đẳng trực tiếp dãy khớp dài Si cho dãy khớp dài trung gian  TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun (2002), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài tập đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM Lê Thị Hòa (1996), Xây dựng hàm tử Ext phương pháp phân hoạch dãy khớp, luận văn thạc sĩ, trường Đại học Sư phạm TPHCM Sze – Tsen Hu (1973), Nhập mơn đại số đồng điều, NXB Đại học Trung học chun nghiệp, Hà Nội Tiếng Anh Barry Mitchell (1965), Theory of categories, Academic Press New York and London Henri Cartan and Samuel Eilenberg (1956), Homology Algebra, New Jersey Princeton University Press, New York Joseph J Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Second Edition, Springer, Academic Press New York, and London Lekh R Vermani (2003), An elementary approach to homological algebra, A CRC Press Company, Boca Raton, London, New York, Washington P.J Hilton and U.Stammbach (1970), A couse in homological algebra, Springer – Verlag, New York Heidelberg Berlin 10 Saunders Mac Lane (1963), Homology, Berlin Gottingen Heidelberg, New York - - [...]... Chương 2 QUAN HỆ TO N ĐẲNG TR N LỚP CÁC MỞ RỘNG MÔĐUN BẬC n Từ những ki n thức chu n bị ở chương 1, chương 2 sẽ nghi n cứu quan hệ to n đẳng tr n lớp các mở rộng môđun n ( n ≥ 1) , từ đó trình bày một số phương pháp xây dựng quan hệ to n đẳng §1 QUAN HỆ TO N ĐẲNG TR N LỚP CÁC MỞ RỘNG MÔĐUN BẬC 1 Trong tiết n y ta sẽ định nghĩa quan hệ to n đẳng tr n lớp các mở rộng môđun bậc 1, tích của mở rộng và đồng... trình bày xong những ki n thức xoay quanh quan hệ to n đẳng tr n lớp các mở rộng môđun bậc 1” Tuy nhi n ta chưa thể dừng tại đây, vì mục đích chính của lu n v n này là đi thiết lập quan hệ to n đẳng tr n lớp các mở rộng môđun bậc n ( n ≥ 2 ) để tạo ti n đề cho việc xây dựng các hàm tử Ext n bằng phương pháp ph n hoạch dãy khớp n – dài Do đó, §2 của lu n v n sẽ khái quát con đường xây dựng quan hệ to n. .. Eγ t n tại duy nhất  N u ví việc xây dựng quan hệ to n đẳng của các mở rộng môđun bậc n giống như xây dựng một tòa nhà, thì quan hệ to n đẳng của các mở rộng môđun bậc 1” chính là n n móng của tòa nhà ấy, c n những vi n gạch ta đặt l n chính là “tích mở rộng và các đồng cấu” Song, c n phải có một chất keo để kết dính những vi n gạch ấy lại thì việc xây dựng tòa nhà mới có thể thành công Đóng vai... quan hệ to n đẳng ( ≡ ) tr n tập £(C, A) là một quan hệ tương đương, do đó n thực hi n một sự ph n lớp tr n tập £(C, A) Ta gọi tập thương của tập £(C, A) đối với quan hệ to n đẳng ( ≡ ) n y là ExtR (C , A) Đó chính là tập tất cả các lớp to n đẳng của các mở rộng của A nhờ C, và lớp chứa mở rộng E ta ký hiệu là clsE, hoặc E n u không sợ nhầm l n  Để mở rộng quan hệ to n đẳng của các dãy khớp ng n. .. ∈ 8  Ngoài ra chúng ta c n lưu ý thêm rằng: λ → B  σ → C  Mở rộng E : 0  → A  → 0 được gọi là mở rộng chẻ n n u i to n đẳng với mở rộng p 1 → A ⊕ C → 2 Eo : 0  → A  C  → 0 trong đó i1 là phép nhúng A vào A ⊕ C , p2 là phép chiếu A ⊕ C xuống C 2.1.2 Mệnh đề Quan hệ to n đẳng tr n tập £(C, A) là một quan hệ tương đương Chứng minh Tính ph n xạ λ → B  σ → C  Với mỗi mở rộng E :... vai trò quan trọng như chất keo ấy chính là “những tính chất của tích mở rộng và các đồng cấu”  2.1.4 Những tính chất của tích mở rộng và các đồng cấu 2.1.4.1 Mệnh đề Đối với các đồng cấu α : A → A' , γ : C' → C và mọi mở rộng E ∈ £(C, A) , ta lu n có α ( Eγ ) ≡ (α E ) γ Chứng minh Theo định nghĩa tích b n trái α E và tích b n phải Eγ của mở rộng E với đồng cấu α , γ , ta suy ra: lu n t n tại các cấu...  Kn , n  tới   phức K '  Kn' ,  'n Họ các đồng cấu môđun s  {sn : K n  K 'n+ 1, n  } được gọi là một đồng lu n dây chuy n giữa hai bi n đổi dây chuy n f , g : K  K ' n u thỏa:  'n 1sn  sn1 n  fn  gn Khi đó ta viết s : f  g 1.12 Đồng điều  Xét phức K :     n 1  K n 2  n 1  K n  K   n n1  n 1  Môđun thương H n K   Ker n Im n 1 Ker K  K  n n1... số trong G Đó là họ các nhóm abel được đánh số theo chỉ số tr n:   H n K ,G   H n Hom K ,G   Ker d n Im d n 1 Các ph n tử của Im d n 1 được gọi là đối bờ n chiều, c n các ph n tử của Ker d n gọi là đối chu trình n chiều 1.14 Phức tr n môđun Cho C là một R -môđun Phức ( X , ε ) tr n môđun C là một dãy các Rmôđun và các đồng cấu: e 1 n 1  X n   X n 1   X1   X 0  X :  n  C...  n  Kn  n  Kn 1  n  ' fn ' fn 1 ' ' 1 2 1   Kn' 1  n  Kn'  n   Kn' 1  n    n 1.10.2 Mệnh đề N u f  {fn } : K  K ' và g  {gn } : K '  K '' là các bi n đổi dây chuy n thì tích gf  {gn fn : Kn  Kn'' } cũng là một bi n đổi dây chuy n từ phức K tới phức K'' Và tích của các bi n đổi dây chuy n có tính kết hợp 1.11 Đồng lu n dây chuy n Cho các bi n đổi dây chuy n. ..   Hom Xn1, A   Hom Xn , A    n- 2 n- 1 n Trong đó các đồng cấu d n : Hom Xn , A  Hom Xn 1, A được xác n 1 n 1 định theo công thức d n  f   1 Với  mỗi   số H n Hom X , A  Ker d tự n* 1  f   1 nhi n n Im d n 1 n, đối   n  0 đồng điều được gọi là tích mở rộng n chiều tr n R  n của các môđun A và C đã cho, ký hiệu là: Ext C , A  f n 1 Với n = 1, ta ...  §2 QUAN HỆ T N ĐẲNG TR N LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n (n ≥ 2) Trước định nghĩa quan hệ t n đẳng mở rộng mơđun bậc n ( n ≥ ) , ta c n xác định khái niệm bổ trợ - khái niệm quan hệ t n đẳng trực... mở rộng đồng cấu 33 §2 QUAN HỆ T N ĐẲNG TR N LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n ( n ≥ ) 35 2.2.1 Quan hệ t n đẳng trực tiếp hai mở rộng mơđun bậc n 35 2.2.2 Quan hệ t n đẳng hai mở rộng. .. LỚP CÁC MỞ RỘNG MƠĐUN BẬC n Từ ki n thức chu n bị chương 1, chương nghi n cứu quan hệ t n đẳng lớp mở rộng mơđun n ( n ≥ 1) , từ trình bày số phương pháp xây dựng quan hệ t n đẳng §1 QUAN HỆ TỒN